Fonction logarithme népérien

Écrire chaque nombre sous la forme $e^k$ et donner l’entier $k$.

1. $e^4\times e^{-7}=e^k$ : $k=$
   Produit : $e^a\times e^b=e^{a+b}$, donc $e^4\times e^{-7}=e^{4+(-7)}=e^{-3}$ : $k=-3$.
2. ${\displaystyle \frac{e^9}{e^3}}=e^k$ : $k=$
   Quotient : ${\displaystyle \frac{e^a}{e^b}}=e^{a-b}$, donc ${\displaystyle \frac{e^9}{e^3}}=e^{9-3}=e^6$ : $k=6$.
3. ${\left(e^{-2}\right)}^5=e^k$ : $k=$
   Puissance : ${\left(e^a\right)}^n=e^{na}$, donc ${\left(e^{-2}\right)}^5=e^{-10}$ : $k=-10$.
4. ${\displaystyle \frac{1}{e^{-8}}}=e^k$ : $k=$
   Inverse : ${\displaystyle \frac{1}{e^b}}=e^{-b}$, donc ${\displaystyle \frac{1}{e^{-8}}}=e^8$ : $k=8$.

Résoudre en comparant les exposants.

1. $e^{3x+2}=e^{x-6}$ : $x=$
   $e^a=e^b⟺a=b$ : $3x+2=x-6⟺2x=-8⟺x=-4$.
2. L’équation $e^{x^2}=e^{4x}$ a deux solutions : $0$ et
   $x^2=4x⟺x(x-4)=0⟺x=0$ ou $x=4$.
3. $e^{5-2x}⩽e^{x+11}$ : $𝒮=[a;+\infty [$ avec $a=$
   La fonction exponentielle est strictement croissante : $5-2x⩽x+11⟺-6⩽3x⟺x⩾-2$. $𝒮=[-2;+\infty [$.

Calculs et démonstration.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $e^x(e^x+3e^{-x})-e^{2x}$ est une constante $c$ : $c=$
   Rédaction attendue. Soit $x$ un réel. On développe : $e^x(e^x+3e^{-x})=e^x\times e^x+3e^x\times e^{-x}$. D’après la propriété $e^a\times e^b=e^{a+b}$ : $e^x\times e^x=e^{2x}$ et $e^x\times e^{-x}=e^0=1$. Donc $e^x(e^x+3e^{-x})-e^{2x}=e^{2x}+3-e^{2x}=3$ pour tout réel $x$ : c’est une constante, $c=3$.
2. $f(x)=(2x-7)e^x$ est strictement négative pour $x<$
   $e^x>0$ pour tout $x$ : $f(x)$ a le signe de $2x-7$, strictement négatif pour $x<{\displaystyle \frac{7}{2}}$, soit $x<3,5$.
3. $e^{2x}=e$ : $x=$
   $e=e^1$, donc $e^{2x}=e^1⟺2x=1⟺x=0,5$.

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=3e^{-0,25n}$.

1. $u_0=$
   $u_0=3e^0=3\times 1=3$.
2. Démontrer que $(u_n)$ est géométrique. Sa raison s’écrit $e^k$ avec $k=$
   Rédaction attendue. Pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=3e^{-0,25(n+1)}=3e^{-0,25n-0,25}$ $=3e^{-0,25n}\times e^{-0,25}=e^{-0,25}\times u_n$ (propriété $e^{a+b}=e^a{e}^b$). La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $e^{-0,25}$ et de premier terme $u_0=3$ : $k=-0,25$.
3. Valeur approchée de la raison au centième :
   $e^{-0,25}\approx 0,779$, soit $0,78$ au centième : la raison est comprise entre $0$ et $1$.
4. $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n=$
   La raison $e^{-0,25}$ vérifie $0<e^{-0,25}<1$ (car $-0,25<0$) : ${\left(e^{-0,25}\right)}^n$ tend vers $0$ et, par produit par $3$, $lim{u}_n=0$ (chapitre Limites de suites).

