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Fonction logarithme népérien

Définition comme réciproque de l'exponentielle, propriétés algébriques, dérivée, variations, limites et résolution d'équations et d'inéquations

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Fonction logarithme népérien » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en maths complémentaires (option tle). Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel : ln, réciproque de l'exponentielle, Propriétés algébriques du logarithme, Dérivée de ln et de ln(ax + b), variations, Limites et courbe de la fonction logarithme. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser maths complémentaires (option tle) en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Propriétés algébriques

Facile

On donne $\ln 2 \approx 0, 693$ et $\ln 3 \approx 1, 099$ .

a) Exprimer $\ln 18$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ , puis en donner une valeur approchée.
b) Exprimer $\ln \frac{16}{27}$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ .
c) Exprimer $\ln \sqrt{6}$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ .
d) Calculer $B = \ln (e^{- 3}) + e^{\ln 11}$ .

a) $18 = 2 \times 3^{2}$ , donc $\ln 18 = \ln 2 + \ln (3^{2}) = \ln 2 + 2 \ln 3$ (propriétés $\ln (a b)$ et $\ln (a^{n})$ ). Numériquement : $0, 693 + 2 \times 1, 099 = 2, 891$ . $\ln 18 = \ln 2 + 2 \ln 3 \approx 2, 89$ .

b) $16 = 2^{4}$ et $27 = 3^{3}$ . Par la propriété du quotient : $\ln \frac{16}{27} = \ln (2^{4}) - \ln (3^{3})$ , soit $\ln \frac{16}{27} = 4 \ln 2 - 3 \ln 3$ (valeur négative, cohérente avec $\frac{16}{27} < 1$ ).

c) $\ln \sqrt{6} = \frac{1}{2} \ln 6 = \frac{1}{2} \ln (2 \times 3)$ , donc $\ln \sqrt{6} = \frac{1}{2} (\ln 2 + \ln 3)$ .

d) $\ln (e^{y}) = y$ pour tout réel $y$ , donc $\ln (e^{- 3}) = - 3$ . $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ , donc $e^{\ln 11} = 11$ . Ainsi $B = - 3 + 11 = 8$ .

Exercice 2 — Équations élémentaires

Facile

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes. Donner la valeur exacte de chaque solution, puis une valeur approchée à $10^{- 3}$ près.

a) $\ln x = - 1, 5$
b) $e^{x} = 13$
c) $\ln (5 x) = \ln 40$
d) $e^{2 x} = 0, 3$

a) L'équation a un sens pour $x > 0$ . $\ln x = - 1, 5 \Leftrightarrow x = e^{- 1, 5}$ , qui est bien strictement positif. $S = {e^{- 1, 5}}$ , avec $e^{- 1, 5} \approx 0, 223$ .

b) $13 > 0$ , donc $e^{x} = 13 \Leftrightarrow x = \ln 13$ . $S = {\ln 13}$ , avec $\ln 13 \approx 2, 565$ .

c) L'équation a un sens pour $5 x > 0$ , soit $x > 0$ . Comme $\ln$ est strictement croissante, $\ln (5 x) = \ln 40 \Leftrightarrow 5 x = 40 \Leftrightarrow x = 8$ , et $8 > 0$ . $S = {8}$ .

d) $0, 3 > 0$ , donc $e^{2 x} = 0, 3 \Leftrightarrow 2 x = \ln 0, 3 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \ln 0, 3$ . $S = {\frac{1}{2} \ln 0, 3}$ , avec $\frac{1}{2} \ln 0, 3 \approx - 0, 602$ .

