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Opérations : la distributivité simple
Multiplier un nombre par une somme ou une différence avec la distributivité simple : développer k × (a + b) et k × (a − b) ; factoriser une somme de produits qui ont un facteur commun, comme 3 × 23 + 7 × 23 = 10 × 23 ; calculer astucieusement de tête, comme 12 × 99 ou 25 × 104 ; problèmes.
À propos de cette page
Développer : k × (a + b) et k × (a − b)
En 6e, on a déjà utilisé la distributivité pour multiplier de tête par 11 : on multiplie par 10, puis on ajoute encore une fois le nombre. En 5e, on l’écrit comme une règle valable pour tous les nombres, entiers ou décimaux.
k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b
Le facteur k est distribué : il multiplie chaque terme de la parenthèse. Transformer ainsi un produit en somme (ou en différence), c’est développer.
La règle marche aussi quand la parenthèse est écrite en premier : (a + b) × k = a × k + b × k.
Pourquoi ça marche ? Le grand rectangle ci-dessous mesure 4 sur 7 + 3. Son aire est 4 × (7 + 3) = 4 × 10 = 40. On peut aussi additionner les aires des deux petits rectangles : 4 × 7 + 4 × 3 = 28 + 12 = 40. Les deux calculs donnent la même aire.
6 × (10 + 3) = 6 × 10 + 6 × 3 = 60 + 18 = 78
5 × (20 − 2) = 5 × 20 − 5 × 2 = 100 − 10 = 90
Avec des décimaux : 4 × (2,5 + 0,3) = 4 × 2,5 + 4 × 0,3 = 10 + 1,2 = 11,2
Parenthèse écrite en premier : (8 + 0,5) × 6 = 8 × 6 + 0,5 × 6 = 48 + 3 = 51
Avec trois termes, même règle : 2 × (30 + 4 + 0,5) = 2 × 30 + 2 × 4 + 2 × 0,5 = 60 + 8 + 1 = 69
Pour vérifier un développement, on peut calculer d’abord la parenthèse : 6 × 13 = 78 ✓. Dans k × a + k × b, les produits se calculent avant l’addition (priorités opératoires).
Réflexe — je trace une flèche du facteur vers chaque terme de la parenthèse : autant de termes, autant de produits.
Attention — 7 × (10 + 4) n’est pas égal à 7 × 10 + 4 : le 4 aussi doit être multiplié par 7. On trouve 7 × (10 + 4) = 70 + 28 = 98 (et non 74). Et la distributivité ne s’applique pas à un produit : 3 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60.
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Factoriser : faire apparaître un facteur commun
La règle de la partie 1 se lit aussi de droite à gauche. Quand deux produits ont un nombre en commun, on peut les regrouper en un seul produit.
k × a + k × b = k × (a + b) et k × a − k × b = k × (a − b)
Le nombre k, présent dans les deux produits, est le facteur commun. Transformer ainsi une somme (ou une différence) en produit, c’est factoriser.
Le facteur commun peut être écrit à droite : a × k + b × k = (a + b) × k.
3 × 23 + 7 × 23 = (3 + 7) × 23 = 10 × 23 = 230 (facteur commun : 23)
14 × 8 − 4 × 8 = (14 − 4) × 8 = 10 × 8 = 80 (facteur commun : 8)
2,5 × 13 + 2,5 × 7 = 2,5 × (13 + 7) = 2,5 × 20 = 50 (facteur commun : 2,5)
Facteur commun caché : 9 × 6 + 9 = 9 × 6 + 9 × 1 = 9 × (6 + 1) = 9 × 7 = 63
Développer ou factoriser ?
| Je pars de… | J’obtiens… | J’ai… |
|---|---|---|
| un produit : 5 × (20 − 2) | une différence : 5 × 20 − 5 × 2 | développé |
| une somme : 3 × 23 + 7 × 23 | un produit : (3 + 7) × 23 | factorisé |
Réflexe — je cherche le nombre présent dans les deux produits ; je l’écris une seule fois, devant (ou derrière) la parenthèse, et je mets dans la parenthèse ce qui reste de chaque produit, avec le même signe + ou −. Pour vérifier, je redéveloppe.
Attention — dans 9 × 6 + 9, ce qui reste du second terme est 1, pas 0, car 9 = 9 × 1. Et sans facteur commun, on ne peut pas factoriser ainsi : dans 3 × 5 + 4 × 7, aucun nombre n’est présent dans les deux produits.
