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Dérivation : approfondissement

Rappels de 1re (dérivées usuelles, produit, quotient, tangente), dérivées de x ↦ f(ax + b), de u², de eᵘ et de ln u, signe de la dérivée, tableau de variations et extremums.

À propos de cette page
Un QCM de dérivation en trois niveaux de douze questions : dérivées de eᵘ, ln u, u² et f(ax + b), équation de tangente, domaine du logarithme, sens de variation, dérivée qui s’annule sans extremum et maximum atteint à une borne. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Quelle est la dérivée de la fonction définie sur ℝ par f(x) = e⁷ˣ ?

    • A. e⁷ˣ
    • B. 7xe⁷ˣ
    • C. 7e⁷ˣ
    • D. e⁷ˣ⁻¹
    Réponse

    C. 7e⁷ˣ — Pour e^(ax + b), on multiplie par le coefficient de x : f′(x) = 7e⁷ˣ. On ne dérive jamais « dans » l’exposant.

  2. Sur ]0 ; +∞[, quelle est la dérivée de f(x) = ln(5x) ?

    • A. 5/x²
    • B. 1/x
    • C. 1/(5x)
    • D. 5/ln x
    Réponse

    B. 1/x — Avec u(x) = 5x et u′(x) = 5 : f′(x) = 5/(5x) = 1/x.

  3. Si u est dérivable sur un intervalle I, la dérivée de u² est :

    • A. 2u
    • B. (u′)²
    • C. 2u′
    • D. 2u′u
    Réponse

    D. 2u′u — u² = u × u, donc (u²)′ = u′u + uu′ = 2u′u. Le facteur u′ ne doit pas être oublié.

  4. Quelle est la dérivée de la fonction définie sur ℝ par f(x) = (3x − 8)² ?

    • A. 6(3x − 8)
    • B. 2(3x − 8)
    • C. 3(3x − 8)²
    • D. 6(3x − 8)²
    Réponse

    A. 6(3x − 8) — Avec u(x) = 3x − 8 et u′(x) = 3 : f′(x) = 2 × 3 × (3x − 8) = 6(3x − 8).

  5. Si f′(x) > 0 pour tout x d’un intervalle I, alors sur I :

    • A. f est strictement décroissante
    • B. f est strictement croissante
    • C. f est strictement positive
    • D. f admet un maximum
    Réponse

    B. f est strictement croissante — C’est le théorème qui relie le signe de la dérivée aux variations. Le signe de f elle-même n’a rien à voir avec celui de f′.

  6. Sur quel intervalle la fonction f(x) = ln(2x − 6) est-elle définie et dérivable ?

    • A. ]0 ; +∞[
    • B. ]−6 ; +∞[
    • C. ]−3 ; +∞[
    • D. ]3 ; +∞[
    Réponse

    D. ]3 ; +∞[ — Il faut 2x − 6 > 0, soit x > 3. Sur cet intervalle, f′(x) = 2/(2x − 6).

  7. Quelle est la dérivée de la fonction définie sur ℝ par f(x) = e−x/3 ?

    • A. −(1/3)e−x/3
    • B. e−x/3
    • C. (1/3)e−x/3
    • D. −3e−x/3
    Réponse

    A. −(1/3)e−x/3 — Le coefficient de x vaut −1/3 : f′(x) = −(1/3)e^(−x/3). La dérivée est négative : la fonction est décroissante.

  8. La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation :

    • A. y = f(a)(x − a) + f′(a)
    • B. y = f′(a)x + f(a)
    • C. y = f′(a)(x − a) + f(a)
    • D. y = f′(x)(x − a) + f(a)
    Réponse

    C. y = f′(a)(x − a) + f(a) — Le coefficient directeur est f′(a) et la droite passe par le point (a ; f(a)) : y = f′(a)(x − a) + f(a).

