Qu'est-ce qu'une fraction en 6e ?

Une fraction $\frac{a}{b}$ représente un partage : on découpe une unité en $b$ parts égales (le dénominateur) et on en prend $a$ (le numérateur). Par exemple $\frac{3}{4}$ veut dire « 3 parts sur 4 ».

Comment calculer une fraction d'une quantité ?

Pour prendre $\frac{a}{b}$ d'une quantité, on divise la quantité par le dénominateur $b$, puis on multiplie le résultat par le numérateur $a$. Exemple : $\frac{3}{4}$ de $20 = (20 \div 4) \times 3 = 15$.

Comment savoir si deux fractions sont égales ?

Deux fractions sont égales si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) le numérateur ET le dénominateur par le même nombre. Par exemple $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{5}{10}$.

Collège · 6ᵉ · Mathématiques

Les fractions

Comprendre, représenter et utiliser les fractions : partage, fractions et droite graduée, fractions égales et calculs simples (programme de 6e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les fractions » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une fraction ? Vocabulaire, Fraction d'une quantité, Fractions et droite graduée, Fractions égales et simplification. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.

Qu'est-ce qu'une fraction ? Vocabulaire

Une fraction sert à représenter une partie d'un tout ou un partage. Quand on partage une pizza en parts égales et qu'on en prend quelques-unes, on utilise une fraction pour dire combien.

Définition. Une fraction s'écrit $\dfrac{a}{b}$ (avec $b \neq 0$). Elle signifie : on partage une unité en $b$ parts égales, et on en prend $a$.
On lit $\dfrac{a}{b}$ « $a$ sur $b$ ». $a$ (le nombre du haut) est le numérateur : il dit combien de parts on prend. $b$ (le nombre du bas) est le dénominateur : il dit en combien de parts on a découpé l'unité.

Exemple. Une tablette de chocolat est partagée en $4$ carrés égaux. Si on en mange $3$, on a mangé $\dfrac{3}{4}$ (« trois quarts ») de la tablette.

Fraction	Se lit
$\dfrac{2}{5}$	deux cinquièmes
$\dfrac{1}{2}$	un demi
$\dfrac{1}{3}$	un tiers

Attention ! Les parts doivent être égales. Si on découpe en parts inégales, on ne peut pas utiliser de fraction.

Fraction d'une quantité

Prendre une fraction d'une quantité, c'est en prendre une partie. On le fait en deux étapes.

Méthode. Pour calculer $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité :
1. on divise la quantité par le dénominateur $b$ (on trouve une part) ;
2. on multiplie ce résultat par le numérateur $a$.

Exemple. Combien font les $\dfrac{3}{4}$ de $20$ € ?
1. Une part : $20 \div 4 = 5$ €.
2. On en prend $3$ : $5 \times 3 = 15$ €.
Donc $\dfrac{3}{4}$ de $20$ € $= 15$ €.

Astuce. On peut aussi inverser l'ordre : multiplier d'abord par $a$ puis diviser par $b$. Pour $\dfrac{3}{4}$ de $20$ : $20 \times 3 = 60$, puis $60 \div 4 = 15$. On retrouve $15$.

Fractions et droite graduée

On peut placer une fraction sur une droite graduée, comme un nombre. Entre $0$ et $1$, on découpe en autant de parts que l'indique le dénominateur.

Règle. Pour placer $\dfrac{a}{b}$, on partage chaque unité en $b$ parts égales, puis on compte $a$ graduations à partir de $0$.

Exemple. Pour placer $\dfrac{2}{5}$ : on partage l'intervalle de $0$ à $1$ en $5$ parts égales, et on se place sur la 2ᵉ graduation.

Attention ! Une fraction peut être plus grande que $1$. Par exemple $\dfrac{7}{4}$ se place après le $1$ : c'est $1$ entier plus $\dfrac{3}{4}$.

Fractions égales et simplification

Plusieurs fractions différentes peuvent représenter la même quantité : ce sont des fractions égales.

Règle. On ne change pas la valeur d'une fraction si l'on multiplie (ou si l'on divise) le numérateur ET le dénominateur par un même nombre non nul.
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$.

Exemple. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$. De même $\dfrac{4}{6} = \dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3}$.

Fraction	Égale à	Comment
$\dfrac{2}{4}$	$\dfrac{1}{2}$	on divise par $2$
$\dfrac{3}{5}$	$\dfrac{6}{10}$	on multiplie par $2$
$\dfrac{10}{15}$	$\dfrac{2}{3}$	on divise par $5$

Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec des nombres plus petits en divisant le haut et le bas par le même nombre. $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.

Sur les trois barres ci-dessous, la même longueur est coloriée : ces fractions sont égales.

Comparer une fraction à 1

Il est utile de savoir d'un coup d'œil si une fraction est plus petite, égale ou plus grande que $1$.

Règle.
• Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que $1$ ($\dfrac{3}{4} \lt 1$).
• Si numérateur et dénominateur sont égaux, la fraction vaut $1$ ($\dfrac{5}{5} = 1$).
• Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que $1$ ($\dfrac{7}{4} \gt 1$).

Exemple. $\dfrac{2}{3} \lt 1$ car $2 \lt 3$. $\dfrac{9}{9} = 1$. $\dfrac{11}{8} \gt 1$ car $11 \gt 8$.

Astuce. Une fraction comme $\dfrac{4}{4}$, $\dfrac{6}{6}$ ou $\dfrac{20}{20}$ vaut toujours $1$ : le tout entier.

Fraction et écriture décimale

Certaines fractions, surtout celles de dénominateur $10$, $100$ ou $1000$, s'écrivent facilement avec une virgule (nombre décimal).

Règle. $\dfrac{a}{10}$ se lit en dixièmes, $\dfrac{a}{100}$ en centièmes.
$\dfrac{1}{10} = 0{,}1$ ; $\dfrac{1}{100} = 0{,}01$ ; $\dfrac{7}{10} = 0{,}7$ ; $\dfrac{25}{100} = 0{,}25$.

Exemple. $\dfrac{3}{10} = 0{,}3$ et $\dfrac{45}{100} = 0{,}45$. La fraction $\dfrac{1}{4}$ vaut aussi $0{,}25$ car $\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100}$.

Fraction	Écriture décimale
$\dfrac{1}{2}$	$0{,}5$
$\dfrac{1}{4}$	$0{,}25$
$\dfrac{3}{4}$	$0{,}75$
$\dfrac{1}{10}$	$0{,}1$

Attention ! Toutes les fractions ne donnent pas une écriture décimale simple. $\dfrac{1}{3}$ vaut $0{,}333\ldots$ : ce n'est pas un nombre décimal exact.

À retenir

$\dfrac{a}{b}$ = on partage l'unité en $b$ parts égales ($b$ = dénominateur) et on en prend $a$ ($a$ = numérateur).
Fraction d'une quantité : diviser par $b$, puis multiplier par $a$.
Fractions égales : on multiplie (ou divise) le haut ET le bas par le même nombre : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{10}$.
Comparer à $1$ : $\dfrac{a}{b} \lt 1$ si $a\lt b$, $= 1$ si $a=b$, $\gt 1$ si $a\gt b$.
$\dfrac{1}{10}=0{,}1$ ; $\dfrac{1}{4}=0{,}25$ ; $\dfrac{1}{2}=0{,}5$.

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