À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Enchaînements d'opérations & priorités » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Pourquoi des règles de priorité ?, La règle d'or : multiplication et division d'abord, Les parenthèses sont prioritaires, Lire de gauche à droite. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Pourquoi des règles de priorité ?
2 · La règle d'or : multiplication et division d'abord
3 · Les parenthèses sont prioritaires
4 · Lire de gauche à droite
5 · Méthode pas à pas pour un calcul à étapes
6 · Parenthèses imbriquées et barre de fraction
7 · Les pièges classiques à éviter
1Pourquoi des règles de priorité ?
Quand un calcul contient plusieurs opérations, on ne peut pas simplement calculer « de gauche à droite » sans réfléchir : le résultat dépend de l'ordre dans lequel on effectue les opérations.
Exemple. Que vaut $2 + 3 \times 4$ ?
• Si je calcule de gauche à droite : $2 + 3 = 5$, puis $5 \times 4 = 20$.
• Si je multiplie d'abord : $3 \times 4 = 12$, puis $2 + 12 = 14$.
On obtient deux résultats différents ! Il faut donc une règle commune à tous les mathématiciens.
Pour que tout le monde trouve le même résultat, on a fixé des règles de priorité opératoire. La bonne réponse à l'exemple est $\mathbf{14}$.
Règle. Les priorités opératoires indiquent dans quel ordre effectuer les opérations d'un calcul. Cet ordre est le même pour tout le monde, partout dans le monde.
2La règle d'or : multiplication et division d'abord
Dans un calcul sans parenthèses, la multiplication $\times$ et la division $\div$ sont prioritaires sur l'addition $+$ et la soustraction $-$.
Règle. En l'absence de parenthèses :
• On effectue d'abord toutes les multiplications et divisions.
• On effectue ensuite les additions et soustractions.
| Priorité | Opérations |
|---|
| 1 (la plus forte) | Parenthèses $(\ )$ |
| 2 | Multiplication $\times$ et division $\div$ |
| 3 (la plus faible) | Addition $+$ et soustraction $-$ |
Exemple 1. $5 + 2 \times 6 = 5 + 12 = 17$. On fait $2 \times 6$ avant l'addition.
Exemple 2. $20 - 12 \div 4 = 20 - 3 = 17$. On fait $12 \div 4$ avant la soustraction.
Exemple 3. $3 \times 4 + 2 \times 5 = 12 + 10 = 22$. On fait les deux multiplications, puis on additionne.
Astuce. Souligne au crayon les multiplications et divisions : ce sont elles que tu traites en premier.
3Les parenthèses sont prioritaires
Les parenthèses servent à imposer un ordre de calcul : ce qui est entre parenthèses se calcule en tout premier, avant les multiplications.
Règle. On effectue toujours d'abord les calculs situés entre parenthèses. À l'intérieur d'une parenthèse, on respecte de nouveau l'ordre habituel (multiplication avant addition).
Exemple 1. $(2 + 3) \times 4 = 5 \times 4 = 20$. La parenthèse change tout : ici le résultat est $20$, et non $14$.
Exemple 2. $7 \times (10 - 6) = 7 \times 4 = 28$.
Exemple 3. $(8 + 2 \times 3) \div 2 = (8 + 6) \div 2 = 14 \div 2 = 7$. À l'intérieur, on fait d'abord $2 \times 3$.
Attention ! $(2+3)\times 4 = 20$ alors que $2 + 3 \times 4 = 14$. La présence ou l'absence de parenthèses change complètement le résultat.
4Lire de gauche à droite
Lorsque deux opérations ont la même priorité (par exemple deux additions, ou une multiplication et une division), on les effectue dans l'ordre où elles apparaissent : de gauche à droite.
Règle. Entre opérations de même niveau (× et ÷ entre elles, ou + et − entre elles), on calcule de gauche à droite.
Exemple 1. $24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$. On fait $24 \div 6$ d'abord car la division est à gauche.
Attention ! $24 \div 6 \times 2$ ne fait pas $24 \div 12 = 2$. La division et la multiplication ont la même priorité : on va de gauche à droite, donc $4 \times 2 = 8$.