Donner la valeur exacte (un nombre).

1. $\ln \left(e^7\right)=$
   $\ln \left(e^y\right)=y$ pour tout réel $y$ : $\ln \left(e^7\right)=7$.
2. $B=\ln \left(e^{-3}\right)+e^{\ln 14}$ : $B=$
   $\ln \left(e^{-3}\right)=-3$ et $e^{\ln 14}=14$ (car $14>0$). Donc $B=-3+14=11$.
3. $\ln {\displaystyle \frac{1}{e}}=$
   ${\displaystyle \frac{1}{e}}=e^{-1}$, donc $\ln {\displaystyle \frac{1}{e}}=\ln \left(e^{-1}\right)=-1$.
4. $\ln (e^6\times e^{-8})=$
   $e^6\times e^{-8}=e^{6+(-8)}=e^{-2}$, donc $\ln \left(e^{-2}\right)=-2$.

Résoudre dans $ℝ$ et donner une valeur approchée au millième de la solution.

1. $\ln x=-1,5$ : $x\approx$
   L’équation a un sens pour $x>0$. $\ln x=-1,5⟺x=e^{-1,5}$, qui est bien strictement positif. $𝒮=\left\{e^{-1,5}\right\}$, avec $e^{-1,5}\approx 0,223$.
2. $e^x=13$ : $x\approx$
   $13>0$, donc $e^x=13⟺x=\ln 13$. $𝒮=\{\ln 13\}$, avec $\ln 13\approx 2,565$.
3. $e^{2x}=0,3$ : $x\approx$
   $0,3>0$, donc $e^{2x}=0,3⟺2x=\ln 0,3⟺x={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 0,3$. Valeur approchée : $-0,602$ (négative, car $0,3<1$).
4. $e^x=-2$ : nombre de solutions
   Une exponentielle est strictement positive : $e^x=-2$ n’a aucune solution. On n’écrit jamais $x=\ln (-2)$, qui n’existe pas.

Exponentielle et logarithme, l’un après l’autre.

1. Démontrer que, pour tout réel $x>0$, $e^{-\ln x}={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Contrôle : $e^{-\ln 5}=$
   Rédaction attendue. Soit $x>0$. D’après la propriété $e^{-a}={\displaystyle \frac{1}{e^a}}$, on a $e^{-\ln x}={\displaystyle \frac{1}{e^{\ln x}}}$. Or $e^{\ln x}=x$ car $x>0$. Donc $e^{-\ln x}={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Contrôle : $e^{-\ln 5}={\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2$.
2. $e^{x+1}=5$ : $x=\ln 5-$
   $5>0$, donc $x+1=\ln 5$ et $x=\ln 5-1$ (environ $0,609$).
3. Le point de la courbe de $\ln$ d’ordonnée $1,5$ a pour abscisse ≈ (au centième)
   On cherche $x>0$ tel que $\ln x=1,5$, soit $x=e^{1,5}\approx 4,48$. Le point $(e^{1,5};1,5)$ est le symétrique du point $(1,5;e^{1,5})$ de la courbe de $\exp$.

Une algue invasive couvre $500$ m² d’un lac à l’instant $t=0$. On modélise sa surface, en m², au bout de $t$ mois par $S(t)=500e^{0,35t}$. Réponds avec une virgule.