Exercice 3 — Calculs de dérivées

Facile

Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction sur l'intervalle $I$ indiqué.

a) $f (x) = 3 \ln x - 2 x$ , $I =] 0; + \infty [$
b) $g (x) = x \ln x$ , $I =] 0; + \infty [$
c) $h (x) = \ln (5 x + 4)$ , $I =] - \frac{4}{5}; + \infty [$ ; justifier d'abord que $h$ est définie sur $I$ .
d) $k (x) = \frac{\ln x}{x}$ , $I =] 0; + \infty [$

a) $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ et $(2 x)^{'} = 2$ , donc $f^{'} (x) = \frac{3}{x} - 2 = \frac{3 - 2 x}{x}$ .

b) Produit $u v$ avec $u (x) = x$ , $v (x) = \ln x$ : $u^{'} (x) = 1$ , $v^{'} (x) = \frac{1}{x}$ . $g^{'} (x) = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x}$ , soit $g^{'} (x) = \ln x + 1$ .

c) Pour $x > - \frac{4}{5}$ , $5 x > - 4$ donc $5 x + 4 > 0$ : $h$ est définie sur $I$ . Avec $(\ln (a x + b))^{'} = \frac{a}{a x + b}$ pour $a = 5$ , $b = 4$ : $h^{'} (x) = \frac{5}{5 x + 4}$ .

d) Quotient $\frac{u}{v}$ avec $u (x) = \ln x$ , $v (x) = x$ : $k^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^{2}}$ , soit $k^{'} (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ .

Exercice 4 — Inéquations

Moyen

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes.

a) $\ln x \leq 2, 5$
b) $\ln (3 - x) > 0$
c) $e^{0, 4 x} \geq 6$
d) $\ln (x + 2) < \ln (2 x - 5)$

a) L'inéquation a un sens pour $x > 0$ . $\ln x \leq 2, 5 \Leftrightarrow \ln x \leq \ln (e^{2, 5}) \Leftrightarrow x \leq e^{2, 5}$ par stricte croissance de $\ln$ . $S =] 0; e^{2, 5}]$ , avec $e^{2, 5} \approx 12, 18$ .

b) Condition : $3 - x > 0$ , soit $x < 3$ . $\ln (3 - x) > 0 = \ln 1 \Leftrightarrow 3 - x > 1 \Leftrightarrow x < 2$ . Les deux conditions donnent $S =] - \infty; 2 [$ .

c) $\ln$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ : $e^{0, 4 x} \geq 6 \Leftrightarrow 0, 4 x \geq \ln 6 \Leftrightarrow x \geq \frac{\ln 6}{0, 4}$ . $S = [2, 5 \ln 6; + \infty [$ , avec $2, 5 \ln 6 \approx 4, 479$ .

d) Conditions : $x + 2 > 0$ et $2 x - 5 > 0$ , soit $x > - 2$ et $x > 2, 5$ , donc $x > 2, 5$ . Alors $\ln (x + 2) < \ln (2 x - 5) \Leftrightarrow x + 2 < 2 x - 5 \Leftrightarrow x > 7$ . Comme $7 > 2, 5$ : $S =] 7; + \infty [$ .

Exercice 5 — Placement à intérêts composés

Moyen

Un capital de $3 200$ € est placé au taux annuel de $2, 4 %$ , à intérêts composés. On note $C_{n}$ le capital, en euros, au bout de $n$ années : $C_{n} = 3 200 \times 1, 024^{n}$ .

a) Calculer le capital au bout de 10 ans, arrondi au centime.
b) Déterminer par le calcul au bout de combien d'années le capital atteint au moins $5 000$ €.
c) Déterminer le temps de doublement de ce capital.
d) Pour la question b), un élève écrit : « $1, 024^{n} \geq 1, 5625 \Leftrightarrow n \geq \frac{1, 5625}{1, 024}$ ». Expliquer son erreur.

a) $C_{10} = 3 200 \times 1, 024^{10} \approx 3 200 \times 1, 267 65$ , soit $C_{10} \approx 4 056, 49$ €.

b) $C_{n} \geq 5 000 \Leftrightarrow 1, 024^{n} \geq \frac{5 000}{3 200} = 1, 5625$ . La fonction $\ln$ étant strictement croissante : $n \ln 1, 024 \geq \ln 1, 5625$ . Or $\ln 1, 024 > 0$ (car $1, 024 > 1$ ), donc $n \geq \frac{\ln 1, 5625}{\ln 1, 024} \approx 18, 82$ . Le plus petit entier est $19$ . Contrôle : $C_{18} \approx 4 904$ € et $C_{19} \approx 5 022$ €. Le capital atteint 5 000 € au bout de 19 ans.

