À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Enchaînements d'opérations & priorités » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Une expression, ce n'est pas « de gauche à droite », Priorité de × et ÷ sur + et −, Les parenthèses : on s'occupe d'elles en premier, Parenthèses emboîtées (les unes dans les autres). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Une expression, ce n'est pas « de gauche à droite »
2 · Priorité de × et ÷ sur + et −
3 · Les parenthèses : on s'occupe d'elles en premier
4 · Parenthèses emboîtées
5 · Calculer étape par étape : la présentation
6 · Avec des fractions et des relatifs simples
7 · La distributivité : k(a + b) = ka + kb
8 · Programmes de calcul : traduire en une expression
1Une expression, ce n'est pas « de gauche à droite »
Une expression numérique est un calcul qui enchaîne plusieurs opérations, par exemple 5 + 3 × 4. La grande question de ce chapitre est : dans quel ordre fait-on les calculs ?
Beaucoup d'élèves calculent « comme on lit », de la gauche vers la droite. C'est presque toujours faux ! Regarde :
Le piège. Pour 5 + 3 × 4 :
• À tort (gauche → droite) : 5 + 3 = 8, puis 8 × 4 = 32.
• Correctement : on fait d'abord 3 × 4 = 12, puis 5 + 12 = 17.
Le bon résultat est 17. Pour que tout le monde trouve la même réponse à un calcul, les mathématiciens se sont mis d'accord sur des règles de priorité : ce sont elles qui décident l'ordre, pas le sens de lecture.
Les 3 règles de priorité (à connaître par cœur)
- Règle 1 — Parenthèses d'abord. On calcule toujours ce qui est entre parenthèses en premier.
- Règle 2 — Puis × et ÷. Les multiplications et divisions passent avant les additions et soustractions.
- Règle 3 — Enfin + et −. On termine par les additions et soustractions.
💡 Moyen mnémotechnique : Parenthèses → ×÷ → +−. On dit que × et ÷ sont « plus forts » que + et −.
2Priorité de × et ÷ sur + et −
Quand une expression n'a pas de parenthèses, on commence par effectuer toutes les multiplications et divisions, puis seulement après les additions et soustractions.
Méthode pas-à-pas.
- 1. Je souligne (mentalement) les × et ÷ : ce sont eux que je calcule en premier.
- 2. Je remplace chaque produit ou quotient par son résultat, en recopiant le reste sans le changer.
- 3. Il ne reste que des + et des −, que je calcule de gauche à droite.
Exemple 1. Calculer 7 + 4 × 5 − 6.
7 + 4 × 5 − 6 = 7 + 20 − 6 = 27 − 6 = 21.
On calcule d'abord 4 × 5, on recopie 7 et −6 sans y toucher.
Exemple 2. Calculer 20 − 12 ÷ 4.
20 − 12 ÷ 4 = 20 − 3 = 17.
Exemple 3 (plusieurs × et ÷). Calculer 3 × 6 + 40 ÷ 8.
3 × 6 + 40 ÷ 8 = 18 + 5 = 23.
Les deux opérations « fortes » se calculent d'abord, chacune de son côté.
⚠️ Erreur classique : écrire 7 + 4 × 5 = 11 × 5 = 55. NON ! Le × est prioritaire : 4 × 5 d'abord. Le bon début est 7 + 20.
💡 Quand il n'y a que des + et des − (ou que des × et ÷), là oui, on calcule de gauche à droite : 15 − 6 − 2 = 9 − 2 = 7.
3Les parenthèses : on s'occupe d'elles en premier
Les parenthèses servent à imposer un ordre : ce qu'elles contiennent doit être calculé avant tout le reste, même avant les × et ÷.
Comparons.
• Sans parenthèses : 5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17.
• Avec parenthèses : (5 + 3) × 4 = 8 × 4 = 32.
Les parenthèses changent complètement le résultat !
Méthode. Tant qu'il reste une parenthèse, je calcule ce qu'elle contient et je la fais disparaître en la remplaçant par sa valeur. Ensuite j'applique les priorités normales (× et ÷ avant + et −).
Exemple 1. (12 − 5) × 2 + 3
= 7 × 2 + 3 = 7 × 2 + 3 = 14 + 3 = 17.
Exemple 2. 30 ÷ (2 + 4)
= 30 ÷ 6 = 5. La parenthèse au dénominateur se calcule d'abord.
Exemple 3 (deux parenthèses). (8 − 3) × (2 + 6)
= 5 × 8 = 40. On calcule chaque parenthèse, puis le produit.
⚠️ Un signe × est parfois sous-entendu juste avant une parenthèse : 3(4 + 1) veut dire 3 × (4 + 1) = 3 × 5 = 15.
4Parenthèses emboîtées (les unes dans les autres)
On peut mettre des parenthèses à l'intérieur d'autres parenthèses : on dit qu'elles sont emboîtées. Pour s'y retrouver, on utilise souvent des crochets à l'extérieur : [ … ( … ) … ].
Règle. On calcule toujours de l'intérieur vers l'extérieur : la parenthèse la plus « profonde » d'abord, puis on remonte.
Exemple. Calculer 2 × [ 3 + (10 − 4) ÷ 2 ].
1. Parenthèse intérieure : (10 − 4) = 6 → 2 × [ 3 + 6 ÷ 2 ].
2. Dans le crochet, priorité au ÷ : 6 ÷ 2 = 3 → 2 × [ 3 + 3 ].
3. On finit le crochet : 3 + 3 = 6 → 2 × 6.
4. 2 × 6 = 12.
💡 À chaque ligne, on ne touche qu'à une seule opération et on recopie tout le reste. C'est plus long, mais on ne se trompe presque jamais.
