Opérations : multiples, diviseurs et critères de divisibilité

Multiple, diviseur et « est divisible par » (division euclidienne de reste nul), critères de divisibilité par 2, 5 et 10, liste des diviseurs, multiples communs et diviseurs communs, critères de divisibilité par 3 et par 9 (somme des chiffres), critère de divisibilité par 4 en complément (deux derniers chiffres) ; chiffre manquant et problèmes.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où l’on cherche un diviseur ou un multiple : des sachets de billes à remplir sans reste, une tombola, deux phares qui s’allument ensemble, des bouquets identiques, les années bissextiles et un nombre mystère de trois chiffres.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère les mots clés : « sans reste », « en parts égales », « en même temps », « divisible ».
Je traduis : partager sans reste → chercher un diviseur (commun) ; des événements qui se répètent → chercher un multiple (commun).
J’utilise un critère (2, 3, 4, 5, 9, 10) pour aller vite ; sinon, je pose la division euclidienne.
Je vérifie par une multiplication, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Les sachets de billes★★★Facile

Lina a

84

billes. Elle veut les ranger dans des sachets qui contiennent tous le même nombre de billes, sans qu’il en reste.

1. Avec des sachets de $7$ billes, combien de sachets remplit-elle ?
$84 \div 7$ : $12$ , il reste $0$ . Donc $84 = 7 \times 12$ : elle remplit $12$ sachets.
2. Avec des sachets de $5$ billes, combien de billes resteraient hors des sachets ?
$84$ se termine par $4$ (ni $0$ ni $5$ ) : il n’est pas divisible par $5$ . $84 = 5 \times 16 + 4$ : il resterait $4$ billes.
3. Elle veut au moins $2$ sachets et au moins $2$ billes par sachet. Combien de nombres de billes par sachet sont possibles ?
$84 = 1 \times 84 = 2 \times 42 = 3 \times 28 = 4 \times 21 = 6 \times 14 = 7 \times 12$ ( $5$ , $8$ , $9$ , $10$ et $11$ ne conviennent pas).
Diviseurs de $84$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $7$ ; $12$ ; $14$ ; $21$ ; $28$ ; $42$ ; $84$ . On retire $1$ (une bille par sachet) et $84$ (un seul sachet) : $10$ possibilités.
4. Sa sœur lui donne $6$ billes. Combien de sachets de $10$ billes peut-elle alors remplir, sans qu’il en reste ?
Elle a maintenant $84 + 6 = 90$ billes. $90$ se termine par $0$ : il est divisible par $10$ , et $90 = 10 \times 9$ . Elle remplit $9$ sachets, sans reste.

Problème 2 · La tombola★★★Facile

Les billets d’une tombola sont numérotés de

1

500

. Gagnent un lot les billets dont le numéro est divisible par

9

1. Quelle est la somme des chiffres du billet $387$ ?
$3 + 8 + 7 = 18$ , qui est dans la table de $9$ : le billet $387$ gagne ( $387 = 9 \times 43$ ).
2. Le billet $4 ◻ 3$ gagne. Quel est le chiffre caché □ ?
$4 + 3 = 7$ ; il faut $7 + ◻ = 9$ ( $18$ est impossible), donc □ $= 2$ : $423 = 9 \times 47$ .
3. Quel est le plus grand numéro gagnant ?
En descendant depuis $500$ : $500$ , $499$ , $498$ , $497$ , $496$ ont pour somme des chiffres $5$ , $22$ , $21$ , $20$ , $19$ . Pour $495$ : $4 + 9 + 5 = 18$ . C’est $495$ .
4. Combien y a-t-il de billets gagnants ?
Les numéros gagnants sont $9 \times 1$ , $9 \times 2$ … jusqu’à $495 = 9 \times 55$ : il y en a $55$ .

Problème 3 · Les deux phares★★★Moyen

Deux phares s’allument en même temps à

21

h. Ensuite, le phare A s’allume toutes les

12

secondes et le phare B toutes les

18

secondes.

1. Combien de fois le phare A s’allume-t-il pendant les $3$ minutes qui suivent $21$ h ?
$3$ min $= 180$ s et $180 = 12 \times 15$ : le phare A s’allume $15$ fois (la dernière fois à $21$ h $3$ min).
2. Au bout de combien de secondes les deux phares s’allument-ils de nouveau ensemble ?
Il faut le plus petit multiple commun non nul de $12$ et $18$ . Multiples de $18$ : $18$ ; $36$ … $18$ n’est pas dans la table de $12$ , mais $36 = 12 \times 3$ .
Ils se rallument ensemble au bout de $36$ s.
3. Combien de fois s’allument-ils ensemble pendant ces $3$ minutes ?
Ils s’allument ensemble toutes les $36$ s, et $180 = 36 \times 5$ : $5$ fois (à $36$ s, $72$ s, $108$ s, $144$ s et $180$ s).

