Les fractions

Q: Que représentent le numérateur et le dénominateur ?

Dans a/b, le dénominateur b (en bas) dit en combien de parts égales on partage l'unité ; le numérateur a (en haut) compte les parts prises. Trois quarts, c'est 3 parts d'une unité partagée en 4 : 3/4.

Q: Comment calculer une fraction d'une quantité ?

On divise la quantité par le dénominateur (une part), puis on multiplie par le numérateur : 3/4 de 20 €, c'est 20 ÷ 4 = 5 €, puis 5 × 3 = 15 €.

Q: Pourquoi dit-on qu'une fraction est un quotient ?

Parce que a/b est le nombre qui, multiplié par b, donne a : a/b = a ÷ b. Quand la division s'arrête, on obtient son écriture décimale (3/4 = 0,75) ; sinon (1/3 = 0,333…), la fraction n'a pas d'écriture décimale.

Q: Comment placer une fraction sur une demi-droite graduée ?

On partage chaque unité en autant d'intervalles que le dénominateur, puis on compte le numérateur à partir de 0. Pour l'encadrer entre deux entiers, on cherche les multiples du dénominateur qui entourent le numérateur : 8 = 5 × 1 + 3, donc 1 < 8/5 < 2.

Q: Comment simplifier une fraction ?

On divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre, en s'aidant des critères de divisibilité, jusqu'à ne plus pouvoir : 18/24 = 9/12 = 3/4. Multiplier ou diviser les deux par un même nombre non nul ne change pas la fraction ; ajouter un même nombre, si.

Fraction-partage et vocabulaire, fraction d’une quantité, fraction-quotient et écriture décimale ; placer et encadrer une fraction sur une demi-droite graduée ; fractions égales et simplification ; problèmes

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les fractions » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : lire et écrire une fraction (numérateur, dénominateur) ; prendre une fraction d'une quantité ; la fraction comme quotient et son écriture décimale ; repérer, placer et encadrer une fraction sur une demi-droite graduée ; reconnaître des fractions égales et simplifier une fraction. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et un devoir surveillé corrigé. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur.

Fraction d’une quantité

Quand on partage une unité (une tablette, une barre, une pizza…) en parts égales et qu’on en prend quelques-unes, on utilise une fraction.

Ce qu’il faut savoir La fraction

\frac{a}{b}

(avec b différent de 0) signifie : on partage l’unité en b parts égales et on en prend a.
a, le nombre du haut, est le numérateur : il compte les parts prises. b, le nombre du bas, est le dénominateur : il dit en combien de parts égales on a partagé l’unité.
On lit :

\frac{1}{2}

un demi ·

\frac{1}{3}

un tiers ·

\frac{1}{4}

un quart · puis cinquièmes, sixièmes, …, dixièmes, centièmes.

Exemples

La barre est partagée en 5 parts égales ; 2 sont coloriées : $\frac{2}{5}$ (« deux cinquièmes »).

Une tablette partagée en 4 carrés égaux ; on en mange 3 : on a mangé $\frac{3}{4}$ de la tablette (« trois quarts »).

Prendre une fraction d’une quantité

Ce qu’il faut savoir Pour calculer

\frac{a}{b}

d’une quantité :
1. je divise la quantité par le dénominateur b : j’obtiens une part ;
2. je multiplie cette part par le numérateur a.

Exemples

$\frac{3}{4}$ de 20 € : une part = 20 ÷ 4 = 5 € ; on en prend 3 : 5 × 3 = 15 €. Donc $\frac{3}{4}$ de 20 € font 15 €.

On peut aussi multiplier d’abord : 20 × 3 = 60, puis 60 ÷ 4 = 15. On retrouve 15 €.

$\frac{5}{6}$ de 42 L : 42 ÷ 6 = 7 L, puis 7 × 5 = 35 L.

À l’envers : si $\frac{1}{5}$ d’une somme vaut 8 €, la somme entière contient 5 parts de 8 € : 8 × 5 = 40 €.

La fraction, un quotient

Ce qu’il faut savoir

\frac{a}{b}

est le nombre qui, multiplié par b, donne a : b ×

\frac{a}{b}

= a.
C’est le quotient de a par b :

\frac{a}{b}

= a ÷ b.
Quand la division s’arrête, on obtient l’écriture décimale de la fraction.

