Devoir surveillé : Trigonométrie, Pythagore, Thalès et géométrie dans l'espace

1. a)Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$, donc d'après le théorème de Pythagore : $K{M}^2=K{L}^2+L{M}^2=400+441=841$, d'où $KM=\sqrt{841}=29$ cm. (1 pt : égalité de Pythagore 0,5 ; résultat 0,5) (1)
2. b)Le côté adjacent à $\hat{K}$ est $[KL]$, l'hypoténuse est $[KM]$ : $\cos \hat{K}={\displaystyle \frac{KL}{KM}}={\displaystyle \frac{20}{29}}$. À la calculatrice, $\hat{K}=\arccos \left({\displaystyle \frac{20}{29}}\right)\approx 46,4^{\circ }$, soit ${46}^{\circ }$ au degré près. (1 pt : fraction 0,5 ; angle 0,5) (1)
3. c)La hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle dont la génératrice est l'hypoténuse : $r^2={26}^2-{24}^2=676-576=100$, donc $r=10$ cm. (1 pt : triangle rectangle identifié 0,5 ; calcul 0,5) (1)
4. d)$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times r^2\times h={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 100\times 24=800\pi \approx 2513$ cm³. (1 pt : formule 0,5 ; résultat 0,5) (1)

Méthode — dans un cône, la hauteur, le rayon et la génératrice forment toujours un triangle rectangle : c'est le pont entre Pythagore et la géométrie dans l'espace.

1. a)L'hypoténuse est $[RT]$ (en face de l'angle droit $\hat{S}$) ; le côté opposé à $\hat{R}$ est $[ST]$ ; le côté adjacent à $\hat{R}$ est $[RS]$. (1 pt : 3 réponses justes 1 ; 2 réponses justes 0,5) (1)
2. b)On connaît l'hypoténuse et on cherche le côté opposé : on utilise le sinus. $\sin \hat{R}={\displaystyle \frac{ST}{RT}}$, donc $ST=9\times \sin {38}^{\circ }\approx 5,54$, soit $ST\approx 5,5$ cm. (1 pt : choix du sinus 0,5 ; résultat 0,5) (1)
3. c)On cherche le côté adjacent : on utilise le cosinus. $\cos \hat{R}={\displaystyle \frac{RS}{RT}}$, donc $RS=9\times \cos {38}^{\circ }\approx 7,09$, soit $RS\approx 7,1$ cm. (1 pt : choix du cosinus 0,5 ; résultat 0,5) (1)
4. d)La somme des angles d'un triangle vaut ${180}^{\circ }$ : $\hat{T}={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{38}^{\circ }={52}^{\circ }$. Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires. (1 pt : justification 0,5 ; résultat 0,5) (1)

Piège — « opposé » et « adjacent » dépendent de l'angle choisi : le côté opposé à $\hat{R}$ est le côté adjacent à $\hat{T}$. On repère toujours l'angle avant de nommer les côtés.

1. a)${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{4}{10}}=0,4$ et ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{3}{7,5}}=0,4$. Les rapports sont égaux et les points $A,M,B$ et $A,N,C$ sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$. (1,5 pt : deux rapports 0,5 ; égalité 0,5 ; conclusion avec l'ordre des points 0,5) (1)
2. b)Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{5}{BC}}$ et $BC={\displaystyle \frac{5\times 10}{4}}=12,5$ cm. (1 pt : égalité 0,5 ; résultat 0,5) (1)
3. c)Le plus grand côté est $[MN]$ : $M{N}^2=25$ et $A{M}^2+A{N}^2=16+9=25$. L'égalité $M{N}^2=A{M}^2+A{N}^2$ est vérifiée, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $AMN$ est rectangle en $A$. (1 pt : calculs séparés 0,5 ; conclusion 0,5) (1)
4. d)Les angles $\widehat{MAN}$ et $\widehat{BAC}$ sont le même angle (mêmes demi-droites), donc $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$ : $ABC$ est rectangle en $A$. Vérification : $A{B}^2+A{C}^2=100+56,25=156,25=12,5^2$. (0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — pour la réciproque de Pythagore, on calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des deux autres carrés ; écrire l'égalité avant de l'avoir vérifiée, c'est supposer ce qu'on veut démontrer.

