Comparer des fractions

Comparer des fractions de même dénominateur, comparer une fraction à 1, comparer deux fractions dont un dénominateur est un multiple de l’autre, ranger des fractions et s’aider de la demi-droite graduée

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Comparer des fractions » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : comparer des fractions de même dénominateur ; comparer une fraction à 1 (et à un entier) ; comparer deux fractions dont un dénominateur est un multiple de l'autre ; ranger des fractions dans l'ordre croissant ou décroissant ; utiliser la demi-droite graduée. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et un devoir surveillé corrigé. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur.

Comparer des fractions

Comparer deux nombres, c’est dire lequel est le plus petit, avec le signe < (« est plus petit que »), > (« est plus grand que ») ou =. Sur une demi-droite graduée, de deux nombres, le plus grand est toujours le plus à droite.

1. Des fractions de même dénominateur

Ce qu’il faut savoir Quand deux fractions ont le même dénominateur, l’unité est partagée en parts de même taille. La plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur : elle prend le plus de parts.

Exemples

$\frac{3}{5}$ < $\frac{4}{5}$ car 3 < 4 (3 parts d’un cinquième contre 4) : sur la demi-droite, $\frac{4}{5}$ est plus à droite.

$\frac{9}{7}$ > $\frac{6}{7}$ car 9 > 6.

Pour ranger $\frac{10}{11}$ , $\frac{2}{11}$ et $\frac{5}{11}$ , je range les numérateurs : 2 < 5 < 10, donc $\frac{2}{11}$ < $\frac{5}{11}$ < $\frac{10}{11}$ .

Réflexe — même dénominateur : je compare les numérateurs et je garde le même signe.

Attention — cette règle ne marche que si les dénominateurs sont égaux. Pour $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{8}$ , on a 3 < 5, et pourtant $\frac{3}{4}$ est la plus grande (on le verra en partie 3, car $\frac{3}{4}$ vaut $\frac{6}{8}$ ).

2. Comparer une fraction à 1

Ce qu’il faut savoir Une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur vaut 1 : 1 =

\frac{2}{2}

\frac{3}{3}

\frac{4}{4}

… (on prend toutes les parts).
• Numérateur plus petit que le dénominateur : la fraction est plus petite que 1 (placée avant 1).
• Numérateur égal au dénominateur : la fraction est égale à 1.
• Numérateur plus grand que le dénominateur : la fraction est plus grande que 1 (placée après 1).
De même, 2 =

\frac{6}{3}

\frac{10}{5}

, 3 =

\frac{9}{3}

\frac{12}{4}

: on peut comparer une fraction à n’importe quel entier.

Exemples

$\frac{4}{9}$ < 1 car 4 < 9 · $\frac{8}{8}$ = 1 · $\frac{11}{6}$ > 1 car 11 > 6

$\frac{7}{3}$ > 2 car 2 = $\frac{6}{3}$ et 7 > 6. Et $\frac{7}{3}$ < 3 car 3 = $\frac{9}{3}$ . Donc $\frac{7}{3}$ est compris entre les entiers 2 et 3.

Comparer $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{3}$ : $\frac{3}{4}$ < 1 et $\frac{5}{3}$ > 1, donc $\frac{3}{4}$ < $\frac{5}{3}$ . Le nombre 1 sert d’intermédiaire, sans aucun calcul.

Réflexe — je compare le numérateur au dénominateur : plus petit, la fraction est avant 1 ; plus grand, elle est après 1.

Attention — une fraction n’est pas toujours plus petite que 1 : $\frac{11}{6}$ , c’est 6 sixièmes (une unité entière) et encore 5 sixièmes, donc plus que 1.

3. Un dénominateur multiple de l’autre, et ranger

Ce qu’il faut savoir Si le dénominateur de l’une est un multiple du dénominateur de l’autre, je transforme la fraction qui a le plus petit dénominateur : je multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre, pour obtenir le même dénominateur. La fraction ne change pas de valeur.
Puis je compare les numérateurs, et je conclus avec les fractions de départ.

Comparer

\frac{2}{3}

\frac{7}{12}

12 = 3 × 4 : 12 est un multiple de 3.

