Représenter, écrire, comparer et calculer avec les fractions
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les fractions » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Une fraction, c'est un partage de l'unité, Représenter une fraction, Fractions et mesures (longueurs, durées…), Prendre une fraction d'une quantité. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Une fraction, c'est un partage de l'unité
2 · Représenter une fraction
3 · Fractions et mesures
4 · Prendre une fraction d'une quantité
5 · Fractions égales et simplification
6 · Fractions décimales et nombres décimaux
7 · Comparer des fractions de même dénominateur
8 · Fractions égales, inférieures ou supérieures à 1
1Une fraction, c'est un partage de l'unité
Quand on partage une unité (un gâteau, une barre, un disque…) en plusieurs parts égales, chaque part est une fraction de l'unité. La fraction s'écrit avec deux nombres séparés par une barre.
Définition. Une fraction est une écriture de la forme ab (avec b ≠ 0) :
le nombre du bas, le dénominateur, indique en combien de parts égales on partage l'unité ;
le nombre du haut, le numérateur, indique combien de parts on prend.
On lit 34 « trois quarts » : l'unité est coupée en 4 parts égales, et on en prend 3.
💡 Pour lire une fraction : on dit le numérateur, puis le nom du dénominateur. 12 « un demi », 13 « un tiers », 14 « un quart », 15 « un cinquième », 310 « trois dixièmes ».
⚠️ Le partage doit donner des parts égales ! Si un gâteau est coupé en 4 morceaux qui n'ont pas la même taille, on ne peut pas dire qu'un morceau vaut 14.
2Représenter une fraction
On peut montrer une fraction de plusieurs façons. Dans chaque cas, on partage l'unité en parts égales (autant que le dénominateur) puis on en colorie (ou repère) autant que le numérateur.
Avec un disque ou une barre
Voici 58 représenté sur une barre partagée en 8 parts égales :
5 parts coloriées sur 8 → 58
Sur une demi-droite graduée
Entre 0 et 1, on partage en autant d'intervalles que le dénominateur. Chaque petit trait vaut alors une fraction-unité. Ici on partage de 0 à 1 en 5, donc chaque trait vaut 15 :
Le point rouge est sur le 2ᵉ trait après 0 : son abscisse est 25.
💡 Sur la demi-droite, le dénominateur te dit en combien partager chaque unité ; le numérateur te dit combien de petits sauts faire à partir de 0.
3Fractions et mesures (longueurs, durées…)
Une fraction sert souvent à mesurer : on prend une longueur, une durée ou une quantité comme unité, puis on la partage.
Un demi-litre = 12 de litre = 0,5 L.
Un quart d'heure = 14 d'heure = 15 min.
Trois quarts d'heure = 34 d'heure = 45 min.
Un demi-mètre = 12 m = 50 cm.
Méthode. Pour mesurer avec une fraction ab de l'unité :
1) je partage l'unité en b parts égales (je calcule la valeur d'une part) ;
2) je multiplie cette part par a.
Exemple.34 d'heure : une part = 60 min ÷ 4 = 15 min, puis 15 × 3 = 45 min.
⚠️ « Un quart d'heure » ne veut pas dire « 4 minutes » : le 4 est le dénominateur (on partage en 4), pas le nombre de minutes.
4Prendre une fraction d'une quantité
Prendre ab d'une quantité, c'est la partager en b puis en garder a parts.
Méthode en 2 étapes.
1) On divise la quantité par le dénominateur b → on obtient une part (c'est 1b de la quantité) ;
2) On multiplie par le numérateur a → on obtient ab de la quantité.
Exemple 1. Dans une classe de 30 élèves, 25 portent des lunettes.
1) 30 ÷ 5 = 6 (un cinquième de la classe) ; 2) 6 × 2 = 12 élèves.
Exemple 2.34 de 20 € : 20 ÷ 4 = 5, puis 5 × 3 = 15 €.
💡 Petit truc : prendre 12, c'est diviser par 2 (la moitié) ; prendre 14, c'est diviser par 4 ; prendre 34, c'est prendre 3 fois le quart.
5Fractions égales et simplification
Une même quantité peut s'écrire avec plusieurs fractions différentes : ce sont des fractions égales. Regarde : la moitié d'une barre, c'est aussi 2 quarts, ou 4 huitièmes.
Règle. On ne change pas une fraction si on multiplie (ou si on divise) le numérateur ET le dénominateur par un même nombre (différent de 0).
12 = 24 = 48 = 510
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec des nombres plus petits, en divisant le haut et le bas par un même nombre.
Fraction
On divise par…
Fraction simplifiée
68
2
34
1015
5
23
912
3
34
💡 Pour vérifier que deux fractions sont égales, on peut faire les produits en croix : 34 et 68 → 3 × 8 = 24 et 4 × 6 = 24. Les produits sont égaux, donc les fractions le sont aussi.
6Fractions décimales et nombres décimaux
Définition. Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000… (1 suivi de zéros).
Ces fractions se transforment facilement en nombres à virgule : le dénominateur a autant de zéros que la partie décimale aura de chiffres.
Fraction décimale
Se lit
Écriture décimale
710
sept dixièmes
0,7
9100
neuf centièmes
0,09
25100
vingt-cinq centièmes
0,25
325100
trois-cent-vingt-cinq centièmes
3,25
Et dans l'autre sens, un nombre décimal s'écrit comme une fraction décimale :
0,3 = 310 · 0,07 = 7100 · 1,5 = 1510
💡 Certaines fractions « simples » sont aussi décimales après simplification : 12 = 510 = 0,5 · 14 = 25100 = 0,25 · 34 = 75100 = 0,75.
7Comparer des fractions de même dénominateur
Quand deux fractions ont le même dénominateur, les parts ont la même taille : il suffit de comparer le nombre de parts, donc les numérateurs.
Règle. Si les dénominateurs sont égaux, la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.
37 < 57 car 3 < 5
Sur la demi-droite, 37 est bien plus à gauche (plus petit) que 57.
Pour ranger plusieurs fractions de même dénominateur, on range simplement les numérateurs : 29 < 59 < 89.
⚠️ Cette règle ne marche que si les dénominateurs sont identiques ! Avec 12 et 15, le plus grand est 12 (une part de gâteau coupé en 2 est plus grosse qu'une part coupée en 5), même si 2 < 5.
8Fractions égales, inférieures ou supérieures à 1
On compare une fraction à 1 en regardant le numérateur et le dénominateur. Rappelle-toi : l'unité entière, c'est « toutes les parts », par exemple 44 = 1.
Une fraction supérieure à 1 « dépasse » l'unité. Sur la demi-droite, elle est à droite du 1. Par exemple 74, c'est 4 quarts (= 1) plus 3 quarts encore :
À retenir.84 = 2 (car 8 ÷ 4 = 2) · 63 = 2 · 105 = 2. Quand le numérateur est un multiple du dénominateur, la fraction est un nombre entier.
🎓 Récap express : dénominateur = en combien on partage, numérateur = combien on prend · on représente sur disque, barre ou demi-droite · prendre ab d'une quantité = ÷ b puis × a · on simplifie en divisant haut et bas par un même nombre · fractions décimales (/10, /100…) = nombres à virgule · même dénominateur → on compare les numérateurs · num < dén → < 1, num = dén → = 1, num > dén → > 1.