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Enchaînements d'opérations & priorités
Rappels de 6e sur les nombres entiers (vocabulaire des opérations, calcul mental avec 9, 99, 999, 11 et 101, regroupements astucieux, ordre de grandeur, opérations posées), nommer un calcul (somme, différence, produit, quotient ; termes et facteurs), calculer un enchaînement d’opérations en respectant les priorités (parenthèses, multiplications et divisions avant additions et soustractions, de gauche à droite à priorité égale, barre de fraction) et traduire un programme de calcul ou un problème en une seule expression.
À propos de cette page
Rappels de 6e : calculer avec des nombres entiers
Avant d’enchaîner les opérations, on reprend tout ce que la 6e a appris sur les calculs avec les nombres entiers : le vocabulaire, le calcul mental, les regroupements astucieux, l’ordre de grandeur et les opérations posées.
| Opération | Résultat | Nombres utilisés |
|---|---|---|
| addition (+) | somme | termes |
| soustraction (−) | différence | termes |
| multiplication (×) | produit | facteurs |
| division (÷) | quotient | dividende et diviseur |
+ 9 = + 10 − 1 · + 99 = + 100 − 1 · + 999 = + 1 000 − 1 · + 11 = + 10 + 1 · + 101 = + 100 + 1
− 9 = − 10 + 1 · − 99 = − 100 + 1 · − 999 = − 1 000 + 1 · − 11 = − 10 − 1 · − 101 = − 100 − 1
Calcul astucieux : dans une somme, on peut changer l’ordre des termes et les regrouper ; dans un produit, l’ordre des facteurs et les regrouper (l’addition et la multiplication sont commutatives et associatives). Paires à connaître : 2 × 5 = 10 ; 4 × 25 = 100 ; 8 × 125 = 1 000.
Ordre de grandeur : j’arrondis chaque nombre à un nombre simple (dizaine, centaine, millier le plus proche), puis je calcule de tête ; on écrit ≈.
Opérations posées : chiffres alignés par rang, calcul de droite à gauche avec les retenues ; dans une multiplication, la ligne des dizaines est décalée d’un rang.
Vocabulaire : dans 27 + 16 = 43, 27 et 16 sont les termes et 43 la somme ; dans 12 × 7 = 84, 12 et 7 sont les facteurs et 84 le produit ; dans 96 ÷ 8 = 12, 96 est le dividende, 8 le diviseur et 12 le quotient.
Calcul mental : 438 + 99 = 538 − 1 = 537 · 715 − 9 = 705 + 1 = 706 · 2 364 − 999 = 1 364 + 1 = 1 365 · 186 + 101 = 286 + 1 = 287 · 94 − 11 = 84 − 1 = 83
Regrouper : 37 + 58 + 63 = (37 + 63) + 58 = 100 + 58 = 158 · 4 × 53 × 25 = (4 × 25) × 53 = 100 × 53 = 5 300 · 125 × 7 × 8 = (125 × 8) × 7 = 1 000 × 7 = 7 000
Découper un facteur pour faire apparaître une paire : 22 × 5 = 11 × 2 × 5 = 11 × 10 = 110.
Ordre de grandeur : 612 × 48 ≈ 600 × 50, soit 30 000 (exact : 29 376) · 3 870 + 5 140 ≈ 4 000 + 5 000, soit 9 000 (exact : 9 010).
Les opérations posées
| 1 | 1 | ← retenues | ||
| 5 | 8 | 6 | ||
| + | 3 | 4 | 9 | |
| 9 | 3 | 5 |
Unités : 6 + 9 = 15, j’écris 5 et je retiens 1.
Dizaines : 8 + 4 + 1 = 13, j’écris 3 et je retiens 1.
Centaines : 5 + 3 + 1 = 9.
586 + 349 = 935
| 8 | 1 | 3 | ||
| − | 4 | 7 | 6 | |
| 3 | 3 | 7 |
Unités : 3 − 6 impossible. 13 − 6 = 7, je retiens 1, que j’ajoute au 7 du dessous (7 + 1 = 8).