$\frac{2}{3}$ = $\frac{2 × 4}{3 × 4}$ = $\frac{8}{12}$

8 > 7, donc $\frac{8}{12}$ > $\frac{7}{12}$ , c’est-à-dire $\frac{2}{3}$ > $\frac{7}{12}$ .

Comparer

\frac{5}{4}

\frac{11}{8}

8 = 4 × 2 ; $\frac{5}{4}$ = $\frac{5 × 2}{4 × 2}$ = $\frac{10}{8}$ . Or 10 < 11, donc $\frac{5}{4}$ < $\frac{11}{8}$ .

Ranger des fractions Ranger dans l’ordre croissant, c’est du plus petit au plus grand, avec <. Dans l’ordre décroissant, du plus grand au plus petit, avec >.
J’écris toutes les fractions avec le même dénominateur, je range les numérateurs, puis je réécris les fractions de départ.

Ranger

\frac{5}{6}

\frac{2}{3}

\frac{1}{2}

\frac{7}{6}

dans l’ordre croissant

6 est un multiple de 3 et de 2 : $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{6}$ et $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{6}$ .

3 < 4 < 5 < 7, donc $\frac{3}{6}$ < $\frac{4}{6}$ < $\frac{5}{6}$ < $\frac{7}{6}$ .

$\frac{1}{2}$ < $\frac{2}{3}$ < $\frac{5}{6}$ < $\frac{7}{6}$

Intercaler : trouver une fraction entre

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

En quarts : $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$ . Entre $\frac{2}{4}$ et $\frac{3}{4}$ , il n’y a aucun quart.

En huitièmes : $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{8}$ et $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$ . Donc $\frac{5}{8}$ convient : $\frac{1}{2}$ < $\frac{5}{8}$ < $\frac{3}{4}$ .

Réflexe — je regarde si le plus grand dénominateur est dans la table de l’autre (12 = 3 × 4), puis je multiplie en haut ET en bas par le même nombre.

Attention — multiplier seulement le dénominateur change la fraction : $\frac{2}{3}$ n’est pas égale à $\frac{2}{12}$ . Et la réponse s’écrit avec les fractions de départ.

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À retenir

Même dénominateur : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.
Numérateur plus petit que le dénominateur : fraction plus petite que 1 ; égal : fraction égale à 1 ; plus grand : fraction plus grande que 1.
Un dénominateur multiple de l’autre : on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre pour avoir le même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
Ordre croissant : du plus petit au plus grand (<) ; ordre décroissant : du plus grand au plus petit (>).
Sur une demi-droite graduée, la plus grande fraction est la plus à droite ; 1 peut servir d’intermédiaire.

Questions fréquentes

Comment comparer deux fractions qui ont le même dénominateur ?

On compare les numérateurs : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur, car les parts ont toutes la même taille. Par exemple 8/15 > 4/15 car 8 > 4.

Comment savoir si une fraction est plus petite ou plus grande que 1 ?

On compare le numérateur au dénominateur. S'il est plus petit, la fraction est plus petite que 1 (7/12 < 1) ; s'ils sont égaux, elle vaut 1 (12/12 = 1) ; s'il est plus grand, elle est plus grande que 1 (15/12 > 1).

Comment comparer deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur en 6e ?

En 6e, l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre. On multiplie le numérateur et le dénominateur de l'autre fraction par le même nombre pour obtenir le même dénominateur : 3/5 = 6/10, et 6/10 < 7/10, donc 3/5 < 7/10.

Comment ranger des fractions dans l'ordre croissant ?

On les écrit toutes avec le même dénominateur, on range les numérateurs du plus petit au plus grand, puis on réécrit les fractions de départ avec le signe < : 1/4 = 2/8, donc 1/8 < 1/4 < 3/8.

À quoi sert la demi-droite graduée pour comparer des fractions ?

Sur une demi-droite graduée, la plus grande de deux fractions est la plus à droite. Les fractions plus petites que 1 sont placées entre 0 et 1, celles qui sont plus grandes que 1 sont placées après 1.

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