Exemples

On partage 3 pizzas entre 4 amis : chacun reçoit $\frac{3}{4}$ de pizza, c’est-à-dire 3 ÷ 4 = 0,75 pizza. Contrôle : 4 × 0,75 = 3.

$\frac{8}{3}$ est le nombre qui, multiplié par 3, donne 8 : 3 × $\frac{8}{3}$ = 8.

Fractions décimales : $\frac{7}{10}$ = 0,7 (sept dixièmes) · $\frac{45}{100}$ = 0,45 (quarante-cinq centièmes).

À connaître : $\frac{1}{2}$ = 0,5 · $\frac{1}{4}$ = 0,25 · $\frac{3}{4}$ = 0,75.

$\frac{1}{3}$ = 1 ÷ 3 = 0,333… : la division ne s’arrête jamais, $\frac{1}{3}$ n’a pas d’écriture décimale.

Réflexe — « $\frac{a}{b}$ de… » : je divise par le dénominateur, puis je multiplie par le numérateur.

Attention — les parts doivent être égales, sinon on ne peut pas parler de fraction. Et ne confonds pas les rôles : pour $\frac{3}{4}$ , on divise par 4 et on multiplie par 3, pas l’inverse. Enfin $\frac{1}{3}$ n’est pas égal à 0,3.

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Placer une fraction sur une demi-droite graduée

Comme un nombre décimal, une fraction se place sur une demi-droite graduée d’origine 0. Le nombre qui repère un point est son abscisse : on écrit A( $\frac{2}{5}$ ) pour « le point A d’abscisse $\frac{2}{5}$ ».

Ce qu’il faut savoir Pour placer

\frac{a}{b}

:
1. je partage chaque unité en b parts égales : chaque petit intervalle vaut

\frac{1}{b}

;
2. je compte a petits intervalles à partir de 0.

Exemple

Entre 0 et 1, il y a 5 intervalles : chacun vaut $\frac{1}{5}$ .

A est 2 intervalles après 0 : A( $\frac{2}{5}$ ). B est 8 intervalles après 0 : B( $\frac{8}{5}$ ).

Une fraction peut dépasser 1

Ce qu’il faut savoir Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que 1 : elle se place entre 0 et 1.
Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction vaut 1 (on a pris toutes les parts).
Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que 1.

Exemples

$\frac{2}{5}$ < 1 car 2 < 5 · $\frac{5}{5}$ = 1 · $\frac{8}{5}$ > 1 car 8 > 5.

Encadrer une fraction entre deux entiers

Ce qu’il faut savoir Pour encadrer

\frac{a}{b}

entre deux entiers qui se suivent, je cherche les deux multiples de b qui entourent a (c’est la division euclidienne de a par b).
On peut alors écrire la fraction comme un entier plus une fraction plus petite que 1.

Exemples

$\frac{8}{5}$ : 8 = 5 × 1 + 3, donc $\frac{8}{5}$ = 1 + $\frac{3}{5}$ et 1 < $\frac{8}{5}$ < 2. Sur la figure, B est 3 intervalles après 1.

$\frac{23}{4}$ : 23 = 4 × 5 + 3, donc $\frac{23}{4}$ = 5 + $\frac{3}{4}$ et 5 < $\frac{23}{4}$ < 6.

$\frac{12}{4}$ : 12 = 4 × 3, il ne reste rien : $\frac{12}{4}$ = 3, le point est sur la graduation 3.

Réflexe — le dénominateur me dit en combien de parts je partage l’unité ; le numérateur, combien de parts je compte depuis 0.

Attention — je compte les intervalles, pas les traits : pour des cinquièmes, il y a 4 petits traits entre 0 et 1, mais 5 intervalles. Et la graduation 0 ne compte pas.

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Fractions égales et simplification

Plusieurs fractions différentes peuvent représenter la même quantité : ce sont des fractions égales.

Exemple

La même longueur est coloriée sur les trois barres : $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{8}{12}$ .

