Devoir surveillé : fractions et pourcentages

1. a)« sept quarts » $={\displaystyle \frac{7}{4}}$ ; « neuf dixièmes » $={\displaystyle \frac{9}{10}}=0,9$. (0,5 pt pour les deux écritures + 0,5 pt pour $0,9$) (1)
2. b)On partage $45$ en $3$ : $45÷3=15$ ; on en prend $2$ parts : $15\times 2=30$. Donc ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de $45$ vaut $30$. (1 pt) (1)
3. c)$17÷4={\displaystyle \frac{17}{4}}$. En posant la division : $17÷4=4,25$ (car $4\times 4,25=17$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$18$ et $24$ sont tous les deux dans la table de $6$ : ${\displaystyle \frac{18}{24}}={\displaystyle \frac{18÷6}{24÷6}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. On ne peut plus simplifier ($3$ et $4$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$). (1 pt ; 0,5 pt pour une simplification incomplète comme ${\displaystyle \frac{9}{12}}$) (1)

Méthode — pour prendre une fraction d'une quantité, on divise par le dénominateur (taille d'une part), puis on multiplie par le numérateur (nombre de parts prises).

1. a)Même dénominateur : on compare les numérateurs. $5<8$, donc ${\displaystyle \frac{5}{9}}<{\displaystyle \frac{8}{9}}$. (1 pt) (1)
2. b)Le numérateur est plus grand que le dénominateur ($13>10$), donc ${\displaystyle \frac{13}{10}}>1$ (en effet $1={\displaystyle \frac{10}{10}}$). (1 pt) (1)
3. c)$8$ est un multiple de $4$ : ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{6}{8}}$. Comme $6<7$, on a ${\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{7}{8}}$. (1 pt) (1)
4. d)On écrit tout en douzièmes : ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{10}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{6}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{12}}$. Ordre croissant : ${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{7}{12}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{5}{6}}$. (1 pt) (1)

Méthode — quand un dénominateur est un multiple de l'autre, on écrit les deux fractions avec le plus grand dénominateur ; il suffit alors de comparer les numérateurs.

1. a)Même dénominateur : on ajoute les numérateurs et on garde le dénominateur : ${\displaystyle \frac{3+2}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$. (1 pt) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$, donc ${\displaystyle \frac{11}{12}}-{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (on divise par $4$). (0,5 pt calcul + 0,5 pt simplification) (1)
3. c)$1={\displaystyle \frac{5}{5}}$, donc $1+{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{5}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{8}{5}}$. (1 pt) (1)
4. d)On multiplie seulement le numérateur : $4\times {\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{4\times 2}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — on n'ajoute jamais les dénominateurs : des septièmes plus des septièmes donnent des septièmes, comme $3$ pommes plus $2$ pommes donnent $5$ pommes.

1. a)${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{75}{100}}=75\%$ ; ${\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{10}{100}}=10\%$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$50\%$, c'est la moitié : $86÷2=43$. $25\%$, c'est le quart : $60÷4=15$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$10\%$, c'est le dixième : $230÷10=23$. $75\%$, ce sont les trois quarts : $40÷4=10$, puis $10\times 3=30$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Fraction : ${\displaystyle \frac{9}{25}}$. En multipliant par $4$ : ${\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{36}{100}}=0,36=36\%$. (1 pt : 0,5 pour la fraction, 0,5 pour le décimal et le pourcentage) (1)

Astuce — $50\%$, $25\%$, $75\%$ et $10\%$ correspondent à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ : on les calcule de tête par des divisions simples.

