Opérations : la distributivité simple

Multiplier un nombre par une somme ou une différence avec la distributivité simple : développer k × (a + b) et k × (a − b) ; factoriser une somme de produits qui ont un facteur commun, comme 3 × 23 + 7 × 23 = 10 × 23 ; calculer astucieusement de tête, comme 12 × 99 ou 25 × 104 ; problèmes.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où la distributivité simplifie les calculs : des places de cinéma, l’aire d’une cour de récréation, une commande de calculatrices, une boulangerie, l’équipement d’un club de handball et deux programmes de calcul qui donnent toujours le même résultat.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis tout l’énoncé et je repère les nombres utiles, avec leurs unités.
J’écris le calcul en une seule expression, avec des parenthèses si besoin.
Je cherche l’astuce : un facteur proche d’un nombre rond (je développe) ou un facteur commun (je factorise).
Je calcule, puis je vérifie avec l’autre forme du calcul.
Je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Les places de cinéma★★★Facile

Pour une séance,

7

amis prennent chacun une place à

9

€ et un pot de pop-corn à

4

€.

1. Combien paie un ami, en euros ?
Une place et un pop-corn : $9 + 4 = 13$ €.
2. Combien les $7$ amis paient-ils en tout, en euros ?
$7 \times 13 = 91$ €.
3. Combien paient-ils pour les places seulement, en euros ?
$7 \times 9 = 63$ €.
4. Et pour les pop-corn seulement, en euros ?
$7 \times 4 = 28$ €. On retrouve le total, $63 + 28 = 91$ € : c’est la distributivité, $7 \times (9 + 4) = 7 \times 9 + 7 \times 4$ .

Problème 2 · La cour de récréation★★★Facile

Une cour rectangulaire a une largeur de

18

m. Elle est partagée en deux rectangles de même largeur : un terrain de jeux de

37

m de long et un préau de

13

m de long.

1. Quelle est l’aire du terrain de jeux, en m² ?
$18 \times 37 = 666$ m².
2. Quelle est l’aire du préau, en m² ?
$18 \times 13 = 234$ m².
3. Quelle est la longueur totale de la cour, en mètres ?
$37 + 13 = 50$ m.
4. Quelle est l’aire totale de la cour, en m² ?
Avec la longueur totale : $18 \times 50 = 900$ m². On trouve la même chose en additionnant les deux aires : $18 \times 37 + 18 \times 13 = 18 \times (37 + 13) = 900$ m².

Problème 3 · La commande du collège★★★Moyen

Le collège commande

98

calculatrices à

17

€ l’une et

103

compas à

6

€ l’un. Fais les calculs de tête avec la distributivité.

1. Combien coûtent les calculatrices, en euros ?
$98 = 100 - 2$ : $17 \times 98 = 17 \times 100 - 17 \times 2 = 1 700 - 34 = 1 666$ €.
2. Combien coûtent les compas, en euros ?
$103 = 100 + 3$ : $6 \times 103 = 600 + 18 = 618$ €.
3. Quel est le prix total de la commande, en euros ?
$1 666 + 618 = 2 284$ €.
4. Le budget prévu est de $2 500$ €. Combien reste-t-il, en euros ?
$2 500 - 2 284 = 216$ €.

Problème 4 · La boulangerie★★★Moyen

Une boulangerie vend le croissant

1, 20

€ et le pain au chocolat

1, 30

€. Lundi, elle a vendu

45

croissants et

45

pains au chocolat ; mardi,

55

croissants et

55

pains au chocolat.

1. Combien coûtent un croissant et un pain au chocolat ensemble, en euros ?
$1, 20 + 1, 30 = 2, 50$ €.
2. Quelle est la recette du lundi pour ces viennoiseries, en euros ?
Facteur commun $45$ : $45 \times 1, 20 + 45 \times 1, 30 = 45 \times (1, 20 + 1, 30) = 45 \times 2, 5 = 112, 50$ €.
3. Quelle est la recette du mardi pour ces viennoiseries, en euros ?
$55 \times 2, 5 = 137, 50$ €.
4. Quelle est la recette des deux jours réunis, en euros ?
$112, 50 + 137, 50 = 250$ €. Plus vite, avec le facteur commun $2, 5$ : $45 \times 2, 5 + 55 \times 2, 5 = (45 + 55) \times 2, 5 = 100 \times 2, 5 = 250$ €.

Problème 5 · L’équipement du club de handball★★★Difficile

Un club de handball achète

48

maillots pour les jeunes et

52

maillots pour les adultes, tous à

19

€ l’un. Il achète aussi

99

shorts à

14

€ l’un. Fais les calculs de tête.

1. Combien coûtent les maillots des jeunes, en euros ?
$19 = 20 - 1$ : $48 \times 19 = 48 \times 20 - 48 \times 1 = 960 - 48 = 912$ €.
2. Combien coûtent tous les maillots, en euros ?
Facteur commun $19$ : $48 \times 19 + 52 \times 19 = (48 + 52) \times 19 = 100 \times 19 = 1 900$ €.
3. Combien coûtent les shorts, en euros ?
$99 = 100 - 1$ : $14 \times 99 = 1 400 - 14 = 1 386$ €.
4. Le club a reçu une aide de $3 000$ €. Combien lui manque-t-il pour payer tout l’équipement, en euros ?
Dépense totale : $1 900 + 1 386 = 3 286$ €. Il manque $3 286 - 3 000 = 286$ €.

Problème 6 · Deux programmes de calcul★★★Difficile

Programme A : choisir un nombre ; lui ajouter

7

; multiplier le résultat par

6

.
Programme B : choisir un nombre ; le multiplier par

6

; ajouter

42

au résultat.

1. Quel résultat donne le programme A avec le nombre $13$ ?
$13 + 7 = 20$ , puis $20 \times 6 = 120$ . En une seule expression : $(13 + 7) \times 6 = 120$ .
2. Quel résultat donne le programme B avec le nombre $2, 5$ ?
$2, 5 \times 6 = 15$ , puis $15 + 42 = 57$ .
3. Sans refaire le programme pas à pas, quel résultat donne le programme A avec le nombre $2, 5$ ?
Le programme A calcule $6 \times (2, 5 + 7)$ . Par distributivité, $6 \times (2, 5 + 7) = 6 \times 2, 5 + 6 \times 7 = 15 + 42 = 57$ : c’est exactement le programme B. Les deux programmes donnent toujours le même résultat.
4. Programme C : faire le programme A, puis soustraire $6$ fois le nombre de départ. Quel résultat donne-t-il avec le nombre $25$ ?
$6 \times (25 + 7) - 6 \times 25 = 192 - 150 = 42$ . Par distributivité, $6 \times (25 + 7) = 6 \times 25 + 42$ : quand on enlève $6 \times 25$ , il reste $42$ , et ce sera $42$ quel que soit le nombre choisi.

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