Ce qu’il faut savoir On ne change pas la valeur d’une fraction si l’on multiplie (ou si l’on divise) son numérateur ET son dénominateur par un même nombre non nul :

\frac{a}{b}

\frac{a × k}{b × k}

Exemples

$\frac{1}{2}$ = $\frac{1 × 3}{2 × 3}$ = $\frac{3}{6}$ · $\frac{3}{5}$ = $\frac{3 × 2}{5 × 2}$ = $\frac{6}{10}$

Compléter $\frac{2}{7}$ = $\frac{…}{28}$ : 7 × 4 = 28, donc je multiplie aussi le numérateur par 4 : 2 × 4 = 8, et $\frac{2}{7}$ = $\frac{8}{28}$ .

Un entier s’écrit avec le dénominateur que l’on veut : 2 = $\frac{2}{1}$ = $\frac{10}{5}$ = $\frac{14}{7}$ .

Simplifier une fraction

Ce qu’il faut savoir Simplifier une fraction, c’est l’écrire avec des nombres plus petits en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre (un diviseur commun).
On recommence jusqu’à ce qu’on ne puisse plus : la fraction est alors simplifiée au maximum.

Exemples

$\frac{10}{15}$ = $\frac{10 ÷ 5}{15 ÷ 5}$ = $\frac{2}{3}$ · $\frac{4}{6}$ = $\frac{4 ÷ 2}{6 ÷ 2}$ = $\frac{2}{3}$

$\frac{18}{24}$ : les deux nombres sont pairs, $\frac{18}{24}$ = $\frac{9}{12}$ ; 9 et 12 sont dans la table de 3, $\frac{9}{12}$ = $\frac{3}{4}$ . 3 et 4 n’ont plus de diviseur commun (autre que 1) : c’est fini. En une seule étape, on divise par 6.

Réflexe — pour simplifier, je teste les critères de divisibilité : les deux nombres sont-ils pairs ? dans la table de 3 ? de 5 ? de 9 ?

Attention — ajouter le même nombre en haut et en bas ne donne pas une fraction égale : $\frac{1}{2}$ et $\frac{2}{3}$ ne sont pas égales (la moitié n’est pas les deux tiers). Et on divise les deux nombres, jamais un seul.

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À retenir

$\frac{a}{b}$ : l’unité est partagée en b parts égales (dénominateur) et on en prend a (numérateur).
$\frac{a}{b}$ d’une quantité : je divise par b, puis je multiplie par a.
$\frac{a}{b}$ = a ÷ b, le nombre qui multiplié par b donne a ; quand la division s’arrête, on obtient son écriture décimale ( $\frac{3}{4}$ = 0,75).
Sur une demi-droite graduée, je partage l’unité en b intervalles et je compte a intervalles depuis 0 ; une fraction dont le numérateur dépasse le dénominateur est plus grande que 1.
Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas la fraction : c’est ainsi qu’on simplifie.

Questions fréquentes

Que représentent le numérateur et le dénominateur ?

Dans a/b, le dénominateur b (en bas) dit en combien de parts égales on partage l'unité ; le numérateur a (en haut) compte les parts prises. Trois quarts, c'est 3 parts d'une unité partagée en 4 : 3/4.

Comment calculer une fraction d'une quantité ?

On divise la quantité par le dénominateur (une part), puis on multiplie par le numérateur : 3/4 de 20 €, c'est 20 ÷ 4 = 5 €, puis 5 × 3 = 15 €.

Pourquoi dit-on qu'une fraction est un quotient ?

Parce que a/b est le nombre qui, multiplié par b, donne a : a/b = a ÷ b. Quand la division s'arrête, on obtient son écriture décimale (3/4 = 0,75) ; sinon (1/3 = 0,333…), la fraction n'a pas d'écriture décimale.

Comment placer une fraction sur une demi-droite graduée ?

On partage chaque unité en autant d'intervalles que le dénominateur, puis on compte le numérateur à partir de 0. Pour l'encadrer entre deux entiers, on cherche les multiples du dénominateur qui entourent le numérateur : 8 = 5 × 1 + 3, donc 1 < 8/5 < 2.

Comment simplifier une fraction ?

On divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre, en s'aidant des critères de divisibilité, jusqu'à ne plus pouvoir : 18/24 = 9/12 = 3/4. Multiplier ou diviser les deux par un même nombre non nul ne change pas la fraction ; ajouter un même nombre, si.

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