Proportions et pourcentages

Calculer une proportion et l’écrire en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage ; pourcentages faciles (10 %, 25 %, 50 %, 75 %) et calcul mental ; appliquer un pourcentage à une quantité ; problèmes

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les pourcentages » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : calculer une proportion et l’exprimer en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage ; relier 10 %, 25 %, 50 %, 75 % à 1/10, 1/4, 1/2, 3/4 et les calculer de tête ; appliquer un pourcentage à une quantité (t % de N = t/100 × N). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et un devoir surveillé corrigé. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur.

Calculer une proportion

Une proportion compare une partie à un tout. « 12 élèves sur 40 sont gauchers » : la partie, ce sont les 12 gauchers ; le tout, ce sont les 40 élèves.

Ce qu’il faut savoir La proportion d’une partie dans un tout est la fraction

\frac{partie}{total}

.
On peut l’écrire de trois façons : en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.
Un pourcentage est une proportion ramenée à 100 : « pour cent » veut dire « sur 100 ». t % =

\frac{t}{100}

.
Nombre décimal → pourcentage : on multiplie par 100 (0,35 = 35 %). Pourcentage → nombre décimal : on divise par 100 (8 % = 0,08).

Pourcentage	Fraction sur 100	Fraction simplifiée	Nombre décimal	En mots
100 %	$\frac{100}{100}$	1	1	le tout
50 %	$\frac{50}{100}$	$\frac{1}{2}$	0,5	la moitié
25 %	$\frac{25}{100}$	$\frac{1}{4}$	0,25	le quart
75 %	$\frac{75}{100}$	$\frac{3}{4}$	0,75	les trois quarts
20 %	$\frac{20}{100}$	$\frac{1}{5}$	0,2	le cinquième
10 %	$\frac{10}{100}$	$\frac{1}{10}$	0,1	le dixième
1 %	$\frac{1}{100}$	$\frac{1}{100}$	0,01	le centième

Exemples

12 gauchers sur 40 élèves : $\frac{12}{40}$ = $\frac{3}{10}$ = $\frac{30}{100}$ . La proportion de gauchers est $\frac{3}{10}$ , soit 0,3, soit 30 %.

18 tirs réussis sur 25 : 25 × 4 = 100, donc on multiplie aussi 18 par 4 : $\frac{18}{25}$ = $\frac{72}{100}$ = 0,72 = 72 %.

Autre chemin : on calcule le quotient 18 ÷ 25 = 0,72, puis 0,72 = 72 %.

0,35 = $\frac{35}{100}$ = 35 % · $\frac{3}{5}$ = $\frac{60}{100}$ = 60 % · 8 % = $\frac{8}{100}$ = 0,08

Comparer deux groupes

Un pourcentage permet de comparer des groupes de tailles différentes, en les ramenant tous à 100.

Exemple

Classe A : 18 filles sur 30 élèves, $\frac{18}{30}$ = $\frac{60}{100}$ , soit 60 %. Classe B : 14 filles sur 20 élèves, $\frac{14}{20}$ = $\frac{70}{100}$ , soit 70 %.

Il y a moins de filles dans la classe B, mais leur proportion y est plus grande.

Le tout vaut 100 %

Les parts d’un même tout se complètent pour faire 100 % : un tee-shirt « 80 % coton » contient 100 − 80 = 20 % d’autres fibres. Sur un diagramme circulaire, le disque entier représente 100 %, un demi-disque 50 % et un quart de disque 25 %.

Réflexe — le total va toujours au dénominateur ; je cherche par quel nombre multiplier (ou diviser) le total pour obtenir 100.

Attention — 8 % = 0,08, et non 0,8 (qui vaut 80 %). Et « 8 sur 32 » vaut $\frac{8}{32}$ = $\frac{1}{4}$ = 25 %, ni 8 % ni 32 %.

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Pourcentages faciles : 10 %, 25 %, 50 %, 75 %

Quatre pourcentages correspondent à des fractions très simples : on les calcule de tête.

Ce qu’il faut savoir 50 % =

\frac{1}{2}

: c’est la moitié → on divise par 2.
25 % =

\frac{1}{4}

: c’est le quart → on divise par 4 (la moitié de la moitié).
75 % =

\frac{3}{4}

: ce sont les trois quarts → on divise par 4, puis on multiplie par 3.
10 % =

\frac{1}{10}

: c’est le dixième → on divise par 10.
100 %, c’est la quantité entière.

Exemples avec une quantité de 340

50 % de 340 : 340 ÷ 2 = 170

25 % de 340 : 170 ÷ 2 = 85 (la moitié de la moitié)

75 % de 340 : 340 ÷ 4 = 85, puis 85 × 3 = 255

10 % de 340 : 340 ÷ 10 = 34

Combiner les pourcentages faciles

À partir de 10 %, on obtient d’autres pourcentages : 20 % est le double de 10 %, 30 % vaut 3 fois 10 %, 5 % est la moitié de 10 %, et 15 % = 10 % + 5 %.