⚠️ Pense à compter tes parenthèses : autant d'ouvrantes que de fermantes. Une parenthèse oubliée change tout le calcul.
5Calculer étape par étape : la présentation
En 5e, on attend une présentation soignée : un signe = par ligne, alignés, et une seule opération effectuée à chaque étape. C'est la meilleure façon d'éviter les erreurs et de gagner des points.
Les 4 commandements du calcul propre
- Je recopie l'expression de départ.
- J'effectue une opération (la plus prioritaire) et je recopie le reste à l'identique.
- Je vais à la ligne avec un nouveau =, bien aligné.
- Je continue jusqu'à n'avoir qu'un seul nombre : c'est le résultat.
| Étape | Ce que je calcule | L'expression devient… |
|---|
| Départ | — | (6 + 2) × 5 − 9 ÷ 3 |
| 1 | la parenthèse 6 + 2 | 8 × 5 − 9 ÷ 3 |
| 2 | le produit 8 × 5 | 40 − 9 ÷ 3 |
| 3 | le quotient 9 ÷ 3 | 40 − 3 |
| 4 | la soustraction | 37 |
⚠️ Ne jamais écrire un « = » qui n'est pas vrai. Écrire 6 + 2 × 5 = 8 × 5 = 40 est faux : 6 + 2 × 5 ne vaut pas 8 × 5. Chaque ligne doit être égale à la précédente.
6Avec des fractions et des relatifs simples
La barre de fraction est une parenthèse cachée
Une grande barre de fraction agit comme des parenthèses : on calcule tout le numérateur, tout le dénominateur, puis on divise.
8 + 42 + 1 = 123 = 4
⚠️ 8 + 42 + 1 n'est pas égal à 8 + 42 + 1. La barre regroupe tout le haut et tout le bas.
Fractions dans une expression
Une fraction comme 34 est un nombre comme un autre : elle a sa place dans une expression.
Exemple. 2 + 12 × 6 = 2 + 12 × 6 = 2 + 3 = 5. La multiplication 12 × 6 = 3 se fait avant l'addition.
Les nombres relatifs
Les relatifs (nombres négatifs) suivent exactement les mêmes priorités. Un nombre négatif se met entre parenthèses pour rester lisible.
Exemple. 5 + 2 × (−3) = 5 + 2 × (−3) = 5 + (−6) = −1.
Exemple. (−4) + 10 ÷ 2 = (−4) + 10 ÷ 2 = (−4) + 5 = 1.
💡 « + (−6) » revient à « − 6 », et « − (−6) » revient à « + 6 ». Mais d'abord, on respecte les priorités !
7La distributivité : k(a + b) = ka + kb
Quand on multiplie une parenthèse par un nombre, on a deux façons de faire — et elles donnent le même résultat. C'est la distributivité.
k × (a + b) = k × a + k × b
et de même k × (a − b) = k × a − k × b
Le facteur k est « distribué » (réparti) sur chaque terme de la parenthèse.
Vérification sur un exemple. Calculons 3 × (4 + 5) de deux manières :
• Priorités : 3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27.
• Distributivité : 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27. ✔ Même résultat.
Avec une soustraction. 5 × (8 − 2) = 5 × 8 − 5 × 2 = 40 − 10 = 30.
À quoi ça sert ? Au calcul mental !
La distributivité permet de calculer vite, dans la tête, en cassant un nombre « pénible ».
- 7 × 102 = 7 × (100 + 2) = 7 × 100 + 7 × 2 = 700 + 14 = 714.
- 6 × 49 = 6 × (50 − 1) = 6 × 50 − 6 × 1 = 300 − 6 = 294.
- Factoriser (dans l'autre sens) : 4 × 7 + 4 × 3 = 4 × (7 + 3) = 4 × 10 = 40.
💡 Dans le sens k × a + k × b → k(a + b), on a « mis en facteur » le nombre commun k : on appelle ça factoriser.
8Programmes de calcul : traduire en une expression
Un programme de calcul est une suite d'instructions (« choisis un nombre, ajoute…, multiplie… »). On apprend à le traduire en une seule expression avec les bonnes parenthèses, puis à le calculer.
La clé : les parenthèses traduisent l'ordre des étapes. Si une étape doit être faite avant une multiplication ou une division, il faut l'entourer de parenthèses.
| Le programme dit… | L'expression s'écrit… |
|---|
| Je choisis 6, j'ajoute 4, puis je multiplie par 3 | (6 + 4) × 3 |
| Je choisis 6, je multiplie par 3, puis j'ajoute 4 | 6 × 3 + 4 |
| Je choisis 10, j'enlève 2, puis je divise par 4 | (10 − 2) ÷ 4 |
Exemple complet.
Programme : « Choisis un nombre. Ajoute 5. Multiplie le résultat par 2. Enlève 3. »
Avec le nombre 4 :
• Étape par étape : 4 → 4 + 5 = 9 → 9 × 2 = 18 → 18 − 3 = 15.
• En une expression : (4 + 5) × 2 − 3 = 9 × 2 − 3 = 18 − 3 = 15. ✔
⚠️ « Ajoute 5 puis multiplie par 2 » s'écrit (n + 5) × 2, surtout pas n + 5 × 2 (qui ferait d'abord 5 × 2 à cause de la priorité du ×).
🎓 Récap du chapitre : on calcule dans l'ordre Parenthèses → × et ÷ → + et − · parenthèses emboîtées : de l'intérieur vers l'extérieur · la barre de fraction regroupe haut et bas · une seule opération par ligne avec des « = » toujours vrais · distributivité k(a + b) = ka + kb pour calculer vite et factoriser · un programme de calcul se traduit avec les bonnes parenthèses.