Dizaines : 1 − 8 impossible. 11 − 8 = 3, je retiens 1 : 4 + 1 = 5.
Centaines : 8 − 5 = 3.
813 − 476 = 337
| 3 | 1 | 8 | |||
| × | 2 | 7 | |||
| 2 | 2 | 2 | 6 | ← 318 × 7 | |
| + | 6 | 3 | 6 | 0 | ← 318 × 20 |
| 8 | 5 | 8 | 6 |
318 × 7 = 2 226.
318 × 20 = 6 360 : je décale d’un rang en écrivant un 0.
2 226 + 6 360 = 8 586.
318 × 27 = 8 586
Vérifier : une soustraction se vérifie par une addition, 337 + 476 = 813 ✓ ; une multiplication par un ordre de grandeur, 318 × 27 ≈ 300 × 30, soit 9 000 ✓.
Réflexe — avant de calculer, je cherche un raccourci : un nombre proche de 10, 100 ou 1 000, ou deux nombres qui font 10, 100 ou 1 000 ensemble ; après une opération posée, je compare mon résultat à un ordre de grandeur.
Attention — en retirant 99, on a retiré 100, donc 1 de trop : on rajoute 1 (526 − 99 = 427, et non 425). On ne change jamais l’ordre dans une soustraction ou une division. Oublier le décalage de la ligne des dizaines donne 2 226 + 636 = 2 862 pour 318 × 27 : l’ordre de grandeur (9 000) repère l’erreur tout de suite.
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Nommer un calcul : somme, différence, produit, quotient
Le vocabulaire des quatre opérations (somme, différence, produit, quotient ; termes, facteurs, dividende, diviseur) a été rappelé dans la partie 1. Il sert maintenant à nommer un calcul qui enchaîne plusieurs opérations.
Si l’on termine par une addition, le calcul est une somme ; par une soustraction, une différence ; par une multiplication, un produit ; par une division, un quotient.
9 + 4 × 7 : on calcule d’abord 4 × 7 = 28, puis 9 + 28 = 37. La dernière opération est l’addition : c’est une somme, dont les termes sont 9 et 4 × 7.
(9 + 4) × 7 : on calcule d’abord 9 + 4 = 13, puis 13 × 7 = 91. La dernière opération est la multiplication : c’est un produit, dont les facteurs sont (9 + 4) et 7.
30 ÷ (2 + 3) est un quotient : le dividende est 30, le diviseur est 2 + 3.
8 × 5 − 6 × 3 est une différence : on calcule les deux produits, puis on soustrait (40 − 18 = 22).
Lire une expression
Pour lire un calcul en français, on commence par son nom (la dernière opération), puis on décrit chacun de ses morceaux.
9 + 4 × 7 se lit « la somme de 9 et du produit de 4 par 7 ».
(9 + 4) × 7 se lit « le produit de la somme de 9 et 4 par 7 ».
30 ÷ (2 + 3) se lit « le quotient de 30 par la somme de 2 et 3 ».
Réflexe — pour nommer un calcul, je cherche l’opération que je ferai en dernier : c’est elle qui donne le nom.
Attention — le premier signe écrit ne donne pas le nom du calcul : 6 × 3 + 2 commence par ×, mais on termine par + 2, c’est donc une somme.
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Calculer avec les priorités opératoires
Quand un calcul contient plusieurs opérations, le résultat dépend de l’ordre choisi. Pour 5 + 2 × 6 : de gauche à droite, 5 + 2 = 7, puis 7 × 6 = 42 ; en multipliant d’abord, 2 × 6 = 12, puis 5 + 12 = 17. Il faut une règle commune : la bonne réponse est 17. Une calculatrice scientifique (de collège) applique cette règle.