1. a)${\displaystyle \frac{1}{4}}$ de $20$ : $20÷4=5$. Tim a mangé $5$ carrés. (1 pt) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{20}}$, donc ${\displaystyle \frac{5}{20}}+{\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{8}{20}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ (on divise par $4$). (0,5 pt somme + 0,5 pt simplification) (1)
3. c)La sœur a mangé ${\displaystyle \frac{3}{20}}$ de $20$, soit $3$ carrés. Il reste $20-5-3=12$ carrés. (1 pt) (1)
4. d)Il reste ${\displaystyle \frac{12}{20}}$ de la tablette ; en multipliant par $5$ : ${\displaystyle \frac{12}{20}}={\displaystyle \frac{60}{100}}=60\%$. (1 pt) (1)

Piège — pour exprimer un reste en pourcentage, on compare au total de départ ($20$ carrés), et non à ce qui a été mangé.

1. a)Chaque intervalle vaut ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ ; A est repéré par ${\displaystyle \frac{9}{6}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ (on divise par $3$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$2={\displaystyle \frac{12}{6}}$ et $3={\displaystyle \frac{18}{6}}$. Comme $12<17<18$ : $2<{\displaystyle \frac{17}{6}}<3$. (1 pt) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{6}}$ : B est à la $4^{\text{e}}$ graduation après $0$. (1 pt) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{3}{2}}=3÷2=1,5$. Ensuite ${\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{10}{6}}$ et A est repéré par ${\displaystyle \frac{9}{6}}$ ; comme $10>9$, le point repéré par ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ est après A (une graduation plus loin). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — pour placer une fraction sur une graduation en sixièmes, on l'écrit d'abord avec le dénominateur $6$ : le numérateur donne alors directement le nombre d'intervalles à compter depuis $0$.

1. a)Marc a tort. ${\displaystyle \frac{3}{5}}=3÷5=0,6$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}=3÷4=0,75$ ; or $0,6<0,75$, donc ${\displaystyle \frac{3}{5}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}$. Avec le même nombre de parts, des cinquièmes sont plus petits que des quarts. (1 pt) (1)
2. b)Léa a tort : on garde le dénominateur. ${\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$. D'ailleurs ${\displaystyle \frac{5}{14}}$ est plus petit que ${\displaystyle \frac{5}{7}}$, alors que la somme doit dépasser ${\displaystyle \frac{3}{7}}$. (1 pt) (1)
3. c)Nora a raison : $10\%$ de $30$ vaut $3$, donc $40\%$ vaut $4\times 3=12$ (ou ${\displaystyle \frac{40}{100}}\times 30=12$). (1 pt) (1)
4. d)Yanis a raison : $1={\displaystyle \frac{4}{4}}$ et $2={\displaystyle \frac{8}{4}}$ ; comme $4<7<8$, on a $1<{\displaystyle \frac{7}{4}}<2$ (en effet ${\displaystyle \frac{7}{4}}=1,75$). (1 pt) (1)

Piège — un dénominateur plus grand ne veut pas dire une fraction plus grande : plus on partage en parts nombreuses, plus chaque part est petite.

1. a)${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{10}{12}}$, donc ${\displaystyle \frac{10}{12}}+{\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{17}{12}}$ (non simplifiable). (1 pt) (1)
2. b)$3={\displaystyle \frac{12}{4}}$, donc ${\displaystyle \frac{12}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{4}}={\displaystyle \frac{7}{4}}$. (1 pt) (1)
3. c)$6\times {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{30}{8}}={\displaystyle \frac{15}{4}}$ (on divise par $2$). (0,5 pt + 0,5 pt simplification) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{2}{10}}$, donc ${\displaystyle \frac{7}{10}}-{\displaystyle \frac{2}{10}}+{\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$. (0,5 pt + 0,5 pt simplification) (1)

Erreur fréquente — pour soustraire une fraction d'un entier, on écrit d'abord l'entier sous forme de fraction avec le même dénominateur : $3={\displaystyle \frac{12}{4}}$, et non ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