Problème 4 · Les bouquets★★★Moyen

Un fleuriste a

48

roses et

60

tulipes. Il veut faire des bouquets identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes dans chaque bouquet) en utilisant toutes ses fleurs.

1. Il fait d’abord $3$ bouquets. Combien chaque bouquet contient-il de fleurs en tout ?
$4 + 8 = 12$ et $6 + 0 = 6$ : $48$ et $60$ sont divisibles par $3$ .
$48 = 3 \times 16$ et $60 = 3 \times 20$ : chaque bouquet a $16 + 20 = 36$ fleurs.
2. Quel est le plus grand nombre de bouquets qu’il peut faire ?
Il faut un diviseur commun de $48$ et $60$ . Diviseurs de $48$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $12$ ; $16$ ; $24$ ; $48$ .
Parmi eux, ceux qui divisent $60$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $12$ . Le plus grand est $12$ .
3. Avec ce plus grand nombre de bouquets, combien chaque bouquet contient-il de roses et de tulipes ? roses et tulipes
$48 = 12 \times 4$ et $60 = 12 \times 5$ : $4$ roses et $5$ tulipes par bouquet.

Problème 5 · Les années bissextiles★★★Difficile

Une année bissextile compte

366

jours (il y a un

29

février). Dans notre calendrier, une année est bissextile lorsque son numéro est divisible par

4

, sauf les années dont le numéro se termine par

00

: celles-ci ne sont bissextiles que si leur numéro est divisible par

400

1. Parmi $2026$ , $2032$ , $2046$ et $2052$ , combien d’années sont bissextiles ?
On regarde les deux derniers chiffres : $26 = 4 \times 6 + 2$ (non) ; $32 = 4 \times 8$ (oui) ; $46 = 4 \times 11 + 2$ (non) ; $52 = 4 \times 13$ (oui).
$2$ années : $2032$ et $2052$ .
2. Combien y a-t-il d’années bissextiles de $2001$ à $2099$ ?
La première est $2004 = 4 \times 501$ , la dernière $2096 = 4 \times 524$ . Ce sont $4 \times 501$ , $4 \times 502$ … jusqu’à $4 \times 524$ : il y en a $524 - 501 + 1 = 24$ .
3. L’année $2100$ sera-t-elle bissextile ? Réponds par oui ou non :
$2100$ se termine par $00$ : il faut qu’il soit divisible par $400$ . Or $2 100 = 400 \times 5 + 100$ : le reste n’est pas nul, $2100$ ne sera pas bissextile (alors que $2000 = 400 \times 5$ l’a été).
4. Combien y a-t-il eu d’années bissextiles de $1901$ à $2000$ ?
De $1904 = 4 \times 476$ à $2000 = 4 \times 500$ : $500 - 476 + 1 = 25$ multiples de $4$ . $2000$ se termine par $00$ , mais il est divisible par $400$ : il compte. Soit $25$ années.

Problème 6 · Le nombre mystère★★★Difficile

Je suis un nombre de trois chiffres. Mon chiffre des centaines est

7

. Je suis divisible par

4

et par

9

, mais pas par

10

. Mon chiffre des unités est plus grand que mon chiffre des dizaines.

1. Je suis divisible par $9$ : la somme de mes deux derniers chiffres vaut $2$ ou
La somme de mes trois chiffres doit valoir $9$ ou $18$ ( $27$ est impossible : $7 + 9 + 9 = 25$ ). Comme le premier chiffre est $7$ , la somme des deux derniers vaut $9 - 7 = 2$ ou $18 - 7 = 11$ .
2. Écris, dans l’ordre croissant, les nombres de trois chiffres qui commencent par $7$ et sont divisibles par $4$ et par $9$ : ; ;
Somme $2$ : $702$ , $711$ , $720$ ; seul $20$ est dans la table de $4$ → $720$ .
Somme $11$ : $729$ , $738$ , $747$ , $756$ , $765$ , $774$ , $783$ , $792$ ; parmi $29$ , $38$ , $47$ , $56$ , $65$ , $74$ , $83$ , $92$ , seuls $56$ et $92$ sont dans la table de $4$ → $756$ et $792$ .
3. Quel est le nombre mystère ?
$720$ se termine par $0$ : il est divisible par $10$ , il est exclu. Pour $792$ , le chiffre des unités ( $2$ ) est plus petit que celui des dizaines ( $9$ ). Il reste $756$ ( $6 > 5$ ).

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