1. $S(t)=2000⟺e^{0,35t}=$
   $500e^{0,35t}=2000⟺e^{0,35t}={\displaystyle \frac{2000}{500}}=4$.
2. La surface atteint $2000$ m² au bout de $t\approx$ mois (au centième)
   $e^{0,35t}=4⟺0,35t=\ln 4⟺t={\displaystyle \frac{\ln 4}{0,35}}\approx 3,96$ mois.
3. Démontrer que la surface double toutes les $T$ mois, avec $T={\displaystyle \frac{\ln 2}{0,35}}$. Valeur approchée : $T\approx$ mois (au centième)
   Rédaction attendue. Pour tout $t⩾0$ : $S(t+T)=500e^{0,35t+0,35T}=500e^{0,35t}\times e^{0,35T}=S(t)\times e^{0,35T}$. Or $0,35T=\ln 2$, donc $e^{0,35T}=e^{\ln 2}=2$, et $S(t+T)=2S(t)$ : la surface double toutes les $T$ mois, quel que soit l’instant de départ. $T={\displaystyle \frac{\ln 2}{0,35}}\approx 1,98$ mois. Cohérent : passer de $500$ à $2000$ m², c’est doubler deux fois, en $2T\approx 3,96$ mois.

On donne $\ln 2\approx 0,693$ et $\ln 3\approx 1,099$. Écrire chaque nombre sous la forme $a\ln 2+b\ln 3$.

1. $\ln 18$ : $a=$ et $b=$
   $18=2\times 3^2$, donc $\ln 18=\ln 2+\ln \left(3^2\right)=\ln 2+2\ln 3$ (propriétés du produit et de la puissance).
2. $\ln {\displaystyle \frac{16}{27}}$ : $a=$ et $b=$
   $16=2^4$ et $27=3^3$ : $\ln {\displaystyle \frac{16}{27}}=\ln \left(2^4\right)-\ln \left(3^3\right)=4\ln 2-3\ln 3$ (valeur négative, cohérente avec ${\displaystyle \frac{16}{27}}<1$).
3. $\ln \sqrt{6}$ : $a=$ et $b=$
   $\ln \sqrt{6}={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 6={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (2\times 3)$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 3$.
4. Avec les valeurs données, $\ln 18\approx$ (au centième)
   $\ln 18=\ln 2+2\ln 3\approx 0,693+2\times 1,099=2,891$, soit $2,89$ au centième.

Écrire sous la forme $\ln k$ (avec $k$ entier) ou sous la forme d’un entier.

1. $\ln 6+\ln 5-\ln 3=\ln$
   $\ln 6+\ln 5-\ln 3=\ln {\displaystyle \frac{6\times 5}{3}}=\ln 10$.
2. $\ln 12-2\ln 2+\ln 7=\ln$
   $2\ln 2=\ln 4$, donc $\ln 12-\ln 4+\ln 7=\ln {\displaystyle \frac{12\times 7}{4}}=\ln 21$.
3. $\ln 0,25+2\ln 2=$
   $2\ln 2=\ln 4$ et $\ln 0,25+\ln 4=\ln (0,25\times 4)=\ln 1=0$.
4. ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 81-\ln 3=\ln$
   ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 81=\ln \sqrt{81}=\ln 9$, puis $\ln 9-\ln 3=\ln {\displaystyle \frac{9}{3}}=\ln 3$.

Démontrer et simplifier.

1. Démontrer que $\ln (\sqrt{5}+2)+\ln (\sqrt{5}-2)=0$. Le produit $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$ vaut
   Rédaction attendue. Comme $5>4$, $\sqrt{5}>2$ : les deux nombres $\sqrt{5}+2$ et $\sqrt{5}-2$ sont strictement positifs, leurs logarithmes existent. D’après la propriété $\ln a+\ln b=\ln (ab)$ : $\ln (\sqrt{5}+2)+\ln (\sqrt{5}-2)=\ln \left((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\right)$. Or $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)={\left(\sqrt{5}\right)}^2-2^2=5-4=1$. La somme vaut donc $\ln 1=0$.
2. Pour tout $x>0$, $\ln \left(x^3\right)-\ln x=k\ln x$ avec $k=$
   $\ln \left(x^3\right)=3\ln x$ (car $x>0$), donc $\ln \left(x^3\right)-\ln x=3\ln x-\ln x=2\ln x$.
3. $\ln {\displaystyle \frac{e^2}{\sqrt{e}}}=$
   $\ln {\displaystyle \frac{e^2}{\sqrt{e}}}=\ln \left(e^2\right)-\ln \sqrt{e}=2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln e=2-0,5=1,5$.