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Calculer astucieusement avec la distributivité
La distributivité sert surtout à calculer de tête des produits qui ont l’air difficiles. En 6e, on l’a fait pour × 9, × 11, × 99 ou × 101 ; en 5e, on choisit soi-même le découpage, dans un sens ou dans l’autre.
Je factorise quand deux produits ont un facteur commun et que les autres facteurs donnent, ensemble, un nombre rond.
12 × 99 = 12 × (100 − 1) = 12 × 100 − 12 × 1 = 1 200 − 12 = 1 188
25 × 104 = 25 × (100 + 4) = 25 × 100 + 25 × 4 = 2 500 + 100 = 2 600
7 × 48 = 7 × (50 − 2) = 7 × 50 − 7 × 2 = 350 − 14 = 336
3,5 × 102 = 3,5 × (100 + 2) = 3,5 × 100 + 3,5 × 2 = 350 + 7 = 357
4 × 1,99 = 4 × (2 − 0,01) = 4 × 2 − 4 × 0,01 = 8 − 0,04 = 7,96
0,7 × 36 + 0,7 × 64 = 0,7 × (36 + 64) = 0,7 × 100 = 70
17 × 47 − 17 × 37 = 17 × (47 − 37) = 17 × 10 = 170
Dans un problème
Une sortie coûte 19 € par élève, pour 26 élèves. Prix total : 26 × 19 = 26 × (20 − 1) = 26 × 20 − 26 × 1 = 520 − 26 = 494 €.
Réflexe — avant de poser une multiplication, je regarde si un facteur est proche d’un nombre rond, ou si deux produits ont un facteur commun : le calcul se fait alors de tête.
Attention — on retire (ou on ajoute) le bon produit : 7 × 48 = 350 − 14 (et non 350 − 2). Et le découpage doit garder la même valeur : 48 = 50 − 2 (et non 50 + 2).
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Pour aller plus loin
Avant ce chapitre — nommer un calcul (somme, produit, termes, facteurs) et respecter les priorités opératoires (dans k × a + k × b, les produits se calculent avant l’addition) : voir Opérations : vocabulaire et priorités opératoires.
Ensuite — la même règle avec des lettres, comme 3 × (x + 2) = 3x + 6 : développer, factoriser et réduire une expression littérale, voir Calcul littéral : développer, factoriser, réduire.
À savoir — multiplier deux sommes entre elles, comme (a + b) × (c + d), s’appelle la double distributivité : elle se verra en 3e.
- Distributivité simple, pour tous nombres k, a et b : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b.
- Développer : transformer un produit en somme ou en différence ; le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse.
- Factoriser : transformer une somme ou une différence de produits en un seul produit, avec le facteur commun : 3 × 23 + 7 × 23 = (3 + 7) × 23.
- Un nombre seul compte pour une fois lui-même : 9 = 9 × 1, il reste 1 dans la parenthèse.
- Calcul astucieux : découper un facteur avec un nombre rond (12 × 99 = 1 200 − 12) ou regrouper deux produits qui ont un facteur commun.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la distributivité simple ?
C’est la règle qui permet de multiplier un nombre par une somme ou par une différence : on multiplie ce nombre par chaque terme, puis on additionne ou on soustrait. Pour tous nombres k, a et b : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Par exemple 6 × (10 + 3) = 60 + 18 = 78.
Que veut dire développer un produit ?
Développer, c’est transformer un produit en somme ou en différence grâce à la distributivité : 5 × (20 − 2) = 5 × 20 − 5 × 2 = 100 − 10 = 90. Le facteur 5 multiplie les deux termes de la parenthèse, pas seulement le premier.
Que veut dire factoriser une somme ?
Factoriser, c’est faire l’inverse : transformer une somme ou une différence de produits en un seul produit, en repérant le facteur commun. Dans 14 × 8 − 4 × 8, le facteur commun est 8 : 14 × 8 − 4 × 8 = (14 − 4) × 8 = 10 × 8 = 80.
Comment calculer 12 × 99 de tête ?
On écrit 99 comme 100 − 1, puis on développe : 12 × 99 = 12 × (100 − 1) = 1 200 − 12 = 1 188. De la même façon, 25 × 104 = 25 × (100 + 4) = 2 500 + 100 = 2 600.
Quand faut-il développer et quand faut-il factoriser pour calculer vite ?
On développe quand un facteur est proche d’un nombre rond, par exemple 48 = 50 − 2. On factorise quand deux produits ont un facteur commun et que les autres facteurs donnent ensemble un nombre rond : 3 × 23 + 7 × 23 = 10 × 23 = 230.
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