Convexité

Fonctions de référence et parabole : écris convexe ou concave, sur l’intervalle indiqué.

1. $x\mapsto \sqrt{x}$ sur $[0;+\infty [$ :
   La courbe de la racine carrée est « en dôme » : elle est au-dessous de chacune de ses tangentes. La fonction racine carrée est concave sur $[0;+\infty [$.
2. $x\mapsto e^x$ sur $ℝ$ :
   La courbe de l’exponentielle est « en cuvette » : elle est au-dessus de chacune de ses tangentes, par exemple de $y=x+1$ en $0$. Elle est convexe sur $ℝ$.
3. $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]-\infty ;0[$ :
   La fonction inverse est convexe sur $]0;+\infty [$ mais concave sur $]-\infty ;0[$ : sa branche de gauche est « en dôme ».
4. $x\mapsto -x^2+5x$ sur $ℝ$ :
   C’est une parabole tournée vers le bas (coefficient de $x^2$ égal à $-1<0$) : elle est « en dôme », la fonction est concave sur $ℝ$.
5. $x\mapsto x^3$ sur $[0;+\infty [$ :
   Sur $[0;+\infty [$, la courbe de la fonction cube est « en cuvette » : la fonction cube y est convexe. Elle est concave sur $]-\infty ;0]$ : l’origine est un point d’inflexion.

Soit $f(x)=x^2-4x+5$ sur $ℝ$, et $A$, $B$ les points de sa courbe d’abscisses $2$ et $5$.

1. Coefficient directeur de la droite $(AB)$ :
   $f(2)=4-8+5=1$ et $f(5)=25-20+5=10$, donc $A(2;1)$ et $B(5;10)$. Coefficient directeur : ${\displaystyle \frac{10-1}{5-2}}=3$.
2. $(AB):y=3x+p$ avec $p=$
   $(AB)$ passe par $A(2;1)$, donc $p=1-3\times 2=-5$. Ainsi $(AB):y=3x-5$.
3. Démontrer que, pour tout $x\in [2;5]$, $f(x)⩽3x-5$. Contrôle : pour $x=3,5$, l’écart $(3x-5)-f(x)$ vaut
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $(3x-5)-f(x)$ $=3x-5-x^2+4x-5$ $=-x^2+7x-10$ $=-(x-2)(x-5)$. Pour $x\in [2;5]$, $x-2⩾0$ et $x-5⩽0$, donc $(x-2)(x-5)⩽0$ et $(3x-5)-f(x)⩾0$. Ainsi $f(x)⩽3x-5$ sur $[2;5]$ : entre $A$ et $B$, la parabole est au-dessous de la corde $[AB]$, ce qu’annonçait la convexité de $f$. Contrôle : $-(3,5-2)(3,5-5)$ $=-1,5\times (-1,5)$ $=2,25$.

La fonction $\ln$ est concave sur $]0;+\infty [$. Soit $T$ sa tangente au point d’abscisse $2$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Coefficient directeur de $T$ :
   $(\ln x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$, donc le coefficient directeur de $T$ est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. Ordonnée à l’origine de $T$, arrondie au centième :
   $T:y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2)+\ln 2$, soit $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-1+\ln 2$. L’ordonnée à l’origine est $-1+\ln 2\approx -0,31$.
3. Démontrer que, pour tout $x>0$, $\ln x⩽{\displaystyle \frac{x}{2}}-1+\ln 2$. Pour $x=10$, on obtient $\ln 10⩽$ (arrondi au centième)
   Rédaction attendue. La fonction $\ln$ est concave sur $]0;+\infty [$ (fonction de référence : $(\ln x{)}^{″}=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}<0$). La courbe d’une fonction concave est située au-dessous de chacune de ses tangentes ; en particulier, au-dessous de sa tangente au point d’abscisse $2$, d’équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-1+\ln 2$. Donc, pour tout $x>0$, $\ln x⩽{\displaystyle \frac{x}{2}}-1+\ln 2$. Pour $x=10$ : $\ln 10⩽4+\ln 2\approx 4,69$ (et en effet $\ln 10\approx 2,30$).

