Devoir surveillé : opérations, priorités et divisibilité

1. a)$A=8+42$ (le produit d'abord), puis $A=50$. La dernière opération effectuée est l'addition : $A$ est une somme, dont les termes sont $8$ et $6\times 7$. (0,5 pt pour le calcul + 0,5 pt pour « somme ») (1)
2. b)Les deux opérations prioritaires d'abord : $B=9-6$, puis $B=3$. (0,5 pt pour $9-6$ + 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)La barre de fraction : on calcule le numérateur et le dénominateur en entier. Numérateur : $40-16=24$ ; dénominateur : $6$. $C={\displaystyle \frac{24}{6}}=4$. (0,5 pt pour $24$ et $6$ + 0,5 pt pour $4$) (1)
4. d)$D=5\times 5+4,5÷0,5$ (parenthèse) ; $D=25+9$ (diviser par $0,5$, c'est doubler : $4,5\times 2=9$) ; $D=34$. (0,5 pt pour $25$ + 0,5 pt pour $9$ et le résultat) (1)

Méthode — une ligne par étape : d'abord les parenthèses, puis × et ÷, enfin + et − ; avec une barre de fraction, on calcule le numérateur et le dénominateur en entier avant de diviser.

1. a)$7\times (20+3)=7\times 20+7\times 3=140+21=161$. Contrôle : $7\times 23=161$. (0,5 pt pour le développement + 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)$3\times (20-0,4)=3\times 20-3\times 0,4=60-1,2=58,8$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Le facteur commun est $6$ : $27\times 6+73\times 6=(27+73)\times 6=100\times 6=600$. (0,5 pt pour la factorisation + 0,5 pt pour $600$) (1)
4. d)$98=100-2$, donc $24\times 98=24\times (100-2)=24\times 100-24\times 2=2400-48=2352$. (0,5 pt pour le découpage + 0,5 pt pour le résultat ; 0 pour $2400-2$) (1)

Erreur fréquente — le facteur placé devant la parenthèse multiplie chaque terme : $3\times (20-0,4)$ vaut $60-1,2$, et non $60-0,4$.

1. a)$0,6$ a un chiffre après la virgule : on multiplie les deux nombres par $10$. $4,2÷0,6=42÷6=7$. $0,03$ a deux chiffres après la virgule : on multiplie par $100$. $1,8÷0,03=180÷3=60$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Diviser par $0,1$, c'est multiplier par $10$ : $2,3÷0,1=23$. Diviser par $0,01$, c'est multiplier par $100$ : $0,46÷0,01=46$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)On multiplie par $10$ : $9,12÷2,4=91,2÷24$. $91÷24$ : $3$, il reste $19$. On abaisse le $2$ (les dixièmes) et on écrit la virgule : $192÷24$ : $8$, il reste $0$. Donc $9,12÷2,4=3,8$. Contrôle : $3,8\times 2,4=9,12$. (0,5 pt pour la transformation + 0,5 pt pour la division + 0,5 pt pour le contrôle) (1)
4. d)$19,6÷4,9\approx 20÷5=4$. Calcul : $19,6÷4,9=196÷49=4$ (car $49\times 4=196$). (0,5 pt : ordre de grandeur et quotient) (1)

Astuce — diviser par $0,1$ revient à multiplier par $10$, diviser par $0,01$ à multiplier par $100$ : le quotient est alors plus grand que le dividende.