Comparer $2^{100}$ et $3^{63}$ sans calculer ces très grands nombres (calculatrice pour les logarithmes).

1. $\ln \left(2^{100}\right)\approx$ (au centième)
   $\ln \left(2^{100}\right)=100\ln 2\approx 69,31$.
2. $\ln \left(3^{63}\right)\approx$ (au centième)
   $\ln \left(3^{63}\right)=63\ln 3\approx 69,21$.
3. Démontrer que $2^{100}>3^{63}$. L’écart $\ln \left(2^{100}\right)-\ln \left(3^{63}\right)$ vaut environ (au centième)
   Rédaction attendue. Les nombres $2^{100}$ et $3^{63}$ sont strictement positifs, et la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$ : $2^{100}>3^{63}⟺\ln \left(2^{100}\right)>\ln \left(3^{63}\right)⟺100\ln 2>63\ln 3$. Or $100\ln 2-63\ln 3\approx 0,10>0$. Donc $2^{100}>3^{63}$. L’écart est petit : il faut des valeurs assez précises des logarithmes ($69,315$ contre $69,213$) pour conclure.

Calculer la dérivée de chaque fonction, puis le nombre demandé.

1. $f(x)=3\ln x-2x$ sur $]0;+\infty [$ : $f\prime (2)=$
   $f\prime (x)={\displaystyle \frac{3}{x}}-2={\displaystyle \frac{3-2x}{x}}$, donc $f\prime (2)={\displaystyle \frac{3-4}{2}}=-0,5$.
2. $g(x)=x\ln x$ sur $]0;+\infty [$ : $g\prime \left(e^2\right)=$
   Produit $uv$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln x$ : $g\prime (x)=1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln x+1$. Donc $g\prime \left(e^2\right)=2+1=3$.
3. $k(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}$ sur $]0;+\infty [$ : $k\prime (1)=$
   Quotient : $k\prime (x)={\displaystyle \frac{\frac{1}{x}\times x^2-\ln x\times 2x}{x^4}}={\displaystyle \frac{x(1-2\ln x)}{x^4}}$ $={\displaystyle \frac{1-2\ln x}{x^3}}$. Donc $k\prime (1)={\displaystyle \frac{1-0}{1}}=1$.
4. $h(x)=\ln (5x+4)$ sur $]-{\displaystyle \frac{4}{5}};+\infty [$ : $h\prime (0)=$
   Pour $x>-{\displaystyle \frac{4}{5}}$, $5x+4>0$. Avec ${(\ln (ax+b))}^{\prime }={\displaystyle \frac{a}{ax+b}}$ : $h\prime (x)={\displaystyle \frac{5}{5x+4}}$, donc $h\prime (0)={\displaystyle \frac{5}{4}}=1,25$.

Donner chaque limite. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}(\ln x+3)=$
   $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln x=-\infty$ ; par somme avec $3$, la limite est $-\infty$.
2. $\underset{x\to +\infty }{lim}(2\ln x-5)=$
   $\ln x\to +\infty$, donc $2\ln x\to +\infty$ et, par somme, la limite est $+\infty$.
3. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}(x^2-\ln x)=$
   $x^2\to 0$ et $-\ln x\to +\infty$ : par somme, la limite est $+\infty$.
4. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{1}{\ln x}}=$
   $\ln x\to +\infty$, donc son inverse tend vers $0$.
5. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=$
   ${\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=\ln x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$ avec $\ln x\to -\infty$ et ${\displaystyle \frac{1}{x}}\to +\infty$ : par produit, la limite est $-\infty$. Ce n’est pas une forme indéterminée.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=2x-5\ln x$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=$
   $\underset{x\to 0^{+}}{lim}2x=0$ et $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln x=-\infty$, donc $-5\ln x\to +\infty$. Par somme, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=+\infty$.
2. Démontrer que $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2x-5}{x}}$, puis dresser le tableau de variations de $f$. $f$ admet un minimum en $x=$
   Rédaction attendue. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et $f\prime (x)=2-5\times {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{2x-5}{x}}$. Sur $]0;+\infty [$, $x>0$ : $f\prime (x)$ a le signe de $2x-5$, négatif sur $\left]0;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right[$, nul en ${\displaystyle \frac{5}{2}}$, positif sur $]{\displaystyle \frac{5}{2}};+\infty [$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$ et strictement croissante sur $[{\displaystyle \frac{5}{2}};+\infty [$ : elle admet un minimum en $x=2,5$.
3. Valeur approchée du minimum au millième :
   $f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=5-5\ln {\displaystyle \frac{5}{2}}=5-5(\ln 5-\ln 2)\approx 0,419$. Comme ce minimum est strictement positif, $f(x)>0$ pour tout $x>0$, c’est-à-dire $5\ln x<2x$.