  9. Quelle est la dérivée de la fonction définie sur ℝ par f(x) = (2x + 5)³ ?

    • A. 3(2x + 5)²
    • B. 6(2x + 5)²
    • C. 6(2x + 5)³
    • D. 2(2x + 5)²
    Réponse

    B. 6(2x + 5)² — Forme f(ax + b) avec la fonction cube et a = 2 : f′(x) = 2 × 3(2x + 5)² = 6(2x + 5)².

  10. Pour que ln(u(x)) existe, il faut et il suffit que :

    • A. u(x) ≠ 0
    • B. u(x) ≥ 0
    • C. u′(x) > 0
    • D. u(x) > 0
    Réponse

    D. u(x) > 0 — Le logarithme n’est défini que pour les réels strictement positifs : il faut u(x) > 0 (0 est exclu).

  11. Pour une fonction u dérivable, la dérivée de eᵘ a toujours le même signe que :

    • A. u
    • B. u²
    • C. u′
    • D. 1 − u
    Réponse

    C. u′ — (eᵘ)′ = u′eᵘ et eᵘ > 0 : le signe est celui de u′. Ainsi eᵘ a les mêmes variations que u.

  12. Sur ]−1/4 ; +∞[, la dérivée de f(x) = √(4x + 1) est :

    • A. 1/(2√(4x + 1))
    • B. 2/√(4x + 1)
    • C. 4/√(4x + 1)
    • D. 4√(4x + 1)
    Réponse

    B. 2/√(4x + 1) — Forme f(ax + b) avec a = 4 : f′(x) = 4 × 1/(2√(4x + 1)) = 2/√(4x + 1).

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Quelle est la dérivée de f(x) = ex² − x sur ℝ ?

    • A. e2x − 1
    • B. (x² − x)ex² − x
    • C. (2x − 1)ex² − x
    • D. ex² − x
    Réponse

    C. (2x − 1)ex² − x — Forme eᵘ avec u(x) = x² − x et u′(x) = 2x − 1 : f′(x) = (2x − 1)e^(x² − x).

  2. Quelle est la dérivée de f(x) = ln(4x² + 1) sur ℝ ?

    • A. 8x/(4x² + 1)
    • B. 1/(4x² + 1)
    • C. 8x/(4x² + 1)²
    • D. (8x + 1)/(4x² + 1)
    Réponse

    A. 8x/(4x² + 1) — Avec u(x) = 4x² + 1 > 0 et u′(x) = 8x, la formule u′/u donne 8x/(4x² + 1) ; le dénominateur n’est pas élevé au carré.

  3. Quelle est la dérivée de f(x) = (x³ − 2)² sur ℝ ?

    • A. 2(x³ − 2)
    • B. 3x²(x³ − 2)²
    • C. 6x²(x³ − 2)²
    • D. 6x²(x³ − 2)
    Réponse

    D. 6x²(x³ − 2) — Avec u(x) = x³ − 2 et u′(x) = 3x² : f′(x) = 2 × 3x² × (x³ − 2) = 6x²(x³ − 2).

  4. Quelle est la dérivée de f(x) = xe³ˣ sur ℝ ?

    • A. 3e³ˣ
    • B. (1 + 3x)e³ˣ
    • C. 3xe³ˣ
    • D. (1 + x)e³ˣ
    Réponse

    B. (1 + 3x)e³ˣ — C’est un produit : f′(x) = 1 × e³ˣ + x × 3e³ˣ = (1 + 3x)e³ˣ.

  5. Quelle est la dérivée de f(x) = (x + 4)e−2x sur ℝ ?

    • A. −2(x + 4)e−2x
    • B. (1 − 2x)e−2x
    • C. (2x + 7)e−2x
    • D. −(2x + 7)e−2x
    Réponse

    D. −(2x + 7)e−2x — f′(x) = e^(−2x) + (x + 4)(−2e^(−2x)) = e^(−2x)(1 − 2x − 8) = −(2x + 7)e^(−2x).

  6. Sur quel intervalle la fonction f(x) = e−x² + 6x est-elle croissante ?

    • A. ]−∞ ; 3]
    • B. ]−∞ ; 6]
    • C. [3 ; +∞[
    • D. [6 ; +∞[
    Réponse

    A. ]−∞ ; 3] — f′(x) = (−2x + 6)e^(−x² + 6x) a le signe de −2x + 6, positif pour x ≤ 3 : f croît sur ]−∞ ; 3].

  7. Pour f(x) = ln(x² + 2x + 2), que vaut f′(0) ?

    • A. 1/2
    • B. 2
    • C. 0
    • D. 1
    Réponse

    D. 1 — f′(x) = (2x + 2)/(x² + 2x + 2), donc f′(0) = 2/2 = 1 (le trinôme vaut (x + 1)² + 1 > 0, f est définie sur ℝ).

  8. La tangente en 0 à la courbe de f(x) = e³ˣ a pour équation :

    • A. y = 3x
    • B. y = x + 1
    • C. y = 3x + 3
    • D. y = 3x + 1
    Réponse

