Opérations : multiples, diviseurs et critères de divisibilité

1. a)$14\times 31=434$, donc $434=14\times 31+0$ : le reste est $0$. « $434$ est divisible par $14$ » ; « $434$ est un multiple de $14$ » ; « $14$ est un diviseur de $434$ » (on peut dire la même chose avec $31$) (1)
2. b)$105=15\times 7$ : $15$ est un diviseur de $105$ ; $105$ est un multiple de $7$ (1)
3. c)Chiffres des unités : $0$ ; $5$ ; $4$ ; $3$ ; $0$. Par $2$ (unités paires) : $5060$ ; $7914$ ; $8450$. Par $5$ (unités $0$ ou $5$) : $5060$ ; $2385$ ; $8450$. Par $10$ (unités $0$) : $5060$ ; $8450$. $6003$ n’est divisible par aucun des trois (1)
4. d)Pour $5$, □ vaut $0$ ou $5$ ; pour ne pas être divisible par $10$, □ ne vaut pas $0$ : □ $=5$ ($915$). Un nombre divisible par $10$ se termine par $0$ : $0$ est pair (divisible par $2$) et $0$ convient pour $5$. Autre justification : $10=2\times 5$, donc un multiple de $10$ est un multiple de $2$ et de $5$ (1)

Méthode — Pour $2$, $5$ et $10$, le chiffre des unités suffit ; pour un autre diviseur, on pose la division euclidienne : reste $0$ veut dire divisible, multiple et diviseur.

1. a)$52=1\times 52=2\times 26=4\times 13$ : diviseurs $1$ ; $2$ ; $4$ ; $13$ ; $26$ ; $52$ (1)
2. b)Il a oublié $1$, qui divise tous les nombres : $49=1\times 49=7\times 7$. Les diviseurs de $49$ sont $1$ ; $7$ ; $49$ ($7$ n’est écrit qu’une fois) (1)
3. c)$65=1\times 65=5\times 13$ ($65$ est impair, $6+5=11$ n’est pas dans la table de $3$, et $65=7\times 9+2$) : diviseurs $1$ ; $5$ ; $13$ ; $65$. Diviseurs communs avec $52$ : $1$ et $13$. Le plus grand est $13$ (1)
4. d)Multiples de $21$ : $21$ ; $42$ ; et $42=14\times 3$ : elles repartent ensemble au bout de $42$ min (1)

Repère — Un multiple commun se cherche dans la table du plus grand des deux nombres ; une liste de diviseurs commence toujours par $1$ et finit par le nombre lui-même.

1. a)$2+4+5+7=18$ : par $3$ et par $9$ ; $8+0+1+2=11$ : ni par $3$ ni par $9$ ; $4+5+0+3=12$ : par $3$ seulement ; $3+1+1+0+4=9$ : par $3$ et par $9$ (1)
2. b)$6+3=9$ ; la somme $9+◻$ doit valoir $9$ ou $18$ : □ $=0$ ou $9$ (les nombres $603$ et $693$) (1)
3. c)La somme $4+◻$ doit valoir $6$, $9$ ou $12$ : □ $=2$, $5$ ou $8$ ($420$, $450$, $480$) ; pour $9$, il faut $4+◻=9$ : c’est $450$ (1)
4. d)Non : $1+4+1=6$ est dans la table de $3$ mais pas dans celle de $9$. $141=3\times 47$ n’est pas un multiple de $9$ : un multiple de $3$ n’est pas toujours un multiple de $9$ (1)

Méthode — On additionne tous les chiffres une seule fois, puis on cherche la somme dans la table de $3$ et dans celle de $9$ : la table de $9$ est la plus exigeante.

1. a)Unités $0$ : par $2$, $5$ et $10$ ; $50=4\times 12+2$ : pas par $4$ ; $1+3+5+0=9$ : par $3$ et $9$. Donc $2$, $3$, $5$, $9$ et $10$ (1)
2. b)Unités $4$ : par $2$, ni par $5$ ni par $10$ ; $24=4\times 6$ : par $4$ ; $7+4+2+4=17$ : ni par $3$ ni par $9$. Donc $2$ et $4$ (1)
3. c)Il se termine par $6$ : il est pair. Mais ses deux derniers chiffres forment $26=4\times 6+2$, qui n’est pas dans la table de $4$ (1)
4. d)Pour $9$ : $5+1+◻+4$, soit $10+◻$, doit valoir $18$, donc □ $=8$ ; et $84=4\times 21$ : $5184$ convient (1)

Le point clé — Chaque diviseur a son critère : le chiffre des unités pour $2$, $5$ et $10$, les deux derniers chiffres pour $4$, la somme des chiffres pour $3$ et $9$.

1. a)$2+4+0=6$ n’est pas dans la table de $9$ : $240$ n’est pas divisible par $9$, c’est impossible (1)
2. b)Oui : $40=4\times 10$ et $80=4\times 20$. $240=4\times 60$ et $180=4\times 45$ : $60$ cahiers et $45$ stylos par colis (1)
3. c)Il faut un diviseur commun de $240$ et $180$, le plus grand possible. Les diviseurs de $180$ plus grands que $60$ sont $90$ et $180$ : $240=180\times 1+60$ et $240=90\times 2+60$, ils ne conviennent pas. $60$ convient : $240=60\times 4$ et $180=60\times 3$. Elle peut faire $60$ colis (1)
4. d)$240=60\times 4$ et $180=60\times 3$ : $4$ cahiers et $3$ stylos par colis (1)

Méthode — Partager sans reste, c’est chercher un diviseur commun ; les critères disent vite si un nombre de colis est possible avant tout calcul.