Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Enchaînements d'opérations & priorités
Règles de priorité, parenthèses et calculs à étapes (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Enchaînements d'opérations & priorités » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Pourquoi des règles de priorité ?, La règle d'or : multiplication et division d'abord, Les parenthèses sont prioritaires, Même priorité : de gauche à droite. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
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Pourquoi des règles de priorité ?
Quand un calcul contient plusieurs opérations, le résultat dépend de l'ordre dans lequel on les effectue.
Exemple. Que vaut $2 + 3 \times 4$ ?
• De gauche à droite : $2 + 3 = 5$ puis $5 \times 4 = 20$.
• En multipliant d'abord : $3 \times 4 = 12$ puis $2 + 12 = 14$.
Deux résultats différents : il faut une règle commune.
• De gauche à droite : $2 + 3 = 5$ puis $5 \times 4 = 20$.
• En multipliant d'abord : $3 \times 4 = 12$ puis $2 + 12 = 14$.
Deux résultats différents : il faut une règle commune.
Convention universelle. Tous les mathématiciens — et toutes les calculatrices — appliquent les mêmes priorités opératoires. La bonne réponse ci-dessus est $14$.
Astuce. Tape $2 + 3 \times 4$ sur une calculatrice scientifique : elle affiche $14$. C'est un bon moyen de vérifier que tu as compris la règle.
2
La règle d'or : multiplication et division d'abord
Dans un calcul sans parenthèses, $\times$ et $\div$ passent avant $+$ et $-$.
Règle. On effectue d'abord toutes les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.
| Priorité | Opérations |
|---|---|
| 1 (la plus forte) | parenthèses $(\;)$ |
| 2 | multiplication $\times$ et division $\div$ |
| 3 (la plus faible) | addition $+$ et soustraction $-$ |
Exemple. $20 - 4 \times 3 = 20 - 12 = 8$. Le produit est calculé en premier, même s'il est écrit après.
Attention ! La position dans la ligne ne donne aucune priorité : dans $20 - 4 \times 3$, la soustraction est écrite avant mais se calcule après.
3
Les parenthèses sont prioritaires
Les parenthèses servent à imposer un ordre : ce qu'elles contiennent se calcule en tout premier.
Règle. On effectue d'abord les calculs entre parenthèses. À l'intérieur d'une parenthèse, on applique de nouveau l'ordre habituel ($\times$ et $\div$ avant $+$ et $-$).
Exemple 1. $(2 + 3) \times 4 = 5 \times 4 = 20$ — la parenthèse change tout.
Exemple 2. $7 \times (10 - 6) = 7 \times 4 = 28$.
Exemple 3. $(8 + 2 \times 5) \div 2 = (8 + 10) \div 2 = 18 \div 2 = 9$.
Exemple 2. $7 \times (10 - 6) = 7 \times 4 = 28$.
Exemple 3. $(8 + 2 \times 5) \div 2 = (8 + 10) \div 2 = 18 \div 2 = 9$.
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Même priorité : de gauche à droite
Quand deux opérations ont la même priorité, on les effectue dans l'ordre d'écriture, de gauche à droite.
Règle. $\times$ et $\div$ entre elles, $+$ et $-$ entre elles : on calcule de gauche à droite.
Exemple 1. $24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$.
Exemple 2. $10 - 3 + 2 = 7 + 2 = 9$.
Exemple 2. $10 - 3 + 2 = 7 + 2 = 9$.
Attention ! $24 \div 6 \times 2$ ne vaut pas $24 \div 12 = 2$, et $10 - 3 + 2$ ne vaut pas $10 - 5 = 5$. Commencer par l'opération la plus à droite est une erreur classique.
Astuce. Si tu veux vraiment diviser par $6 \times 2$, il faut l'écrire avec des parenthèses : $24 \div (6 \times 2) = 2$.
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Présenter un calcul à étapes
Sur une copie, un calcul long s'écrit une étape par ligne : c'est ce qui rapporte des points et évite les erreurs.
Méthode.
1. Repérer les parenthèses et les calculer.
2. Effectuer les multiplications et divisions, de gauche à droite.
3. Effectuer les additions et soustractions, de gauche à droite.
4. Recopier sans erreur, à chaque ligne, les nombres non concernés.
1. Repérer les parenthèses et les calculer.
2. Effectuer les multiplications et divisions, de gauche à droite.
3. Effectuer les additions et soustractions, de gauche à droite.
4. Recopier sans erreur, à chaque ligne, les nombres non concernés.
Exemple résolu. $A = 5 + 3 \times (8 - 2) - 4$
$A = 5 + 3 \times 6 - 4$ (parenthèse)
$A = 5 + 18 - 4$ (produit)
$A = 19$ (de gauche à droite)
$A = 5 + 3 \times 6 - 4$ (parenthèse)
$A = 5 + 18 - 4$ (produit)
$A = 19$ (de gauche à droite)
Astuce. Une seule opération traitée par ligne : deux calculs faits en même temps, c'est une erreur presque assurée.
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Parenthèses imbriquées et barre de fraction
Quand une parenthèse en contient une autre, on part de la plus intérieure.
Règle. Parenthèses imbriquées : on calcule de l'intérieur vers l'extérieur.
Exemple. $C = 2 \times \big( 3 + (10 - 4) \big)$
$C = 2 \times (3 + 6) = 2 \times 9 = 18$.
$C = 2 \times (3 + 6) = 2 \times 9 = 18$.
Barre de fraction. Une barre de fraction joue le rôle de deux parenthèses invisibles : on calcule le numérateur en entier, le dénominateur en entier, puis on divise.
Exemple. $\dfrac{12 + 8}{4 + 1} = \dfrac{20}{5} = 4$. Il serait faux d'écrire $12 + 8 \div 4 + 1$, qui vaut $15$.
Attention ! Pour saisir $\dfrac{12+8}{5}$ sur une calculatrice, il faut taper $(12+8) \div 5$ : sans parenthèses, la machine calcule autre chose.
7
Priorités avec des relatifs et des fractions
Les règles de priorité ne changent pas quand le calcul contient des nombres relatifs ou des fractions.
Avec des relatifs. $-7 - 2 \times (-5) = -7 - (-10) = -7 + 10 = +3$. Le produit passe avant la soustraction.
Avec des fractions. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \times 3 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$. On effectue le produit, puis on met au même dénominateur.
Attention ! Un signe $-$ devant une parenthèse concerne tout son contenu : $10 - (4 + 3) = 10 - 7 = 3$, et non $10 - 4 + 3 = 9$.
Vérification. Avant d'écrire le résultat, demande-toi s'il est plausible : $50 - 2 \times 20$ doit rester proche de $10$, pas atteindre $960$.
En bref
- Ordre : parenthèses, puis $\times$ et $\div$, puis $+$ et $-$.
- À priorité égale, on calcule de gauche à droite : $24 \div 6 \times 2 = 8$ et $10 - 3 + 2 = 9$.
- Parenthèses imbriquées : on part de la plus intérieure.
- La barre de fraction agit comme deux parenthèses : $\dfrac{12+8}{4+1} = \dfrac{20}{5} = 4$.
- Un signe $-$ devant une parenthèse porte sur tout son contenu.
- Une étape par ligne : c'est ce qui évite les erreurs et rapporte les points.
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