Exemples (toujours avec 340, dont 10 % valent 34)

20 % de 340 : 34 × 2 = 68 · 30 % de 340 : 34 × 3 = 102

5 % de 340 : 34 ÷ 2 = 17 · 15 % de 340 : 34 + 17 = 51

Astuce — on décompose un pourcentage en pourcentages faciles : 35 % = 25 % + 10 % et 45 % = 50 % − 5 %.

Exemples

35 % de 340 : 85 + 34 = 119 (25 % + 10 %)

45 % de 340 : 170 − 17 = 153 (50 % − 5 %)

Dans l’autre sens : retrouver le tout

Si l’on connaît le quart d’un nombre, le nombre entier vaut 4 quarts ; si l’on connaît son dixième, il vaut 10 dixièmes.

Exemples

25 % d’un nombre valent 9 : le quart vaut 9, donc le nombre vaut 9 × 4 = 36.

10 % d’un nombre valent 6 : le dixième vaut 6, donc le nombre vaut 6 × 10 = 60.

Réflexe — je traduis le pourcentage en fraction simple avant de calculer : « 25 % » devient « le quart ».

Attention — 25 % ne veut pas dire « diviser par 25 » : 25 % de 340, c’est 340 ÷ 4 = 85.

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Appliquer un pourcentage

Ce qu’il faut savoir Prendre t % d’une quantité N, c’est en prendre

\frac{t}{100}

:
t % de N = $\frac{t}{100}$ × N, c’est-à-dire N × t, puis on divise par 100.
1 % de N, c’est N ÷ 100. Le résultat est dans la même unité que la quantité N.

Calculer 35 % de 60 : trois méthodes

Méthode 1 (multiplier puis diviser) : 60 × 35 = 2 100, puis 2 100 ÷ 100 = 21.

Méthode 2 (passer par 1 %) : 1 % de 60 : 60 ÷ 100 = 0,6, puis 0,6 × 35 = 21.

Méthode 3 (nombre décimal) : 35 % = 0,35 et 60 × 0,35 = 21.

C’est la même idée que pour une fraction d’une quantité : prendre $\frac{3}{4}$ de 60, c’est 60 ÷ 4 = 15, puis 15 × 3 = 45. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100.

Dans un problème

Sur 450 élèves d’un collège, 62 % viennent à pied. 450 × 62 = 27 900, puis 27 900 ÷ 100 = 279 : 279 élèves viennent à pied.

Un sac de 60 kg contient 35 % de sable : il y a 21 kg de sable. Un pourcentage n’a pas d’unité, mais la part calculée en a une.

Réflexe — je contrôle avec les pourcentages faciles : 35 %, c’est plus que le quart et moins que la moitié. Pour 60 : entre 15 et 30, donc 21 est vraisemblable.

Attention — des pourcentages ne s’additionnent que s’ils portent sur le même total. 50 % d’une classe de 20 élèves et 50 % d’une classe de 30 élèves, c’est 10 + 15 = 25 élèves sur 50, soit encore 50 %, et non 100 %.

Pour la suite — Les augmentations et réductions en pourcentage se verront au cycle 4.

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À retenir

Proportion = partie ÷ total : elle s’écrit en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : t % = t/100. Décimal → pourcentage : × 100 ; pourcentage → décimal : ÷ 100.
50 % = moitié (÷ 2) ; 25 % = quart (÷ 4) ; 75 % = trois quarts (÷ 4 puis × 3) ; 10 % = dixième (÷ 10).
t % de N : N × t, puis ÷ 100 (ou passer par 1 % = N ÷ 100). Le résultat garde l’unité de N.
Les parts d’un même tout font 100 % ; des pourcentages de totaux différents ne s’additionnent pas.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une proportion ?

C’est la part d’un tout, écrite sous la forme partie ÷ total. 12 gauchers sur 40 élèves : la proportion est 12/40 = 3/10. On peut l’écrire en fraction (3/10), en nombre décimal (0,3) ou en pourcentage (30 %).

Comment transformer une proportion en pourcentage ?

On cherche la fraction égale de dénominateur 100. Pour 18 sur 25 : 25 × 4 = 100, donc on multiplie aussi 18 par 4 : 18/25 = 72/100 = 72 %. Autre chemin : 18 ÷ 25 = 0,72, et 0,72 = 72 %.

Comment calculer de tête 10 %, 25 %, 50 % et 75 % d’un nombre ?

50 %, c’est la moitié (÷ 2) ; 25 %, le quart (÷ 4) ; 75 %, les trois quarts (÷ 4 puis × 3) ; 10 %, le dixième (÷ 10). Pour 340 : 170, 85, 255 et 34.

Comment calculer un pourcentage quelconque d’une quantité ?

Prendre t % de N, c’est multiplier N par t puis diviser par 100. Pour 35 % de 60 : 60 × 35 = 2 100, puis 2 100 ÷ 100 = 21. Le résultat garde l’unité de la quantité : 35 % de 60 € font 21 €.

Pourquoi 8 % ne vaut-il pas 0,8 ?

Parce que 8 % = 8/100 = 0,08. Pour passer d’un pourcentage à un nombre décimal, on divise par 100 ; 0,8, c’est 80/100, donc 80 %.

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