Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Pythagore, Thalès & trigonométrie
Calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle ou une configuration de Thalès — synthèse de géométrie de 3e
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Pythagore, Thalès & trigonométrie » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître la bonne situation géométrique, Le théorème de Pythagore, La réciproque de Pythagore, Le théorème de Thalès. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
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Reconnaître la bonne situation géométrique
En 3e, trois outils permettent de calculer des longueurs et des angles. Le premier travail, avant tout calcul, est de lire la figure pour repérer la configuration.
Les trois outils.
- Pythagore : un triangle rectangle et ses trois longueurs.
- Trigonométrie (cos, sin, tan) : un triangle rectangle, deux longueurs et un angle aigu.
- Thalès : deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles ; les longueurs sont proportionnelles.
| Je vois un angle droit | Pythagore (que des longueurs) ou trigonométrie (un angle intervient). |
| Je vois deux parallèles | Thalès (triangles emboîtés ou papillon). |
| Je dois prouver | une réciproque : de Pythagore (angle droit) ou de Thalès (parallélisme). |
Réflexe. Sur la figure, cherche le petit carré de l'angle droit ou le codage des parallèles. Puis demande-toi : « qu'est-ce que je connais, qu'est-ce que je cherche ? ». C'est cette question qui désigne l'outil.
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Le théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors $$BC^2 = AB^2 + AC^2.$$ $[BC]$ est l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long.
Exemple — l'hypoténuse. $ABC$ rectangle en $A$, $AB = 4{,}5$ cm, $AC = 6$ cm.
$BC^2 = 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25$, donc $BC = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5$ cm.
$BC^2 = 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25$, donc $BC = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5$ cm.
Exemple — un côté de l'angle droit. $DEF$ rectangle en $D$, $EF = 9$ cm, $DE = 5$ cm.
$EF^2 = DE^2 + DF^2$, donc $DF^2 = 81 - 25 = 56$ et $DF = \sqrt{56} \approx 7{,}5$ cm.
$EF^2 = DE^2 + DF^2$, donc $DF^2 = 81 - 25 = 56$ et $DF = \sqrt{56} \approx 7{,}5$ cm.
Attention ! Hypoténuse cherchée : on additionne. Côté de l'angle droit cherché : on soustrait au carré de l'hypoténuse. Et $\sqrt{56}$ n'est pas $7{,}5$ : écris la valeur exacte $\sqrt{56}$ avant d'arrondir.
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La réciproque de Pythagore
La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle, quand on connaît ses trois côtés.
Réciproque du théorème de Pythagore. Dans un triangle $ABC$, si $BC$ est le plus grand côté et si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle est rectangle en $A$.
Contraposée : si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, le triangle n'est pas rectangle.
Contraposée : si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, le triangle n'est pas rectangle.
| Étape 1 | Repérer le plus grand côté et calculer son carré, seul. |
| Étape 2 | Calculer séparément la somme des carrés des deux autres côtés. |
| Étape 3 | Comparer et conclure en citant la réciproque (égaux) ou la contraposée (différents). |
Exemple. Côtés $2{,}1$ cm, $2{,}8$ cm et $3{,}5$ cm. Plus grand côté : $3{,}5$. $3{,}5^2 = 12{,}25$ ; $2{,}1^2 + 2{,}8^2 = 4{,}41 + 7{,}84 = 12{,}25$. Égalité : d'après la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle, l'angle droit étant opposé au côté de $3{,}5$ cm.
Rédaction. Ne jamais écrire « $3{,}5^2 = 2{,}1^2 + 2{,}8^2$ » avant d'avoir calculé : on ne sait pas encore si c'est vrai. On écrit deux calculs séparés, puis on compare.
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Le théorème de Thalès
Théorème de Thalès. $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$. Si $(MN)\,//\,(BC)$, alors $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.$$
Les longueurs partent toutes de $A$ ; les numérateurs appartiennent au petit triangle $AMN$, les dénominateurs au grand triangle $ABC$. La configuration peut être emboîtée ($M \in [AB]$) ou en papillon ($A$ entre $M$ et $B$).
Exemple. $(MN)\,//\,(BC)$, $AM = 3{,}5$ cm, $AB = 5$ cm, $AC = 8$ cm. D'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, soit $\dfrac{3{,}5}{5} = \dfrac{AN}{8}$, donc $AN = \dfrac{3{,}5 \times 8}{5} = 5{,}6$ cm.
