Les fractions

1. a)Numérateur $7$ : le nombre de parts prises ; dénominateur $12$ : le nombre de parts égales de l'unité. (1)
2. b)${\displaystyle \frac{5}{11}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{2}}$. (1)
3. c)Il a inversé les rôles : « cinq huitièmes » s'écrit ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ ; ${\displaystyle \frac{8}{5}}$ se lit « huit cinquièmes ». (1)
4. d)Les $4$ morceaux ne sont pas égaux : on ne peut pas compter « $1$ morceau sur $4$ ». Il faut $8$ morceaux comme celui de Sam pour faire toute la pizza (la moitié en vaut $4$, le quart $2$, plus les $2$ huitièmes : $4+2+2=8$). Sam a mangé ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ de la pizza. (1)

Repère — Le dénominateur partage, le numérateur compte : « cinq huitièmes », ce sont $5$ parts d'une unité partagée en $8$.

1. a)$96÷8=12$ puis $12\times 5=60$. (1)
2. b)Une part : $7÷5=1,4$ € ; on en prend $4$ : $1,4\times 4=5,6$ €, soit $5,60$ €. (Ou d'abord $7\times 4=28$, puis $28÷5=5,6$.) (1)
3. c)Non : il a échangé les rôles ($112÷3=37,33\dots$). On divise par le dénominateur puis on multiplie par le numérateur : $28÷4=7$, puis $7\times 3=21$. (1)
4. d)Il a recopié les chiffres au lieu de diviser. ${\displaystyle \frac{7}{2}}=7÷2=3,5$ : contrôle $2\times 3,5=7$, alors que $2\times 7,2=14,4$. ${\displaystyle \frac{7}{9}}=7÷9=0,777\dots$ : la division ne s'arrête jamais, ${\displaystyle \frac{7}{9}}$ n'a pas d'écriture décimale ; d'ailleurs $9\times 0,7=6,3$, et non $7$. (1)

Méthode — « ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ de… » : une part (division par $b$), puis $a$ parts (multiplication par $a$).

1. a)$5$ petits traits découpent l'unité en $6$ intervalles (on compte les espaces, pas les traits). Chaque intervalle vaut ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ : le $5^e$ petit trait est $5$ intervalles après $0$, il repère ${\displaystyle \frac{5}{6}}$. (1)
2. b)$13$ intervalles. $13=6\times 2+1$, donc ${\displaystyle \frac{13}{6}}=2+{\displaystyle \frac{1}{6}}$ et $2<{\displaystyle \frac{13}{6}}<3$. (1)
3. c)$3\times 6=18$ intervalles : $3={\displaystyle \frac{18}{6}}$. (1)
4. d)Entre $2$ et $3$, il y a $6$ intervalles : le milieu est $3$ intervalles après $2$. Jusqu'à la graduation $2$ : $2\times 6=12$ intervalles ; $12+3=15$. T a pour abscisse ${\displaystyle \frac{15}{6}}$, et ${\displaystyle \frac{15}{6}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$ (÷ $3$). (1)

Attention — On compte les intervalles, pas les traits : entre $0$ et $1$, il y a $6$ intervalles mais seulement $5$ petits traits.

1. a)$8\times 7=56$, donc $7\times 7=49$ : ${\displaystyle \frac{7}{8}}={\displaystyle \frac{49}{56}}$. $7\times 9=63$, donc $8\times 9=72$ : ${\displaystyle \frac{7}{8}}={\displaystyle \frac{63}{72}}$. (1)
2. b)$36÷3=12$ : on divise le dénominateur par $3$, donc aussi le numérateur : $45÷3=15$. ${\displaystyle \frac{15}{12}}={\displaystyle \frac{45}{36}}$. (1)
3. c)Pairs : ${\displaystyle \frac{90}{252}}={\displaystyle \frac{45}{126}}$ (÷ $2$). $45$ et $126$ sont dans la table de $9$ ($45=9\times 5$ et $126÷9=14$) : ${\displaystyle \frac{45}{126}}={\displaystyle \frac{5}{14}}$ (÷ $9$). $5$ et $14$ n'ont plus de diviseur commun : ${\displaystyle \frac{90}{252}}={\displaystyle \frac{5}{14}}$ (en une étape : ÷ $18$). (1)
4. d)${\displaystyle \frac{3}{5}}$ de $120$ : $120÷5=24$, puis $24\times 3=72$. ${\displaystyle \frac{6}{8}}$ de $120$ : $120÷8=15$, puis $15\times 6=90$. On n'obtient pas le même nombre ($72$ et $90$) : les deux fractions ne sont pas égales. Ajouter un même nombre en haut et en bas change la fraction. (1)

Erreur fréquente — Ajouter le même nombre en haut et en bas change la fraction ; seules la multiplication et la division conservent sa valeur.

1. a)$480÷12=40$, puis $40\times 7=280$ romans. (1)
2. b)${\displaystyle \frac{72}{480}}$. Table de $8$ : ${\displaystyle \frac{72}{480}}={\displaystyle \frac{9}{60}}$ ; table de $3$ : ${\displaystyle \frac{9}{60}}={\displaystyle \frac{3}{20}}$ ($3$ et $20$ n'ont plus de diviseur commun). ${\displaystyle \frac{3}{20}}={\displaystyle \frac{15}{100}}=0,15$ (× $5$ en haut et en bas). (1)
3. c)$480÷8=60$, puis $60\times 9=540$ emprunts. C'est plus que $480$ car ${\displaystyle \frac{9}{8}}$ est plus grand que $1$ ($9>8$). (1)
4. d)Le total contient $5$ parts de $480$ livres : $480\times 5=2400$ livres. (1)

Le point clé — Une fraction d'une quantité peut dépasser cette quantité (${\displaystyle \frac{9}{8}}>1$) ; « à l'envers », si ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ du total vaut $480$, le total contient $5$ parts de $480$.