Fonction logarithme népérien

Définition comme réciproque de l'exponentielle, propriétés algébriques, dérivée, variations, limites et résolution d'équations et d'inéquations

À propos de cette page

Ce QCM sur « Fonction logarithme népérien » en terminale teste tes connaissances en maths complémentaires (option tle) de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'essentiel : ln, réciproque de l'exponentielle, Propriétés algébriques du logarithme, Dérivée de ln et de ln(ax + b), variations, Limites et courbe de la fonction logarithme. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths complémentaires (option tle) en terminale.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Que vaut $\ln 1$ ?
- A. $0$
- B. $1$
- C. $e$
- D. $- 1$
Réponse
A. $0$ — $e^{0} = 1$ , donc $\ln 1 = 0$ .
Sur quel ensemble la fonction $\ln$ est-elle définie ?
- A. $ℝ$
- B. $] 0; + \infty [$
- C. $[0; + \infty [$
- D. $ℝ ⧵ {0}$
Réponse
B. $] 0; + \infty [$ — $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ , car $e^{y}$ ne prend que des valeurs strictement positives.
Que vaut $\ln (e^{9})$ ?
- A. $e^{9}$
- B. $\ln 9$
- C. $9$
- D. $9 e$
Réponse
C. $9$ — $\ln (e^{y}) = y$ pour tout réel $y$ .
Pour $a > 0$ et $b > 0$ , $\ln (a b)$ est égal à :
- A. $\ln a \times \ln b$
- B. $\ln (a + b)$
- C. $a \ln b$
- D. $\ln a + \ln b$
Réponse
D. $\ln a + \ln b$ — C'est la propriété fondamentale : le logarithme transforme un produit en somme.
La dérivée de $\ln$ sur $] 0; + \infty [$ est la fonction :
- A. $x \to \frac{1}{x}$
- B. $x \to \ln x$
- C. $x \to e^{x}$
- D. $x \to - \frac{1}{x^{2}}$
Réponse
A. $x \to \frac{1}{x}$ — $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ pour tout $x > 0$ .
Que vaut $e^{\ln 23}$ ?
- A. $\ln 23$
- B. $23$
- C. $e^{23}$
- D. $23 e$
Réponse
B. $23$ — $e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$ .
Quelle est la limite de $\ln x$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives ?
- A. $0$
- B. elle n'existe pas
- C. $+ \infty$
- D. $- \infty$
Réponse
D. $- \infty$ — ${lim}_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
Pour quels réels $x$ a-t-on $\ln x < 0$ ?
- A. $x < 0$
- B. $x < 1$
- C. $0 < x < 1$
- D. $- 1 < x < 1$
Réponse
C. $0 < x < 1$ — $\ln$ n'est définie que pour $x > 0$ et elle est négative avant $1$ , où elle s'annule.

Niveau moyen — 8 questions

$\ln 45$ s'écrit :
- A. $2 \ln 3 + \ln 5$
- B. $\ln 3 + 2 \ln 5$
- C. $9 \ln 5$
- D. $(\ln 3)^{2} + \ln 5$
Réponse
A. $2 \ln 3 + \ln 5$ — $45 = 3^{2} \times 5$ , donc $\ln 45 = 2 \ln 3 + \ln 5$ .
La solution de l'équation $\ln x = - 2$ est :
- A. $- e^{2}$
- B. $e^{- 2}$
- C. $- \frac{1}{e}$
- D. il n'y en a pas
Réponse
B. $e^{- 2}$ — $\ln x = - 2 \Leftrightarrow x = e^{- 2} \approx 0, 135$ : un logarithme peut être négatif.
Sur $] - \frac{5}{6}; + \infty [$ , la dérivée de $f (x) = \ln (6 x + 5)$ est :
- A. $\frac{1}{6 x + 5}$
- B. $\frac{6}{6 x + 5}$
- C. $6 \ln (6 x + 5)$
- D. $\frac{6 x + 5}{6}$
Réponse
B. $\frac{6}{6 x + 5}$ — $(\ln (a x + b))^{'} = \frac{a}{a x + b}$ avec $a = 6$ .
Le plus petit entier $n$ tel que $1, 08^{n} \geq 3$ est :
- A. $13$
- B. $14$
- C. $15$
- D. $27$
Réponse
C. $15$ — $n \geq \frac{\ln 3}{\ln 1, 08} \approx 14, 3$ , donc $n = 15$ .
L'équation $\ln (x + 4) = \ln (2 x + 1)$ a pour solution :
- A. $x = - 3$
- B. $x = 5$
- C. aucune
- D. $x = 3$
Réponse
D. $x = 3$ — Sur $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ , $x + 4 = 2 x + 1$ donne $x = 3$ , qui appartient bien à cet intervalle.
Une grandeur augmente de $3 %$ par an. Elle aura doublé au bout de :
- A. $24$ ans
- B. $23$ ans
- C. $33$ ans
- D. $67$ ans
Réponse
A. $24$ ans — $\frac{\ln 2}{\ln 1, 03} \approx 23, 4$ : il faut 24 années entières.
L'ensemble des solutions de $\ln (2 - x) \leq 0$ est :
- A. $] - \infty; 1]$
- B. $[1; + \infty [$
- C. $[1; 2 [$
- D. $] 1; 2]$
Réponse
C. $[1; 2 [$ — Il faut $2 - x > 0$ , soit $x < 2$ , et $2 - x \leq 1$ , soit $x \geq 1$ .
Pour tout $x > 0$ , $\ln (5 x) - \ln x$ est égal à :
- A. $\ln (4 x)$
- B. $5$
- C. $\frac{\ln (5 x)}{\ln x}$
- D. $\ln 5$
Réponse
D. $\ln 5$ — $\ln (5 x) - \ln x = \ln \frac{5 x}{x} = \ln 5$ .