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\ln (8-2x)$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Limite de $g$ en $-\infty$ :
   $g(x)$ existe si $8-2x>0$, soit $x<4$ : $D=]-\infty ;4[$. Quand $x\to -\infty$, $8-2x\to +\infty$, et $\ln X\to +\infty$ quand $X\to +\infty$ : $g(x)\to +\infty$. De même, quand $x\to 4^{-}$, $8-2x\to 0^{+}$, donc $g(x)\to -\infty$.
2. Démontrer que $g$ est strictement décroissante sur son ensemble de définition. $g\prime (x)={\displaystyle \frac{c}{8-2x}}$ avec $c=$
   Rédaction attendue. $g(x)$ existe si et seulement si $8-2x>0$, c’est-à-dire $x<4$ : $D=]-\infty ;4[$. Avec ${(\ln (ax+b))}^{\prime }={\displaystyle \frac{a}{ax+b}}$, où $a=-2$ et $b=8$ : $g\prime (x)={\displaystyle \frac{-2}{8-2x}}$. Sur $D$, $8-2x>0$, donc $g\prime (x)<0$ : $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;4[$.
3. Tangente au point d’abscisse $3$ : $y=-x+3+\ln$
   $g(3)=\ln (8-6)=\ln 2$ et $g\prime (3)={\displaystyle \frac{-2}{2}}=-1$. Tangente : $y=g\prime (3)(x-3)+g(3)$ $=-(x-3)+\ln 2$, soit $y=-x+3+\ln 2$.
4. $g(x)⩾1⟺x⩽$ (au millième)
   Sur $D$ : $\ln (8-2x)⩾1=\ln e⟺8-2x⩾e⟺x⩽{\displaystyle \frac{8-e}{2}}$. Comme ${\displaystyle \frac{8-e}{2}}\approx 2,641<4$, $𝒮=]-\infty ;{\displaystyle \frac{8-e}{2}}]$.

Résoudre dans $ℝ$.

1. $\ln (5x)=\ln 40$ : $x=$
   L’équation a un sens pour $5x>0$, soit $x>0$. Comme $\ln$ est strictement croissante, $\ln (5x)=\ln 40⟺5x=40⟺x=8$, et $8>0$.
2. $\ln (x+4)=\ln (2x+1)$ : $x=$
   Conditions : $x+4>0$ et $2x+1>0$, soit $x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Alors $x+4=2x+1⟺x=3$, qui vérifie bien $x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. $e^{3x}=20$ : $x\approx$ (au millième)
   $20>0$ : $3x=\ln 20$, donc $x={\displaystyle \frac{\ln 20}{3}}\approx 0,999$.
4. $\ln (2x+1)=3$ : $x\approx$ (au centième)
   Condition : $2x+1>0$, soit $x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Alors $2x+1=e^3$, donc $x={\displaystyle \frac{e^3-1}{2}}\approx 9,54$, qui convient.

Résoudre les inéquations.

