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Opérations : multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Multiple, diviseur et « est divisible par » (division euclidienne de reste nul), critères de divisibilité par 2, 5 et 10, liste des diviseurs, multiples communs et diviseurs communs, critères de divisibilité par 3 et par 9 (somme des chiffres), critère de divisibilité par 4 en complément (deux derniers chiffres) ; chiffre manquant et problèmes.
À propos de cette page
Multiples, diviseurs et critères de divisibilité par 2, 5 et 10
Un nombre entier a est divisible par un nombre entier b (b différent de 0) lorsque la division euclidienne de a par b a un reste égal à 0. On peut alors écrire a = b × q.
Trois phrases disent la même chose : « 78 est divisible par 6 » ; « 78 est un multiple de 6 » ; « 6 est un diviseur de 78 » (car 78 = 6 × 13).
Un critère de divisibilité permet de savoir si un nombre est divisible sans poser la division. Pour 2, 5 et 10, on regarde seulement le chiffre des unités :
• divisible par 2 : chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair ; sinon le nombre est impair) ;
• divisible par 5 : chiffre des unités 0 ou 5 ;
• divisible par 10 : chiffre des unités 0.
À savoir aussi : 1 est un diviseur de tous les nombres ; tout nombre est un multiple de lui-même ; 0 est un multiple de tous les nombres (0 = 8 × 0).
78 ÷ 6 : 13, il reste 0. Donc 78 = 6 × 13 : 78 est un multiple de 6 (et de 13), et 6 est un diviseur de 78.
85 ÷ 6 : 14, il reste 1. Donc 85 = 6 × 14 + 1 : le reste n’est pas 0, 85 n’est pas divisible par 6.
| Nombre | Chiffre des unités | Par 2 ? | Par 5 ? | Par 10 ? |
|---|---|---|---|---|
| 5 936 | 6 | oui | non | non |
| 2 745 | 5 | non | oui | non |
| 4 370 | 0 | oui | oui | oui |
| 8 129 | 9 | non | non | non |
Pourquoi ça marche ? Un nombre, ce sont des dizaines et des unités : 6 853 = 685 × 10 + 3. Les dizaines (685 × 10) sont divisibles par 10, donc aussi par 2 et par 5, car 10 = 2 × 5. Tout se joue sur le chiffre des unités : 3 n’est divisible ni par 2 ni par 5, donc 6 853 n’est divisible ni par 2, ni par 5, ni par 10. Au passage, le reste de la division euclidienne d’un nombre par 10 est son chiffre des unités : ici 3.
Utiliser les critères par 2, 5 et 10
Un nombre est divisible par 10 exactement quand il est divisible à la fois par 2 et par 5 : son chiffre des unités est 0. Les critères servent aussi à retrouver un chiffre manquant.
29□ est divisible par 5 : □ = 0 ou □ = 5 (les nombres 290 et 295).
53□ est divisible par 2 et par 5 : pour 5, □ vaut 0 ou 5 ; pour 2, □ est pair. Seul 0 convient : 530, qui est aussi divisible par 10.
8□3 est impair quel que soit le chiffre □ : seul le chiffre des unités, 3, compte.
Réflexe — pour 2, 5 ou 10, je regarde seulement le chiffre des unités ; pour un autre diviseur sans critère, je pose la division euclidienne et je regarde le reste : reste 0, il est divisible.
Attention — « multiple » et « diviseur » vont en sens inverse : 78 est un multiple de 6, et 6 est un diviseur de 78 (pas l’inverse). Pour 2, 5 et 10, c’est le dernier chiffre qui compte, pas le premier : 4 837 commence par 4, mais il est impair. Et un nombre qui se termine par 5 n’est pas divisible par 10.
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Liste des diviseurs, multiples et diviseurs communs
Un multiple commun à deux nombres est un multiple de chacun d’eux ; un diviseur commun est un diviseur de chacun d’eux. On s’en sert pour des événements qui se répètent (horaires, clignotements) ou pour partager sans reste.
36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6. Le 5 ne convient pas (36 ne se termine ni par 0 ni par 5). Après 6 × 6, on retomberait sur des diviseurs déjà trouvés : on s’arrête.
Diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 (6 n’est écrit qu’une fois).
