Comparer des fractions

1. a)$4<9$ : ${\displaystyle \frac{4}{11}}<{\displaystyle \frac{9}{11}}$ (0,5)
2. b)$21>19$ : ${\displaystyle \frac{21}{17}}>{\displaystyle \frac{19}{17}}$ (0,5)
3. c)${\displaystyle \frac{12}{12}}=1$ (0,5)
4. d)$8<15$ : $1>{\displaystyle \frac{8}{15}}$ (0,5)
5. e)$23>20$ : ${\displaystyle \frac{23}{20}}>1$ (0,5)
6. f)$14>13$ : ${\displaystyle \frac{14}{3}}>{\displaystyle \frac{13}{3}}$ (0,5)
7. g)$6<25$ : ${\displaystyle \frac{6}{25}}<1$ (0,5)
8. h)$2={\displaystyle \frac{10}{5}}$ et $10<11$ : $2<{\displaystyle \frac{11}{5}}$ (0,5)

Repère — Avec le même dénominateur, on compare les numérateurs ; pour comparer à un entier, on écrit cet entier avec le même dénominateur ($1={\displaystyle \frac{5}{5}}$, $2={\displaystyle \frac{10}{5}}$).

1. a)$21=7\times 3$ : ${\displaystyle \frac{5}{7}}={\displaystyle \frac{15}{21}}$ ; $15<16$ donc ${\displaystyle \frac{5}{7}}<{\displaystyle \frac{16}{21}}$ (1)
2. b)$12=6\times 2$ : ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{10}{12}}$ ; $11>10$ donc ${\displaystyle \frac{11}{12}}>{\displaystyle \frac{5}{6}}$ (1)
3. c)$30=10\times 3$ : ${\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{9}{30}}$ ; $9>7$ donc ${\displaystyle \frac{3}{10}}>{\displaystyle \frac{7}{30}}$ (1)
4. d)$16=8\times 2$ : ${\displaystyle \frac{9}{8}}={\displaystyle \frac{18}{16}}$ ; $18>17$ donc ${\displaystyle \frac{9}{8}}>{\displaystyle \frac{17}{16}}$ (1)

Méthode — On transforme la fraction qui a le plus petit dénominateur, en multipliant le numérateur et le dénominateur par le même nombre, puis on conclut avec les fractions de départ.

1. a)En neuvièmes : ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{6}{9}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{9}}$ ; $3<6<7<8$ donc ${\displaystyle \frac{1}{3}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{7}{9}}<{\displaystyle \frac{8}{9}}$ (2)
2. b)En vingtièmes : ${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{12}{20}}$, ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{10}{20}}$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{5}{20}}$ ; $13>12>10>5$ donc ${\displaystyle \frac{13}{20}}>{\displaystyle \frac{3}{5}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}>{\displaystyle \frac{1}{4}}$ (2)

Attention — Croissant : du plus petit au plus grand avec $<$ ; décroissant : du plus grand au plus petit avec $>$. La réponse s'écrit avec les fractions de l'énoncé.

1. a)$6<11$ donc ${\displaystyle \frac{6}{11}}<1$ ; $8>7$ donc ${\displaystyle \frac{8}{7}}>1$ ; ainsi ${\displaystyle \frac{6}{11}}<{\displaystyle \frac{8}{7}}$ (1)
2. b)${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{9}}$ et ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{6}{9}}$ : ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ ou ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ conviennent (1)
3. c)Non : ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{12}{16}}$ et $11<12$, donc ${\displaystyle \frac{11}{16}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}$ ; on ne compare pas des fractions de dénominateurs différents terme à terme (1)
4. d)$1={\displaystyle \frac{6}{6}}$ et $2={\displaystyle \frac{12}{6}}$ : il faut $6<n<12$, donc $n=7$, $8$, $9$, $10$ ou $11$ (1)

Erreur fréquente — Comparer les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ne prouve rien : il faut le même dénominateur, ou bien utiliser 1 comme intermédiaire.

1. a)Jade ${\displaystyle \frac{10}{16}}$, Omar ${\displaystyle \frac{12}{16}}$, Lucie ${\displaystyle \frac{9}{16}}$, Malik ${\displaystyle \frac{8}{16}}$ (1)
2. b)$8<9<10<12$ : Malik, Lucie, Jade, Omar (1)
3. c)La moitié vaut ${\displaystyle \frac{8}{16}}$ : Lucie, Jade et Omar ont un numérateur plus grand que $8$ (1)
4. d)$10<11<12$ : Sacha se place entre Jade (${\displaystyle \frac{10}{16}}$) et Omar (${\displaystyle \frac{12}{16}}$) (1)

Le point clé — Pour comparer plusieurs fractions, on choisit le plus grand dénominateur, s'il est un multiple de tous les autres, et on écrit toutes les fractions avec lui.