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Opérations : diviser par un nombre décimal
Rappels de 6e (multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, calcul rapide, produit de deux décimaux, diviser un décimal par un entier et quotient approché) ; diviser par un nombre décimal : multiplier le dividende et le diviseur par 10, 100 ou 1 000 pour avoir un diviseur entier, diviser par 0,1 ; 0,01 ; 0,5 ; 0,25, poser la division, comparer le quotient au dividende, ordre de grandeur, quotient approché et problèmes (valeur par défaut ou par excès).
À propos de cette page
Rappels de 6e : multiplier et diviser des nombres décimaux
Diviser par un nombre décimal s’appuie sur tout ce que la 6e a appris sur les décimaux : multiplier ou diviser par 10, 100, 1 000, multiplier par 0,1, calculer vite, multiplier deux décimaux et diviser un décimal par un nombre entier. On reprend tout ici.
× 0,1 revient à ÷ 10 ; × 0,01 revient à ÷ 100 ; × 0,001 revient à ÷ 1 000 : le résultat est plus petit que le nombre de départ.
Calculer vite : × 0,5, c’est prendre la moitié ; × 4, doubler deux fois ; ÷ 4, prendre la moitié de la moitié ; × 5, faire × 10 puis la moitié ; ÷ 5, faire ÷ 10 puis le double.
Produit de deux décimaux : je multiplie sans les virgules, puis je donne au résultat autant de chiffres après la virgule qu’il y en a en tout dans les deux facteurs. Avant, je fais un ordre de grandeur. Multiplier par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus petit.
5,827 × 100 = 582,7 · 0,09 × 1 000 = 90 (on complète par un zéro) · 61,4 ÷ 100 = 0,614 · 3 ÷ 1 000 = 0,003
85 × 0,01 = 85 ÷ 100 = 0,85 · 2,6 × 0,1 = 0,26 · 470 × 0,001 = 0,47
46 × 0,5 = 23 · 8,5 × 4 : 8,5 → 17 → 34 · 38 ÷ 4 : 38 → 19 → 9,5 · 3,4 × 5 : 34, puis 17 · 23 ÷ 5 : 2,3, puis 4,6
| 5, | 3 | 8 | ||||
| × | 4, | 7 | ||||
| 3 | 7 | 6 | 6 | ← 538 × 7 | ||
| + | 2 | 1 | 5 | 2 | 0 | ← 538 × 40 |
| 2 | 5, | 2 | 8 | 6 |
Ordre de grandeur : 5 × 5 = 25.
538 × 47 = 25 286.
5,38 a 2 chiffres après la virgule, 4,7 en a 1 : le produit en a 3.
5,38 × 4,7 = 25,286, proche de 25 ✓
6,4 × 0,8 = 5,12 : le produit est plus petit que 6,4, car 0,8 < 1.
Diviser un nombre décimal par un entier
Quand la division ne s’arrête pas, on donne une valeur approchée avec ≈, en disant la précision : la valeur par défaut est juste en dessous, la valeur par excès juste au-dessus ; l’arrondi est la plus proche des deux (chiffre suivant 0, 1, 2, 3 ou 4 : valeur par défaut ; 5, 6, 7, 8 ou 9 : valeur par excès).
| 8, | 5 | 2 | 3 | |
| − | 6 | 2,84 | ||
| 2 | 5 | |||
| − | 2 | 4 | ||
| 1 | 2 | |||
| − | 1 | 2 | ||
| 0 |
8 ÷ 3 : 2, il reste 2.
J’abaisse le 5 (les dixièmes) : j’écris la virgule au quotient. 25 ÷ 3 : 8, il reste 1.
J’abaisse le 2 : 12 ÷ 3 : 4, il reste 0.
8,52 ÷ 3 = 2,84. Contrôle : 2,84 × 3 = 8,52 ✓
2,3 ÷ 4 : 2 ÷ 4 : 0, il reste 2, j’écris 0 au quotient ; j’abaisse le 3 (les dixièmes) et j’écris la virgule : 23 ÷ 4 : 5, il reste 3 ; j’ajoute un zéro : 30 ÷ 4 : 7, il reste 2 ; encore un zéro : 20 ÷ 4 : 5, il reste 0. 2,3 ÷ 4 = 0,575.