c) $C_{n} \geq 6 400 \Leftrightarrow 1, 024^{n} \geq 2 \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1, 024} \approx 29, 23$ . Le capital a doublé au bout de 30 ans.

d) L'élève traite l'exposant $n$ comme un facteur : $1, 024^{n}$ n'est pas $n \times 1, 024$ . Pour « descendre » l'exposant, il faut appliquer $\ln$ : $\ln (1, 024^{n}) = n \ln 1, 024$ . Sa valeur $\frac{1, 5625}{1, 024} \approx 1, 53$ conduirait à $n = 2$ , absurde puisque $C_{2} \approx 3 355$ €.

Exercice 6 — Étude de $f (x) = 2 x - 5 \ln x$

Moyen

Soit $f$ la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = 2 x - 5 \ln x$ .

a) Déterminer la limite de $f$ en $0$ .
b) Montrer que pour tout $x > 0$ , $f^{'} (x) = \frac{2 x - 5}{x}$ .
c) Dresser le tableau de variations de $f$ et donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{- 3}$ de son minimum.
d) En déduire que pour tout réel $x > 0$ , $5 \ln x < 2 x$ .

a) ${lim}_{x \to 0^{+}} 2 x = 0$ et ${lim}_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty$ , donc $- 5 \ln x \to + \infty$ . Par somme, ${lim}_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty$ .

b) $f^{'} (x) = 2 - 5 \times \frac{1}{x} = \frac{2 x}{x} - \frac{5}{x}$ , donc $f^{'} (x) = \frac{2 x - 5}{x}$ .

c) Sur $] 0; + \infty [$ , $x > 0$ : $f^{'} (x)$ a le signe de $2 x - 5$ , négatif pour $x < \frac{5}{2}$ , positif pour $x > \frac{5}{2}$ .

$x$	$0$		$\frac{5}{2}$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$
$f$	$+ \infty$	décroissante	$5 - 5 \ln \frac{5}{2}$	croissante

Le minimum vaut $f (\frac{5}{2}) = 5 - 5 \ln \frac{5}{2} = 5 - 5 (\ln 5 - \ln 2)$ , soit $5 - 5 \ln 2, 5 \approx 0, 419$ .

d) Pour tout $x > 0$ , $f (x) \geq f (\frac{5}{2}) \approx 0, 419 > 0$ . Donc $2 x - 5 \ln x > 0$ , c'est-à-dire $5 \ln x < 2 x$ pour tout $x > 0$ .

Exercice 7 — Une fonction décroissante : $g (x) = \ln (6 - 2 x)$

Moyen

On considère la fonction $g$ définie par $g (x) = \ln (6 - 2 x)$ .

a) Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $g$ .
b) Déterminer les limites de $g$ aux bornes de $D$ .
c) Calculer $g^{'} (x)$ et en déduire le sens de variation de $g$ sur $D$ .
d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $2$ .
e) Résoudre dans $D$ l'inéquation $g (x) \geq 1$ .

a) $g (x)$ existe si et seulement si $6 - 2 x > 0 \Leftrightarrow x < 3$ . $D =] - \infty; 3 [$ .

b) Quand $x \to - \infty$ , $6 - 2 x \to + \infty$ , et $\ln X \to + \infty$ quand $X \to + \infty$ : $g (x) \to + \infty$ . Quand $x \to 3^{-}$ , $6 - 2 x \to 0^{+}$ , et $\ln X \to - \infty$ quand $X \to 0^{+}$ : $g (x) \to - \infty$ .

c) Avec $(\ln (a x + b))^{'} = \frac{a}{a x + b}$ , $a = - 2$ , $b = 6$ : $g^{'} (x) = \frac{- 2}{6 - 2 x}$ . Sur $D$ , $6 - 2 x > 0$ , donc $g^{'} (x) < 0$ : $g$ est strictement décroissante sur $D$ .

d) $g (2) = \ln 2$ et $g^{'} (2) = \frac{- 2}{2} = - 1$ . Tangente : $y = g^{'} (2) (x - 2) + g (2) = - (x - 2) + \ln 2$ , soit $y = - x + 2 + \ln 2$ .

e) Sur $D$ : $\ln (6 - 2 x) \geq 1 = \ln e \Leftrightarrow 6 - 2 x \geq e \Leftrightarrow x \leq \frac{6 - e}{2}$ . Comme $\frac{6 - e}{2} \approx 1, 641 < 3$ : $S =] - \infty; \frac{6 - e}{2}]$ .

