Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente

Le triangle $PQR$ est rectangle en $Q$. Donne le nom du côté demandé (par exemple « PQ »).

1. L’hypoténuse :
   L’hypoténuse est en face de l’angle droit, en $Q$ : c’est $[PR]$, le seul côté dont le nom ne contient pas $Q$.
2. Le côté adjacent à l’angle $QPR$ :
   $[PQ]$ est le côté de l’angle droit qui passe par le sommet $P$.
3. Le côté opposé à l’angle $QPR$ :
   $[QR]$ est le côté de l’angle droit qui est en face du sommet $P$.
4. Le côté adjacent à l’angle $QRP$ :
   Vu depuis $R$, c’est $[QR]$ qui passe par le sommet : il devient le côté adjacent.
5. Le côté opposé à l’angle $QRP$ :
   $[PQ]$ est en face de $R$ : les rôles de $[PQ]$ et $[QR]$ s’échangent quand on change d’angle.

Le triangle $BCD$ est rectangle en $C$, avec $BC=3,9$ cm et $BD=5,2$ cm.

1. $\cos (CBD)=$
   Côté adjacent à $CBD$ : $[BC]$ ; hypoténuse : $[BD]$. $\cos (CBD)={\displaystyle \frac{3,9}{5,2}}=0,75$.
2. $CBD\approx$ ° (au dixième)
   $CBD={\cos }^{-1}(0,75)\approx 41,4°$.
3. $CDB\approx$ ° (au dixième)
   Les angles aigus ont pour somme $90°$ : $CDB\approx 90°-41,41°\approx 48,6°$.
4. $CD\approx$ cm (au centième)
   Théorème de Pythagore : $C{D}^2=5,2^2-3,9^2=27,04-15,21=11,83$, donc $CD=\sqrt{11,83}\approx 3,44$ cm.

Utilise le cosinus (calculatrice en mode degrés).

1. Un triangle rectangle a une hypoténuse de $13$ cm et un angle aigu de $34°$. Le côté adjacent à cet angle mesure environ cm (au dixième)
   $\cos (34°)={\displaystyle \frac{\text{adjacent}}{13}}$, donc adjacent $=13\times \cos (34°)\approx 10,8$ cm.
2. Un triangle rectangle a un angle aigu de $58°$ dont le côté adjacent mesure $5$ cm. L’hypoténuse mesure environ cm (au dixième)
   $\cos (58°)={\displaystyle \frac{5}{\text{hyp}}}$, donc hyp $={\displaystyle \frac{5}{\cos (58°)}}\approx 9,4$ cm (plus long que $5$ cm).
3. Sans calculatrice : parmi $\cos (25°)$ et $\cos (65°)$, le plus grand est le cosinus de l’angle de °
   Le cosinus diminue quand l’angle augmente : $25°<65°$, donc $\cos (25°)$ est le plus grand ($\cos (25°)\approx 0,906$ et $\cos (65°)\approx 0,423$).

$KLM$ est rectangle en $L$ avec $KL=2,1$ cm, $LM=2,8$ cm et $KM=3,5$ cm. Donne la valeur décimale exacte du quotient, ou sa valeur arrondie au centième.

1. $\cos (LMK)=$
   Côté adjacent à $LMK$ : $LM=2,8$ ; hypoténuse : $KM=3,5$. ${\displaystyle \frac{2,8}{3,5}}=0,8$.
2. $\sin (LMK)=$
   Côté opposé à $LMK$ : $KL=2,1$. ${\displaystyle \frac{2,1}{3,5}}=0,6$.
3. $\tan (LMK)=$
   ${\displaystyle \frac{KL}{LM}}={\displaystyle \frac{2,1}{2,8}}=0,75$.
4. $\tan (LKM)\approx$
   Vu depuis $K$ : opposé $LM$, adjacent $KL$. ${\displaystyle \frac{2,8}{2,1}}\approx 1,33$ : c’est l’inverse de $\tan (LMK)$.

Le triangle $RST$ est rectangle en $T$. Complète avec les noms des côtés (par exemple « RT »).

1. $\sin (TRS)=$ ÷
   Hypoténuse : $[RS]$. Côté opposé à $TRS$ : $[ST]$. $\sin (TRS)={\displaystyle \frac{ST}{RS}}$.
2. $\tan (TRS)=$ ÷
   Opposé $[ST]$, adjacent $[RT]$ : $\tan (TRS)={\displaystyle \frac{ST}{RT}}$.
3. $\cos (RST)=$ ÷
   Vu depuis $S$, le côté adjacent est $[ST]$ : $\cos (RST)={\displaystyle \frac{ST}{RS}}$, le même quotient que $\sin (TRS)$.
4. $\tan (RST)=$ ÷
   Vu depuis $S$ : opposé $[RT]$, adjacent $[ST]$. $\tan (RST)={\displaystyle \frac{RT}{ST}}$.