45 = 1 × 45 = 3 × 15 = 5 × 9. 45 est impair : 2, 4, 6 et 8 ne conviennent pas ; 7 non plus (45 = 7 × 6 + 3) ; 9 est déjà trouvé.
Diviseurs de 45 : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45.
Multiples communs, diviseurs communs
Multiples de 6 : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30… Multiples de 8 : 8 ; 16 ; 24 ; 32… Le plus petit multiple commun non nul de 6 et de 8 est 24.
Un bus passe toutes les 6 min et un tramway toutes les 8 min. S’ils partent ensemble à 7 h, ils repartiront ensemble 24 min plus tard, à 7 h 24.
Diviseurs communs à 36 et à 45 (listes ci-dessus) : 1 ; 3 ; 9. Le plus grand diviseur commun est 9.
Réflexe — pour la liste des diviseurs, j’essaie 1, 2, 3… dans l’ordre en m’aidant des critères ; pour un multiple commun, je parcours la table du plus grand des deux nombres ; pour un diviseur commun, je compare les deux listes de diviseurs.
Attention — dans une liste de diviseurs, je n’oublie ni 1 ni le nombre lui-même, et un diviseur qui apparaît deux fois (6 × 6) ne s’écrit qu’une fois.
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Critères de divisibilité par 3 et par 9
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Si la somme des chiffres n’est pas divisible par 3 (ou par 9), le nombre ne l’est pas non plus.
| Nombre | Somme des chiffres | Par 3 ? | Par 9 ? |
|---|---|---|---|
| 5 172 | 5 + 1 + 7 + 2 = 15 | oui | non |
| 8 433 | 8 + 4 + 3 + 3 = 18 | oui | oui |
| 2 750 | 2 + 7 + 5 + 0 = 14 | non | non |
8 433 ÷ 9 = 937 : le critère l’avait annoncé sans poser la division.
Pour un grand nombre, on peut appliquer le critère à la somme elle-même : 69 897 → 6 + 9 + 8 + 9 + 7 = 39 → 3 + 9 = 12. 12 est divisible par 3 mais pas par 9 : 69 897 est divisible par 3, pas par 9.
Pourquoi ça marche ? 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1 000 = 999 + 1, et 9, 99, 999 sont divisibles par 9 (donc par 3). Ainsi 8 433 = 8 × 1 000 + 4 × 100 + 3 × 10 + 3 = (8 × 999 + 4 × 99 + 3 × 9) + (8 + 4 + 3 + 3). La première parenthèse est un multiple de 9 : tout se joue sur la somme des chiffres.
3 et 9 : attention au sens
9 = 3 × 3 : un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. L’inverse est faux : 5 172 est divisible par 3 mais pas par 9.
Retrouver un chiffre manquant
4□1 divisible par 3 : la somme 4 + □ + 1, c’est-à-dire 5 + □, doit valoir 6, 9 ou 12. Donc □ = 1, 4 ou 7 (les nombres 411, 441 et 471).
4□1 divisible par 9 : 5 + □ doit valoir 9 (18 est trop grand), donc □ = 4 : 441 = 9 × 49.
Réflexe — pour 3 ou pour 9, j’additionne tous les chiffres et je me demande : la somme est-elle dans la table de 3 ? dans la table de 9 ?
Attention — pour 3 et 9, le dernier chiffre ne dit rien : 23 se termine par 3, mais 2 + 3 = 5, il n’est pas divisible par 3 ; 51 se termine par 1, et pourtant 51 = 3 × 17.
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Critère de divisibilité par 4 (complément)
Complément (hors programme de 5ᵉ 2026) — le programme demande les critères par 2, 3, 5, 9 et 10. Le critère par 4 n’y figure pas, mais il est simple et fait gagner du temps, par exemple pour simplifier une fraction.
Les multiples de 4 jusqu’à 100 : 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; 40 ; 44 ; 48 ; 52 ; 56 ; 60 ; 64 ; 68 ; 72 ; 76 ; 80 ; 84 ; 88 ; 92 ; 96 ; 100.
Pourquoi ça marche ? 100 = 4 × 25 : les centaines sont toujours divisibles par 4. Ainsi 7 316 = 73 × 100 + 16 ; 73 × 100 est un multiple de 4, tout se joue sur 16 = 4 × 4.
7 316 : 16 = 4 × 4, donc 7 316 est divisible par 4 (7 316 = 4 × 1 829).