23 ÷ 9 = 2,555… Au dixième : 2,5 < 23 ÷ 9 < 2,6. Le chiffre des centièmes est 5 : l’arrondi est la valeur par excès, 23 ÷ 9 ≈ 2,6.
Réflexe — je fais un ordre de grandeur avant de placer une virgule, et je contrôle une division par une multiplication : quotient × diviseur = dividende.
Attention — pour poser une multiplication, on aligne les chiffres à droite, pas les virgules ; et 0,6 × 0,4 = 0,24, pas 2,4. « Ajouter un zéro » ne marche que pour un entier : 1,7 × 10 = 17, pas 1,70. Oublier la virgule au quotient donne 284 au lieu de 2,84.
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Se ramener à un diviseur entier
On sait diviser un nombre décimal par un nombre entier (partie 1). Pour diviser par un nombre décimal comme 0,4 ou 2,5, on transforme d’abord la division pour que le diviseur devienne entier.
Un quotient ne change pas quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre (10, 100, 1 000…).
Pour diviser par un nombre décimal, on multiplie donc les deux nombres par 10, 100 ou 1 000 : autant de zéros que de chiffres après la virgule du diviseur. Le diviseur devient entier, et l’on sait faire la division.
Pourquoi ça marche ? 12 ÷ 4 = 3 et 120 ÷ 40 = 3 : dans 120, il y a 3 fois 40, comme il y a 3 fois 4 dans 12. De même, 2,8, c’est 28 dixièmes, et 0,4, c’est 4 dixièmes : 2,8 ÷ 0,4 = 28 ÷ 4 = 7. Contrôle : 7 × 0,4 = 2,8.
8,4 ÷ 0,7 : le diviseur a 1 chiffre après la virgule, je multiplie les deux nombres par 10 : 8,4 ÷ 0,7 = 84 ÷ 7 = 12
3,15 ÷ 0,45 : le diviseur a 2 chiffres après la virgule, je multiplie par 100 : 3,15 ÷ 0,45 = 315 ÷ 45 = 7
12 ÷ 0,25 = 1 200 ÷ 25 = 48 (on complète le dividende par des zéros)
5,76 ÷ 2,4 = 57,6 ÷ 24 (le dividende peut rester décimal : on pose ensuite la division, voir la partie 3)
Diviser par 0,1 ; 0,01 ; 0,5 ; 0,25
Diviser par 0,5 revient à multiplier par 2 (prendre le double) ; diviser par 0,25 revient à multiplier par 4.
7,3 ÷ 0,1 = 73 ÷ 1 = 73 · 0,58 ÷ 0,01 = 58 ÷ 1 = 58
9 ÷ 0,5 = 90 ÷ 5 = 18 (dans 9, il y a 18 demis) · 3 ÷ 0,25 = 300 ÷ 25 = 12
Réflexe — je regarde le diviseur : je compte ses chiffres après la virgule, c’est le nombre de zéros du multiplicateur. Puis je contrôle : quotient × diviseur = dividende.
Attention — on multiplie les deux nombres par le même nombre : multiplier seulement le diviseur change le résultat (8,4 ÷ 7 vaut 1,2, pas 12). Et c’est le diviseur qui décide : pour 6,48 ÷ 1,2, on multiplie par 10 (6,48 ÷ 1,2 = 64,8 ÷ 12), même si 6,48 a deux chiffres après la virgule.
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Poser une division par un nombre décimal
1. je multiplie le dividende et le diviseur par 10, 100 ou 1 000 pour que le diviseur devienne entier ;
2. je pose la division par cet entier, comme dans la partie 1 (virgule au quotient en abaissant les dixièmes, zéros ajoutés s’il reste quelque chose) ;
3. je contrôle avec la division de départ : quotient × diviseur = dividende.
| 7 | 8, | 3 | 27 | |
| − | 5 | 4 | 2,9 | |
| 2 | 4 | 3 | ||
| − | 2 | 4 | 3 | |
| 0 |
2,7 a 1 chiffre après la virgule : je multiplie par 10. 7,83 ÷ 2,7 = 78,3 ÷ 27.