$ABC$ est rectangle en $A$. Pour chaque situation, écris la formule à utiliser : « cos », « sin » ou « tan ».

1. On connaît $ABC$ et $BC$ ; on cherche $AC$ :
   $[AC]$ est opposé à $ABC$ et $[BC]$ est l’hypoténuse : SOH, le sinus.
2. On connaît $ABC$ et $AB$ ; on cherche $AC$ :
   Adjacent $[AB]$ et opposé $[AC]$ : TOA, la tangente.
3. On connaît $AB$ et $BC$ ; on cherche $ABC$ :
   Adjacent $[AB]$ et hypoténuse $[BC]$ : CAH, le cosinus.
4. On connaît $ACB$ et $AB$ ; on cherche $BC$ :
   Vu depuis $C$, $[AB]$ est le côté opposé ; $[BC]$ est l’hypoténuse : SOH, le sinus.
5. On connaît $AB$ et $AC$ ; on cherche $ACB$ :
   Vu depuis $C$ : opposé $[AB]$, adjacent $[AC]$. TOA, la tangente.

$ABC$ est rectangle en $A$. Calcule la longueur demandée, arrondie au dixième (la longueur cherchée est en haut du quotient).

1. $ABC=52°$ et $BC=9,4$ cm. $AB\approx$ cm
   $[AB]$ adjacent, $[BC]$ hypoténuse : $\cos (52°)={\displaystyle \frac{AB}{9,4}}$, donc $AB=9,4\times \cos (52°)\approx 5,8$ cm.
2. $ABC=23°$ et $AB=7,5$ cm. $AC\approx$ cm
   $[AC]$ opposé, $[AB]$ adjacent : $\tan (23°)={\displaystyle \frac{AC}{7,5}}$, donc $AC=7,5\times \tan (23°)\approx 3,2$ cm.
3. $ACB=71°$ et $BC=6,2$ cm. $AB\approx$ cm
   L’angle est en $C$ : $[AB]$ est son côté opposé. $\sin (71°)={\displaystyle \frac{AB}{6,2}}$, donc $AB=6,2\times \sin (71°)\approx 5,9$ cm.

Même triangle $ABC$ rectangle en $A$ ; cette fois, la longueur cherchée est en bas du quotient. Arrondis au dixième.

1. $ABC=64°$ et $AC=11,2$ cm. $BC\approx$ cm
   $\sin (64°)={\displaystyle \frac{11,2}{BC}}$, donc $BC={\displaystyle \frac{11,2}{\sin (64°)}}\approx 12,5$ cm (plus long que $11,2$ cm).
2. $ABC=37°$ et $AC=4,8$ cm. $AB\approx$ cm
   $\tan (37°)={\displaystyle \frac{4,8}{AB}}$, donc $AB={\displaystyle \frac{4,8}{\tan (37°)}}\approx 6,4$ cm.
3. $ABC=41°$ et $AB=6,7$ cm. $BC\approx$ cm
   $\cos (41°)={\displaystyle \frac{6,7}{BC}}$, donc $BC={\displaystyle \frac{6,7}{\cos (41°)}}\approx 8,9$ cm.

Choisis la formule, attention aux unités et aux arrondis demandés.

1. Un triangle rectangle a une hypoténuse de $85$ mm et un angle aigu de $22°$. Le côté opposé à cet angle mesure environ cm (au millimètre)
   Opposé $=85\times \sin (22°)\approx 31,8$ mm, soit environ $3,2$ cm au millimètre près.
2. $MNP$ est rectangle en $N$, $NMP=28°$ et $MP=11$ cm. $NP\approx$ cm et $MN\approx$ cm (au centième)
   $NP=11\times \sin (28°)\approx 5,16$ cm (côté opposé) et $MN=11\times \cos (28°)\approx 9,71$ cm (côté adjacent).
3. Un triangle rectangle a un angle aigu de $64°$ dont le côté opposé mesure $5,2$ cm. Son côté adjacent mesure environ cm (au centième)
   $\tan (64°)={\displaystyle \frac{5,2}{\text{adj}}}$, donc adj $={\displaystyle \frac{5,2}{\tan (64°)}}\approx 2,54$ cm.
4. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure $10$ cm et un côté de l’angle droit mesure $10\times \cos (25°)$ cm. L’angle aigu compris entre ces deux côtés mesure °
   Côté adjacent $=$ hypoténuse $\times \cos (\text{angle})$ : l’angle compris entre ce côté et l’hypoténuse mesure $25°$.

Calcule la mesure de l’angle aigu $x$, arrondie au degré.

1. $\cos (x)=0,35$ : $x\approx$ °
   $x={\cos }^{-1}(0,35)\approx 69,5°$, soit $70°$ au degré.
2. $\tan (x)=2,4$ : $x\approx$ °
   $x={\tan }^{-1}(2,4)\approx 67,4°$, soit $67°$.
3. $\sin (x)=0,9$ : $x\approx$ °
   $x={\sin }^{-1}(0,9)\approx 64,2°$, soit $64°$.