La fonction racine carrée est concave sur $[0;+\infty [$. Soit $A(1;1)$ et $B(4;2)$, deux points de sa courbe. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $(AB):y=mx+p$ avec $m=$ et $p=$
   $m={\displaystyle \frac{2-1}{4-1}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, puis $1={\displaystyle \frac{1}{3}}+p$ donne $p={\displaystyle \frac{2}{3}}$ : $(AB):y={\displaystyle \frac{x+2}{3}}$.
2. Démontrer que, pour tout $x\in [1;4]$, $\sqrt{x}⩾{\displaystyle \frac{x+2}{3}}$. Pour $x=2$, on obtient $\sqrt{2}⩾$ (fraction)
   Rédaction attendue. La fonction racine carrée est concave sur $[0;+\infty [$, donc sur $[1;4]$. Entre deux points $A$ et $B$ de sa courbe, la courbe d’une fonction concave est située au-dessus de la corde $[AB]$. La droite $(AB)$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{x+2}{3}}$, donc, pour tout $x\in [1;4]$, $\sqrt{x}⩾{\displaystyle \frac{x+2}{3}}$. Pour $x=2$ : $\sqrt{2}⩾{\displaystyle \frac{4}{3}}\approx 1,333$ (et $\sqrt{2}\approx 1,414$).
3. Avec la corde joignant les points d’abscisses $4$ et $9$, la même méthode donne $\sqrt{6}⩾$ (écriture décimale)
   Les points sont $(4;2)$ et $(9;3)$ : coefficient directeur ${\displaystyle \frac{3-2}{9-4}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$, donc la corde a pour équation $y=2+{\displaystyle \frac{x-4}{5}}={\displaystyle \frac{x+6}{5}}$. Sur $[4;9]$, $\sqrt{x}⩾{\displaystyle \frac{x+6}{5}}$, d’où $\sqrt{6}⩾{\displaystyle \frac{12}{5}}=2,4$ (et $\sqrt{6}\approx 2,449$).

Dérive deux fois, puis donne la valeur demandée. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)=x^4-2x^3+x$ : $f″(2)=$
   $f\prime (x)=4x^3-6x^2+1$, puis $f″(x)=12x^2-12x$. Donc $f″(2)=48-24=24$.
2. $g(x)=5x^3-x^2$ : $g″(-1)=$
   $g\prime (x)=15x^2-2x$, puis $g″(x)=30x-2$. Donc $g″(-1)=-30-2=-32$.
3. $h(x)=e^{3x}$ : $h″(0)=$
   $h\prime (x)=3e^{3x}$, puis $h″(x)=9e^{3x}$. Donc $h″(0)=9\times e^0=9$.
4. $k(x)=3\ln x$ sur $]0;+\infty [$ : $k″(2)=$
   $k\prime (x)={\displaystyle \frac{3}{x}}$, puis $k″(x)=-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$. Donc $k″(2)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Étudie le signe de la dérivée seconde, puis complète l’intervalle le plus grand possible. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)=x^3+9x^2-2$ est convexe sur $[a;+\infty [$ avec $a=$
   $f\prime (x)=3x^2+18x$, $f″(x)=6x+18$. $f″(x)⩾0⟺x⩾-3$ : $f$ est convexe sur $[-3;+\infty [$ (et concave sur $]-\infty ;-3]$).
2. $g(x)=-x^3+2x^2+7$ est concave sur $[b;+\infty [$ avec $b=$
   $g\prime (x)=-3x^2+4x$, $g″(x)=-6x+4$. $g″(x)⩽0⟺-6x⩽-4⟺x⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}$ (on divise par $-6<0$ : le sens change).
3. $h(x)=x^4+2x^3$ est concave sur $[c;0]$ avec $c=$
   $h\prime (x)=4x^3+6x^2$, $h″(x)=12x^2+12x=12x(x+1)$. Ce trinôme est négatif entre ses racines $-1$ et $0$ : $h$ est concave sur $[-1;0]$, convexe sur $]-\infty ;-1]$ et sur $[0;+\infty [$.

