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Fonction logarithme népérien
Rappels sur l’exponentielle, ln réciproque de exp, propriétés algébriques, dérivée, variations, limites et courbe, équations et inéquations, seuils avec ln(qⁿ) = n ln q.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Que vaut ln 1 ?
- A. 0
- B. 1
- C. e
- D. −1
Réponse
A. 0 — e⁰ = 1, donc ln 1 = 0.
Sur quel ensemble la fonction ln est-elle définie ?
- A. ℝ
- B. ]0 ; +∞[
- C. [0 ; +∞[
- D. ℝ privé de 0
Réponse
B. ]0 ; +∞[ — ln x n’existe que pour x > 0, car une exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives.
Que vaut ln(e⁹) ?
- A. e⁹
- B. ln 9
- C. 9
- D. 9e
Réponse
C. 9 — ln(eʸ) = y pour tout réel y.
Pour a > 0 et b > 0, ln(ab) est égal à :
- A. ln a × ln b
- B. ln(a + b)
- C. a ln b
- D. ln a + ln b
Réponse
D. ln a + ln b — C’est la relation fondamentale : le logarithme transforme un produit en somme.
La dérivée de ln sur ]0 ; +∞[ est la fonction :
- A. x ↦ 1/x
- B. x ↦ ln x
- C. x ↦ eˣ
- D. x ↦ −1/x²
Réponse
A. x ↦ 1/x — (ln x)′ = 1/x pour tout x > 0.
Que vaut e^(ln 23) ?
- A. ln 23
- B. 23
- C. e²³
- D. 23e
Réponse
B. 23 — e^(ln x) = x pour tout x > 0.
Quelle est la limite de ln x quand x tend vers 0 par valeurs positives ?
- A. 0
- B. elle n’existe pas
- C. +∞
- D. −∞
Réponse
D. −∞ — La limite vaut −∞ : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de ln.
Pour quels réels x a-t-on ln x < 0 ?
- A. x < 0
- B. x < 1
- C. 0 < x < 1
- D. −1 < x < 1
Réponse
C. 0 < x < 1 — ln n’est définie que pour x > 0, et elle est négative avant 1, où elle s’annule.
Le produit e² × e⁻⁷ est égal à :
- A. e⁻¹⁴
- B. e⁻⁵
- C. e⁹
- D. −e⁵
Réponse
B. e⁻⁵ — eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ : 2 + (−7) = −5.
La solution de l’équation eˣ = 9 est :
- A. x = e⁹
- B. x = 9/e
- C. x = ln 9
- D. x = 4,5
Réponse
C. x = ln 9 — 9 > 0, donc eˣ = 9 équivaut à x = ln 9 (environ 2,2).
ln(1/8) est égal à :
- A. 3 ln 2
- B. 1/(3 ln 2)
- C. ln 8 − 1
- D. −3 ln 2
Réponse
D. −3 ln 2 — ln(1/a) = −ln a et ln 8 = ln(2³) = 3 ln 2.
La tangente à la courbe de ln au point d’abscisse 1 a pour équation :
- A. y = x
- B. y = x − 1
- C. y = 1 − x
- D. y = x + 1
Réponse
B. y = x − 1 — ln 1 = 0 et ln′(1) = 1 : y = 1 × (x − 1) + 0.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
ln 45 s’écrit :
- A. 2 ln 3 + ln 5
- B. ln 3 + 2 ln 5
- C. 9 ln 5
- D. (ln 3)² + ln 5
Réponse
A. 2 ln 3 + ln 5 — 45 = 3² × 5, donc ln 45 = 2 ln 3 + ln 5.
La solution de l’équation ln x = −2 est :
- A. −e²
- B. e⁻²
- C. −1/e
- D. il n’y en a pas
Réponse
B. e⁻² — ln x = −2 équivaut à x = e⁻² (environ 0,135) : un logarithme peut être négatif.
Sur ]−5/6 ; +∞[, la dérivée de f(x) = ln(6x + 5) est :
- A. 1/(6x + 5)
- B. 6 ln(6x + 5)
- C. 6/(6x + 5)
- D. (6x + 5)/6
Réponse
C. 6/(6x + 5) — (ln(ax + b))′ = a/(ax + b), ici avec a = 6.
Le plus petit entier n tel que 1,08ⁿ ≥ 3 est :
- A. 13
- B. 14
- C. 27
- D. 15
Réponse
D. 15 — n ≥ ln 3 / ln 1,08, environ 14,3 : il faut n = 15.
L’équation ln(x + 9) = ln(3x + 1) a pour solution :
- A. x = 4
- B. x = −4
- C. aucune
- D. x = 2,5
Réponse
A. x = 4 — Pour x > −1/3, x + 9 = 3x + 1 donne x = 4, qui vérifie bien la condition.
Une grandeur augmente de 3 % par an. Elle aura doublé au bout de :
- A. 23 ans
- B. 24 ans
- C. 33 ans
- D. 67 ans
Réponse
B. 24 ans — ln 2 / ln 1,03 vaut environ 23,4 : il faut 24 années entières.
L’ensemble des solutions de ln(2 − x) ≤ 0 est :
- A. ]−∞ ; 1]
- B. [1 ; +∞[
- C. [1 ; 2[
- D. ]1 ; 2]
Réponse
C. [1 ; 2[ — Il faut 2 − x > 0, soit x < 2, et 2 − x ≤ 1, soit x ≥ 1.
Pour tout x > 0, ln(5x) − ln x est égal à :
- A. ln(4x)
