Additionner, soustraire et multiplier des fractions par un entier

1. a)${\displaystyle \frac{4}{15}}+{\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{11}{15}}$ (1)
2. b)${\displaystyle \frac{13}{14}}-{\displaystyle \frac{5}{14}}={\displaystyle \frac{8}{14}}={\displaystyle \frac{4}{7}}$ (1)
3. c)${\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{10}{16}}$ : ${\displaystyle \frac{3}{16}}+{\displaystyle \frac{10}{16}}={\displaystyle \frac{13}{16}}$ (1)
4. d)${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{6}{9}}$ : ${\displaystyle \frac{7}{9}}-{\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$ (1)
5. e)$4={\displaystyle \frac{12}{3}}$ : ${\displaystyle \frac{12}{3}}-{\displaystyle \frac{7}{3}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$ (1)
6. f)${\displaystyle \frac{7}{10}}={\displaystyle \frac{14}{20}}$ : ${\displaystyle \frac{3}{20}}+{\displaystyle \frac{14}{20}}={\displaystyle \frac{17}{20}}$ (1)

Repère — Avant de calculer, on regarde les dénominateurs : s’ils sont différents, on écrit la fraction au plus petit dénominateur avec le plus grand (${\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{10}{16}}$).

1. a)$7\times {\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{14}{15}}$ (1)
2. b)${\displaystyle \frac{3}{10}}\times 9={\displaystyle \frac{27}{10}}$ (1)
3. c)$5\times {\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{15}{20}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ (1)
4. d)$18\times {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{90}{6}}=15$ (1)
5. e)$5\times {\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{10}{9}}$ (1)

Astuce — Multiplier par un entier, c’est ajouter plusieurs fois la même fraction : seul le numérateur change.

1. a)Hugo a additionné les dénominateurs. On garde le dénominateur : ${\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. (Son résultat ${\displaystyle \frac{6}{18}}$ vaut ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, moins que ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ seul : impossible pour une somme.) (2)
2. b)Zoé a aussi multiplié le dénominateur. Seul le numérateur est multiplié : $3\times {\displaystyle \frac{4}{11}}={\displaystyle \frac{12}{11}}$. (Son résultat ${\displaystyle \frac{12}{33}}$ est égal à ${\displaystyle \frac{4}{11}}$ : rien n’a été multiplié.) (2)

Erreur fréquente — Le dénominateur donne la taille des parts : il ne s’additionne pas et ne se multiplie pas par l’entier.

1. a)${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{8}}$ : ${\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$ kg (1)
2. b)$4\times {\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{12}{8}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ kg (1)
3. c)$4\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{4}{4}}=1$ kg (1)
4. d)$2={\displaystyle \frac{4}{2}}$ : ${\displaystyle \frac{4}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ kg (1)
5. e)${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4}{8}}$ : ${\displaystyle \frac{4}{8}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$ kg. Il reste assez de farine : elle peut faire le $5^{\text{e}}$ gâteau (il restera ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ kg). (1)

Le point clé — Pour soustraire une fraction d’un entier, on écrit l’entier avec le même dénominateur : $2={\displaystyle \frac{4}{2}}$.