    D. y = 3x + 1 — f(0) = 1 et f′(x) = 3e³ˣ, donc f′(0) = 3 : y = 3(x − 0) + 1 = 3x + 1.

  9. Sur ]0 ; +∞[, la fonction f(x) = ln x − x admet :

    • A. un minimum en 1, égal à −1
    • B. un maximum en 1, égal à −1
    • C. un maximum en 1, égal à 0
    • D. aucun extremum
    Réponse

    B. un maximum en 1, égal à −1 — f′(x) = 1/x − 1 = (1 − x)/x, positif sur ]0 ; 1[ et négatif sur ]1 ; +∞[ : maximum en 1, égal à ln 1 − 1 = −1.

  10. Quelle est la dérivée de f(x) = (x − 1)²eˣ sur ℝ ?

    • A. 2(x − 1)eˣ
    • B. (x − 1)²eˣ
    • C. (x² + 1)eˣ
    • D. (x² − 1)eˣ
    Réponse

    D. (x² − 1)eˣ — f′(x) = 2(x − 1)eˣ + (x − 1)²eˣ = (x − 1)(2 + x − 1)eˣ = (x − 1)(x + 1)eˣ = (x² − 1)eˣ.

  11. Sur ]−3/2 ; +∞[, la dérivée de f(x) = 1/(2x + 3) est :

    • A. −1/(2x + 3)²
    • B. 2/(2x + 3)²
    • C. −2/(2x + 3)²
    • D. −2/(2x + 3)
    Réponse

    C. −2/(2x + 3)² — Forme f(ax + b) avec la fonction inverse et a = 2 : f′(x) = 2 × (−1/(2x + 3)²) = −2/(2x + 3)².

  12. Pour x > 0, la dérivée de f(x) = ln(x²) est :

    • A. 2/x
    • B. 1/x²
    • C. 2x
    • D. 2 ln x
    Réponse

    A. 2/x — Avec u(x) = x² > 0 et u′(x) = 2x : f′(x) = 2x/x² = 2/x.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x − 2)³. Que peut-on affirmer en 2 ?

    • A. f admet un maximum local en 2
    • B. f n’est pas dérivable en 2
    • C. f′(2) = 0 donc f a un minimum en 2
    • D. f′(2) = 0 mais f n’a pas d’extremum en 2
    Réponse

    D. f′(2) = 0 mais f n’a pas d’extremum en 2 — f′(x) = 3(x − 2)² s’annule en 2 sans changer de signe : la tangente est horizontale, mais f reste strictement croissante sur ℝ.

  2. La fonction f(x) = ln(x² − 9) est définie et dérivable :

    • A. sur ℝ tout entier
    • B. sur ]−∞ ; −3[ et sur ]3 ; +∞[
    • C. sur ]−3 ; 3[ uniquement
    • D. sur ]0 ; +∞[ privé de 3
    Réponse

    B. sur ]−∞ ; −3[ et sur ]3 ; +∞[ — Il faut x² − 9 > 0, soit x < −3 ou x > 3. Sur ces intervalles, f′(x) = 2x/(x² − 9).

  3. Quelle est la dérivée de f(x) = e²ˣ × e³ˣ sur ℝ ?

    • A. 6e⁵ˣ
    • B. e6x²
    • C. 6e⁶ˣ
    • D. 5e⁵ˣ
    Réponse

    D. 5e⁵ˣ — On simplifie d’abord : e²ˣ × e³ˣ = e⁵ˣ, donc f′(x) = 5e⁵ˣ. Multiplier les exposants serait une erreur.

  4. Sur ]0 ; +∞[, quelle est la dérivée de f(x) = (x + ln x)² ?

    • A. 2(1 + 1/x)(x + ln x)
    • B. 2(1 + 1/x²)(x + ln x)
    • C. 2(x + ln x)
    • D. (1 + 1/x)²
    Réponse

    A. 2(1 + 1/x)(x + ln x) — Forme u² avec u(x) = x + ln x et u′(x) = 1 + 1/x : f′(x) = 2u′(x)u(x) = 2(1 + 1/x)(x + ln x). Oublier u′ donne 2(x + ln x).