1. a)Aire de la base : ${\displaystyle \frac{7\times 24}{2}}=84$ cm². Volume du prisme : $84\times 10=840$ cm³. (1 pt : aire 0,5 ; volume 0,5) (1)
2. b)La base est rectangle, le côté cherché est l'hypoténuse : $7^2+{24}^2=49+576=625$, donc la longueur vaut $\sqrt{625}=25$ cm. (1 pt : Pythagore 0,5 ; résultat 0,5) (1)
3. c)$V=\pi \times 4^2\times 15=240\pi \approx 754$ cm³. Comme $754<840$, le prisme a le plus grand volume. (1 pt : volume 0,5 ; comparaison 0,5) (1)
4. d)Le diamètre de la boule est $8$ cm, égal au diamètre du cylindre, et $8⩽15$ : la boule rentre (juste) dans le cylindre. $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 4^3={\displaystyle \frac{256\pi }{3}}\approx 268$ cm³. (1 pt : justification 0,5 ; volume 0,5) (1)

Astuce — prisme et cylindre se calculent de la même façon, aire de la base multipliée par la hauteur ; seul le cône et la pyramide demandent de diviser par 3.

1. a)Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle au pied du mur, d'hypoténuse l'échelle. Pythagore : $h^2=5^2-1,6^2=25-2,56=22,44$, donc $h=\sqrt{22,44}\approx 4,74$ m. (1 pt : égalité 0,5 ; résultat 0,5) (1)
2. b)La distance au mur est le côté adjacent à l'angle $\alpha$ au sol : $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1,6}{5}}=0,32$, donc $\alpha \approx 71,3^{\circ }$, soit ${71}^{\circ }$. (1 pt : choix du cosinus 0,5 ; angle 0,5) (1)
3. c)${65}^{\circ }<{71}^{\circ }<{75}^{\circ }$ : l'échelle est placée sans danger. (1 pt : comparaison 0,5 ; conclusion rédigée 0,5) (1)
4. d)$\cos {70}^{\circ }={\displaystyle \frac{d}{5}}$, donc $d=5\times \cos {70}^{\circ }\approx 1,710$, soit $d\approx 1,71$ m. (1 pt : égalité 0,5 ; résultat 0,5) (1)

Méthode — avant tout calcul, on dessine le triangle rectangle et on repère ce que l'on connaît : deux côtés, c'est Pythagore ; un angle en jeu, c'est la trigonométrie.

1. a)Vrai. Le plus grand côté mesure $5,3$ cm : $5,3^2=28,09$ et $2,8^2+4,5^2=7,84+20,25=28,09$. L'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle (réciproque de Pythagore). (1 pt : calculs 0,5 ; conclusion 0,5) (1)
2. b)Faux. Les longueurs sont multipliées par $50$, donc les volumes par ${50}^3=125000$ : le réservoir contient $2\times 125000=250000$ L, soit $250$ m³. (1 pt : coefficient $k^3$ 0,5 ; résultat 0,5) (1)
3. c)Vrai. Dans un triangle rectangle, $\sin x={\displaystyle \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}}$ et $\tan x={\displaystyle \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}}$. Même numérateur, et l'adjacent est plus court que l'hypoténuse : diviser par un nombre plus petit donne un résultat plus grand, donc $\sin x<\tan x$. (1 pt : écriture des rapports 0,5 ; argument 0,5) (1)
4. d)Faux. Deux villes sur le même méridien ont la même longitude ; leur latitude peut être différente (l'une au nord, l'autre au sud, par exemple). Ce sont les villes d'un même parallèle qui ont la même latitude. (1 pt : réponse 0,5 ; justification 0,5) (1)

Piège — à l'échelle ${\displaystyle \frac{1}{k}}$, les longueurs sont divisées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$ : multiplier un volume par $k$ seulement est l'erreur la plus répandue.

1. a)Le triangle $SOA$ est rectangle en $O$ : $S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2=36+6,25=42,25$, donc $SA=\sqrt{42,25}=6,5$ cm. (1 pt : égalité 0,5 ; résultat 0,5) (1)
2. b)$\tan \widehat{OSA}={\displaystyle \frac{OA}{SO}}={\displaystyle \frac{2,5}{6}}$, donc $\widehat{OSA}\approx 22,{62}^{\circ }$. L'angle au sommet vaut le double : $2\times 22,{62}^{\circ }\approx 45,2^{\circ }$, soit ${45}^{\circ }$. On arrondit à la fin seulement. (1 pt : demi-angle 0,5 ; angle au sommet 0,5) (1)
3. c)$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 2,5^2\times 6={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 6,25\times 6=12,5\pi \approx 39,3$ cm³. (1 pt : formule 0,5 ; résultat 0,5) (1)
4. d)Rayon de la boule : $2,5$ cm. $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 2,5^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 15,625\approx 65,4$ cm³. Comme $65,4>39,3$, la glace fondue ne tient pas dans le cornet : il déborde. (1 pt : volume de la boule 0,5 ; conclusion 0,5) (1)

Erreur fréquente — dans la formule de la boule, c'est le rayon qu'on met au cube, pas le diamètre : avec $5^3$ au lieu de $2,5^3$, on trouve un volume huit fois trop grand.

