Opérations : multiples, diviseurs et critères de divisibilité

Complète.

1. $96=8\times$
   $96÷8$ : $12$, il reste $0$. Donc $96=8\times 12$ : $96$ est un multiple de $8$, et $8$ est un diviseur de $96$.
2. $16$ est un de $208$ (écris « multiple » ou « diviseur »)
   $208=16\times 13$ : $208$ est un multiple de $16$, donc $16$ est un diviseur de $208$.
3. $171$ est un de $9$ (écris « multiple » ou « diviseur »)
   $171=9\times 19$ : $171$ est dans la table de $9$, c’est un multiple de $9$ (et $9$ est un diviseur de $171$).
4. Reste de la division euclidienne de $143$ par $11$ :
   $143=11\times 13+0$ : le reste est $0$, donc $143$ est divisible par $11$ (et par $13$).
5. Reste de la division euclidienne de $250$ par $7$ :
   $7\times 35=245$, donc $250=7\times 35+5$ : le reste est $5$, $250$ n’est pas divisible par $7$.
6. Le plus petit multiple de $13$ supérieur à $100$ :
   $13\times 7=91$ est trop petit et $13\times 8=104$ : c’est $104$.

Voici cinq nombres : $6215$ ; $3408$ ; $9730$ ; $1054$ ; $7961$. Recopie ceux qui conviennent, dans l’ordre de l’énoncé.

1. Divisibles par $2$ : ; ;
   Chiffres des unités : $5$ ; $8$ ; $0$ ; $4$ ; $1$. Les chiffres pairs sont $8$, $0$ et $4$ : $3408$, $9730$ et $1054$ sont divisibles par $2$.
2. Divisibles par $5$ : ;
   Pour $5$, il faut $0$ ou $5$ au chiffre des unités : $6215$ et $9730$.
3. Divisibles par $10$ :
   Pour $10$, il faut $0$ au chiffre des unités : seul $9730$ convient. $6215$ se termine par $5$ : il n’est pas divisible par $10$.

Raisonne avec les critères par 2, 5 et 10 (chiffres □ dans l’ordre croissant).

1. $38◻$ est divisible par $5$ : □ = ;
   □ est le chiffre des unités ; pour $5$, il vaut $0$ ou $5$ : les nombres $380$ et $385$.
2. $64◻$ est divisible par $5$ mais pas par $2$ : □ =
   Pour $5$ : □ $=0$ ou $5$. Pour ne pas être divisible par $2$, □ doit être impair : □ $=5$, le nombre $645$.
3. Combien de chiffres □ rendent $4◻5$ divisible par $5$ ?
   □ est le chiffre des dizaines : pour $5$, seul le chiffre des unités compte, et c’est $5$. Les $10$ chiffres de $0$ à $9$ conviennent (de $405$ à $495$).
4. Sans poser la division, reste de la division euclidienne de $5382$ par $10$ :
   $5382=10\times 538+2$ : le reste de la division par $10$ est le chiffre des unités, $2$.

Écris tous les diviseurs, dans l’ordre croissant.

1. Diviseurs de $98$ : ; ; ; ; ;
   $98=1\times 98=2\times 49=7\times 14$. Ni $3$, ni $4$, ni $5$, ni $6$ ne conviennent ; de $8$ à $13$, aucun nombre ne convient non plus, et $14$ est déjà trouvé : on s’arrête.
2. Diviseurs de $50$ : ; ; ; ; ;
   $50=1\times 50=2\times 25=5\times 10$. Les nombres $3$, $4$, $6$, $7$, $8$ et $9$ ne conviennent pas (par exemple $50=7\times 7+1$), et $10$ est déjà trouvé.
3. Nombre de diviseurs de $64$ :
   $64=1\times 64=2\times 32=4\times 16=8\times 8$ ($3$, $5$, $6$ et $7$ ne conviennent pas).
   Diviseurs : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$ ; $64$, soit $7$ ($8$ n’est compté qu’une fois).

Multiples communs et diviseurs communs.

1. Le plus petit multiple commun non nul de $10$ et $15$ :
   Multiples de $15$ : $15$ ; $30$… $15$ n’est pas un multiple de $10$, mais $30=10\times 3$ l’est : c’est $30$.
2. Le plus grand diviseur commun de $32$ et $40$ :
   Diviseurs de $32$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$. Diviseurs de $40$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $5$ ; $8$ ; $10$ ; $20$ ; $40$.
   Diviseurs communs : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$. Le plus grand est $8$.
3. Deux lampes s’allument ensemble ; ensuite, l’une s’allume toutes les $4$ s et l’autre toutes les $10$ s. Au bout de combien de secondes s’allumeront-elles de nouveau ensemble ?
   Il faut le plus petit multiple commun non nul de $4$ et $10$. Multiples de $10$ : $10$ ; $20$… et $20=4\times 5$.
   Elles se rallument ensemble au bout de $20$ s.

Calcule la somme des chiffres, puis complète par « 3 et 9 », « 3 seulement » ou « ni 3 ni 9 ».