2 908 : les deux derniers chiffres forment 08, c’est-à-dire 8 = 4 × 2 : 2 908 est divisible par 4.
5 438 : 38 = 4 × 9 + 2 n’est pas dans la table de 4, donc 5 438 n’est pas divisible par 4, bien qu’il soit pair.
Utiliser tous les critères
| Divisible par | On regarde |
|---|---|
| 2 ; 5 ; 10 | le chiffre des unités |
| 4 | le nombre formé par les deux derniers chiffres |
| 3 ; 9 | la somme de tous les chiffres |
1 260 : chiffre des unités 0 → divisible par 2, par 5 et par 10 ; 60 = 4 × 15 → par 4 ; 1 + 2 + 6 + 0 = 9 → par 3 et par 9.
5 3□2 divisible par 4 : le nombre □2 doit être 12, 32, 52, 72 ou 92, donc □ = 1, 3, 5, 7 ou 9.
Réflexe — pour 4, je cache tout sauf les deux derniers chiffres et je cherche ce nombre dans la table de 4.
Attention — un nombre pair n’est pas toujours divisible par 4 (5 438). Et pour 4, on ne regarde ni le dernier chiffre seul ni la somme des chiffres : 1 314 se termine par 4, mais 14 = 4 × 3 + 2, donc 1 314 n’est pas divisible par 4.
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Pour aller plus loin
Ensuite — les critères de divisibilité servent à simplifier une fraction (on divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur) : voir Fractions : égalité, simplification et comparaison.
Pour aller plus loin (prolongement proposé par le programme de 5ᵉ, non exigible) — un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13…). 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur. Le crible d’Ératosthène permet de les trouver en barrant, dans un tableau de nombres, les multiples de 2, puis ceux de 3, de 5… Écrire un nombre comme un produit de nombres premiers (60 = 2 × 2 × 3 × 5) se verra en 3ᵉ.
- « a est divisible par b », « a est un multiple de b » et « b est un diviseur de a » disent la même chose : la division euclidienne de a par b a un reste égal à 0.
- Divisible par 2 : chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair) ; par 5 : 0 ou 5 ; par 10 : 0. Le reste de la division par 10 est le chiffre des unités.
- Les diviseurs se cherchent par paires de produits (1 × …, 2 × …, 3 × …) ; un multiple commun ou un diviseur commun convient pour les deux nombres à la fois.
- Divisible par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9). Tout multiple de 9 est un multiple de 3, pas l’inverse.
- Divisible par 4 (complément) : le nombre formé par les deux derniers chiffres est dans la table de 4. Un nombre pair n’est pas toujours divisible par 4.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un multiple et un diviseur ?
Comme 54 = 6 × 9, 54 est un multiple de 6 (il est dans la table de 6) et 6 est un diviseur de 54. « 54 est divisible par 6 » veut dire la même chose : la division euclidienne de 54 par 6 a un reste égal à 0.
Comment savoir si un nombre est divisible par 2, par 5 ou par 10 ?
On regarde seulement son chiffre des unités : 0, 2, 4, 6 ou 8 pour 2 (nombre pair), 0 ou 5 pour 5, 0 pour 10. Ainsi 2 745 est divisible par 5 mais ni par 2 ni par 10. Cela marche car un nombre s’écrit (nombre de dizaines) × 10 + chiffre des unités, et un multiple de 10 est divisible par 2 et par 5.
Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ?
On écrit les produits égaux au nombre en essayant 1, 2, 3… dans l’ordre : 30 = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6. On s’arrête quand on retombe sur un diviseur déjà trouvé. Les diviseurs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.
Quel est le critère de divisibilité par 3 et par 9 ?
On additionne les chiffres : si la somme est divisible par 3, le nombre l’est ; si elle est divisible par 9, le nombre l’est. Pour 2 538, 2 + 5 + 3 + 8 = 18 : il est divisible par 3 et par 9. Attention : un nombre divisible par 3 ne l’est pas toujours par 9 (33 = 9 × 3 + 6).
Comment savoir si un nombre est divisible par 4 ?
On regarde le nombre formé par ses deux derniers chiffres : s’il est dans la table de 4, le nombre est divisible par 4, car 100 = 4 × 25. 3 924 est divisible par 4 (24 = 4 × 6), 3 942 ne l’est pas (42 = 4 × 10 + 2). Ce critère est un complément au programme de 5e.
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