Soit $f(x)=x^2-6x+4\ln x$ sur $]0;+\infty [$.

1. $f″(1)=$
   $f\prime (x)=2x-6+{\displaystyle \frac{4}{x}}$, puis $f″(x)=2-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$. Donc $f″(1)=2-4=-2$.
2. Démontrer que $f$ est concave sur $]0;\sqrt{2}]$ et convexe sur $[\sqrt{2};+\infty [$. Contrôle : $f″(2)=$
   Rédaction attendue. $f$ est deux fois dérivable sur $]0;+\infty [$, avec $f\prime (x)=2x-6+{\displaystyle \frac{4}{x}}$ et $f″(x)$ $=2-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$ $={\displaystyle \frac{2x^2-4}{x^2}}$ $={\displaystyle \frac{2(x^2-2)}{x^2}}$. Comme $x^2>0$, $f″(x)$ a le signe de $x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$. Pour $x>0$, $x+\sqrt{2}>0$ : $f″(x)$ a donc le signe de $x-\sqrt{2}$. Ainsi $f″(x)⩽0$ sur $]0;\sqrt{2}]$ et $f″(x)⩾0$ sur $[\sqrt{2};+\infty [$ : $f$ est concave sur $]0;\sqrt{2}]$ et convexe sur $[\sqrt{2};+\infty [$. Contrôle : $f″(2)=2-{\displaystyle \frac{4}{4}}=1$.
3. La courbe de $f$ admet un point d’inflexion d’abscisse $\sqrt{2}$. Son ordonnée, arrondie au centième, vaut
   $f″$ s’annule en $\sqrt{2}$ en changeant de signe (négative avant, positive après) : c’est l’abscisse d’un point d’inflexion. Son ordonnée : $f(\sqrt{2})$ $=2-6\sqrt{2}+4\ln \sqrt{2}$ $=2-6\sqrt{2}+2\ln 2$ $\approx -5,10$.

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{3x-1}{x+2}}$ sur $]-2;+\infty [$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f\prime (x)={\displaystyle \frac{k}{(x+2{)}^2}}$ avec $k=$
   Avec $u=3x-1$ et $v=x+2$ : $f\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{3(x+2)-(3x-1)\times 1}{(x+2{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{3x+6-3x+1}{(x+2{)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{7}{(x+2{)}^2}}$.
2. Démontrer que $f$ est concave sur $]-2;+\infty [$. Contrôle : $f″(0)=$ (fraction)
   Rédaction attendue. On écrit $f\prime (x)=7(x+2{)}^{-2}$ ; en dérivant, $f″(x)$ $=7\times (-2)(x+2{)}^{-3}$ $=-{\displaystyle \frac{14}{(x+2{)}^3}}$. Pour $x>-2$, $x+2>0$ donc $(x+2{)}^3>0$ et $f″(x)<0$. La dérivée seconde est négative sur $]-2;+\infty [$ : $f$ est concave sur cet intervalle, et sa courbe n’a aucun point d’inflexion ($f″$ ne s’annule jamais). Contrôle : $f″(0)=-{\displaystyle \frac{14}{8}}=-{\displaystyle \frac{7}{4}}$.
3. Comme $f$ est concave, pour tout $x>-2$, $f(x)⩽{\displaystyle \frac{7}{4}}x+p$ (tangente en $0$), avec $p=$ (fraction)
   $f(0)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $f\prime (0)={\displaystyle \frac{7}{4}}$ : la tangente en $0$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{7}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. La courbe d’une fonction concave est au-dessous de ses tangentes : $f(x)⩽{\displaystyle \frac{7}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ sur $]-2;+\infty [$.

