Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Dérivation — approfondissement
Étude approfondie des fonctions dérivées : règles de composition, dérivées successives et applications à l'optimisation (programme officiel Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Quelle est la dérivée de $f(x)=e^{3x}$ ?
- A. $3e^{3x}$
- B. $e^{3x}$
- C. $3xe^{3x}$
- D. $e^{3x}/3$
Réponse
A. $3e^{3x}$ — Règle des chaînes : (e^u)' = u'·e^u, ici u'=3.
Quelle est la dérivée de $g(x) = \ln(2x)$ pour $x\gt 0$ ?
- A. $\frac{1}{x}$
- B. $\frac{1}{2x}$
- C. $\frac{2}{x}$
- D. $\frac{2}{2x}$
Réponse
A. $\frac{1}{x}$ — g'(x)=2/(2x)=1/x (la constante 2 disparaît).
La dérivée de $h(x)=(x^2+1)^5$ est :
- A. $10x(x^2+1)^4$
- B. $5(x^2+1)^4$
- C. $5x(x^2+1)^4$
- D. $10(x^2+1)^4$
Réponse
A. $10x(x^2+1)^4$ — n·u^{n-1}·u'=5(x²+1)^4·2x=10x(x²+1)^4.
Si $f'(a)=0$ et $f''(a)\gt 0$, alors en $a$ $f$ admet :
- A. un minimum local
- B. un maximum local
- C. un point d'inflexion
- D. on ne peut pas conclure
Réponse
A. un minimum local — Critère du second ordre : f''>0 → minimum local.
La dérivée seconde de $f(x)=\sin x$ est :
- A. $-\sin x$
- B. $\cos x$
- C. $-\cos x$
- D. $\sin x$
Réponse
A. $-\sin x$ — f'=cos x, f''=-sin x.
Sur un intervalle où $f'(x)\lt 0$, la fonction $f$ est :
- A. décroissante
- B. croissante
- C. constante
- D. convexe
Réponse
A. décroissante — f'<0 ⟺ f est strictement décroissante.
Quelle est la dérivée de $f(x)=\cos(2x)$ ?
- A. $-2\sin(2x)$
- B. $2\sin(2x)$
- C. $-\sin(2x)$
- D. $\sin(2x)$
Réponse
A. $-2\sin(2x)$ — (cos u)'=-u'sin u=-2sin(2x).
Si $f''(x)\gt 0$ sur $I$, la fonction $f$ est :
- A. convexe
- B. concave
- C. croissante
- D. décroissante
Réponse
A. convexe — f''>0 ↔ f convexe (courbe en forme de sourire).
Quelle est la dérivée de $f(x)=\sqrt{4x+1}$ ?
- A. $\frac{2}{\sqrt{4x+1}}$
- B. $\frac{1}{\sqrt{4x+1}}$
- C. $\frac{4}{\sqrt{4x+1}}$
- D. $\frac{1}{2\sqrt{4x+1}}$
Réponse
A. $\frac{2}{\sqrt{4x+1}}$ — u'/(2√u)=4/(2√(4x+1))=2/√(4x+1).
La dérivée de $f(x) = e^x - x$ s'annule en :
- A. $x=0$
- B. $x=1$
- C. $x=e$
- D. $x=-1$
Réponse
A. $x=0$ — f'(x)=e^x-1=0 → e^x=1 → x=0.
La dérivée seconde $f''$ représente la dérivée de :
- A. $f'$
- B. $f$
- C. $f^{(3)}$
- D. $f^{(0)}$
Réponse
A. $f'$ — f''=(f')' par définition.
Pour $f(x)=x^n$, la dérivée d'ordre 2 est :
- A. $n(n-1)x^{n-2}$
- B. $nx^{n-1}$
- C. $n^2 x^{n-2}$
- D. $(n-2)x^{n-1}$
Réponse
A. $n(n-1)x^{n-2}$ — f'=nx^{n-1}, f''=n(n-1)x^{n-2}.
Niveau moyen — 12 questions
La dérivée de $f(x)=e^{x^2}$ est :
- A. $2xe^{x^2}$
- B. $x^2 e^{x^2}$
- C. $e^{x^2}$
- D. $2e^{x^2}$
Réponse
A. $2xe^{x^2}$ — f'(x)=(x²)'·e^{x²}=2x·e^{x²}.
Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(\sin x)$ sur $]0;\pi[$ ?