Un angle aigu d’un triangle rectangle est connu par deux de ses côtés. Choisis la formule et calcule l’angle, arrondi au degré.

1. Côté opposé $5,1$ cm, hypoténuse $9,3$ cm : angle $\approx$ °
   SOH : ${\sin }^{-1}(5,1÷9,3)\approx 33,3°$, soit $33°$.
2. Côté adjacent $8,4$ cm, côté opposé $3,5$ cm : angle $\approx$ °
   TOA : ${\tan }^{-1}(3,5÷8,4)\approx 22,6°$, soit $23°$.
3. Côté adjacent $2,9$ cm, hypoténuse $7,1$ cm : angle $\approx$ °
   CAH : ${\cos }^{-1}(2,9÷7,1)\approx 65,9°$, soit $66°$.

Arrondis au dixième de degré.

1. $ABC$ est rectangle en $A$, $AB=6,3$ cm et $AC=2,8$ cm. $ACB\approx$ °
   Vu depuis $C$ : opposé $[AB]$, adjacent $[AC]$. $\tan (ACB)={\displaystyle \frac{6,3}{2,8}}=2,25$, donc $ACB={\tan }^{-1}(2,25)\approx 66,0°$.
2. Dans ce même triangle, $ABC\approx$ °
   $ABC=90°-ACB\approx 90°-66,04°\approx 24,0°$ (ou ${\tan }^{-1}(2,8÷6,3)$).
3. Une route a une pente de $6$ % : son angle avec l’horizontale mesure environ °
   Pente de $6$ % : $\tan (\text{angle})={\displaystyle \frac{6}{100}}=0,06$, donc angle $={\tan }^{-1}(0,06)\approx 3,4°$.
4. Une pente de $100$ % correspond à un angle de ° avec l’horizontale
   $100$ % : on monte de $100$ m pour $100$ m à l’horizontale, donc $\tan (\text{angle})=1$ et l’angle mesure $45°$ — pas $90°$ : un mur vertical n’a pas de pente en pourcentage.

Angles complémentaires : complète.

1. $\sin (38°)=\cos (x)$ pour un angle aigu $x$ : $x=$ °
   $38°+52°=90°$ : $\sin (38°)=\cos (52°)$.
2. $\cos (17°)=\sin (y)$ pour un angle aigu $y$ : $y=$ °
   $17°+73°=90°$ : $\cos (17°)=\sin (73°)$.
3. $ABC$ est rectangle en $A$ et $\cos (ABC)=0,45$ : $\sin (ACB)=$
   Le côté adjacent à $ABC$, $[AB]$, est le côté opposé à $ACB$ : les deux quotients valent ${\displaystyle \frac{AB}{BC}}=0,45$.
4. Dans ce même triangle, si $\tan (ABC)=2,5$, alors $\tan (ACB)=$
   $\tan (ABC)={\displaystyle \frac{AC}{AB}}$ et $\tan (ACB)={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$ : c’est l’inverse, $1÷2,5=0,4$.

Valeurs remarquables (sans calculatrice, sauf pour le dernier arrondi).

1. Dans un triangle rectangle isocèle, la tangente de chaque angle aigu vaut
   Les deux côtés de l’angle droit sont égaux : opposé ÷ adjacent $=1$ (les angles aigus mesurent $45°$).
2. Un triangle rectangle a une hypoténuse de $10$ cm et un angle aigu de $30°$. Le côté opposé à cet angle mesure cm (valeur exacte)
   $\sin (30°)=0,5$, donc côté opposé $=10\times 0,5=5$ cm.
3. Un triangle rectangle a une hypoténuse de $8$ cm et un angle aigu de $45°$. Chaque côté de l’angle droit mesure environ cm (au dixième)
   $8\times \cos (45°)=8\times {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\approx 5,7$ cm ; le triangle est isocèle, les deux côtés sont égaux.
4. Le plus petit nombre entier de degrés pour lequel la tangente d’un angle aigu dépasse $1$ : °
   $\tan (45°)=1$ exactement et la tangente augmente avec l’angle : le premier angle entier dont la tangente dépasse $1$ est $46°$.

Complément : utilise ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$ et $\tan (x)={\displaystyle \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ pour un angle aigu $x$. Arrondis au centième si nécessaire.

1. $\sin (x)=0,6$ : $\cos (x)=$
   ${\cos }^2(x)=1-0,36=0,64$, donc $\cos (x)=0,8$ (un cosinus est positif).
2. $\cos (x)=0,28$ : $\sin (x)=$
   ${\sin }^2(x)=1-0,0784=0,9216$, donc $\sin (x)=0,96$.
3. Avec ce même angle $x$ ($\cos (x)=0,28$), $\tan (x)\approx$
   $\tan (x)={\displaystyle \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}={\displaystyle \frac{0,96}{0,28}}\approx 3,43$.