78 ÷ 27 : 2, il reste 24.
J’abaisse le 3 (les dixièmes) : j’écris la virgule au quotient. 243 ÷ 27 : 9, il reste 0.
7,83 ÷ 2,7 = 2,9. Contrôle : 2,9 × 2,7 = 7,83 ✓
| 5 | 2 | 0, | 0 | 16 | |
| − | 4 | 8 | 32,5 | ||
| 4 | 0 | ||||
| − | 3 | 2 | |||
| 8 | 0 | ||||
| − | 8 | 0 | |||
| 0 |
0,16 a 2 chiffres après la virgule : je multiplie par 100. 5,2 ÷ 0,16 = 520 ÷ 16.
52 ÷ 16 : 3, il reste 4. J’abaisse le 0 : 40 ÷ 16 : 2, il reste 8.
Il reste 8 : j’écris la virgule et un zéro (520 = 520,0). 80 ÷ 16 : 5, il reste 0.
5,2 ÷ 0,16 = 32,5. Contrôle : 32,5 × 0,16 = 5,2 ✓
Je multiplie par 10 : 0,42 ÷ 0,6 = 4,2 ÷ 6.
4 ÷ 6 : 0, il reste 4. J’écris 0 au quotient, puis la virgule en abaissant le 2 (les dixièmes) : 42 ÷ 6 : 7, il reste 0.
0,42 ÷ 0,6 = 0,7. Contrôle : 0,7 × 0,6 = 0,42 ✓
Réflexe — avant de poser, j’écris la nouvelle division sur une ligne (5,2 ÷ 0,16 = 520 ÷ 16) ; après, je contrôle par une multiplication avec les nombres de départ.
Attention — si l’on multiplie seulement le diviseur, on calcule 5,2 ÷ 16 = 0,325 au lieu de 32,5. Et la virgule du quotient se place quand on abaisse le chiffre des dixièmes de la nouvelle division.
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Estimer, arrondir et interpréter un quotient
Plus grand ou plus petit ?
Diviser par un nombre compris entre 0 et 1 donne un quotient plus grand que le dividende : dans 6, il y a plus de 6 fois 0,75.
6 ÷ 1,5 = 4 (plus petit que 6) · 6 ÷ 0,75 = 8 (plus grand que 6) · 6 ÷ 1 = 6
Ordre de grandeur
Avant de poser, on arrondit le dividende et le diviseur à des nombres simples : on sait à peu près quel quotient attendre, et une virgule mal placée se voit tout de suite.
18,72 ÷ 3,9 ≈ 20 ÷ 4 = 5. Le calcul posé donne 18,72 ÷ 3,9 = 187,2 ÷ 39 = 4,8 : c’est cohérent. Un résultat comme 48 ou 0,48 serait faux.
Quotient approché
Quand la division ne s’arrête pas, on rend d’abord le diviseur entier, puis on donne la valeur approchée demandée (par défaut, par excès ou arrondi) comme dans la partie 1.
5 ÷ 0,7 = 50 ÷ 7 = 7,142… Au dixième : 7,1 < 5 ÷ 0,7 < 7,2. Le chiffre des centièmes est 4 : l’arrondi au dixième est la valeur par défaut, 5 ÷ 0,7 ≈ 7,1.
Dans un problème
Quand la réponse doit être un nombre entier (bouteilles, morceaux, voyages), on lit la situation : on garde la valeur par défaut si l’on ne compte que les objets complets, on prend la valeur par excès s’il faut tout transporter ou tout couvrir.
2,5 kg de cerises coûtent 13,75 €. Prix d’un kilogramme : 13,75 ÷ 2,5 = 137,5 ÷ 25 = 5,5, soit 5,50 €.
Combien de morceaux de 0,6 m dans un ruban de 5 m ? 5 ÷ 0,6 = 50 ÷ 6 = 8,33… : on peut couper 8 morceaux (valeur par défaut).