Points d’inflexion de fonctions polynômes du troisième degré. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)=x^3-5x^2+3x-1$ : abscisse du point d’inflexion :
   $f\prime (x)=3x^2-10x+3$, $f″(x)=6x-10$, affine de coefficient $6>0$ : elle s’annule en ${\displaystyle \frac{10}{6}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$ en changeant de signe (négative avant, positive après).
2. $f(x)=x^3-5x^2+3x-1$ : ordonnée du point d’inflexion : (fraction)
   $f\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$ $={\displaystyle \frac{125}{27}}-5\times {\displaystyle \frac{25}{9}}+3\times {\displaystyle \frac{5}{3}}-1$ $={\displaystyle \frac{125}{27}}-{\displaystyle \frac{375}{27}}+{\displaystyle \frac{108}{27}}$ $=-{\displaystyle \frac{142}{27}}$ (environ $-5,26$).
3. $g(x)=-x^3+3x^2+2x$ : ordonnée du point d’inflexion :
   $g\prime (x)=-3x^2+6x+2$, $g″(x)=-6x+6$ : elle s’annule en $1$, positive avant et négative après. $g(1)=-1+3+2=4$ : le point d’inflexion est $(1;4)$.

Soit $f(x)=x^4-6x^3+1$ sur $ℝ$.

1. $f″(x)=12x(x-b)$ avec $b=$
   $f\prime (x)=4x^3-18x^2$, puis $f″(x)=12x^2-36x=12x(x-3)$.
2. Nombre de points d’inflexion de la courbe :
   $f″$ est un trinôme de coefficient dominant $12>0$, de racines $0$ et $3$ : positif, puis négatif entre les racines, puis positif. Il change de signe en $0$ et en $3$ : deux points d’inflexion.
3. Ordonnée du point d’inflexion d’abscisse $3$ :
   $f(3)=81-6\times 27+1=81-162+1=-80$. L’autre point d’inflexion est $(0;1)$.

Soit $a$ un réel et $f(x)=x^3+a{x}^2+3x+5$ sur $ℝ$. On veut que la courbe ait un point d’inflexion $I$ d’abscisse $2$.

1. Valeur de $a$ : $a=$
   $f\prime (x)=3x^2+2ax+3$ et $f″(x)=6x+2a$. Condition nécessaire : $f″(2)=0$, soit $12+2a=0$, donc $a=-6$.
2. Justifier que, pour cette valeur, $I$ est bien un point d’inflexion. Contrôle : ordonnée de $I$ :
   Rédaction attendue. Avec $a=-6$, $f(x)=x^3-6x^2+3x+5$ et $f″(x)=6x-12$. C’est une fonction affine de coefficient directeur $6>0$, qui s’annule en $2$ : elle est négative sur $]-\infty ;2[$ et positive sur $]2;+\infty [$. $f″$ s’annule en $2$ en changeant de signe : la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse $2$. Son ordonnée est $f(2)=8-24+6+5=-5$, donc $I(2;-5)$.
3. Coefficient directeur de la tangente en $I$ :
   $f\prime (x)=3x^2-12x+3$, donc $f\prime (2)=12-24+3=-9$. La tangente en $I$ a pour équation $y=-9(x-2)-5=-9x+13$ ; elle n’est pas horizontale.

Soit $f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+2$ sur $ℝ$. On admet que $f(x)=(x-1{)}^4+1$.

1. $f″(x)=k(x-1{)}^2$ avec $k=$
   À partir de la forme $(x-1{)}^4+1$ : $f\prime (x)=4(x-1{)}^3$, puis $f″(x)=12(x-1{)}^2$.
2. Un élève écrit : « $f″(1)=0$, donc le point d’abscisse $1$ est un point d’inflexion. » Démontrer qu’il a tort. Contrôle : $f(1)=$
   Rédaction attendue. L’élève utilise une condition nécessaire comme si elle était suffisante. Pour un point d’inflexion, $f″$ doit s’annuler en changeant de signe. Or $f″(x)=12(x-1{)}^2⩾0$ pour tout réel $x$ (un carré est positif) : $f″$ s’annule en $1$ mais reste positive de part et d’autre. $f$ est donc convexe sur $ℝ$ tout entier, sans changement de convexité : le point $(1;f(1))$, avec $f(1)=0+1=1$, n’est pas un point d’inflexion. C’est d’ailleurs le minimum de $f$.
3. Nombre de points d’inflexion de la courbe de $f$ :
   $f″$ ne s’annule qu’en $1$, sans changer de signe : la courbe n’a aucun point d’inflexion. Elle est au-dessus de sa tangente horizontale $y=1$ : $f(x)-1=(x-1{)}^4⩾0$.

