Additionner, soustraire et multiplier des fractions par un entier

Additionner et soustraire des fractions de même dénominateur ou dont un dénominateur est multiple de l’autre, ajouter ou retirer un entier, multiplier une fraction par un entier, simplifier le résultat quand c’est simple ; problèmes

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benprofparticulier.frMathématiques · 6ᵉ

Fiche méthode

(Mathématiques 6ᵉ · Nombres et calculs · Fractions)

La démarche pour calculer avec des fractions

1. Je regarde l’opération. Addition ou soustraction : je compare les dénominateurs. Multiplication par un entier : je passe à l’étape 2.

2. Je calcule. Addition, soustraction : même dénominateur, puis je calcule les numérateurs. Multiplication : je multiplie le numérateur.

3. Je simplifie le résultat si c’est possible (parfois, on obtient un entier).

Le réflexe — le dénominateur ne s’additionne pas et ne se multiplie pas : il donne la taille des parts.

Cas 1 · Additionner et soustraire des fractions

Réflexe — même dénominateur : je calcule les numérateurs et je garde le dénominateur ; sinon, j’écris la fraction au plus petit dénominateur avec le plus grand ; un entier s’écrit comme une fraction.

Exemple 1. Calculer $\frac{7}{15} + \frac{2}{15}$ .

Même dénominateur : $7 + 2 = 9$ .

$\frac{7}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ (je divise le numérateur et le dénominateur par $3$ ).

Exemple 2. Calculer $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$ et $4 - \frac{5}{3}$ .

$10 = 5 \times 2$ : $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$ , donc $\frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ .

$4 = \frac{12}{3}$ , donc $4 - \frac{5}{3} = \frac{12}{3} - \frac{5}{3} = \frac{7}{3}$ .

Attention — on transforme le numérateur ET le dénominateur : $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$ , pas $\frac{2}{10}$ .

Cas 2 · Multiplier une fraction par un entier

Réflexe — je multiplie le numérateur par l’entier, je garde le dénominateur, puis je simplifie si c’est possible.

Exemple 1. Calculer $7 \times \frac{3}{10}$ .

$7 \times 3 = 21$ ; le dénominateur reste $10$ .

$7 \times \frac{3}{10} = \frac{21}{10}$ .

Exemple 2. Calculer $6 \times \frac{7}{8}$ et $12 \times \frac{5}{6}$ .

$6 \times \frac{7}{8} = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$ (je divise par $2$ ).

$12 \times \frac{5}{6} = \frac{60}{6} = 10$ ( $60 \div 6 = 10$ ).

Attention — $\frac{3}{10} \times 7 = 7 \times \frac{3}{10}$ : l’ordre ne change rien.

Les pièges

Additionner les dénominateurs : $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ , pas $\frac{3}{8}$ .
Multiplier aussi le dénominateur : $2 \times \frac{3}{7} = \frac{6}{7}$ , pas $\frac{6}{14}$ .
Oublier de transformer une fraction : $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ ne vaut pas $\frac{2}{6}$ ; $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ , donc $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
Mal écrire l’entier : $2 - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$ ; on écrit $2$ avec le dénominateur $5$ .

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