À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les fractions » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une fraction ?, Numérateur, dénominateur et vocabulaire, Fraction d'une quantité, Fractions et droite graduée. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une fraction ?
2 · Numérateur, dénominateur et vocabulaire
3 · Fraction d'une quantité
4 · Fractions et droite graduée
5 · Fractions égales et simplification
6 · Comparer une fraction à 1
7 · Fraction et écriture décimale
1Qu'est-ce qu'une fraction ?
Une fraction sert à représenter une partie d'un tout ou un partage. Quand on partage une pizza en parts égales et qu'on en prend quelques-unes, on utilise une fraction pour dire combien.
Définition. Une fraction s'écrit $\dfrac{a}{b}$ (avec $b \neq 0$). Elle signifie : on partage une unité en $b$ parts égales, et on en prend $a$.
On lit $\dfrac{a}{b}$ « $a$ sur $b$ ».
Exemple. Une tablette de chocolat est partagée en $4$ carrés égaux. Si on en mange $3$, on a mangé $\dfrac{3}{4}$ (« trois quarts ») de la tablette.
Attention ! Les parts doivent être égales. Si on découpe en parts inégales, on ne peut pas utiliser de fraction.
2Numérateur, dénominateur et vocabulaire
Dans une fraction, chaque nombre a un nom précis et un rôle bien défini.
Vocabulaire. Dans $\dfrac{a}{b}$ :
• $a$ (le nombre du haut) est le numérateur : il dit combien de parts on prend ;
• $b$ (le nombre du bas) est le dénominateur : il dit en combien de parts on a découpé l'unité.
Le trait du milieu est la barre de fraction.
| Fraction | Se lit | Numérateur | Dénominateur |
|---|
| $\dfrac{2}{5}$ | deux cinquièmes | $2$ | $5$ |
| $\dfrac{7}{10}$ | sept dixièmes | $7$ | $10$ |
| $\dfrac{1}{2}$ | un demi | $1$ | $2$ |
| $\dfrac{1}{3}$ | un tiers | $1$ | $3$ |
Astuce de lecture. Pour les dénominateurs $2$, $3$, $4$, on dit « demi », « tiers », « quart ». À partir de $5$, on ajoute « -ième » : cinquième, sixième, dixième…
3Fraction d'une quantité
Prendre une fraction d'une quantité, c'est en prendre une partie. On le fait en deux étapes.
Méthode. Pour calculer $\dfrac{a}{b}$ d'une quantité :
1. on divise la quantité par le dénominateur $b$ (on trouve une part) ;
2. on multiplie ce résultat par le numérateur $a$.
Exemple. Combien font les $\dfrac{3}{4}$ de $20$ € ?
1. Une part : $20 \div 4 = 5$ €.
2. On en prend $3$ : $5 \times 3 = 15$ €.
Donc $\dfrac{3}{4}$ de $20$ € $= 15$ €.
Astuce. On peut aussi inverser l'ordre : multiplier d'abord par $a$ puis diviser par $b$. Pour $\dfrac{3}{4}$ de $20$ : $20 \times 3 = 60$, puis $60 \div 4 = 15$. On retrouve $15$.
4Fractions et droite graduée
On peut placer une fraction sur une droite graduée, comme un nombre. Entre $0$ et $1$, on découpe en autant de parts que l'indique le dénominateur.
Règle. Pour placer $\dfrac{a}{b}$, on partage chaque unité en $b$ parts égales, puis on compte $a$ graduations à partir de $0$.
Exemple. Pour placer $\dfrac{2}{5}$ : on partage l'intervalle de $0$ à $1$ en $5$ parts égales, et on se place sur la 2ᵉ graduation.
Attention ! Une fraction peut être plus grande que $1$. Par exemple $\dfrac{7}{4}$ se place après le $1$ : c'est $1$ entier plus $\dfrac{3}{4}$.
5Fractions égales et simplification
Plusieurs fractions différentes peuvent représenter la même quantité : ce sont des fractions égales.
Règle. On ne change pas la valeur d'une fraction si l'on multiplie (ou si l'on divise) le numérateur ET le dénominateur par un même nombre non nul.
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$.
Exemple. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$. De même $\dfrac{4}{6} = \dfrac{4 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{2}{3}$.
| Fraction | Égale à | Comment |
|---|
| $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{1}{2}$ | on divise par $2$ |
| $\dfrac{3}{5}$ | $\dfrac{6}{10}$ | on multiplie par $2$ |
| $\dfrac{10}{15}$ | $\dfrac{2}{3}$ | on divise par $5$ |
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec des nombres plus petits en divisant le haut et le bas par le même nombre. $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.
6Comparer une fraction à 1
Il est utile de savoir d'un coup d'œil si une fraction est plus petite, égale ou plus grande que $1$.
Règle.
• Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que $1$ ($\dfrac{3}{4} < 1$).
• Si numérateur et dénominateur sont égaux, la fraction vaut $1$ ($\dfrac{5}{5} = 1$).
• Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que $1$ ($\dfrac{7}{4} > 1$).
Exemple. $\dfrac{2}{3} < 1$ car $2 < 3$. $\dfrac{9}{9} = 1$. $\dfrac{11}{8} > 1$ car $11 > 8$.
Astuce. Une fraction comme $\dfrac{4}{4}$, $\dfrac{6}{6}$ ou $\dfrac{20}{20}$ vaut toujours $1$ : le tout entier.
7Fraction et écriture décimale
Certaines fractions, surtout celles de dénominateur $10$, $100$ ou $1000$, s'écrivent facilement avec une virgule (nombre décimal).
Règle. $\dfrac{a}{10}$ se lit en dixièmes, $\dfrac{a}{100}$ en centièmes.
$\dfrac{1}{10} = 0{,}1$ ; $\dfrac{1}{100} = 0{,}01$ ; $\dfrac{7}{10} = 0{,}7$ ; $\dfrac{25}{100} = 0{,}25$.
Exemple. $\dfrac{3}{10} = 0{,}3$ et $\dfrac{45}{100} = 0{,}45$. La fraction $\dfrac{1}{4}$ vaut aussi $0{,}25$ car $\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100}$.
| Fraction | Écriture décimale |
|---|
| $\dfrac{1}{2}$ | $0{,}5$ |
| $\dfrac{1}{4}$ | $0{,}25$ |
| $\dfrac{3}{4}$ | $0{,}75$ |
| $\dfrac{1}{10}$ | $0{,}1$ |
Attention ! Toutes les fractions ne donnent pas une écriture décimale simple. $\dfrac{1}{3}$ vaut $0{,}333\ldots$ : ce n'est pas un nombre décimal exact.
★À retenir
À retenir :
• $\dfrac{a}{b}$ = on partage l'unité en $b$ parts égales ($b$ = dénominateur) et on en prend $a$ ($a$ = numérateur).
• Fraction d'une quantité : diviser par $b$, puis multiplier par $a$.
• Fractions égales : on multiplie (ou divise) le haut ET le bas par le même nombre : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{10}$.
• Comparer à $1$ : $\dfrac{a}{b} < 1$ si $a 1$ si $a>b$.
• $\dfrac{1}{10}=0{,}1$ ; $\dfrac{1}{4}=0{,}25$ ; $\dfrac{1}{2}=0{,}5$.