Soit $f(x)=x^2-7x+3$ et $T$ sa tangente au point d’abscisse $2$.

1. $f\prime (2)=$
   $f\prime (x)=2x-7$, donc $f\prime (2)=4-7=-3$.
2. $T:y=-3x+p$ avec $p=$
   $f(2)=4-14+3=-7$, et $T:y=-3(x-2)-7=-3x+6-7=-3x-1$.
3. $f(x)-(-3x-1)=(x-c{)}^2$ avec $c=$
   $f(x)+3x+1$ $=x^2-4x+4$ $=(x-2{)}^2⩾0$ : la courbe est au-dessus de $T$, avec un seul point commun $(2;-7)$. C’est prévisible : $f″(x)=2>0$, $f$ est convexe.

Utilise la convexité (ou la concavité) et une tangente pour obtenir la borne demandée.

1. $f$ est concave sur $[0;10]$, avec $f(2)=5$ et $f\prime (2)=1,5$. Donc $f(6)⩽$
   Tangente en $2$ : $y=1,5(x-2)+5=1,5x+2$. $f$ est concave : sa courbe est au-dessous de cette tangente sur $[0;10]$. Donc $f(6)⩽1,5\times 6+2=11$.
2. $g$ est convexe sur $ℝ$, avec $g(-1)=3$ et $g\prime (-1)=-4$. Donc $g(2)⩾$
   Tangente en $-1$ : $y=-4(x+1)+3=-4x-1$. $g$ est convexe : sa courbe est au-dessus de ses tangentes. Donc $g(2)⩾-4\times 2-1=-9$.
3. Avec la tangente en $0$ à la courbe de l’exponentielle : $e^{-0,5}⩾$
   L’exponentielle est convexe et sa tangente en $0$ est $y=x+1$ : $e^x⩾x+1$ pour tout réel $x$. Avec $x=-0,5$ : $e^{-0,5}⩾0,5$ (en effet $e^{-0,5}\approx 0,607$).

Soit $f(x)=x^3-9x^2+30x$ sur $ℝ$, et $T$ sa tangente au point d’abscisse $3$.

1. $f(3)=$
   $f(3)=27-81+90=36$.
2. $T:y=3x+p$ avec $p=$
   $f\prime (x)=3x^2-18x+30$, donc $f\prime (3)=27-54+30=3$. $T:y=3(x-3)+36=3x+27$.
3. Démontrer que $f(x)-(3x+27)=(x-3{)}^3$, puis en déduire la position de la courbe par rapport à $T$. Contrôle : la différence vaut pour $x=1$
   Rédaction attendue. D’une part, $f(x)-(3x+27)$ $=x^3-9x^2+30x-3x-27$ $=x^3-9x^2+27x-27$. D’autre part, $(x-3{)}^3=x^3-9x^2+27x-27$. Les deux expressions sont égales. Le signe de $(x-3{)}^3$ est celui de $x-3$ : la différence est négative sur $]-\infty ;3[$, où la courbe est au-dessous de $T$, et positive sur $]3;+\infty [$, où elle est au-dessus. La courbe traverse sa tangente au point $(3;36)$ : c’est un point d’inflexion ($f″(x)=6x-18$ y change de signe). Contrôle : $(1-3{)}^3=-8$.

Soit $f(x)=x\ln x-x$ sur $]0;+\infty [$.

