Les fractions

Écris la fraction demandée sous la forme a/b (par exemple 2/5), sans simplifier.

1. Fraction coloriée :
   La barre est partagée en $8$ parts égales et $3$ sont coloriées : ${\displaystyle \frac{3}{8}}$.
2. Fraction coloriée :
   Le disque est partagé en $6$ parts égales, $5$ sont coloriées : ${\displaystyle \frac{5}{6}}$.
3. Fraction coloriée :
   Piège : les $3$ morceaux ne sont pas égaux, on ne peut donc pas répondre ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Le grand morceau est la moitié de la barre, et chaque petit morceau est la moitié de cette moitié : il faut $4$ morceaux comme le morceau colorié pour faire toute la barre. Fraction coloriée : ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.
4. Dans une classe de $30$ élèves, $17$ sont des filles. Quelle fraction de la classe les garçons représentent-ils ?
   Il y a $30-17=13$ garçons. On compare la partie ($13$ garçons) au tout ($30$ élèves) : ${\displaystyle \frac{13}{30}}$. Piège : ${\displaystyle \frac{17}{30}}$ est la fraction des filles, et ${\displaystyle \frac{13}{17}}$ compare les garçons aux filles, pas à la classe.
5. Une heure dure $60$ minutes. Quelle fraction d’heure une pause de $45$ minutes représente-t-elle ?
   $45$ minutes sur les $60$ d’une heure : ${\displaystyle \frac{45}{60}}$ d’heure.

Calcule. Donne un nombre, sans unité.

1. Une gourde contient $1,8$ L d’eau. Lou en boit les ${\displaystyle \frac{5}{6}}$. Quelle quantité d’eau a-t-elle bue, en litres ?
   Une part : $1,8÷6=0,3$ L (car $6\times 0,3=1,8$). On en prend $5$ : $0,3\times 5=1,5$ L. Contrôle : ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ est plus petit que $1$, Lou a bu moins que la gourde entière.
2. Un manteau coûte $80$ €. En soldes, on retire les ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ du prix. Quelle est la réduction, en euros ?
   Une part : $80÷8=10$ €. Réduction : $10\times 3=30$ €.
3. D’après la question précédente, quel est le nouveau prix du manteau, en euros ?
   On enlève la réduction : $80-30=50$ €.
4. Un club de judo comptait $64$ adhérents l’an dernier. Cette année, il en compte les ${\displaystyle \frac{5}{4}}$. Combien d’adhérents a-t-il cette année ?
   Une part : $64÷4=16$. On en prend $5$ : $16\times 5=80$ adhérents. ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ est plus grand que $1$ ($5>4$) : on trouve plus que $64$, c’est normal. Piège : une fraction d’une quantité n’est pas toujours plus petite que cette quantité.

La fraction, un quotient. Réponds par une fraction a/b ou par un nombre décimal, comme demandé.

1. $3\times$ $=4$ (réponds par une fraction a/b)
   C’est le quotient de $4$ par $3$ : ${\displaystyle \frac{4}{3}}$, car $3\times {\displaystyle \frac{4}{3}}=4$.
   Piège : ce n’est pas $1,3$, car $3\times 1,3=3,9$. La division $4÷3=1,333\dots$ ne s’arrête jamais : ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ n’a pas d’écriture décimale, on la garde sous forme de fraction.
2. On partage $5$ galettes à parts égales entre $8$ enfants. Quelle fraction de galette chaque enfant reçoit-il ? (fraction a/b)
   Chaque enfant reçoit $5÷8$ galette, c’est-à-dire ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ de galette.
3. Écriture décimale de ${\displaystyle \frac{9}{4}}$ :
   ${\displaystyle \frac{9}{4}}=9÷4$ : $9÷4$ : $2$, il reste $1$ ; $10÷4$ : $2$, il reste $2$ ; $20÷4=5$.
   Donc ${\displaystyle \frac{9}{4}}=2,25$. Contrôle : $4\times 2,25=9$.
4. ${\displaystyle \frac{2}{5}}=$ (écriture décimale)
   ${\displaystyle \frac{2}{5}}=2÷5$ : $2÷5$ : $0$, il reste $2$ ; $20÷5=4$. Donc ${\displaystyle \frac{2}{5}}=0,4$. Contrôle : $5\times 0,4=2$.
   Piège : $2,5$ est l’écriture décimale de ${\displaystyle \frac{5}{2}}$ ($5÷2$), pas de ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ ; et $0,25$ vaut ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.
5. On répartit $17$ kg de pommes à parts égales dans $4$ cagettes. Chaque cagette contient ${\displaystyle \frac{17}{4}}$ kg, soit kg en écriture décimale. Trois cagettes contiennent kg.
   ${\displaystyle \frac{17}{4}}=17÷4$ : $17÷4$ : $4$, il reste $1$ ; $10÷4$ : $2$, il reste $2$ ; $20÷4=5$. Donc ${\displaystyle \frac{17}{4}}=4,25$ kg. Contrôle : $4\times 4,25=17$.
   Trois cagettes : $4,25\times 3=12,75$ kg. (Ce sont les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ des $17$ kg : $17\times 3=51$, puis $51÷4=12,75$.)