2. Puis les multiplications et divisions.
3. Enfin les additions et soustractions.
Quand deux opérations ont la même priorité, on les effectue de gauche à droite, dans l’ordre d’écriture.
| Priorité | Opérations |
|---|---|
| 1 (la plus forte) | parenthèses ( ) |
| 2 | multiplication × et division ÷ |
| 3 (la plus faible) | addition + et soustraction − |
20 − 4 × 3 = 20 − 12 = 8 (le produit passe avant, même s’il est écrit après)
Même priorité : 24 ÷ 6 × 2 = 4 × 2 = 8 · 10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9
Parenthèses : (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20 · 7 × (10 − 6) = 7 × 4 = 28
Dans une parenthèse, l’ordre habituel s’applique : (8 + 2 × 5) ÷ 2 = (8 + 10) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9
Parenthèses imbriquées, de l’intérieur vers l’extérieur : 2 × (3 + (10 − 4)) = 2 × (3 + 6) = 2 × 9 = 18
Avec des nombres relatifs, les règles ne changent pas : 7 − (2 − 9) = 7 − (−7) = 7 + 7 = 14 (soustraire un nombre négatif : voir Relatifs : additionner et soustraire)
La barre de fraction
Une barre de fraction joue le rôle de deux parenthèses invisibles : on calcule le numérateur en entier, le dénominateur en entier, puis on divise. Le quotient se calcule comme (12 + 8) ÷ (4 + 1) = 20 ÷ 5 = 4. Sans les parenthèses, 12 + 8 ÷ 4 + 1 vaut 15 : ce n’est pas le même calcul. Sur une calculatrice, on tape donc les parenthèses.
Présenter un calcul à étapes
Sur une copie, on écrit une étape par ligne : 1. les parenthèses ; 2. les multiplications et divisions, de gauche à droite ; 3. les additions et soustractions, de gauche à droite ; à chaque ligne, on recopie sans les changer les nombres qui ne sont pas concernés.
A = 5 + 3 × (8 − 2) − 4
A = 5 + 3 × 6 − 4 (parenthèse)
A = 5 + 18 − 4 (produit)
A = 19 (de gauche à droite)
Réflexe — avant de calculer, je repère l’opération prioritaire ; je n’en traite qu’une par ligne, et je vérifie que le résultat est plausible : 50 − 2 × 20 = 50 − 40 = 10, il ne peut pas valoir 960.
Attention — la position dans la ligne ne donne aucune priorité, et à priorité égale on ne commence jamais par la droite : 24 ÷ 6 × 2 ne vaut pas 24 ÷ 12 = 2. Un signe − devant une parenthèse porte sur tout son contenu : 10 − (4 + 3) = 10 − 7 = 3.
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Traduire un programme de calcul en une seule expression
Un programme de calcul, une phrase ou un problème décrivent une suite d’opérations. On peut tout écrire en une seule expression, à condition que les priorités donnent le même ordre que l’énoncé.
J’ajoute des parenthèses chaque fois qu’une addition ou une soustraction doit être faite avant une multiplication ou une division.
Si la règle de priorité donne déjà le bon ordre, les parenthèses sont inutiles.
Choisir 7 ; ajouter 4 ; multiplier par 3 ; soustraire 5.
Expression : (7 + 4) × 3 − 5 = 11 × 3 − 5 = 33 − 5 = 28. Les parenthèses sont indispensables autour de 7 + 4, inutiles ensuite (la multiplication passe déjà avant la soustraction).
Choisir 6 ; multiplier par 5 ; ajouter 8.
Expression : 6 × 5 + 8 = 30 + 8 = 38, sans parenthèses.
« Le triple de la somme de 4 et 9 » : 3 × (4 + 9) = 3 × 13 = 39.
« La différence de 50 et du produit de 6 par 7 » : 50 − 6 × 7 = 50 − 42 = 8.
Une cuve contient 50 L d’eau. On remplit 2 bidons de 12 L et 3 arrosoirs de 7 L. Eau restante : 50 − (2 × 12 + 3 × 7) = 50 − (24 + 21) = 50 − 45 = 5 L.