1. $f\prime \left(e^2\right)=$
   $f\prime (x)=1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1=\ln x$. Donc $f\prime \left(e^2\right)=\ln \left(e^2\right)=2$.
2. La tangente au point d’abscisse $1$ a pour équation $y=$
   $f(1)=0-1=-1$ et $f\prime (1)=\ln 1=0$ : la tangente est horizontale, d’équation $y=-1$.
3. Démontrer que, pour tout $x>0$, $x\ln x⩾x-1$. Avec $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$, on en déduit $\ln 0,5⩾$
   Rédaction attendue. Pour $x>0$, $f\prime (x)=\ln x$ et $f″(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}>0$ : $f$ est convexe sur $]0;+\infty [$. Sa courbe est donc au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de sa tangente en $1$, d’équation $y=-1$. Ainsi, pour tout $x>0$, $x\ln x-x⩾-1$, c’est-à-dire $x\ln x⩾x-1$. Avec $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 0,5⩾-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $\ln 0,5⩾-1$ (en effet $\ln 0,5\approx -0,693$).

Une fonction $g$ est deux fois dérivable sur $[-4;3]$ ; $g″$ ne s’annule qu’en $-2$ et en $1$, et son signe est donné ci-dessous.

1. $g$ est concave sur $[a;b]$, le plus grand possible, avec $a=$ et $b=$
   La convexité se lit sur le signe de $g″$ : $g″(x)⩽0$ sur $[-2;1]$, donc $g$ est concave sur $[-2;1]$ ; elle est convexe sur $[-4;-2]$ et sur $[1;3]$.
2. Nombre de points d’inflexion de la courbe de $g$ :
   $g″$ s’annule en $-2$ (de $+$ à $-$) et en $1$ (de $-$ à $+$) en changeant de signe : deux points d’inflexion, d’abscisses $-2$ et $1$.
3. Sur $[1;3]$, la dérivée $g\prime$ est (croissante ou décroissante)
   $g″$ est la dérivée de $g\prime$. Comme $g″(x)⩾0$ sur $[1;3]$, $g\prime$ y est croissante : c’est une autre façon de dire que $g$ est convexe sur cet intervalle.

Une fonction $h$ est deux fois dérivable sur $[-2;6]$. Sa dérivée $h\prime$ est strictement décroissante sur $[-2;1]$ et strictement croissante sur $[1;6]$ :

1. Abscisse du point d’inflexion de la courbe de $h$ :
   $h\prime$ est décroissante sur $[-2;1]$ : $h$ y est concave ; $h\prime$ est croissante sur $[1;6]$ : $h$ y est convexe. La convexité change en $1$ : point d’inflexion d’abscisse $1$.
2. Coefficient directeur de la tangente en ce point :
   C’est le nombre dérivé $h\prime (1)=-3$ : la tangente au point d’inflexion n’est pas horizontale.
3. Nombre d’extremums locaux de $h$ sur $[-2;6]$ :
   Les extremums de $h$ viennent des changements de signe de $h\prime$. Sur $[-2;1]$, $h\prime$ est continue, strictement décroissante, de $5$ à $-3$ : elle s’annule une fois, de $+$ à $-$ (maximum local). Sur $[1;6]$, elle passe de $-3$ à $9$ en croissant : elle s’annule une fois, de $-$ à $+$ (minimum local). Deux extremums.

Une fonction $f$ est deux fois dérivable sur $[-2;4]$. Voici la courbe de sa dérivée $f\prime$.

