Fiche de révision : multiples, diviseurs, divisibilité

Multiple, diviseur et « est divisible par » (division euclidienne de reste nul), critères de divisibilité par 2, 5 et 10, liste des diviseurs, multiples communs et diviseurs communs, critères de divisibilité par 3 et par 9 (somme des chiffres), critère de divisibilité par 4 en complément (deux derniers chiffres) ; chiffre manquant et problèmes.

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Opérations : multiples, diviseurs et critères de divisibilité

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Nombres et calculs · Opérations)

La démarche pour savoir si un nombre est divisible par un autre

1. Je regarde le diviseur. Pour 2, 5 ou 10 : le chiffre des unités. Pour 4 : les deux derniers chiffres. Pour 3 ou 9 : la somme des chiffres.

2. Sinon, je divise. Je pose la division euclidienne et je regarde le reste.

3. Je conclus avec la bonne phrase : « … est divisible par … », « … est un multiple de … » ou « … est un diviseur de … ».

Le réflexe — reste 0 = divisible ; un critère évite de poser la division, mais il faut choisir le bon (unités, deux derniers chiffres ou somme des chiffres).

Cas 1 · Multiple, diviseur et critères par 2, 5 et 10

Réflexe — pour $2$ , $5$ ou $10$ , je regarde seulement le chiffre des unités ; sinon, je pose la division euclidienne : reste $0$ = divisible.

Exemple 1. $221$ est-il divisible par $13$ ?

$221 \div 13$ : $17$ , il reste $0$ . Donc $221 = 13 \times 17$ .

$221$ est divisible par $13$ : c’est un multiple de $13$ , et $13$ est un diviseur de $221$ .

Exemple 2. Parmi $2$ , $5$ et $10$ , par quels nombres $3 090$ et $8 415$ sont-ils divisibles ?

$3 090$ se termine par $0$ : divisible par $2$ , par $5$ et par $10$ .

$8 415$ se termine par $5$ : divisible par $5$ seulement (il est impair et ne se termine pas par $0$ ).

Attention — se terminer par $5$ ne suffit pas pour être divisible par $10$ ; et c’est le chiffre des unités qui compte, pas le premier chiffre.

Cas 2 · Liste des diviseurs, multiples et diviseurs communs

Réflexe — pour la liste des diviseurs, je cherche les paires de produits en essayant $1$ , $2$ , $3$ … ; pour un multiple commun, je parcours la table du plus grand des deux nombres.

Exemple 1. Trouver tous les diviseurs de $42$ .

$42 = 1 \times 42 = 2 \times 21 = 3 \times 14 = 6 \times 7$ . Ni $4$ ni $5$ ne conviennent, et $7$ est déjà trouvé.

Diviseurs de $42$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $6$ ; $7$ ; $14$ ; $21$ ; $42$ .

Exemple 2. Trouver le plus petit multiple commun non nul de $9$ et $15$ .

Multiples de $15$ : $15$ ; $30$ ; $45$ . $15$ et $30$ ne sont pas dans la table de $9$ , mais $45 = 9 \times 5$ .

C’est $45$ .

Attention — ne pas oublier $1$ et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.

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Cas 3 · Critères de divisibilité par 3 et par 9

Réflexe — j’additionne tous les chiffres : somme dans la table de $3$ → divisible par $3$ ; dans la table de $9$ → divisible par $9$ .

Exemple 1. $5 214$ est-il divisible par $3$ ? par $9$ ?

$5 + 2 + 1 + 4 = 12$ : $12$ est dans la table de $3$ , pas dans celle de $9$ .

$5 214$ est divisible par $3$ , pas par $9$ .

Exemple 2. Trouver le chiffre $◻$ pour que $2 ◻ 6$ soit divisible par $9$ .

$2 + 6 = 8$ ; il faut $8 + ◻ = 9$ ( $18$ est trop grand), donc $◻ = 1$ : $216 = 9 \times 24$ .

Attention — divisible par $3$ ne veut pas dire divisible par $9$ , et le dernier chiffre ne compte pas plus que les autres.

Cas 4 · Critère de divisibilité par 4 (complément)

Réflexe — je cache tout sauf les deux derniers chiffres et je cherche ce nombre dans la table de $4$ .

Exemple. $8 536$ et $1 674$ sont-ils divisibles par $4$ ?

$36 = 4 \times 9$ : $8 536$ est divisible par $4$ .

$74 = 4 \times 18 + 2$ : $1 674$ n’est pas divisible par $4$ , bien qu’il soit pair.

Attention — un nombre pair n’est pas toujours divisible par $4$ ; on regarde les deux derniers chiffres, pas seulement le dernier.

Les pièges

Écrire « $6$ est un multiple de $78$ » : c’est $78$ qui est un multiple de $6$ , et $6$ un diviseur de $78$ .
Croire qu’un nombre qui se termine par $5$ est divisible par $10$ : $1 245 = 10 \times 124 + 5$ .
Regarder le dernier chiffre pour $3$ ou $9$ : $43$ se termine par $3$ mais $4 + 3 = 7$ , il n’est pas divisible par $3$ .
Croire qu’un multiple de $3$ est un multiple de $9$ : $21 = 3 \times 7$ n’est pas dans la table de $9$ .
Croire qu’un nombre pair est divisible par $4$ : $70$ est pair, mais $70 = 4 \times 17 + 2$ .

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour savoir si un nombre est divisible par un autre : choisir le bon critère ou poser la division euclidienne, puis conclure avec la bonne phrase. Un exemple corrigé par cas (division de 221 par 13, chiffre des unités, liste des diviseurs de 42, somme des chiffres, deux derniers chiffres) et les pièges classiques.

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