1. $4725$ est divisible par :
   $4+7+2+5=18$ est dans la table de $9$ (donc dans celle de $3$) : $4725$ est divisible par $3$ et par $9$.
2. $1603$ est divisible par :
   $1+6+0+3=10$ n’est pas dans la table de $3$ : $1603$ n’est divisible ni par $3$ ni par $9$.
3. $7302$ est divisible par :
   $7+3+0+2=12$ : divisible par $3$, mais $12$ n’est pas dans la table de $9$.
4. $98016$ est divisible par :
   $9+8+0+1+6=24=3\times 8$, mais $24$ n’est pas dans la table de $9$ : divisible par $3$ seulement.
5. $6381$ est divisible par :
   $6+3+8+1=18=9\times 2$ : divisible par $9$, donc aussi par $3$.

Trouve tous les chiffres possibles pour □, dans l’ordre croissant.

1. $7◻5$ est divisible par $9$ : □ =
   $7+5=12$ ; il faut $12+◻=18$ ($27$ est trop grand), donc □ $=6$ : $765=9\times 85$.
2. $2◻8$ est divisible par $3$ : □ = ; ;
   $2+8=10$ ; $10+◻$ doit valoir $12$, $15$ ou $18$ : □ $=2$, $5$ ou $8$ (les nombres $228$, $258$ et $288$).
3. $◻46$ est divisible par $9$ : □ =
   $4+6=10$ ; il faut $10+◻=18$, donc □ $=8$ : $846=9\times 94$.

Raisonne avec un ou plusieurs critères.

1. Le plus petit nombre de trois chiffres divisible par $9$ :
   On part de $100$ : la somme des chiffres doit valoir $9$. De $100$ à $107$, elle vaut $1$ à $8$ ; pour $108$, $1+0+8=9$. Donc $108=9\times 12$.
2. $61◻$ est divisible par $2$ et par $3$ : □ = ;
   Pour $3$ : $6+1+◻$, c’est-à-dire $7+◻$, doit valoir $9$, $12$ ou $15$, donc □ $=2$, $5$ ou $8$.
   Pour $2$, □ doit être pair : □ $=2$ ou $8$ (les nombres $612$ et $618$).
3. $3◻0$ est divisible par $5$ et par $9$ : □ =
   Il se termine par $0$ : il est divisible par $5$ quel que soit □.
   Pour $9$ : $3+◻+0$ doit valoir $9$ ($18$ est impossible), donc □ $=6$ : $360=9\times 40$.

Recopie les nombres divisibles par 4, dans l’ordre de l’énoncé.

1. $3516$ ; $2734$ ; $9108$ ; $6350$ ; $1972$ : ; ;
   Deux derniers chiffres : $16=4\times 4$ (oui) ; $34=4\times 8+2$ (non) ; $08$, c’est $8=4\times 2$ (oui) ; $50=4\times 12+2$ (non) ; $72=4\times 18$ (oui).
2. $4862$ ; $7044$ ; $5330$ ; $8276$ : ;
   $62=4\times 15+2$ (non) ; $44=4\times 11$ (oui) ; $30=4\times 7+2$ (non) ; $76=4\times 19$ (oui).

Le chiffre □ est inconnu.

1. $83◻$ est divisible par $4$ : □ = ;
   Les deux derniers chiffres forment $3◻$ : entre $30$ et $39$, la table de $4$ donne $32$ et $36$.
   □ $=2$ ou $6$ (les nombres $832$ et $836$).
2. Combien de chiffres □ rendent $15◻6$ divisible par $4$ ?
   Il faut que $◻6$ soit dans la table de $4$ : $16$, $36$, $56$, $76$ et $96$ conviennent ($06$, $26$, $46$, $66$, $86$ non).
   □ $=1$, $3$, $5$, $7$ ou $9$ : $5$ chiffres.
3. Combien de chiffres □ rendent $37◻5$ divisible par $4$ ?
   $37◻5$ se termine par $5$ : il est impair, donc il n’est pas divisible par $2$, ni par $4$.
   Aucun chiffre ne convient : $0$.

Utilise tous les critères (2, 3, 4, 5, 9 et 10).

1. Par combien des nombres $2$, $3$, $4$, $5$, $9$ et $10$ le nombre $2340$ est-il divisible ?
   Chiffre des unités $0$ : par $2$, $5$ et $10$. $40=4\times 10$ : par $4$. $2+3+4+0=9$ : par $3$ et par $9$.
   Il est divisible par les $6$ nombres.
2. Par combien des nombres $2$, $3$, $4$, $5$, $9$ et $10$ le nombre $7128$ est-il divisible ?
   Chiffre des unités $8$ : par $2$, mais ni par $5$ ni par $10$. $28=4\times 7$ : par $4$. $7+1+2+8=18$ : par $3$ et par $9$.
   Soit $4$ nombres.
3. Le plus petit nombre de quatre chiffres divisible par $4$ et par $9$ :
   Pour $9$, la somme des chiffres doit valoir $9$ : de $1000$ à $1007$, elle vaut $1$ à $8$, et le premier nombre de somme $9$ est $1008$.
   Ses deux derniers chiffres forment $08$, c’est-à-dire $8=4\times 2$ : il est aussi divisible par $4$. ($1008=4\times 252=9\times 112$.)