1. $f$ est convexe sur $[-2;a]$, le plus grand possible, avec $a=$
   Sur la courbe, $f\prime$ monte de $-2$ jusqu’à $1$, puis descend : $f\prime$ est croissante sur $[-2;1]$, donc $f$ y est convexe ; elle est concave sur $[1;4]$.
2. Abscisse du point où $f$ atteint un minimum local :
   Le signe de $f\prime$ donne les variations de $f$ : $f\prime$ est négative sur $[-2;-1]$ et positive sur $[-1;3]$. $f$ décroît puis croît : minimum local en $-1$.
3. Abscisse du point où $f$ atteint un maximum local :
   $f\prime$ est positive sur $[-1;3]$ et négative sur $[3;4]$ : $f$ croît puis décroît, maximum local en $3$.
4. Justifier que la courbe de $f$ admet un point d’inflexion et donner le coefficient directeur de la tangente en ce point :
   Rédaction attendue. D’après la courbe, $f\prime$ est croissante sur $[-2;1]$ et décroissante sur $[1;4]$. Or $f$ est convexe là où $f\prime$ est croissante et concave là où $f\prime$ est décroissante : $f$ est convexe sur $[-2;1]$ et concave sur $[1;4]$. La courbe change de convexité au point d’abscisse $1$ : c’est un point d’inflexion. Le coefficient directeur de la tangente en ce point est $f\prime (1)$, maximum de $f\prime$, que l’on lit : $f\prime (1)=4$.

Une fonction $f$ est deux fois dérivable sur $[-4;4]$. On sait que $f″$ est négative sur $[-4;-1[$, s’annule en $-1$, est positive sur $]-1;2[$, s’annule en $2$ et reste positive sur $]2;4]$. De plus $f(-1)=0$ et $f\prime (-1)=3$.

1. Nombre de points d’inflexion de la courbe de $f$ :
   $f″$ change de signe en $-1$ (de $-$ à $+$) mais pas en $2$ (elle est positive de part et d’autre) : un seul point d’inflexion, d’abscisse $-1$.
2. Démontrer que le point d’abscisse $2$ n’est pas un point d’inflexion. Contrôle : $f$ est convexe sur $[a;4]$, le plus grand possible, avec $a=$
   Rédaction attendue. $f″(2)=0$, mais $f″$ est positive sur $]-1;2[$ et sur $]2;4]$ : elle ne change pas de signe en $2$. La courbe ne change donc pas de convexité en ce point, qui n’est pas un point d’inflexion. Comme $f″(x)⩾0$ sur tout $[-1;4]$ (une annulation isolée ne compte pas), $f$ est convexe sur $[-1;4]$, et concave sur $[-4;-1]$ où $f″⩽0$.
3. La tangente au point d’inflexion a pour équation $y=3x+p$ avec $p=$
   $y=f\prime (-1)(x+1)+f(-1)$ $=3(x+1)+0$ $=3x+3$.
4. En utilisant la concavité de $f$ sur $[-4;-1]$ : $f(-3)⩽$
   Sur $[-4;-1]$, $f$ est concave : sa courbe est au-dessous de sa tangente au point d’abscisse $-1$. Donc $f(-3)⩽3\times (-3)+3=-6$.

Le coût total de production de $q$ tonnes d’engrais, $q\in [0;15]$, est $C(q)=q^3-18q^2+120q+40$, en milliers d’euros.

1. $C″(q)=6q-$
   $C\prime (q)=3q^2-36q+120$ (le coût marginal), puis $C″(q)=6q-36$.
2. Les rendements sont croissants sur $[0;b]$, le plus grand possible, avec $b=$
   $C″(q)⩽0⟺q⩽6$ : $C$ est concave sur $[0;6]$, le coût marginal y décroît, les rendements sont croissants. Ils sont décroissants sur $[6;15]$.
3. Valeur minimale du coût marginal $C\prime$, en milliers d’euros par tonne :
   $C\prime$ décroît sur $[0;6]$ puis croît : son minimum est $C\prime (6)$ $=3\times 36-36\times 6+120$ $=108-216+120$ $=12$.

La hauteur d’un plant de tournesol, en cm, $t$ jours après sa sortie de terre, est modélisée sur $[0;60]$ par $h(t)=-0,001t^3+0,09t^2+5$. On admet que $h$ est croissante sur $[0;60]$.