1. a)$252=12\times 21+0$ : le quotient est $21$ et le reste $0$. Donc « $252$ est divisible par $12$ » et « $12$ est un diviseur de $252$ » (on peut aussi dire : $252$ est un multiple de $12$). (0,5 pt pour la division + 0,5 pt pour les deux phrases) (1)
2. b)Par $2$ (chiffre des unités pair) : $1708$ et $2520$. Par $5$ (unités $0$ ou $5$) : $3465$ et $2520$. Sommes des chiffres : $3465\to 18$ ; $1708\to 16$ ; $2520\to 9$ ; $9071\to 17$. Par $3$ : $3465$ et $2520$ ($18$ et $9$ sont dans la table de $3$). Par $9$ : $3465$ et $2520$ aussi ($18$ et $9$ sont dans la table de $9$). $9071$ n'est divisible par aucun de ces nombres. (0,5 pt pour $2$ et $5$ + 0,5 pt pour les sommes + 0,5 pt pour $3$ et $9$) (1)
3. c)$56=1\times 56=2\times 28=4\times 14=7\times 8$ ; $3$ ne convient pas ($5+6=11$), ni $5$ (unités $6$), ni $6$ ($56=6\times 9+2$) ; après $7\times 8$ on retomberait sur $8\times 7$. Diviseurs de $56$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $7$ ; $8$ ; $14$ ; $28$ ; $56$. (1 pt ; 0,5 pt s'il en manque un) (1)
4. d)La somme des chiffres $7+◻+2=9+◻$ doit être dans la table de $3$ : $9$, $12$, $15$ ou $18$. Donc □ $=0$, $3$, $6$ ou $9$ (les nombres $702$, $732$, $762$, $792$). (0,5 pt pour les quatre chiffres) (1)

Piège — pour $3$ et $9$, le dernier chiffre ne dit rien : c'est la somme de tous les chiffres qui compte ; $1708$ est pair, mais $1+7+0+8=16$ n'est pas dans la table de $3$.

1. a)Bénéfice : $34\times 1,5+26\times 0,5-21=51+13-21=43$. La classe gagne $43$ €. (0,5 pt pour l'expression + 0,5 pt pour les produits + 0,5 pt pour le résultat) (1,33333)
2. b)$1,5÷0,25=150÷25=6$ (on multiplie les deux nombres par $100$). On remplit $6$ gobelets. Contrôle : $6\times 0,25=1,5$. (1 pt) (1,33333)
3. c)$8$ sachets : $48=8\times 6$, mais $36=8\times 4+4$ ; $8$ n'est pas un diviseur de $36$, donc c'est impossible. $12$ sachets : $48=12\times 4$ et $36=12\times 3$ ; $12$ divise les deux nombres, donc c'est possible, avec $4$ chouquettes et $3$ madeleines par sachet. (0,5 pt pour $8$ + 0,5 pt pour $12$ + 0,5 pt pour le contenu) (1,33333)

Méthode — pour faire des sachets identiques sans reste, le nombre de sachets doit être un diviseur de chacune des deux quantités : c'est un diviseur commun.

1. a)Dans la parenthèse, le produit d'abord : $A=7+3\times (12-8)$ ; $A=7+3\times 4$ ; $A=7+12$ ; $A=19$. (0,5 pt pour la parenthèse + 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)$÷$ et $\times$ ont la même priorité : de gauche à droite. $B=45-9\times 3$ ; $B=45-27$ ; $B=18$. (1 pt ; 0 pour $45-36÷12=42$) (1)
3. c)Numérateur : $2,4\times 5+3=12+3=15$. $C={\displaystyle \frac{15}{1,5}}=15÷1,5=150÷15=10$. (0,5 pt pour $15$ + 0,5 pt pour la division) (1)
4. d)La soustraction doit passer avant la division : il faut des parenthèses. $(4,5\times 2-3)÷0,4=(9-3)÷0,4=6÷0,4=60÷4=15$. (0,5 pt pour l'expression avec ses parenthèses + 0,5 pt pour $15$) (1)

Piège — à priorité égale, on calcule de gauche à droite : dans $36÷4\times 3$, on divise d'abord ($9\times 3=27$), on ne commence pas par $4\times 3$.