Exercice 8 — Équations à transformer

Difficile

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes.

a) $\ln (x - 1) + \ln (x + 3) = \ln 21$
b) Pour l'équation a), un élève écrit : « elle équivaut à $(x - 1) + (x + 3) = 21$ , donc $x = 9, 5$ ». Expliquer son erreur et vérifier que $9, 5$ n'est pas solution.
c) $(\ln x)^{2} - 6 \ln x + 5 = 0$
d) $e^{2 x} - 7 e^{x} + 12 = 0$

a) Conditions : $x - 1 > 0$ et $x + 3 > 0$ , soit $x > 1$ . Sur $] 1; + \infty [$ , $\ln (x - 1) + \ln (x + 3) = \ln ((x - 1) (x + 3))$ . L'équation devient $(x - 1) (x + 3) = 21$ , soit $x^{2} + 2 x - 24 = 0$ , soit $(x + 6) (x - 4) = 0$ . Racines : $- 6$ et $4$ . Seule $4$ vérifie $x > 1$ . $S = {4}$ . Vérification : $\ln 3 + \ln 7 = \ln 21$ .

b) L'élève a « remplacé » $\ln (x - 1) + \ln (x + 3)$ par $\ln ((x - 1) + (x + 3))$ : une somme de logarithmes est le logarithme d'un produit, pas d'une somme. Pour $x = 9, 5$ : $\ln 8, 5 + \ln 12, 5 = \ln 106, 25 \neq \ln 21$ . $9, 5$ n'est pas solution.

c) Condition $x > 0$ . On pose $X = \ln x$ : $X^{2} - 6 X + 5 = 0$ , de discriminant $36 - 20 = 16$ , d'où $X = \frac{6 - 4}{2} = 1$ ou $X = \frac{6 + 4}{2} = 5$ . Donc $\ln x = 1$ ou $\ln x = 5$ , soit $x = e$ ou $x = e^{5}$ , tous deux strictement positifs. $S = {e; e^{5}}$ , avec $e^{5} \approx 148, 41$ .

d) On pose $X = e^{x}$ , avec $X > 0$ : $X^{2} - 7 X + 12 = 0 \Leftrightarrow (X - 3) (X - 4) = 0$ . Donc $e^{x} = 3$ ou $e^{x} = 4$ (valeurs positives, acceptables), soit $x = \ln 3$ ou $x = \ln 4 = 2 \ln 2$ . $S = {\ln 3; 2 \ln 2}$ .

Exercice 9 — Grands nombres et seuils

Difficile

On utilisera la calculatrice pour les valeurs approchées des logarithmes.

a) Montrer que $2^{100} > 3^{63}$ .
b) Déterminer le nombre de chiffres de l'écriture décimale de $3^{200}$ .
c) Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $0, 97^{n} < 10^{- 4}$ .
d) On répète $n$ fois, de façon indépendante, une expérience dont la probabilité de succès est $0, 4$ . Déterminer le plus petit $n$ pour lequel la probabilité d'obtenir au moins un succès est supérieure ou égale à $0, 999$ .

a) Les deux nombres sont strictement positifs et $\ln$ est strictement croissante : il suffit de comparer leurs logarithmes. $\ln (2^{100}) = 100 \ln 2 \approx 69, 315$ et $\ln (3^{63}) = 63 \ln 3 \approx 69, 213$ . Donc $\ln (2^{100}) > \ln (3^{63})$ , d'où $2^{100} > 3^{63}$ .

b) $\log (3^{200}) = 200 \log 3 = 200 \times \frac{\ln 3}{\ln 10} \approx 95, 42$ . Donc $95 \leq \log (3^{200}) < 96$ , soit $10^{95} \leq 3^{200} < 10^{96}$ . $3^{200}$ s'écrit avec 96 chiffres.