1. a)${\displaystyle \frac{1}{4}}$ de $60$ : $60÷4=15$. Elle dépense $15$ € en livres. (1 pt) (1)
2. b)$35\%$ de $60$ : ${\displaystyle \frac{35}{100}}\times 60=35\times 0,6=21$ (ou $10\%$ de $60$ vaut $6$, donc $30\%$ vaut $18$, et $5\%$ vaut $3$ : $18+3=21$). Elle dépense $21$ € en vêtements. (1 pt) (1)
3. c)$60-15-21=24$. Il lui reste $24$ €. (1 pt) (1)
4. d)1re façon : ${\displaystyle \frac{24}{60}}={\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{40}{100}}=40\%$. 2e façon : ${\displaystyle \frac{1}{4}}=25\%$, donc elle a dépensé $25\%+35\%=60\%$ et il reste $100\%-60\%=40\%$. (0,5 pt par méthode) (1)

Astuce — un pourcentage peu courant se calcule à partir de $10\%$ : $35\%=10\%+10\%+10\%+5\%$, et $5\%$ est la moitié de $10\%$.

1. a)${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{12}}$, donc ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. (0,5 pt + 0,5 pt simplification) (1)
2. b)Le matin : ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ ; l'après-midi : ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{12}}$. Comme $5>4$, il a marché davantage le matin. (1 pt) (1)
3. c)Il reste $1-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ du trajet : $12÷4=3$. Il reste $3$ km. (On peut aussi calculer ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de $12$, soit $9$ km parcourus, et $12-9=3$.) (1 pt) (1)
4. d)Premier jour : ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de $12$ km $=9$ km. Lendemain : $25\%$ de $18$ km, c'est le quart de $18$ : $18÷4=4,5$ km. Comme $4,5<9$, il a marché moins le lendemain. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — pour comparer deux fractions de trajets différents, on revient aux distances en km : une fraction n'a de sens que rapportée à la quantité dont elle est la part.

1. a)${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{12}}$. On cherche ${\displaystyle \frac{n}{12}}$ avec $3<n<8$, soit $n=4$ ; $5$ ; $6$ ; $7$. Solutions : ${\displaystyle \frac{4}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{6}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{7}{12}}$. (1 pt pour les conversions + 0,5 pt pour la liste complète) (1,33333)
2. b)${\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (on divise par $4$) et ${\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (on divise par $6$). ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ ne se simplifient pas : $5$ et $7$ n'ont pas de diviseur commun avec $12$ autre que $1$. (1 pt) (1,33333)
3. c)$3\times {\displaystyle \frac{n}{8}}={\displaystyle \frac{3\times n}{8}}$, et cette fraction est inférieure à $1={\displaystyle \frac{8}{8}}$ quand $3\times n<8$. Or $3\times 1=3$ et $3\times 2=6$ conviennent, mais $3\times 3=9>8$ (et c'est pire au-delà). Solutions : $n=1$ et $n=2$ (on obtient ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ et ${\displaystyle \frac{6}{8}}$). (1 pt pour le raisonnement + 0,5 pt pour les deux solutions) (1,33333)

Méthode — pour trouver toutes les fractions entre deux bornes, on écrit les bornes avec le dénominateur imposé : il ne reste qu'à lister les numérateurs entiers compris entre les deux.

1. a)L'élève a ajouté les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Il faut un même dénominateur : ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{6}{8}}$, donc ${\displaystyle \frac{6}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{7}{8}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ est plus petit que ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, impossible pour une somme. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)L'élève a multiplié aussi le dénominateur par $5$. On ne multiplie que le numérateur : $5\times {\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{10}{7}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{10}{35}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$, comme si l'on n'avait rien multiplié. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$20\%$ signifie ${\displaystyle \frac{20}{100}}$ et non « diviser par $20$ ». ${\displaystyle \frac{20}{100}}\times 45=0,2\times 45=9$ (ou $10\%$ de $45$ vaut $4,5$, donc $20\%$ vaut $9$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)La fraction ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ est le quotient $2÷5$, et non un nombre formé du numérateur et du dénominateur. $2÷5=0,4$, donc ${\displaystyle \frac{2}{5}}=0,4$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ est plus petit que $1$, donc $2,5$ est impossible. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — comparer le résultat à $1$ ou aux nombres de départ démasque beaucoup d'erreurs : une somme de fractions positives est plus grande que chacune d'elles, et une fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur est inférieure à $1$.