- A. $\frac{\cos x}{\sin x}$
- B. $\frac{1}{\sin x}$
- C. $-\frac{\cos x}{\sin x}$
- D. $\cos(\ln x)$
Réponse
A. $\frac{\cos x}{\sin x}$ — f'=u'/u=(cos x)/(sin x).
Pour $f(x)=x^2 e^x$, la valeur de $f''(0)$ est :
- A. $2$
- B. $0$
- C. $1$
- D. $-2$
Réponse
A. $2$ — f'=2xe^x+x²e^x. f''=2e^x+2xe^x+2xe^x+x²e^x=(x²+4x+2)e^x. f''(0)=2.
La fonction $f(x)=x^3-3x^2$ admet un maximum local en :
- A. $x=0$
- B. $x=2$
- C. $x=-1$
- D. $x=3$
Réponse
A. $x=0$ — f'=3x²-6x=3x(x-2)=0. f'' : f''(0)=-6<0 → maximum local.
Pour $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$, la dérivée est :
- A. $\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$
- B. $\frac{2x}{(x^2+1)^2}$
- C. $\frac{-1}{(x^2+1)^2}$
- D. $\frac{1}{x^2+1}$
Réponse
A. $\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$ — Quotient : (0·(x²+1)-1·2x)/(x²+1)² = -2x/(x²+1)².
La dérivée de $f(x)=[\ln(x)]^2$ pour $x\gt 0$ est :
- A. $\frac{2\ln x}{x}$
- B. $\frac{2}{x}$
- C. $\frac{\ln x}{x}$
- D. $2\ln x$
Réponse
A. $\frac{2\ln x}{x}$ — f'=2·ln(x)·(1/x)=2ln(x)/x.
Si $f'(2)=0$ et $f''(2)=0$, alors en $x=2$ :
- A. on ne peut pas conclure avec ce seul critère
- B. c'est un minimum local
- C. c'est un maximum local
- D. c'est un point d'inflexion certain
Réponse
A. on ne peut pas conclure avec ce seul critère — Le critère du second ordre est non concluant si f''=0. Il faut étudier le signe de f'.
Sur $]0;+\infty[$, $f(x)=\ln x$ est :
- A. concave
- B. convexe
- C. ni convexe ni concave
- D. constante
Réponse
A. concave — f''=-1/x²<0 → f concave sur ]0;+∞[.
Pour $f(x)=e^{-x}$, la dérivée seconde $f''(x)$ vaut :
- A. $e^{-x}$
- B. $-e^{-x}$
- C. $e^x$
- D. $-e^x$
Réponse
A. $e^{-x}$ — f'=-e^{-x}, f''=e^{-x}.
La fonction $f(x)=x^4$ admet-elle un point d'inflexion en $x=0$ ?
- A. Non
- B. Oui
- C. Seulement si x>0
- D. Impossible à déterminer
Réponse
A. Non — f''=12x²≥0 partout, f'' ne change pas de signe → pas de point d'inflexion.
Quelle est la dérivée de $g(x)=\sin(x^2)$ ?
- A. $2x\cos(x^2)$
- B. $2\cos(x^2)$
- C. $\cos(x^2)$
- D. $-2x\cos(x^2)$
Réponse
A. $2x\cos(x^2)$ — g'=(x²)'·cos(x²)=2x·cos(x²).
La dérivée de $h(x)=e^{\cos x}$ est :
- A. $-\sin x\cdot e^{\cos x}$
- B. $\sin x \cdot e^{\cos x}$
- C. $-\cos x\cdot e^{\cos x}$
- D. $e^{\cos x}$
Réponse
A. $-\sin x\cdot e^{\cos x}$ — h'=(cos x)'·e^{cos x}=-sin x·e^{cos x}.
Niveau difficile — 12 questions
La dérivée de $f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ (pour $x\gt 1$) est :
- A. $\frac{-2}{x^2-1}$
- B. $\frac{2}{x^2-1}$
- C. $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}$
- D. $\frac{2}{(x+1)(x-1)^2}$
Réponse
A. $\frac{-2}{x^2-1}$ — f=ln(x+1)-ln(x-1). f'=1/(x+1)-1/(x-1)=(x-1-x-1)/((x+1)(x-1))=-2/(x²-1).
Pour $f(x)=xe^{-x}$, l'abscisse du point d'inflexion est :
- A. $x=2$
- B. $x=1$
- C. $x=0$
- D. $x=-1$
Réponse
A. $x=2$ — f'=(1-x)e^{-x}, f''=(x-2)e^{-x}. f''=0 en x=2, f'' change de signe → point d'inflexion.
Parmi ces fonctions, laquelle est à la fois croissante et convexe sur $]0;+\infty[$ ?