Thalès + Pythagore. Quand le grand triangle est rectangle, on calcule souvent d'abord une longueur avec Pythagore, puis on la réduit avec Thalès. Le petit triangle est alors rectangle lui aussi (angles conservés).
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La réciproque de Thalès
Réciproque du théorème de Thalès. Si $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN)\,//\,(BC)$.
Exemple. $AM = 1{,}8$, $AB = 4{,}5$, $AN = 2{,}2$, $AC = 5{,}5$, points dans le même ordre.
$\dfrac{1{,}8}{4{,}5} = 0{,}4$ et $\dfrac{2{,}2}{5{,}5} = 0{,}4$ : rapports égaux, donc $(MN)\,//\,(BC)$ d'après la réciproque du théorème de Thalès.
$\dfrac{1{,}8}{4{,}5} = 0{,}4$ et $\dfrac{2{,}2}{5{,}5} = 0{,}4$ : rapports égaux, donc $(MN)\,//\,(BC)$ d'après la réciproque du théorème de Thalès.
Deux réciproques, deux rôles. La réciproque de Pythagore prouve un angle droit ; la réciproque de Thalès prouve un parallélisme. Ne les confonds pas dans la conclusion : « donc le triangle est rectangle » ou « donc les droites sont parallèles ».
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La trigonométrie dans le triangle rectangle
Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, on nomme les côtés par rapport à cet angle : l'hypoténuse (face à l'angle droit), le côté opposé (face à l'angle) et le côté adjacent (qui touche l'angle sans être l'hypoténuse).
Formules. $$\cos \widehat{B} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin \widehat{B} = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \widehat{B} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$$ Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA.
Calculer une longueur. $ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{B} = 35°$, $AB = 6$ cm (adjacent). On cherche $AC$ (opposé) : $\tan 35° = \dfrac{AC}{6}$, donc $AC = 6 \times \tan 35° \approx 4{,}2$ cm.
Calculer un angle. Opposé $= 3{,}6$ cm, hypoténuse $= 6$ cm : $\sin \widehat{B} = \dfrac{3{,}6}{6} = 0{,}6$, donc $\widehat{B} = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 37°$ (touche $sin⁻¹$ ou $arcsin$).
Attention ! Un cosinus ou un sinus est toujours compris entre 0 et 1 : un résultat comme $1{,}2$ signale une erreur (numérateur et dénominateur inversés). Calculatrice en mode degrés.
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Choisir le bon outil : méthode de synthèse
Au brevet, la difficulté est rarement le calcul : c'est le choix de l'outil et la rédaction. Entraîne-toi à associer chaque situation au bon théorème.
| 1. Lire | Repérer angle droit, parallèles, longueurs connues, inconnue. |
| 2. Choisir | Nommer le théorème et vérifier ses hypothèses (rectangle en… / parallèles). |
| 3. Écrire | La formule avec les lettres de la figure, puis les valeurs dans la même unité. |
| 4. Conclure | Valeur exacte, arrondi demandé, unité, phrase de conclusion. |
Exemple d'enchaînement. $ABC$ rectangle en $A$, $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, $M \in [AB]$ avec $AM = 4{,}5$ cm, $(MN)\,//\,(BC)$. Pythagore : $BC = 10$ cm. Thalès : $MN = \dfrac{4{,}5 \times 10}{6} = 7{,}5$ cm. Trigonométrie : $\tan \widehat{B} = \dfrac{8}{6}$, donc $\widehat{B} \approx 53°$.
En bref
- Pythagore ($ABC$ rectangle en $A$) : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ; on additionne pour l'hypoténuse, on soustrait pour un côté de l'angle droit.
- Réciproque de Pythagore : carré du plus grand côté = somme des deux autres carrés ⟹ triangle rectangle.
- Thalès (parallèles + sécantes) : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, produit en croix.
- Réciproque de Thalès : rapports égaux + points dans le même ordre ⟹ droites parallèles.
- Trigonométrie (SOH-CAH-TOA) : $\cos = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$, $\sin = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$, $\tan = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$ ; angle avec cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹.
- Toujours : hypothèses → théorème → formule avec les lettres → calcul → unité.
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