1. a)En douzièmes : ${\displaystyle \frac{7}{6}}={\displaystyle \frac{14}{12}}$ ; $1={\displaystyle \frac{12}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$. On compare $14$, $5$, $12$, $9$, $11$ : ${\displaystyle \frac{5}{12}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{11}{12}}<1<{\displaystyle \frac{7}{6}}$. (1 pt pour les conversions + 0,5 pt pour le rangement) (1,33333)
2. b)$3+{\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{30}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{31}{10}}$ et ${\displaystyle \frac{17}{5}}={\displaystyle \frac{34}{10}}$. Comme $34>31$ : ${\displaystyle \frac{17}{5}}>3+{\displaystyle \frac{1}{10}}$. (En décimaux : $3,4>3,1$.) (1 pt) (1,33333)
3. c)${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{12}{20}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{10}}={\displaystyle \frac{14}{20}}$. Le numérateur doit être strictement entre $12$ et $14$ : seul $13$ convient. Il y a une seule solution : ${\displaystyle \frac{13}{20}}$. (1 pt pour les conversions + 0,5 pt pour la réponse unique justifiée) (1,33333)

Piège — « toutes les solutions » peut vouloir dire une seule : il faut justifier qu'aucune autre ne convient, ici parce qu'un seul entier se trouve entre $12$ et $14$.

1. a)$480÷8=60$, puis $60\times 3=180$. $180$ élèves font du sport. (1 pt) (1,25)
2. b)Musique : $25\%$ est le quart : $480÷4=120$ élèves. Théâtre : $10\%$ de $480$ vaut $48$, donc $5\%$ vaut $48÷2=24$ élèves. (0,5 pt + 0,5 pt) (1,25)
3. c)$25\%={\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{8}}$, donc ${\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$ (non simplifiable). Vérification : $180+120=300$ et ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ de $480$ vaut $60\times 5=300$. (1 pt) (1,25)
4. d)1re méthode : élèves sans activité : $480-180-120-24=156$ ; proportion ${\displaystyle \frac{156}{480}}=156÷480=0,325=32,5\%$. 2e méthode : ${\displaystyle \frac{3}{8}}=3÷8=0,375=37,5\%$ ; activités : $37,5\%+25\%+5\%=67,5\%$ ; sans activité : $100\%-67,5\%=32,5\%$. (1 pt par méthode) (1,25)

Erreur fréquente — on ne peut pas ajouter directement une fraction et un pourcentage (${\displaystyle \frac{3}{8}}+25\%$) : on écrit d'abord tout sous la même forme (fractions de même dénominateur, ou pourcentages).

1. a)$12$ personnes, c'est $3$ fois $4$ personnes : $3\times {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$ L, soit $9÷4=2,25$ L. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Une bouteille contient ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2}{4}}$ L. $4$ bouteilles font ${\displaystyle \frac{8}{4}}=2$ L, ce qui est moins que ${\displaystyle \frac{9}{4}}$ L ; $5$ bouteilles font ${\displaystyle \frac{10}{4}}=2,5$ L, ce qui suffit. Il faut au minimum $5$ bouteilles. (1 pt ; 0 pour « $4,5$ bouteilles ») (1)
3. c)Lait acheté en trop : ${\displaystyle \frac{10}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ L. La dernière bouteille contient ${\displaystyle \frac{2}{4}}$ L ; il en reste ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ L, c'est-à-dire la moitié de la bouteille : il reste ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ de la dernière bouteille. (1 pt) (1)

Piège — on achète des bouteilles entières : quand le calcul donne $4,5$ bouteilles, la réponse est $5$, et il faut bien distinguer « ce qui reste en litres » de « la fraction de la bouteille qui reste ».