Lis l’abscisse de chaque point sous la forme d’une fraction a/b.

1. Abscisse de R :
   Entre $0$ et $1$, il y a $3$ intervalles : chacun vaut ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. R est $2$ intervalles après $0$ : R a pour abscisse ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.
2. Abscisse de S :
   S est $4$ intervalles après $0$ (un intervalle après $1$) : S a pour abscisse ${\displaystyle \frac{4}{3}}$.
3. Abscisse de A :
   Chaque unité est partagée en $4$ : un intervalle vaut ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. A est $7$ intervalles après $0$ : A a pour abscisse ${\displaystyle \frac{7}{4}}$.
4. Entre les graduations $0$ et $1$, on voit $3$ petits traits régulièrement espacés. Que vaut chaque intervalle ? (fraction a/b)
   $3$ petits traits découpent l’unité en $4$ intervalles (on compte les espaces, pas les traits) : chaque intervalle vaut ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. Piège : répondre ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ en comptant les traits.

Compare (écris <, = ou >), encadre entre deux entiers qui se suivent, ou donne l’entier égal à la fraction.

1. ${\displaystyle \frac{9}{9}}$ $1$
   Numérateur et dénominateur égaux : on a pris toutes les parts, ${\displaystyle \frac{9}{9}}=1$.
2. $1$ ${\displaystyle \frac{14}{15}}$
   $14<15$ : le numérateur est plus petit que le dénominateur, donc ${\displaystyle \frac{14}{15}}<1$, c’est-à-dire $1>{\displaystyle \frac{14}{15}}$. Piège : ici, $1$ est écrit à gauche ; le signe s’écrit dans l’autre sens.
3. $<$ ${\displaystyle \frac{17}{5}}$ $<$
   $17=5\times 3+2$ : ${\displaystyle \frac{17}{5}}=3+{\displaystyle \frac{2}{5}}$. Donc $3<{\displaystyle \frac{17}{5}}<4$.
4. ${\displaystyle \frac{54}{9}}=$ (un nombre entier)
   $54=9\times 6$, il ne reste rien : ${\displaystyle \frac{54}{9}}=6$. Le point d’abscisse ${\displaystyle \frac{54}{9}}$ est sur la graduation $6$ : il n’est pas entre deux entiers, il est sur l’un d’eux.
5. $<$ ${\displaystyle \frac{29}{6}}$ $<$
   $29=6\times 4+5$ : ${\displaystyle \frac{29}{6}}=4+{\displaystyle \frac{5}{6}}$. Donc $4<{\displaystyle \frac{29}{6}}<5$.

Complète.

1. ${\displaystyle \frac{7}{4}}$ s’écrit $1+{\displaystyle \frac{\dots }{4}}$ : le numérateur manquant est
   ${\displaystyle \frac{7}{4}}={\displaystyle \frac{4}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}=1+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ : il manque $3$. Sur la figure de l’exercice 4, A est bien $3$ intervalles après $1$.
2. ${\displaystyle \frac{19}{3}}=\dots +{\displaystyle \frac{1}{3}}$ : l’entier manquant est
   $19=3\times 6+1$, donc ${\displaystyle \frac{19}{3}}=6+{\displaystyle \frac{1}{3}}$.
3. L’unité est partagée en $5$. Le point M est $3$ intervalles après la graduation $2$. Son abscisse (fraction a/b) :
   $2$ unités, c’est $2\times 5=10$ intervalles ; plus $3$ : $13$ intervalles. M a pour abscisse ${\displaystyle \frac{13}{5}}$.
4. L’unité est partagée en $8$. Le point P est $2$ intervalles avant la graduation $4$. Donne son abscisse sous forme de fraction simplifiée au maximum (forme a/b) :
   Jusqu’à la graduation $4$, il y a $4\times 8=32$ intervalles ; on recule de $2$ : $32-2=30$ intervalles. P a pour abscisse ${\displaystyle \frac{30}{8}}$, que l’on simplifie (÷ $2$) : ${\displaystyle \frac{15}{4}}$.
   Contrôle : $15=4\times 3+3$, donc $3<{\displaystyle \frac{15}{4}}<4$ : P est bien juste avant la graduation $4$.

Complète par le nombre manquant.