  5. Quelle est la dérivée de f(x) = ln(e³ˣ + 1) sur ℝ ?

    • A. 1/(e³ˣ + 1)
    • B. 3e³ˣ
    • C. 3e³ˣ/(e³ˣ + 1)
    • D. e³ˣ/(3(e³ˣ + 1))
    Réponse

    C. 3e³ˣ/(e³ˣ + 1) — Avec u(x) = e³ˣ + 1 > 0 et u′(x) = 3e³ˣ, la formule u′/u donne 3e³ˣ/(e³ˣ + 1).

  6. Pour f(x) = −1/x sur ℝ privé de 0, on a f′(x) = 1/x² > 0. Que conclure ?

    • A. f croît sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[
    • B. f est croissante sur ℝ
    • C. f admet un minimum en 0
    • D. f est croissante sur ℝ privé de 0
    Réponse

    A. f croît sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ — Le théorème s’applique sur un intervalle : on conclut séparément sur chacun, jamais sur leur réunion (f(−1) = 1 > f(1) = −1).

  7. Sur [0 ; 3], le maximum de f(x) = x² − 2x vaut :

    • A. −1, atteint en 1
    • B. 0, atteint en 0
    • C. il n’y en a pas
    • D. 3, atteint en 3
    Réponse

    D. 3, atteint en 3 — f′(x) = 2x − 2 : f décroît sur [0 ; 1] puis croît sur [1 ; 3]. On compare les bornes : f(0) = 0 et f(3) = 3. Le maximum vaut 3, atteint à la borne 3.

  8. Sur ]0 ; +∞[, la dérivée de f(x) = e√x est :

    • A. e√x/(2√x)
    • B. e√x
    • C. √x e√x
    • D. e1/(2√x)
    Réponse

    A. e√x/(2√x) — Forme eᵘ avec u(x) = √x et u′(x) = 1/(2√x) : f′(x) = e^(√x)/(2√x).

  9. Si u est dérivable et strictement positive, la dérivée de ln(u²) est :

    • A. u′/u²
    • B. 2u′/u
    • C. 2u′u
    • D. 1/u²
    Réponse

    B. 2u′/u — Avec U = u² > 0 et U′ = 2u′u : U′/U = 2u′u/u² = 2u′/u.

  10. Sur ]0 ; +∞[, la fonction f(x) = ln x + 1/x admet un minimum égal à :

    • A. 0
    • B. e
    • C. 1
    • D. −1
    Réponse

    C. 1 — f′(x) = 1/x − 1/x² = (x − 1)/x², négatif sur ]0 ; 1[ et positif sur ]1 ; +∞[ : minimum en 1, égal à f(1) = 0 + 1, soit 1.

  11. Une fonction f vérifie f′(x) = (x − 1)²(x + 3)eˣ sur ℝ. Alors f admet :

    • A. un minimum en −3 et un extremum en 1
    • B. un minimum en −3 seulement
    • C. un maximum en −3 seulement
    • D. un minimum en 1 seulement
    Réponse

    B. un minimum en −3 seulement — (x − 1)² ≥ 0 et eˣ > 0 : f′ a le signe de x + 3 (sauf en 1, où elle s’annule sans changer de signe). f′ passe de − à + en −3 : minimum ; aucun extremum en 1.

  12. On pose g(x) = f(2x + 1). Si f′(3) = 5, alors g′(1) vaut :

    • A. 5
    • B. 3
    • C. 10
    • D. 11
    Réponse

    C. 10 — g′(x) = 2f′(2x + 1), donc g′(1) = 2f′(3) = 2 × 5 = 10.

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