- A. $e^x$
- B. $\ln x$
- C. $-x^2$
- D. $-e^x$
Réponse
A. $e^x$ — e^x : f'>0 (croissante) et f''>0 (convexe). ln x : croissante mais concave.
Le nombre de points d'inflexion de $f(x)=x^4-2x^2$ est :
- A. 2
- B. 0
- C. 1
- D. 4
Réponse
A. 2 — f''=12x²-4=0 → x=±1/√3. f'' change de signe en chacun → 2 points d'inflexion.
Pour maximiser $f(x) = x^a e^{-bx}$ ($a,b\gt 0$, $x\gt 0$), la valeur optimale est :
- A. $x=a/b$
- B. $x=a$
- C. $x=b$
- D. $x=b/a$
Réponse
A. $x=a/b$ — f'=x^{a-1}e^{-bx}(a-bx)=0 → x=a/b.
Si $f$ admet un point d'inflexion en $a$ et est deux fois dérivable, alors :
- A. $f''$ change de signe en $a$
- B. $f'(a)=0$
- C. $f''(a)\gt 0$
- D. $f$ admet un extremum en $a$
Réponse
A. $f''$ change de signe en $a$ — La définition du point d'inflexion est le changement de convexité ↔ f'' change de signe.
La dérivée de $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ en $x\neq 0$ est :
- A. $\frac{2}{3}x^{-1/3}$
- B. $\frac{2}{3}x^{1/3}$
- C. $\frac{3}{2}x^{-1/3}$
- D. $\frac{2}{3x^{1/3}}$
Réponse
A. $\frac{2}{3}x^{-1/3}$ — f(x)=x^{2/3}, f'=(2/3)x^{-1/3}=2/(3x^{1/3}).
Pour $f(x)=e^x(x^2-2x+2)$, la dérivée $f'(x)$ est :
- A. $e^x \cdot x^2$
- B. $e^x(x^2+2)$
- C. $e^x(x-2)^2$
- D. $e^x(2x-2+x^2-2x+2)$
Réponse
A. $e^x \cdot x^2$ — f'=e^x(x²-2x+2)+e^x(2x-2)=e^x(x²-2x+2+2x-2)=e^x·x².
La fonction $f(x)=\tan x$ est convexe sur :
- A. $]0;\pi/2[$
- B. $]-\pi/2;0[$
- C. $]-\pi/2;\pi/2[$
- D. aucun intervalle
Réponse
A. $]0;\pi/2[$ — f''=2tan x/cos²x=2sin x/cos³x. Sur ]0;π/2[, sin x>0 et cos x>0 → f''>0 (convexe).
Un extremum global sur un segment $[a;b]$ peut se trouver :
- A. en $a$, en $b$ ou en un point critique intérieur
- B. uniquement en un point critique intérieur
- C. uniquement aux extrémités
- D. uniquement là où $f''=0$
Réponse
A. en $a$, en $b$ ou en un point critique intérieur — Il faut comparer les valeurs aux extremités et aux points critiques intérieurs.
La dérivée de $f(x)=[g(x)]^2$ est :
- A. $2g(x)g'(x)$
- B. $2g'(x)$
- C. $[g'(x)]^2$
- D. $g(x)^2 g'(x)$
Réponse
A. $2g(x)g'(x)$ — Règle des chaînes : (u²)'=2u·u'=2g(x)g'(x).
Pour $f(x)=\frac{e^x}{x}$ ($x\neq 0$), la dérivée est nulle pour :
- A. $x=1$
- B. $x=-1$
- C. $x=0$
- D. $x=e$
Réponse
A. $x=1$ — f'=(xe^x-e^x)/x²=e^x(x-1)/x². f'=0 → x=1.
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