1. ${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{\dots }{45}}$ :
   $5\times 9=45$ : on a multiplié le dénominateur par $9$. On multiplie aussi le numérateur : $3\times 9=27$.
2. ${\displaystyle \frac{\dots }{7}}={\displaystyle \frac{27}{63}}$ :
   $63÷9=7$ : on passe de $63$ à $7$ en divisant par $9$. On divise aussi le numérateur : $27÷9=3$. Donc ${\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{27}{63}}$.
3. ${\displaystyle \frac{15}{20}}={\displaystyle \frac{3}{\dots }}$ :
   $15÷5=3$ : on a divisé le numérateur par $5$. On divise aussi le dénominateur : $20÷5=4$.
4. ${\displaystyle \frac{6}{7}}={\displaystyle \frac{30}{\dots }}$ :
   $6\times 5=30$, donc $7\times 5=35$ : ${\displaystyle \frac{6}{7}}={\displaystyle \frac{30}{35}}$.

Simplifie au maximum. Réponds sous la forme a/b.

1. ${\displaystyle \frac{32}{48}}$ =
   $32$ et $48$ sont dans la table de $16$ : ${\displaystyle \frac{32}{48}}={\displaystyle \frac{32÷16}{48÷16}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
   En deux étapes : ${\displaystyle \frac{32}{48}}={\displaystyle \frac{16}{24}}$ (÷ $2$), puis ${\displaystyle \frac{16}{24}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (÷ $8$).
2. Léa a lu $60$ pages d’un livre de $240$ pages, soit ${\displaystyle \frac{60}{240}}$ du livre. Simplifie cette fraction :
   ${\displaystyle \frac{60}{240}}={\displaystyle \frac{6}{24}}$ (÷ $10$), puis ${\displaystyle \frac{6}{24}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ (÷ $6$). Léa a lu le quart du livre.
3. Tom écrit ${\displaystyle \frac{56}{98}}={\displaystyle \frac{28}{49}}$ et s’arrête, car $28$ et $49$ ne sont pas tous les deux pairs. Termine la simplification :
   $28$ et $49$ sont tous les deux dans la table de $7$ ($28=7\times 4$ et $49=7\times 7$) : ${\displaystyle \frac{28}{49}}={\displaystyle \frac{4}{7}}$. $4$ et $7$ n’ont plus de diviseur commun : ${\displaystyle \frac{56}{98}}={\displaystyle \frac{4}{7}}$.
   Piège : ne plus pouvoir diviser par $2$ ne veut pas dire que la fraction est simplifiée au maximum.
4. ${\displaystyle \frac{45}{60}}$ =
   Table de $5$ : ${\displaystyle \frac{45}{60}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$ ; table de $3$ : ${\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$. Une pause de $45$ minutes dure trois quarts d’heure.

Raisonne sur les fractions égales.

1. Parmi ${\displaystyle \frac{12}{18}}$, ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{18}{27}}$, laquelle n’est PAS égale à ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ? (forme a/b)
   ${\displaystyle \frac{12}{18}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (÷ $6$) et ${\displaystyle \frac{18}{27}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (÷ $9$). Mais ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ s’obtient en ajoutant $3$ en haut et en bas, ce qui ne conserve pas la fraction : ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{6}}$, et ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ n’est pas égale à ${\displaystyle \frac{4}{6}}$.
2. Simplifie au maximum ${\displaystyle \frac{72}{90}}$ : ; complète ${\displaystyle \frac{72}{90}}={\displaystyle \frac{\dots }{100}}$ : ; écriture décimale de ${\displaystyle \frac{72}{90}}$ :
   $72$ et $90$ sont dans la table de $9$ : ${\displaystyle \frac{72}{90}}={\displaystyle \frac{8}{10}}$ ; puis pairs : ${\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$ (en une étape : ÷ $18$).
   $5\times 20=100$, donc $4\times 20=80$ : ${\displaystyle \frac{72}{90}}={\displaystyle \frac{80}{100}}$.
   $80$ centièmes : ${\displaystyle \frac{80}{100}}=0,8$. Contrôle : $90\times 0,8=72$.
3. $3={\displaystyle \frac{\dots }{4}}$ :
   $3={\displaystyle \frac{3}{1}}$ ; on multiplie en haut et en bas par $4$ : $3={\displaystyle \frac{12}{4}}$.
4. Trouve la fraction égale à ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ dont le numérateur et le dénominateur ont pour somme $56$ (forme a/b) :
   Les fractions égales à ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ s’obtiennent en multipliant $3$ et $4$ par un même nombre : ${\displaystyle \frac{6}{8}}$, ${\displaystyle \frac{9}{12}}$… Pour ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, la somme vaut $3+4=7$ ; pour ${\displaystyle \frac{6}{8}}$, $14$ : la somme est multipliée par le même nombre.
   Or $56=7\times 8$ : on multiplie par $8$, ${\displaystyle \frac{3\times 8}{4\times 8}}={\displaystyle \frac{24}{32}}$. Contrôle : $24+32=56$ et ${\displaystyle \frac{24}{32}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ (÷ $8$).