- B. 5
- C. ln(5x)/ln x
- D. ln 5
Réponse
D. ln 5 — ln(5x) − ln x = ln(5x/x) = ln 5.
Les solutions de l’inéquation e^(2x + 1) > e^(x + 4) sont les réels :
- A. x > 3
- B. x < 3
- C. x > 5/3
- D. x > 1
Réponse
A. x > 3 — L’exponentielle est strictement croissante : 2x + 1 > x + 4 équivaut à x > 3.
Sur ]0 ; +∞[, la fonction f(x) = x − 6 ln x admet un minimum :
- A. en x = 1/6
- B. en x = 6
- C. en x = e⁶
- D. en x = 1
Réponse
B. en x = 6 — f′(x) = 1 − 6/x = (x − 6)/x, négative avant 6, positive après : minimum en x = 6.
La quantité N(t) = 80e^(−0,1t) est divisée par 2 au bout d’une durée d’environ :
- A. 5
- B. 20
- C. 6,93
- D. 0,069
Réponse
C. 6,93 — e^(−0,1T) = 1/2 donne T = ln 2 / 0,1 = 10 ln 2, soit environ 6,93.
Que vaut ln(√e) ?
- A. √e
- B. e/2
- C. 2
- D. 1/2
Réponse
D. 1/2 — √e = e^(1/2), donc ln(√e) = 1/2.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Pour tous réels a > 0 et b > 0, quelle égalité est toujours vraie ?
- A. ln(a + b) = ln a + ln b
- B. ln(ab) = ln a / ln b + 1
- C. ln(a/b) = ln a − ln b
- D. ln(aᵇ) = b + ln a
Réponse
C. ln(a/b) = ln a − ln b — Seul le quotient se transforme ainsi ; il n’y a aucune formule pour ln(a + b), et ln(aᵇ) = b ln a.
L’ensemble des solutions de ln x + ln(x − 3) = ln 10 est :
- A. {5}
- B. {−2 ; 5}
- C. {−2}
- D. ∅
Réponse
A. {5} — On obtient x² − 3x − 10 = 0, de racines −2 et 5 ; seule 5 vérifie la condition x > 3.
Pour n entier naturel, l’inéquation 0,7ⁿ < 0,05 équivaut à :
- A. n < ln 0,05 / ln 0,7
- B. n > ln 0,05 / ln 0,7
- C. n > 0,05 / 0,7
- D. n > ln 0,05 − ln 0,7
Réponse
B. n > ln 0,05 / ln 0,7 — n ln 0,7 < ln 0,05 et ln 0,7 < 0 : diviser par ce nombre négatif change le sens de l’inégalité.
Si 0 < a < 1, alors :
- A. ln a > 0
- B. ln a < −1
- C. ln a n’existe pas
- D. ln a < 0
Réponse
D. ln a < 0 — ln a existe car a > 0, et il est négatif car a < 1 ; on n’a ln a < −1 que si a < e⁻¹.
La fonction f définie par f(x) = ln(9 − 2x) est :
- A. décroissante sur ]−∞ ; 4,5[
- B. croissante sur ]−∞ ; 4,5[
- C. décroissante sur ]4,5 ; +∞[
- D. croissante sur ℝ
Réponse
A. décroissante sur ]−∞ ; 4,5[ — f n’est définie que pour x < 4,5, et f′(x) = −2/(9 − 2x) < 0 sur cet intervalle.
Quelle est la solution de l’équation eˣ = −3 ?
- A. x = ln(−3)
- B. il n’y en a pas
- C. x = −ln 3
- D. x = −1/ln 3
Réponse
B. il n’y en a pas — Une exponentielle est strictement positive : l’équation n’a pas de solution, et ln(−3) n’existe pas.
Un élève écrit : « ln(x²) = 2 ln x ». Cette égalité est :
- A. vraie pour tout x ≠ 0
- B. fausse pour tout x > 0
- C. vraie seulement si x < 0
- D. vraie seulement si x > 0
Réponse
D. vraie seulement si x > 0 — Pour x < 0, ln(x²) existe mais pas ln x ; pour x > 0, c’est la propriété ln(aⁿ) = n ln a.
Le plus petit entier x tel que ln x > 20 est de l’ordre de :
- A. 2 × 10¹
- B. 4 × 10²
- C. 5 × 10⁸
- D. 2 × 10⁴
Réponse
C. 5 × 10⁸ — ln x > 20 équivaut à x > e²⁰, environ 4,85 × 10⁸ : ln tend vers +∞ très lentement.
Pour tout réel x, ln(eˣ + 1) − x est égal à :
- A. ln(1 + e⁻ˣ)
- B. 1
- C. 0, car ln(eˣ) = x
- D. ln(eˣ − x + 1)
Réponse
A. ln(1 + e⁻ˣ) — ln(eˣ + 1) − ln(eˣ) = ln((eˣ + 1)/eˣ) = ln(1 + e⁻ˣ). Une somme sous un ln ne se sépare pas.
Pour tout réel x > 0, on a toujours :
- A. ln x ≥ x − 1
- B. ln x ≤ 1 − x
- C. ln x ≤ x − 1
- D. ln x ≥ x
Réponse
C. ln x ≤ x − 1 — La courbe de ln est sous sa tangente en 1, d’équation y = x − 1 : l’étude de x − 1 − ln x le démontre.
Combien de solutions l’équation (ln x)² = ln x admet-elle ?
- A. une seule
- B. deux
- C. aucune
- D. une infinité
Réponse
B. deux — ln x (ln x − 1) = 0 donne ln x = 0 ou ln x = 1, soit x = 1 ou x = e.
La suite uₙ = 5 × 0,9ⁿ devient strictement inférieure à 1 à partir du rang :
- A. 15
- B. 2
- C. jamais, elle reste positive
- D. 16
Réponse
D. 16 — 0,9ⁿ < 0,2 équivaut à n > ln 0,2 / ln 0,9, environ 15,3 (sens changé car ln 0,9 < 0) : rang 16.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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