Dans l’autre sens
Une expression se lit aussi comme un programme : 2 × 9 − 4 correspond à « choisir 9 ; multiplier par 2 ; soustraire 4 ».
Réflexe — je calcule mon expression et je compare avec le calcul fait étape par étape : si les résultats diffèrent, il manque des parenthèses.
Attention — « ajouter 4, puis multiplier par 3 » ne s’écrit pas 7 + 4 × 3 : cette expression vaut 19, alors que le programme donne (7 + 4) × 3, soit 33. Ici, les parenthèses changent le résultat.
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Pour aller plus loin
Pour la suite — multiplier une somme par un nombre (par exemple 3 × (20 + 1) = 3 × 20 + 3 × 1), y compris les produits de tête de 6e par 11, 9 ou 99, est traité dans Opérations : la distributivité simple ; les carrés et les cubes dans un enchaînement d’opérations, dans Puissances : carré et cube d’un nombre ; les calculs avec des fractions, dans Fractions : additionner et soustraire ; un programme de calcul écrit avec une lettre, dans Calcul littéral : produire et calculer une expression.
Se verra en 4e — enchaîner des opérations qui contiennent des produits ou des quotients de nombres relatifs, comme −7 − 2 × (−5).
- Rappels de 6e : + 99 = + 100 − 1 et − 99 = − 100 + 1 ; dans une somme ou un produit, je regroupe (4 × 25 = 100 ; 8 × 125 = 1 000) ; une opération posée se contrôle par un ordre de grandeur.
- Addition → somme de termes ; soustraction → différence ; multiplication → produit de facteurs ; division → quotient du dividende par le diviseur.
- Un calcul porte le nom de la dernière opération effectuée : 9 + 4 × 7 est une somme, (9 + 4) × 7 est un produit.
- Priorités : d’abord les parenthèses (de l’intérieur vers l’extérieur), puis × et ÷, enfin + et −.
- À priorité égale, on calcule de gauche à droite. Une barre de fraction : numérateur et dénominateur se calculent en entier avant de diviser.
- Traduire en une seule expression : les opérations dans l’ordre de l’énoncé, avec des parenthèses quand une addition ou une soustraction doit passer avant une multiplication ou une division.
Questions fréquentes
Quels calculs de 6e faut-il savoir faire avant les priorités opératoires ?
Le vocabulaire des opérations, le calcul mental avec un nombre proche de 10, 100 ou 1 000, comme 438 + 99 = 538 − 1 = 537 ; les regroupements astucieux (4 × 25 = 100, 8 × 125 = 1 000), l’ordre de grandeur et l’addition, la soustraction et la multiplication posées. Ils sont tous repris dans la partie 1 du cours, avec exercices et mission.
Quelle est la différence entre des termes et des facteurs ?
Les nombres que l’on additionne ou que l’on soustrait sont des termes : leur résultat est une somme ou une différence. Les nombres que l’on multiplie sont des facteurs : leur résultat est un produit. Dans une division, on parle de dividende et de diviseur, et le résultat est un quotient.
Comment savoir si un calcul est une somme ou un produit ?
On cherche la dernière opération à effectuer, en respectant les priorités : c’est elle qui donne son nom au calcul. 9 + 4 × 7 est une somme (on termine par l’addition), alors que (9 + 4) × 7 est un produit (on termine par la multiplication).
Quelles sont les priorités opératoires ?
On calcule d’abord ce qui est entre parenthèses, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions ; à priorité égale, on va de gauche à droite. Ainsi 20 − 4 × 3 = 20 − 12 = 8 (le produit passe avant), et 24 ÷ 6 × 2 = 4 × 2 = 8.
Comment écrire un programme de calcul en une seule expression ?
On écrit les opérations dans l’ordre du programme et on ajoute des parenthèses dès qu’une addition ou une soustraction doit être faite avant une multiplication ou une division. Choisir 7, ajouter 4, multiplier par 3, soustraire 5 s’écrit (7 + 4) × 3 − 5, qui vaut 28.
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