Exemple 2. $10 - 4 + 3 = 6 + 3 = 9$. On soustrait d'abord car la soustraction est à gauche.
Exemple 3. $20 \div 4 \div 5 = 5 \div 5 = 1$.
5Méthode pas à pas pour un calcul à étapes
Pour un calcul long, on écrit chaque étape sur une nouvelle ligne, en ne traitant qu'une priorité à la fois. C'est plus clair et on évite les erreurs.
Méthode.
1. Repérer s'il y a des parenthèses → les calculer.
2. Effectuer les multiplications et divisions (de gauche à droite).
3. Effectuer les additions et soustractions (de gauche à droite).
4. Recopier sans erreur les nombres non concernés à chaque étape.
Exemple résolu. Calculons $A = 5 + 3 \times (8 - 2) - 4$.
$A = 5 + 3 \times 6 - 4$ (on calcule la parenthèse $8-2=6$)
$A = 5 + 18 - 4$ (on calcule $3 \times 6 = 18$)
$A = 23 - 4$ (on additionne de gauche à droite)
$A = 19$
Deuxième exemple. Calculons $B = (12 + 4) \div 2 \times 3$.
$B = 16 \div 2 \times 3$ (parenthèse $12+4=16$)
$B = 8 \times 3$ ($16 \div 2 = 8$, de gauche à droite)
$B = 24$
Astuce. À chaque ligne, ne change qu'une seule chose. Recopie tout le reste à l'identique pour ne rien oublier.
6Parenthèses imbriquées et barre de fraction
Parfois, on trouve des parenthèses dans des parenthèses (on dit « imbriquées »). On commence toujours par la parenthèse la plus intérieure.
Règle. Avec des parenthèses imbriquées, on calcule de l'intérieur vers l'extérieur.
Exemple. $C = 2 \times \big(3 + (10 - 4)\big)$
$C = 2 \times (3 + 6)$ (parenthèse intérieure $10-4=6$)
$C = 2 \times 9$ (parenthèse extérieure $3+6=9$)
$C = 18$
La barre de fraction joue le rôle d'une grande parenthèse : elle sépare le numérateur du dénominateur. On calcule d'abord le numérateur en entier, puis le dénominateur, et seulement après on divise.
Exemple. $\dfrac{5 + 7}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$. On calcule $5 + 7 = 12$ avant de diviser par $3$.
Autre exemple. $\dfrac{20 - 4}{2 \times 4} = \dfrac{16}{8} = 2$.
Attention ! $\dfrac{5+7}{3}$ n'est pas $5 + \dfrac{7}{3}$. La barre de fraction regroupe tout le numérateur, comme une parenthèse invisible.
7Les pièges classiques à éviter
Voici les erreurs les plus fréquentes en 5e. Les connaître, c'est déjà les éviter !
| Piège | Erreur fréquente | Bon calcul |
|---|
| $4 + 5 \times 2$ | $9 \times 2 = 18$ (faux) | $4 + 10 = 14$ |
| $18 \div 3 \times 2$ | $18 \div 6 = 3$ (faux) | $6 \times 2 = 12$ |
| $10 - 3 + 2$ | $10 - 5 = 5$ (faux) | $7 + 2 = 9$ |
| $(2+3)^2$ | $2^2 + 3 = 7$ (faux) | $5^2 = 25$ |
Attention ! Ne saute jamais d'étape pour aller plus vite : c'est ainsi qu'on se trompe d'ordre. Écris chaque ligne.
Astuce mémo. Pense P · M-D · A-S : Parenthèses, puis Multiplication-Division, puis Addition-Soustraction. Et à priorité égale : de gauche à droite.
★À retenir
En bref :
• On calcule d'abord les parenthèses, puis les × et ÷, puis les + et −.
• À priorité égale, on va de gauche à droite.
• Les parenthèses imbriquées se calculent de l'intérieur vers l'extérieur.
• La barre de fraction agit comme une grande parenthèse.
• Mémo : P · M-D · A-S. Écris chaque étape sur une ligne pour ne pas te tromper.