1. La croissance est la plus rapide au jour $t=$
   La vitesse de croissance est $h\prime (t)=-0,003t^2+0,18t$ et $h″(t)=-0,006t+0,18$, positive avant $30$ et négative après. $h\prime$ croît puis décroît : elle est maximale en $t=30$, abscisse du point d’inflexion.
2. Vitesse de croissance maximale, en cm par jour :
   $h\prime (30)$ $=-0,003\times 900+0,18\times 30$ $=-2,7+5,4$ $=2,7$ cm par jour.
3. Hauteur du plant à cet instant, en cm :
   $h(30)$ $=-0,001\times 27000+0,09\times 900+5$ $=-27+81+5$ $=59$ cm. Ensuite le plant continue de grandir, mais de moins en moins vite ($h$ concave).

La production de blé d’une exploitation, en tonnes, en fonction de la masse $x$ d’engrais épandue (en tonnes, $x>0$) est modélisée par $R(x)=20\sqrt{x}$.

1. $R\prime (4)=$
   $R\prime (x)=20\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{x}}}$, donc $R\prime (4)={\displaystyle \frac{10}{2}}=5$ : vers $4$ tonnes d’engrais, une tonne de plus rapporte environ $5$ tonnes de blé.
2. $R\prime (25)=$
   $R\prime (25)={\displaystyle \frac{10}{5}}=2$ : vers $25$ tonnes d’engrais, une tonne de plus ne rapporte plus qu’environ $2$ tonnes de blé.
3. Démontrer que $R$ est concave sur $]0;+\infty [$ et interpréter. Contrôle : $R″(1)=$
   Rédaction attendue. $R\prime (x)={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{x}}}$ est de la forme ${\displaystyle \frac{10}{v}}$ avec $v(x)=\sqrt{x}$, donc $R″(x)$ $=-{\displaystyle \frac{10v\prime (x)}{v(x{)}^2}}$ $=-10\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$ $=-{\displaystyle \frac{5}{x\sqrt{x}}}$. Pour $x>0$, $x\sqrt{x}>0$, donc $R″(x)<0$ : $R$ est concave sur $]0;+\infty [$. Interprétation : $R$ est croissante mais $R\prime$ décroît ; chaque tonne d’engrais supplémentaire augmente la production de moins en moins (rendements décroissants de l’engrais). Contrôle : $R″(1)=-5$.

Un drone décolle verticalement. Son altitude, en mètres, $t$ secondes après le décollage, est $z(t)=0,1t^3-1,5t^2+8t$ pour $t\in [0;10]$. Sa vitesse est $v(t)=z\prime (t)$ (en m/s) et son accélération $a(t)=z″(t)$.

1. Démontrer que le drone monte sans jamais s’arrêter sur $[0;10]$. Contrôle : $v(0)=$
   Rédaction attendue. $v(t)=z\prime (t)=0,3t^2-3t+8$. C’est un trinôme de discriminant $\Delta =9-4\times 0,3\times 8=9-9,6=-0,6<0$ : il ne s’annule pas et garde le signe de son coefficient dominant $0,3>0$. Donc $v(t)>0$ pour tout $t$ : $z$ est strictement croissante, le drone monte sans s’arrêter. Contrôle : $v(0)=8$ m/s.
2. La courbe de $z$ a un point d’inflexion à l’instant $t=$
   $a(t)=z″(t)=0,6t-3$ s’annule en $t=5$ en changeant de signe (négative avant, positive après) : $z$ est concave sur $[0;5]$, convexe sur $[5;10]$.
3. Altitude du drone à cet instant, en m :
   $z(5)$ $=0,1\times 125-1,5\times 25+8\times 5$ $=12,5-37,5+40$ $=15$ m.
4. Vitesse minimale du drone, en m/s :
   $v\prime =a$ est négative sur $[0;5]$ puis positive : $v$ décroît puis croît, minimum en $t=5$. $v(5)$ $=0,3\times 25-15+8$ $=7,5-15+8$ $=0,5$ m/s. Au point d’inflexion, le drone est au plus lent, puis il réaccélère.