1. a)$(BD)⟂(AC)$ et $(CE)⟂(AC)$ (le triangle $ACE$ est rectangle en $C$). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : $(BD)\parallel (CE)$. (1 pt : deux perpendicularités 0,5 ; propriété citée 0,5) (1)
2. b)$AC=AB+BC=8+12=20$ m. Les points $A,B,C$ et $A,D,E$ sont alignés et $(BD)\parallel (CE)$ : d'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{BD}{CE}}$, soit ${\displaystyle \frac{8}{20}}={\displaystyle \frac{6}{CE}}$ et $CE={\displaystyle \frac{6\times 20}{8}}=15$ m. (1 pt : $AC$ et égalité 0,5 ; résultat 0,5) (1)
3. c)$ABD$ est rectangle en $B$ : $A{D}^2=64+36=100$, $AD=10$ m. Par Thalès : $AE=AD\times {\displaystyle \frac{AC}{AB}}=10\times {\displaystyle \frac{20}{8}}=25$ m. Par Pythagore dans $ACE$ : $A{E}^2={20}^2+{15}^2=400+225=625$, $AE=25$ m. (1 pt : $AD$ 0,5 ; $AE$ deux méthodes 0,5) (1)
4. d)Dans $ACE$ rectangle en $C$ : $\tan \widehat{CAE}={\displaystyle \frac{CE}{AC}}={\displaystyle \frac{15}{20}}=0,75$, donc $\widehat{CAE}\approx 36,9^{\circ }$, soit ${37}^{\circ }$. (1 pt : rapport 0,5 ; angle 0,5) (1)

Méthode — « deux perpendiculaires à une même droite » est la façon la plus courante d'obtenir le parallélisme nécessaire à Thalès : on la cherche dès qu'une figure contient deux angles droits.

1. a)La section d'un cône par un plan parallèle à sa base est un disque, de centre $O^{\prime }$. Le petit cône est une réduction du grand de rapport $k={\displaystyle \frac{S{O}^{\prime }}{SO}}={\displaystyle \frac{6}{15}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ : rayon $={\displaystyle \frac{2}{5}}\times 8=3,2$ cm. (1 pt : nature 0,5 ; rayon 0,5) (1)
2. b)$SOA$ est rectangle en $O$ : $S{A}^2={15}^2+8^2=225+64=289$, donc $SA=17$ cm. (1 pt : égalité 0,5 ; résultat 0,5) (1)
3. c)$\tan \widehat{OSA}={\displaystyle \frac{OA}{SO}}={\displaystyle \frac{8}{15}}$, donc $\widehat{OSA}\approx 28,1^{\circ }$, soit ${28}^{\circ }$. (1 pt : rapport 0,5 ; angle 0,5) (1)
4. d)Grand cône : $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 64\times 15=320\pi \approx 1005,3$ cm³. Petit cône : $V^{\prime }=k^3\times V={\displaystyle \frac{8}{125}}\times 320\pi =20,48\pi \approx 64,3$ cm³ (vérification : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 3,2^2\times 6=20,48\pi$). (1 pt : grand cône 0,5 ; petit cône 0,5) (1)
5. e)$V_{\text{tronc}}=320\pi -20,48\pi =299,52\pi \approx 941$ cm³. (1 pt : différence 0,5 ; résultat 0,5) (1)

Astuce — on soustrait les valeurs exactes ($320\pi -20,48\pi$) avant d'arrondir : soustraire deux valeurs déjà arrondies peut décaler le résultat final d'une unité.

1. a)Ils ont la même longitude (${25}^{\circ }$ E) : ils sont sur le même méridien. Leurs latitudes sont opposées, l'un dans l'hémisphère nord, l'autre dans l'hémisphère sud : ils sont symétriques par rapport au plan de l'équateur. (0,5 pt) (1)
2. b)Dans $OHM$ rectangle en $H$, $[OM]$ est l'hypoténuse ($OM=6370$ km) et $[HM]$ le côté adjacent à $\widehat{OMH}$ : $HM=6370\times \cos {60}^{\circ }=6370\times 0,5=3185$ km. (1,5 pt : triangle et côtés identifiés 0,5 ; formule 0,5 ; résultat 0,5) (1)
3. c)Longueur du parallèle : $2\times \pi \times 3185=6370\pi \approx 20012$ km. Équateur : $2\times \pi \times 6370=12740\pi \approx 40024$ km. Le parallèle ${60}^{\circ }$ N mesure exactement la moitié de l'équateur, car $\cos {60}^{\circ }=0,5$. (1 pt : longueur 0,5 ; comparaison 0,5) (1)

Erreur fréquente — le rayon d'un parallèle n'est pas le rayon de la Terre : il diminue quand on s'éloigne de l'équateur, et c'est la trigonométrie qui permet de le calculer.