1. a)Yanis a tort : $-$ et $+$ ont la même priorité, on calcule de gauche à droite : $20-8=12$, puis $12+2=14$. Il a calculé $8+2$ en premier. (0,5 pt + 0,5 pt pour $14$) (1)
2. b)Léna a raison : $7\times 102=7\times (100+2)=700+14=714$. (1 pt avec la justification) (1)
3. c)Noé a tort : $0,3$ est plus petit que $1$, donc le quotient doit être plus grand que $12,6$. On multiplie par $10$ : $12,6÷0,3=126÷3=42$. Contrôle : $42\times 0,3=12,6$. (0,5 pt pour l'argument + 0,5 pt pour $42$) (1)
4. d)Hugo a tort : il oublie $1$. Diviseurs de $24$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $12$ ; $24$. Diviseurs de $30$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $5$ ; $6$ ; $10$ ; $15$ ; $30$. Diviseurs communs : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $6$. (0,5 pt pour les listes + 0,5 pt pour la bonne réponse) (1)

Erreur fréquente — dans une liste de diviseurs, ou de diviseurs communs, on oublie souvent $1$, qui divise tous les nombres entiers.

1. a)$3,98=4-0,02$, donc $15\times 3,98=15\times (4-0,02)=15\times 4-15\times 0,02=60-0,3=59,7$. (0,5 pt pour le découpage + 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)$36\times 101=36\times (100+1)=3600+36=3636$. (0,5 pt pour le découpage + 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)Facteur commun $6,4$ : $6,4\times (115-15)=6,4\times 100=640$. (0,5 pt pour la factorisation + 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)$14\times 49=14\times (50-1)=14\times 50-14\times 1=700-14=686$. (0,5 pt pour le découpage + 0,5 pt pour le résultat) (1)

Méthode — avant de poser une multiplication, je cherche un facteur proche d'un nombre rond ($3,98$ près de $4$, $49$ près de $50$, $101$ près de $100$) ou un facteur commun à deux produits ; je retire bien le produit ($15\times 0,02$), pas seulement l'écart.

1. a)Chiffre des unités $0$ : divisible par $2$, par $5$ et par $10$. Somme des chiffres : $4+3+5+0=12$, dans la table de $3$ mais pas dans celle de $9$ : divisible par $3$, pas par $9$. (0,5 pt pour $2$, $5$, $10$ + 0,5 pt pour $3$ et $9$) (1)
2. b)$60=1\times 60=2\times 30=3\times 20=4\times 15=5\times 12=6\times 10$ ; $7$, $8$ et $9$ ne conviennent pas, et $10$ est déjà trouvé. Diviseurs de $60$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$ ; $10$ ; $12$ ; $15$ ; $20$ ; $30$ ; $60$. (1 pt ; 0,5 pt s'il en manque un ou deux) (1)
3. c)Le chiffre des unités est $5$ : le nombre est toujours divisible par $5$. Pour $3$, la somme $3+◻+5=8+◻$ doit valoir $9$, $12$ ou $15$ : □ $=1$, $4$ ou $7$ (les nombres $315$, $345$, $375$). (0,5 pt pour le $5$ + 0,5 pt pour les trois chiffres) (1)
4. d)On cherche le plus petit multiple commun non nul de $12$ et $18$. Table de $18$ : $18$ (pas un multiple de $12$), $36=12\times 3$. Ils s'allument de nouveau ensemble $36$ secondes plus tard, à $21$ h $0$ min $36$ s. (0,5 pt pour $36$ + 0,5 pt pour l'heure) (1)

Astuce — pour trouver le premier multiple commun, je parcours la table du plus grand des deux nombres ($18$, $36$…) et je m'arrête au premier qui est aussi dans l'autre table.

1. a)Somme rendue : $50-(4\times 2,30+6\times 1,85)=50-(9,20+11,10)=50-20,30=29,70$. Le commerçant rend $29,70$ €. (0,5 pt pour l'expression avec ses parenthèses + 0,5 pt pour les produits + 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)Jus : $4\times 1,5=6$ L. $6÷0,2=60÷2=30$ verres (contrôle : $30\times 0,2=6$). Pour deux verres chacun, il en faudrait $28\times 2=56$ ; or $30<56$ : non, chaque élève n'aura qu'un verre (et il en restera $2$). (0,5 pt pour $30$ verres + 0,5 pt pour la comparaison) (1)
3. c)$2,30÷1,5=23÷15=1,533\dots$ Le chiffre des millièmes est $3$ : l'arrondi au centime est $1,53$. Un litre coûte environ $1,53$ €. (0,5 pt pour la transformation + 0,5 pt pour l'arrondi) (1)
4. d)Biscuits : $6\times 24=144$. Division euclidienne : $144=28\times 5+4$. Le reste n'est pas $0$ : on ne peut pas tout partager ($5$ biscuits chacun, il en reste $4$). (0,5 pt) (1)

