Opérations : la distributivité simple

Multiplier un nombre par une somme ou une différence avec la distributivité simple : développer k × (a + b) et k × (a − b) ; factoriser une somme de produits qui ont un facteur commun, comme 3 × 23 + 7 × 23 = 10 × 23 ; calculer astucieusement de tête, comme 12 × 99 ou 25 × 104 ; problèmes.

À propos de cette page

Des exercices corrigés de 5e classés par cas et par difficulté : compléter un développement, retrouver un nombre manquant, factoriser avec un facteur commun écrit à gauche ou à droite, et calculer de tête des produits comme 35 × 99 ou 18 × 205.

9 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Développer k × (a + b) et k × (a − b)

Réflexe — le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse ; je calcule les produits, puis la somme ou la différence. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Développe : écris les deux produits, puis le résultat.

$3 \times (20 + 5) =$ $+$ $=$
Le facteur $3$ multiplie chaque terme : $3 \times 20 + 3 \times 5 = 60 + 15 = 75$ .
$8 \times (10 - 1) =$ $-$ $=$
$8 \times 10 - 8 \times 1 = 80 - 8 = 72$ .
$(50 + 4) \times 2 =$ $+$ $=$
La parenthèse est écrite en premier : $50 \times 2 + 4 \times 2 = 100 + 8 = 108$ .
$6 \times (5 - 0, 5) =$ $-$ $=$
$6 \times 5 - 6 \times 0, 5 = 30 - 3 = 27$ .

Exercice 2★★★Moyen

Développe sur ton brouillon (étape avec les produits), puis donne le résultat.

$12 \times (10 + 3) =$
$12 \times 10 + 12 \times 3 = 120 + 36 = 156$ .
$5 \times (4 + 0, 6) =$
$5 \times 4 + 5 \times 0, 6 = 20 + 3 = 23$ .
$(9 - 0, 2) \times 3 =$
$9 \times 3 - 0, 2 \times 3 = 27 - 0, 6 = 26, 4$ .
$11 \times (20 - 3) =$
$11 \times 20 - 11 \times 3 = 220 - 33 = 187$ .

Exercice 3★★★Difficile

Trouve le nombre qui manque pour que l’égalité soit vraie.

$7 \times ($ $+ 4) = 70 + 28$
$7 \times 10 = 70$ et $7 \times 4 = 28$ : le nombre qui manque est $10$ .
$30 + 45 =$ $\times (6 + 9)$
Le facteur multiplie $6$ et $9$ : $5 \times 6 = 30$ et $5 \times 9 = 45$ . C’est $5$ .
$4 \times (25 -$ $) = 100 - 12$
$4 \times 25 = 100$ et $4 \times 3 = 12$ : le nombre qui manque est $3$ .
$(7 + 0, 5) \times$ $= 28 + 2$
$7 \times 4 = 28$ et $0, 5 \times 4 = 2$ : le facteur est $4$ .

Cas 2Factoriser avec un facteur commun

Réflexe — je repère le facteur commun aux deux produits, je l’écris une seule fois et je mets le reste entre parenthèses, avec le même signe. Revoir la méthode →

Exercice 4★★★Facile

Factorise : complète par la parenthèse calculée, puis donne le résultat.

$6 \times 17 + 4 \times 17 =$ $\times 17 =$
Facteur commun $17$ : $(6 + 4) \times 17 = 10 \times 17 = 170$ .
$9 \times 15 - 9 \times 5 = 9 \times$ $=$
Facteur commun $9$ , le signe $-$ reste dans la parenthèse : $9 \times (15 - 5) = 9 \times 10 = 90$ .
$32 \times 4 + 68 \times 4 =$ $\times 4 =$
Facteur commun $4$ , écrit à droite : $(32 + 68) \times 4 = 100 \times 4 = 400$ .
$1, 5 \times 6 + 1, 5 \times 4 = 1, 5 \times$ $=$
Facteur commun $1, 5$ : $1, 5 \times (6 + 4) = 1, 5 \times 10 = 15$ .

Exercice 5★★★Moyen

Factorise sur ton brouillon, puis calcule de tête.

$27 \times 8 + 27 \times 2 =$
$27 \times (8 + 2) = 27 \times 10 = 270$ .
$45 \times 13 - 45 \times 3 =$
$45 \times (13 - 3) = 45 \times 10 = 450$ .
$3, 2 \times 7 + 3, 2 \times 3 =$
$3, 2 \times (7 + 3) = 3, 2 \times 10 = 32$ .
$56 \times 11 - 56 =$
Le nombre seul vaut $56 \times 1$ : $56 \times (11 - 1) = 56 \times 10 = 560$ .

Exercice 6★★★Difficile

Trouve le facteur commun, même s’il n’est pas écrit à la même place, puis calcule.

$8 \times 19 + 19 \times 2 =$
Le facteur commun $19$ est à droite dans le premier produit et à gauche dans le second : $(8 + 2) \times 19 = 10 \times 19 = 190$ .
$0, 4 \times 7 + 0, 6 \times 7 =$
Facteur commun $7$ : $(0, 4 + 0, 6) \times 7 = 1 \times 7 = 7$ .
$31 + 31 \times 9 =$
Le nombre seul vaut $31 \times 1$ : $31 \times (1 + 9) = 31 \times 10 = 310$ .
$12 \times 7, 5 - 2 \times 7, 5 =$
Facteur commun $7, 5$ : $(12 - 2) \times 7, 5 = 10 \times 7, 5 = 75$ .

Cas 3Calculer astucieusement

Réflexe — un facteur proche d’un nombre rond : je découpe et je développe ; deux produits qui ont un facteur commun : je factorise. Revoir la méthode →

Exercice 7★★★Facile

Complète le découpage, puis calcule de tête.

$16 \times 102 = 16 \times (100 +$ $) =$
$102 = 100 + 2$ : $16 \times 100 + 16 \times 2 = 1 600 + 32 = 1 632$ .
$9 \times 49 = 9 \times ($ $- 1) =$
$49 = 50 - 1$ : $9 \times 50 - 9 \times 1 = 450 - 9 = 441$ .
$6 \times 998 = 6 \times (1 000 -$ $) =$
$998 = 1 000 - 2$ : $6 \times 1 000 - 6 \times 2 = 6 000 - 12 = 5 988$ .

Exercice 8★★★Moyen

Calcule de tête en choisissant toi-même le découpage.

$35 \times 99 =$
$35 \times (100 - 1) = 3 500 - 35 = 3 465$ .
$8 \times 51 =$
$8 \times (50 + 1) = 400 + 8 = 408$ .
$25 \times 12 =$
$25 \times (10 + 2) = 250 + 50 = 300$ .
$4, 5 \times 21 =$
$4, 5 \times (20 + 1) = 90 + 4, 5 = 94, 5$ .

Exercice 9★★★Difficile

Calcule astucieusement : à toi de voir s’il vaut mieux développer ou factoriser.

$7, 3 \times 45 + 7, 3 \times 55 =$
Je factorise : $7, 3 \times (45 + 55) = 7, 3 \times 100 = 730$ .
$999 \times 13 + 13 =$
Je factorise, avec $13 = 1 \times 13$ : $(999 + 1) \times 13 = 1 000 \times 13 = 13 000$ .
$18 \times 205 =$
Je développe : $18 \times (200 + 5) = 3 600 + 90 = 3 690$ .
$62 \times 0, 5 - 12 \times 0, 5 =$
Je factorise : $(62 - 12) \times 0, 5 = 50 \times 0, 5 = 25$ .

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