Niveau difficile — 8 questions

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , quelle égalité est toujours vraie ?
- A. $\ln (a + b) = \ln a + \ln b$
- B. $\ln (a b) = \frac{\ln a}{\ln b} + 1$
- C. $\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$
- D. $\ln (a^{b}) = b + \ln a$
Réponse
C. $\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ — Seul le quotient se transforme ainsi ; il n'y a aucune formule pour $\ln (a + b)$ , et $\ln (a^{b}) = b \ln a$ .
L'ensemble des solutions de $\ln x + \ln (x - 3) = \ln 10$ est :
- A. ${5}$
- B. ${- 2; 5}$
- C. ${- 2}$
- D. $\emptyset$
Réponse
A. ${5}$ — On obtient $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ , de racines $- 2$ et $5$ ; seule $5$ vérifie la condition $x > 3$ .
Pour $n$ entier naturel, l'inéquation $0, 7^{n} < 0, 05$ équivaut à :
- A. $n < \frac{\ln 0, 05}{\ln 0, 7}$
- B. $n > \frac{\ln 0, 05}{\ln 0, 7}$
- C. $n > \frac{0, 05}{0, 7}$
- D. $n > \ln 0, 05 - \ln 0, 7$
Réponse
B. $n > \frac{\ln 0, 05}{\ln 0, 7}$ — $n \ln 0, 7 < \ln 0, 05$ et $\ln 0, 7 < 0$ : diviser par ce nombre change le sens de l'inégalité.
Si $0 < a < 1$ , alors :
- A. $\ln a > 0$
- B. $\ln a < - 1$
- C. $\ln a$ n'existe pas
- D. $\ln a < 0$
Réponse
D. $\ln a < 0$ — $\ln a$ existe car $a > 0$ , et il est négatif car $a < 1$ ; on n'a $\ln a < - 1$ que si $a < e^{- 1}$ .
La fonction $f$ définie par $f (x) = \ln (7 - 2 x)$ est :
- A. décroissante sur $] - \infty; 3, 5 [$
- B. croissante sur $] - \infty; 3, 5 [$
- C. décroissante sur $] 3, 5; + \infty [$
- D. croissante sur $ℝ$
Réponse
A. décroissante sur $] - \infty; 3, 5 [$ — $f$ n'est définie que pour $x < 3, 5$ , et $f^{'} (x) = \frac{- 2}{7 - 2 x} < 0$ sur cet intervalle.
Quelle est la solution de l'équation $e^{x} = - 3$ ?
- A. $x = \ln (- 3)$
- B. il n'y en a pas
- C. $x = - \ln 3$
- D. $x = - \frac{1}{\ln 3}$
Réponse
B. il n'y en a pas — Une exponentielle est strictement positive : l'équation n'a pas de solution, et $\ln (- 3)$ n'existe pas.
Un élève écrit : « $\ln (x^{2}) = 2 \ln x$ ». Cette égalité est :
- A. vraie pour tout $x \neq 0$
- B. fausse pour tout $x > 0$
- C. vraie seulement si $x < 0$
- D. vraie seulement si $x > 0$
Réponse
D. vraie seulement si $x > 0$ — Pour $x < 0$ , $\ln (x^{2})$ existe mais pas $\ln x$ ; on a alors $\ln (x^{2}) = 2 \ln | x |$ .
Le plus petit entier $x$ tel que $\ln x > 20$ est de l'ordre de :
- A. $2 \times 10^{1}$
- B. $4 \times 10^{2}$
- C. $5 \times 10^{8}$
- D. $2 \times 10^{4}$
Réponse
C. $5 \times 10^{8}$ — $\ln x > 20 \Leftrightarrow x > e^{20} \approx 4, 85 \times 10^{8}$ : $\ln$ tend vers $+ \infty$ très lentement.

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