1. $\ln x⩽2,5$ : $𝒮=]0;b]$ avec $b\approx$ (au centième)
   L’inéquation a un sens pour $x>0$. $\ln x⩽2,5⟺x⩽e^{2,5}$ par stricte croissance de $\exp$. $𝒮=\left]0;e^{2,5}\right]$, avec $e^{2,5}\approx 12,18$.
2. $\ln (3-x)>0$ : $𝒮=]-\infty ;c[$ avec $c=$
   Condition : $3-x>0$, soit $x<3$. Puis $\ln (3-x)>0=\ln 1⟺3-x>1⟺x<2$. $𝒮=]-\infty ;2[$.
3. $e^{0,4x}⩾6$ : $𝒮=[d;+\infty [$ avec $d\approx$ (au millième)
   $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$ : $e^{0,4x}⩾6⟺0,4x⩾\ln 6⟺x⩾{\displaystyle \frac{\ln 6}{0,4}}=2,5\ln 6$, avec $2,5\ln 6\approx 4,479$.
4. $\ln (x+2)<\ln (2x-5)$ : $𝒮=]m;+\infty [$ avec $m=$
   Conditions : $x>-2$ et $x>2,5$, donc $x>2,5$. Alors $x+2<2x-5⟺x>7$. Comme $7>2,5$ : $𝒮=]7;+\infty [$.

Équations à transformer.

1. Résoudre $\ln (x-1)+\ln (x+3)=\ln 21$, en rédigeant. Solution : $x=$
   Rédaction attendue. Conditions : $x-1>0$ et $x+3>0$, soit $x>1$. Sur $]1;+\infty [$, $\ln (x-1)+\ln (x+3)=\ln ((x-1)(x+3))$, et $\ln$ est strictement croissante : l’équation équivaut à $(x-1)(x+3)=21$, soit $x^2+2x-24=0$, soit $(x+6)(x-4)=0$. Les racines sont $-6$ et $4$ ; seule $4$ vérifie $x>1$. $𝒮=\{4\}$. Vérification : $\ln 3+\ln 7=\ln 21$.
2. Un élève écrit : « l’équation précédente équivaut à $(x-1)+(x+3)=21$, donc $x=9,5$ ». Pour $x=9,5$, le membre de gauche vaut $\ln$ (écriture décimale)
   L’élève a remplacé une somme de logarithmes par le logarithme d’une somme : faux, c’est le logarithme d’un produit. Pour $x=9,5$ : $\ln 8,5+\ln 12,5=\ln (8,5\times 12,5)=\ln 106,25\ne \ln 21$. $9,5$ n’est pas solution.
3. $(\ln x{)}^2-6\ln x+5=0$ : la plus grande solution vaut environ (au centième)
   Condition $x>0$. On pose $X=\ln x$ : $X^2-6X+5=0$, de discriminant $36-20=16$, d’où $X=1$ ou $X=5$. Donc $x=e$ ou $x=e^5$ ; la plus grande est $e^5\approx 148,41$.
4. $e^{2x}-7e^x+12=0$ : la plus petite solution vaut environ (au millième)
   On pose $X=e^x>0$ : $X^2-7X+12=0⟺(X-3)(X-4)=0$. Donc $e^x=3$ ou $e^x=4$ : $x=\ln 3$ ou $x=\ln 4=2\ln 2$. La plus petite est $\ln 3\approx 1,099$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=(\ln x{)}^2-2\ln x$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=$
   On factorise : $f(x)=\ln x(\ln x-2)$. En $0^{+}$, $\ln x\to -\infty$ et $\ln x-2\to -\infty$ : par produit, $f(x)\to +\infty$.
2. Démontrer que $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2(\ln x-1)}{x}}$ et étudier les variations de $f$. Le minimum de $f$ vaut
   Rédaction attendue. Avec $(u^2{)}^{\prime }=2uu\prime$ et $u(x)=\ln x$ : ${((\ln x{)}^2)}^{\prime }=2\ln x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$. Donc $f\prime (x)={\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{2(\ln x-1)}{x}}$. Pour $x>0$, $f\prime (x)$ a le signe de $\ln x-1$ : $\ln x-1<0⟺\ln x<1⟺x<e$. Donc $f$ est décroissante sur $]0;e]$ et croissante sur $[e;+\infty [$ ; son minimum est $f(e)=1^2-2\times 1=-1$.
3. Le plus grand réel $x$ tel que $f(x)=0$ vaut environ (au centième)
   $f(x)=0⟺\ln x=0$ ou $\ln x=2⟺x=1$ ou $x=e^2$. Le plus grand est $e^2\approx 7,39$.
4. Nombre d’entiers $x$ tels que $f(x)⩽0$ :
   Le produit $\ln x(\ln x-2)$ est négatif ou nul quand $0⩽\ln x⩽2$, soit $1⩽x⩽e^2$. Les entiers de $[1;e^2]$ (avec $e^2\approx 7,39$) sont $1,2,\dots ,7$ : il y en a $7$.