Piège — dans une seule expression, les parenthèses autour des achats sont indispensables : $50-4\times 2,30+6\times 1,85$ ajouterait le prix des biscuits au lieu de le retirer.

1. a)L'élève a calculé $30-6$ en premier ; or la multiplication et la division passent avant la soustraction et l'addition. $30-12+2=18+2=20$. (0,5 pt pour l'explication + 0,5 pt pour $20$) (1)
2. b)L'élève a multiplié le dividende par $10$ et le diviseur par $100$ : le quotient change. $0,12$ a deux chiffres après la virgule, on multiplie les deux nombres par $100$ : $360÷12=30$. Contrôle : $30\times 0,12=3,6$ ; et le quotient devait dépasser $3,6$, puisque $0,12<1$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Le second terme $11$ s'écrit $11\times 1$ : il reste $1$ dans la parenthèse, pas $0$. $11\times 7+11=11\times (7+1)=11\times 8=88$. Contrôle : $77+11=88$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Il manque $1$, $48$ et une paire de diviseurs : $48=1\times 48=2\times 24=3\times 16=4\times 12=6\times 8$ ($5$ et $7$ ne conviennent pas ; après $6\times 8$, on retomberait sur $8\times 6$). Diviseurs de $48$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $12$ ; $16$ ; $24$ ; $48$. (0,5 pt pour l'erreur + 0,5 pt pour la liste complète) (1)

Méthode — pour vérifier une ligne, je contrôle autrement : un ordre de grandeur, la multiplication inverse (quotient × diviseur = dividende), ou je redéveloppe une factorisation.

1. a)Divisible par $5$ : chiffre des unités $0$ ou $5$ ; impair : ce n'est pas $0$. Le nombre s'écrit $4◻5$. Pour $9$ : $4+◻+5=9+◻$ doit être dans la table de $9$, donc $9$ ou $18$ : □ $=0$ ou □ $=9$. Les nombres possibles sont $405$ et $495$. (0,5 pt pour le chiffre $5$ + 0,5 pt pour la somme + 0,5 pt pour les deux nombres) (1,33333)
2. b)On factorise : $17\times 36+17\times 45=17\times (36+45)=17\times 81$. Or $81=9\times 9$, donc le nombre est égal à $17\times 9\times 9$ : c'est un multiple de $9$. (Contrôle : $17\times 81=1377$, et $1+3+7+7=18$.) (0,5 pt pour la factorisation + 0,5 pt pour la conclusion) (1,33333)
3. c)Un multiple de $10$ se termine par $0$ : on parcourt $10$ ; $20$ ; $30$… Multiples de $10$ et de $8$ : $40$ ; $80$ ; $120$… ($40=8\times 5$, $80=8\times 10$). $40$ et $80$ ne sont pas des multiples de $6$ ($40=6\times 6+4$, $80=6\times 13+2$). $120=6\times 20=8\times 15=10\times 12$. La réponse est $120$. (1 pt pour la recherche + 0,5 pt pour $120$ ; 0,5 pt seulement pour $480$, multiple commun mais pas le plus petit) (1,33333)

Piège — le produit $6\times 8\times 10=480$ est bien un multiple commun, mais pas le plus petit : il faut chercher dans l'ordre, en parcourant la table du plus grand nombre.