1. a)${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, donc ${\cos }^{2}x=1-0,36=0,64$ ; comme $\cos x>0$ pour un angle aigu, $\cos x=0,8$. Puis $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}={\displaystyle \frac{0,6}{0,8}}=0,75$. (1 pt : cosinus 0,5 ; tangente 0,5) (1)
2. b)Le plus grand côté est $4$ cm (car $4=\sqrt{16}$). $4^2=16$ et ${\sqrt{5}}^2+{\sqrt{11}}^2=5+11=16$ : d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle, l'angle droit étant opposé au côté de $4$ cm. (1 pt : comparaison des côtés et calculs 0,5 ; conclusion 0,5) (1)
3. c)Boule : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 27=36\pi$ cm³. Cône : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 9\times h=3\pi h$. $3\pi h=36\pi$ donne $h=12$ cm. (1 pt : équation 0,5 ; résultat 0,5) (1)
4. d)Le volume est multiplié par $k^3={\displaystyle \frac{1458}{54}}=27=3^3$, donc $k=3$. L'aire est multipliée par $k^2=9$. (1 pt : $k$ 0,5 ; aire 0,5) (1)

Astuce — ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ et $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$ permettent de déduire les trois rapports d'un seul, sans calculatrice ni figure.

1. a)Le triangle $AHC$ est rectangle en $H$, d'hypoténuse $[AC]$. $HC=AC\times \cos {60}^{\circ }=8\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=4$ cm et $AH=AC\times \sin {60}^{\circ }=8\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$ cm. (1 pt : $HC$ 0,5 ; $AH$ 0,5) (1)
2. b)Dans $ABH$ rectangle en $H$ : $\widehat{BAH}={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{45}^{\circ }={45}^{\circ }=\widehat{ABH}$. Le triangle $ABH$ a deux angles égaux, il est isocèle en $H$ : $BH=AH=4\sqrt{3}$ cm. (1 pt : angle 0,5 ; conclusion 0,5) (1)
3. c)$H\in [BC]$, donc $BC=BH+HC=4\sqrt{3}+4$ cm. Aire $={\displaystyle \frac{BC\times AH}{2}}={\displaystyle \frac{(4+4\sqrt{3})\times 4\sqrt{3}}{2}}=(4+4\sqrt{3})\times 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}+8\times 3=24+8\sqrt{3}$ cm². (1 pt : $BC$ 0,5 ; aire développée 0,5) (1)
4. d)Pythagore dans $ABH$ : $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2=(4\sqrt{3}{)}^2+(4\sqrt{3}{)}^2=48+48=96$, donc $AB=\sqrt{96}$ cm. Comme $81<96<100$, on a $9<AB<10$. (1 pt : $A{B}^2$ 0,5 ; encadrement 0,5) (1)

Piège — $(4\sqrt{3}{)}^2$ vaut $16\times 3=48$ et non $4\times 3$ : le carré porte sur les deux facteurs du produit.

1. a)La hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle d'hypoténuse la génératrice : $g^2={12}^2+r^2$, donc $g^2-r^2=144$. Avec l'identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $(g-r)(g+r)=144$. (1 pt : Pythagore 0,5 ; factorisation 0,5) (1)
2. b)$(g+r)-(g-r)=2r$ est pair, donc $g-r$ et $g+r$ ont la même parité. S'ils étaient tous deux impairs, leur produit serait impair, or $144$ est pair : ils sont donc tous deux pairs. (1 pt : même parité 0,5 ; exclusion du cas impair 0,5) (1)
3. c)On pose $d=g-r$ et $e=g+r$ : $d\times e=144$, $d$ et $e$ pairs, et $0<d<e$ car $r>0$ (on a $g>r$ puisque $g^2=r^2+144$). Alors $d^2<d\times e=144$, donc $d<12$ : les seules valeurs paires possibles de $d$ divisant $144$ sont $2,4,6,8$, avec $e=72,36,24,18$, tous pairs. Comme $g={\displaystyle \frac{d+e}{2}}$ et $r={\displaystyle \frac{e-d}{2}}$, on obtient exactement quatre cônes : $(35;37)$, $(16;20)$, $(9;15)$ et $(5;13)$. Vérification : ${35}^2+144=1369={37}^2$. (1,5 pt : encadrement $d<12$ 0,5 ; liste des couples $(d;e)$ 0,5 ; quatre cônes 0,5) (1)
4. d)Le demi-angle au sommet $\alpha$ vérifie $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{r}{12}}$. Plus $r$ est grand, plus la tangente est grande et plus l'angle est grand (le côté opposé s'allonge pour un même côté adjacent) : c'est le cône de rayon $35$ cm. (0,5 pt) (1)