Déterminer le plus petit entier naturel $n$ qui convient (calculatrice).

1. $2^n>1000$ : $n=$
   $2^n>1000⟺n\ln 2>\ln 1000⟺n>{\displaystyle \frac{\ln 1000}{\ln 2}}$ (car $\ln 2>0$), avec ${\displaystyle \frac{\ln 1000}{\ln 2}}\approx 9,97$. Donc $n=10$ ($2^9=512$, $2^{10}=1024$).
2. $1,2^n⩾5$ : $n=$
   $n\ln 1,2⩾\ln 5⟺n⩾{\displaystyle \frac{\ln 5}{\ln 1,2}}$ (car $\ln 1,2>0$), avec ${\displaystyle \frac{\ln 5}{\ln 1,2}}\approx 8,83$. Donc $n=9$.
3. $0,6^n<0,005$ : $n=$
   $n\ln 0,6<\ln 0,005⟺n>{\displaystyle \frac{\ln 0,005}{\ln 0,6}}$ : le sens change car $\ln 0,6<0$. Or ${\displaystyle \frac{\ln 0,005}{\ln 0,6}}\approx 10,37$, donc $n=11$.
4. $0,{75}^n⩽0,2$ : $n=$
   $n⩾{\displaystyle \frac{\ln 0,2}{\ln 0,75}}$ (sens changé, $\ln 0,75<0$), avec ${\displaystyle \frac{\ln 0,2}{\ln 0,75}}\approx 5,59$. Donc $n=6$.

Un capital de $3200$ € est placé au taux annuel de $2,4\%$, à intérêts composés : au bout de $n$ années, il vaut $C_n=3200\times 1,{024}^n$ euros. Réponds avec une virgule.

1. $C_{10}\approx$ € (au centime)
   $C_{10}=3200\times 1,{024}^{10}\approx 4056,48$ €.
2. Le capital atteint au moins $5000$ € à partir de l’année $n=$
   $C_n⩾5000⟺1,{024}^n⩾{\displaystyle \frac{5000}{3200}}=1,5625$ $⟺n\ln 1,024⩾\ln 1,5625$. Or $\ln 1,024>0$, donc $n⩾{\displaystyle \frac{\ln 1,5625}{\ln 1,024}}\approx 18,82$ : $n=19$. Contrôle : $C_{18}\approx 4904$ € et $C_{19}\approx 5022$ €.
3. Le capital a doublé au bout de ans
   $C_n⩾6400⟺1,{024}^n⩾2⟺n⩾{\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln 1,024}}\approx 29,23$ : il a doublé au bout de $30$ ans.
4. Un élève écrit : « $1,{024}^n⩾1,5625⟺n⩾{\displaystyle \frac{1,5625}{1,024}}$ ». Son quotient vaut environ (au centième)
   ${\displaystyle \frac{1,5625}{1,024}}\approx 1,53$ conduirait à $n=2$, absurde puisque $C_2\approx 3355$ €. L’élève traite l’exposant comme un facteur : $1,{024}^n$ n’est pas $n\times 1,024$. Pour « descendre » l’exposant, il faut appliquer $\ln$ : $\ln \left(1,{024}^n\right)=n\ln 1,024$.