c) $0, 97^{n} < 10^{- 4} \Leftrightarrow n \ln 0, 97 < \ln (10^{- 4})$ . Or $\ln 0, 97 < 0$ : en divisant, le sens change, $n > \frac{- 4 \ln 10}{\ln 0, 97} \approx 302, 4$ . $n = 303$ .

d) La probabilité de n'obtenir aucun succès en $n$ essais indépendants est $0, 6^{n}$ ; celle d'au moins un succès est $1 - 0, 6^{n}$ . $1 - 0, 6^{n} \geq 0, 999 \Leftrightarrow 0, 6^{n} \leq 0, 001 \Leftrightarrow n \ln 0, 6 \leq \ln 0, 001$ . Comme $\ln 0, 6 < 0$ : $n \geq \frac{\ln 0, 001}{\ln 0, 6} \approx 13, 52$ . Il faut au moins 14 répétitions (contrôle : $0, 6^{13} \approx 0, 0013$ et $0, 6^{14} \approx 0, 000 78$ ).

Exercice 10 — Étude de $f (x) = (\ln x)^{2} - 2 \ln x$

Difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = (\ln x)^{2} - 2 \ln x$ .

a) Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$ .
b) Montrer que pour tout $x > 0$ , $f^{'} (x) = \frac{2 (\ln x - 1)}{x}$ .
c) Étudier les variations de $f$ et préciser son minimum.
d) Résoudre $f (x) = 0$ , puis $f (x) \leq 0$ .

a) On factorise : $f (x) = \ln x (\ln x - 2)$ . En $0^{+}$ : $\ln x \to - \infty$ et $\ln x - 2 \to - \infty$ , donc par produit $f (x) \to + \infty$ . En $+ \infty$ : $\ln x \to + \infty$ et $\ln x - 2 \to + \infty$ , donc $f (x) \to + \infty$ .

b) Avec $(u^{2})^{'} = 2 u u^{'}$ et $u = \ln x$ : $((\ln x)^{2})^{'} = 2 \ln x \times \frac{1}{x}$ . Donc $f^{'} (x) = \frac{2 \ln x}{x} - \frac{2}{x} = \frac{2 (\ln x - 1)}{x}$ . C'est l'expression demandée.

c) Pour $x > 0$ , $f^{'} (x)$ a le signe de $\ln x - 1$ . Or $\ln x - 1 < 0 \Leftrightarrow \ln x < 1 \Leftrightarrow x < e$ . Donc $f$ est décroissante sur $] 0; e]$ et croissante sur $[e; + \infty [$ . Minimum : $f (e) = 1^{2} - 2 \times 1$ , soit $f (e) = - 1$ .

d) $f (x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = 0$ ou $\ln x = 2 \Leftrightarrow x = 1$ ou $x = e^{2}$ . $S = {1; e^{2}}$ . Le produit $\ln x (\ln x - 2)$ est négatif ou nul quand ses facteurs sont de signes contraires, c'est-à-dire $0 \leq \ln x \leq 2$ , soit $1 \leq x \leq e^{2}$ . $f (x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in [1; e^{2}]$ ( $e^{2} \approx 7, 39$ ), en accord avec le minimum négatif atteint en $e$ .

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Fonction logarithme népérien

Exercice 1 — Propriétés algébriques

Exercice 2 — Équations élémentaires

Exercice 3 — Calculs de dérivées

Exercice 4 — Inéquations

Exercice 5 — Placement à intérêts composés

Exercice 6 — Étude de f(x)=2x−5lnx

Exercice 7 — Une fonction décroissante : g(x)=ln(6−2x)

Exercice 8 — Équations à transformer

Exercice 9 — Grands nombres et seuils

Exercice 10 — Étude de f(x)=(lnx)2−2lnx

Exercice 6 — Étude de $f (x) = 2 x - 5 \ln x$

Exercice 7 — Une fonction décroissante : $g (x) = \ln (6 - 2 x)$

Exercice 10 — Étude de $f (x) = (\ln x)^{2} - 2 \ln x$