1. a)$(3+5)\times (8-2)=8\times 6=48$ ; $3+5\times (8-2)=3+30=33$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1,33333)
2. b)Pour $1,5$ : $(1,5+2,5)\times 4-2\times 1,5=4\times 4-3=16-3=13$. Pour $7$ : $(7+2,5)\times 4-2\times 7=9,5\times 4-14=38-14=24$. (0,5 pt pour une expression correcte avec ses parenthèses + 0,5 pt par résultat) (1,33333)
3. c)Vérification : $2\times 1,5+10=13$ et $2\times 7+10=24$ : les deux exemples confirment. Explication : $(7+2,5)\times 4=7\times 4+2,5\times 4=7\times 4+10$. On soustrait ensuite $7\times 2$ : il reste $7\times 4-7\times 2=7\times (4-2)=7\times 2$, plus $10$. Le résultat est bien $2\times 7+10$. Le même raisonnement marche avec n'importe quel nombre choisi : quatre fois le nombre, moins deux fois le nombre, donnent deux fois le nombre. (0,5 pt pour la vérification + 0,5 pt pour le développement + 0,5 pt pour la conclusion) (1,33333)

Astuce — la distributivité explique les « tours de magie » des programmes de calcul : en développant, on voit ce qui se compense et ce qui reste.

1. a)En décimètres : $22,5$ m $=225$ dm et $13,5$ m $=135$ dm. Le côté doit être un diviseur commun de $225$ et de $135$. Diviseurs de $135$ : $1$ ; $3$ ; $5$ ; $9$ ; $15$ ; $27$ ; $45$ ; $135$. Diviseurs de $225$ : $1$ ; $3$ ; $5$ ; $9$ ; $15$ ; $25$ ; $45$ ; $75$ ; $225$. Le plus grand diviseur commun est $45$ : le côté mesure $45$ dm, soit $4,5$ m. (0,5 pt pour la conversion + 0,5 pt pour les listes + 0,5 pt pour $45$ dm $=4,5$ m) (1,25)
2. b)Dans la longueur : $225÷45=5$ parcelles ; dans la largeur : $135÷45=3$ parcelles. En tout : $5\times 3=15$ parcelles. (0,5 pt) (1,25)
3. c)Périmètre en mètres : $2\times (22,5+13,5)$. Nombre de rouleaux : $2\times (22,5+13,5)÷12,5=2\times 36÷12,5=72÷12,5=720÷125=5,76$. Cinq rouleaux ne suffisent pas ($5\times 12,5=62,5$ m $<72$ m) : il faut acheter $6$ rouleaux (valeur par excès). (0,5 pt pour l'expression + 0,5 pt pour $5,76$ + 0,5 pt pour $6$ rouleaux) (1,25)
4. d)$200÷7,5=2000÷75=26,66\dots$ On ne compte que les arrosoirs pleins : $26$ (valeur par défaut). Reste : $200-26\times 7,5=200-195=5$ L. (0,5 pt pour la division + 0,5 pt pour $26$ + 0,5 pt pour $5$ L) (1,25)

Méthode — on passe d'abord à une unité qui donne des nombres entiers (ici le décimètre) avant de chercher des diviseurs communs ; puis on lit la situation pour choisir la valeur par excès (grillage suffisant) ou par défaut (arrosoirs pleins).

1. a)Les deux facteurs ont en tout deux chiffres après la virgule : $3,6\times 4,7=16,92$ (ordre de grandeur : $4\times 5=20$). (0,5 pt) (0,75)
2. b)On multiplie le dividende et le diviseur par $10$ : $169,2÷4,7=1692÷47=36$, puisque $36\times 47=1692$. (1 pt) (0,75)
3. c)On multiplie les deux nombres par $100$ : $16,92÷0,36=1692÷36=47$. Contrôle : $47\times 0,36=16,92$. (1 pt) (0,75)
4. d)$36\times 48=36\times (47+1)=1692+36=1728$. (0,5 pt) (0,75)

Erreur fréquente — croire qu'on peut multiplier seulement le diviseur : un quotient ne change que si l'on multiplie le dividende et le diviseur par le même nombre ($16,92÷0,36=1692÷36$).