Seuils en contexte (calculatrice).

1. La fonction Python suivante renvoie (justifier par un calcul avec $\ln$).
   def seuil():
  n = 0
  while 0.97**n >= 0.0001:
    n = n + 1
  return n
   La boucle s’arrête au premier $n$ tel que $0,{97}^n<{10}^{-4}$. Or $0,{97}^n<{10}^{-4}⟺n\ln 0,97<-4\ln 10⟺n>{\displaystyle \frac{-4\ln 10}{\ln 0,97}}$ (sens changé, $\ln 0,97<0$), avec ${\displaystyle \frac{-4\ln 10}{\ln 0,97}}\approx 302,4$. La fonction renvoie $303$.
2. On répète $n$ fois, de façon indépendante, une expérience dont la probabilité de succès est $0,4$. Démontrer que la probabilité d’obtenir au moins un succès est $1-0,6^n$, puis donner le plus petit $n$ pour lequel elle est supérieure ou égale à $0,999$ : $n=$
   Rédaction attendue. L’événement contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ». Chaque expérience échoue avec la probabilité $1-0,4=0,6$, et les $n$ expériences sont indépendantes : $P(\text{aucun succès})=0,6^n$. Donc $P(\text{au moins un succès})=1-0,6^n$. Ensuite, $1-0,6^n⩾0,999⟺0,6^n⩽0,001$ $⟺n\ln 0,6⩽\ln 0,001$ $⟺n⩾{\displaystyle \frac{\ln 0,001}{\ln 0,6}}$, car $\ln 0,6<0$. Or ${\displaystyle \frac{\ln 0,001}{\ln 0,6}}\approx 13,52$ : il faut au moins $14$ répétitions (contrôle : $0,6^{13}\approx 0,0013$ et $0,6^{14}\approx 0,00078$).
3. Une population augmente de $1,5\%$ par an. Elle aura doublé au bout de ans
   Elle est multipliée par $1,015$ chaque année : $1,{015}^n⩾2⟺n⩾{\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln 1,015}}\approx 46,56$. Elle a doublé au bout de $47$ ans.

On cherche les entiers naturels $n$ tels que $2^n>{10}^{n-4}$.

1. Démontrer que $2^n>{10}^{n-4}⟺n\ln 5<4\ln 10$. Valeur approchée de ${\displaystyle \frac{4\ln 10}{\ln 5}}$ au centième :
   Rédaction attendue. Les deux nombres sont strictement positifs et $\ln$ est strictement croissante : $2^n>{10}^{n-4}⟺n\ln 2>(n-4)\ln 10$ $⟺4\ln 10>n\ln 10-n\ln 2$ $⟺4\ln 10>n(\ln 10-\ln 2)$. Or $\ln 10-\ln 2=\ln {\displaystyle \frac{10}{2}}=\ln 5$. Donc $2^n>{10}^{n-4}⟺n\ln 5<4\ln 10$. Comme $\ln 5>0$, cela équivaut à $n<{\displaystyle \frac{4\ln 10}{\ln 5}}$, avec ${\displaystyle \frac{4\ln 10}{\ln 5}}\approx 5,72$.
2. Le plus grand entier $n$ tel que $2^n>{10}^{n-4}$ est
   $n<5,72$ : le plus grand entier est $5$. Contrôle : $2^5=32>{10}^1=10$, mais $2^6=64<{10}^2=100$.
3. Nombre d’entiers naturels $n$ tels que $2^n>{10}^{n-4}$ :
   Ce sont les entiers $0,1,2,3,4,5$ : il y en a $6$ (pour $n=0$ : $1>{10}^{-4}$).