Une remorque porte 0,8 t de bois. Pour 5 t : 5 ÷ 0,8 = 50 ÷ 8 = 6,25 : il faut 7 voyages (valeur par excès).
Réflexe — j’estime avant de calculer, je contrôle par une multiplication après, et je relis la question pour répondre avec la bonne unité.
Attention — « diviser rend toujours plus petit » est faux : 3 ÷ 0,5 = 6. Et pour une valeur approchée, on écrit ≈, jamais =.
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Pour aller plus loin
Avant ce chapitre — le vocabulaire (dividende, diviseur, quotient) et la place d’une division dans un enchaînement d’opérations : voir Opérations : vocabulaire et priorités opératoires.
À côté — la division euclidienne, qui donne un quotient entier et un reste (dans 17, il y a 3 fois 5 et il reste 2 : 17 = 3 × 5 + 2 ; le quotient est 3, le reste 2), et les multiples et les diviseurs d’un nombre entier : voir Opérations : multiples, diviseurs et critères de divisibilité par 3, 9 et 4.
Se verra en 4e — diviser par une fraction, et diviser des nombres relatifs (règle des signes).
- Rappels de 6e : × 10, 100, 1 000 fait glisser les chiffres vers la gauche et × 0,1 revient à ÷ 10 ; produit de deux décimaux : autant de chiffres après la virgule qu’en tout dans les facteurs ; division par un entier : virgule au quotient quand on abaisse les dixièmes.
- Un quotient ne change pas quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre : 2,8 ÷ 0,4 = 28 ÷ 4 = 7.
- Pour diviser par un décimal : on multiplie les deux nombres par 10, 100 ou 1 000 (autant de zéros que de chiffres après la virgule du diviseur), puis on divise par un entier.
- Diviser par 0,1, c’est multiplier par 10 ; par 0,01, multiplier par 100 ; par 0,5, multiplier par 2 ; par 0,25, multiplier par 4.
- Division posée : virgule au quotient quand on abaisse les dixièmes de la nouvelle division ; contrôle : quotient × diviseur = dividende.
- Diviser par un nombre compris entre 0 et 1 donne un quotient plus grand que le dividende ; ordre de grandeur avant, valeur par défaut ou par excès selon la question.
Questions fréquentes
Comment diviser par un nombre décimal ?
On multiplie le dividende et le diviseur par 10, 100 ou 1 000, autant de zéros que de chiffres après la virgule du diviseur, pour que le diviseur devienne entier : c’est permis, car un quotient ne change pas quand on multiplie ses deux termes par un même nombre. Par exemple, 8,4 ÷ 0,7 = 84 ÷ 7 = 12.
Que faut-il savoir de la 6e pour diviser par un nombre décimal ?
Diviser un décimal par un entier en posant la division, avec la virgule au quotient quand on abaisse les dixièmes (6,72 ÷ 4 = 1,68), multiplier par 10, 100 ou 1 000, et multiplier deux décimaux (autant de chiffres après la virgule qu’en tout dans les facteurs) pour contrôler le quotient. Ces rappels forment la première partie du cours.
Comment poser une division par un nombre décimal ?
On écrit d’abord la nouvelle division avec un diviseur entier (7,83 ÷ 2,7 = 78,3 ÷ 27), on la pose comme en 6e en plaçant la virgule au quotient quand on abaisse les dixièmes, puis on contrôle : 2,9 × 2,7 = 7,83.
Diviser un nombre le rend-il toujours plus petit ?
Non. Diviser par un nombre plus grand que 1 donne un quotient plus petit, mais diviser par un nombre compris entre 0 et 1 donne un quotient plus grand : 6 ÷ 0,75 = 8. Diviser par 0,5, c’est même doubler.
Que faire quand la division par un décimal ne s’arrête pas ?
On donne une valeur approchée par défaut, par excès ou un arrondi, avec ≈ et la précision : 5 ÷ 0,7 ≈ 7,1 au dixième. Dans un problème, on choisit la valeur par défaut ou par excès selon la question (objets complets ou tout transporter).
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