Méthode — pour être sûr de n'oublier aucune solution, on transforme le problème en une liste finie : ici, les décompositions de $144$ en produit de deux facteurs pairs, que l'on parcourt dans l'ordre.

1. a)Rayon $3$ m. Rayon, hauteur et génératrice forment un triangle rectangle : $h^2=5^2-3^2=25-9=16$, donc $h=4$ m. (1 pt : égalité 0,5 ; résultat 0,5) (1)
2. b)Cylindre : $\pi \times 3^2\times 10=90\pi$ m³. Trémie : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times \pi \times 3^2\times 4=12\pi$ m³. Total : $102\pi$ m³. (1 pt : deux volumes 0,5 ; total 0,5) (1)
3. c)Dans le triangle rectangle de la trémie, l'angle $\alpha$ entre la paroi et l'horizontale a pour côté opposé la hauteur ($4$ m) et pour côté adjacent le rayon ($3$ m) : $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{4}{3}}>1=\tan {45}^{\circ }$. Pour un angle aigu, la tangente augmente avec l'angle (à côté adjacent fixé, un angle plus grand donne un côté opposé plus long), donc $\alpha >{45}^{\circ }$ : le grain s'écoule bien. (1 pt : rapport 0,5 ; comparaison justifiée 0,5) (1)
4. d)Les volumes sont divisés par ${50}^3=125000$ : ${\displaystyle \frac{102\pi }{125000}}$ m³ $={\displaystyle \frac{102\pi \times 1000}{125000}}$ L $=0,816\pi$ L. Avec $\pi \approx 3,14$ : $0,816\times 3,14=2,56224$, soit environ $2,6$ L. (1 pt : coefficient $k^3$ 0,5 ; conversion et valeur 0,5) (1)
5. e)Volume de grain : $12\pi +{\displaystyle \frac{90\pi }{2}}=12\pi +45\pi =57\pi$ m³. Masse : $57\pi \times 0,75=42,75\pi$ t, et $42,75\times 3,14=134,235$, soit environ $134,2$ t. (1 pt : volume 0,5 ; masse 0,5) (1)

Erreur fréquente — $1$ m³ $=1000$ L : oublier cette conversion, ou l'appliquer avant de diviser par $k^3$ sans changer d'unité, fausse le résultat d'un facteur mille.

1. a)On place $x$ dans un triangle rectangle d'hypoténuse $c$, de côté adjacent $a$ et de côté opposé $b$ : $\cos x={\displaystyle \frac{a}{c}}$ et $\sin x={\displaystyle \frac{b}{c}}$. Alors $(\cos x{)}^2+(\sin x{)}^2={\displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2}}={\displaystyle \frac{c^2}{c^2}}=1$, car $a^2+b^2=c^2$ d'après Pythagore. (1 pt : rapports 0,5 ; utilisation de Pythagore 0,5) (1)
2. b)Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$, d'hypoténuse $[AB]$, et $[AH]$ est le côté opposé à $\hat{B}$ : $\sin \hat{B}={\displaystyle \frac{AH}{AB}}$, d'où $AH=AB\times \sin \hat{B}$. L'aire de $ABC$ vaut ${\displaystyle \frac{BC\times AH}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times AB\times BC\times \sin \hat{B}$. (1 pt : hauteur 0,5 ; aire 0,5) (1)
3. c)Aire $={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6\times 10\times \sin {30}^{\circ }=30\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=15$ cm². Pour un angle aigu $x$, $\sin x<1$ (le côté opposé est plus court que l'hypoténuse), donc l'aire ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6\times 10\times \sin x=30\sin x$ est strictement inférieure à $30$ cm². (1 pt : aire 0,5 ; argument $\sin x<1$ 0,5) (1)

Méthode — pour démontrer une propriété d'un angle quelconque, on le place dans un triangle rectangle bien choisi, on nomme ses côtés par des lettres et on raisonne sur les lettres, jamais sur un exemple.