Ce cours de mathématiques en troisième sur « Pythagore, Thalès & trigonométrie » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Trois outils, trois usages : la carte d'identité, Pythagore : calculer une longueur, La réciproque de Pythagore : un triangle est-il rectangle ?, Thalès : la configuration des parallèles. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Trois outils, trois usages : la carte d'identité
2 · Pythagore : calculer une longueur
3 · La réciproque de Pythagore
4 · Thalès : la configuration des parallèles
5 · Calculer une longueur avec Thalès
6 · La réciproque de Thalès
7 · Trigonométrie : SOH-CAH-TOA
8 · Calculer un angle ou un côté
9 · Rédiger une démonstration
10 · Problème de synthèse : enchaîner les outils
1Trois outils, trois usages : la carte d'identité
En géométrie de 3e, trois grands théorèmes permettent de calculer des longueurs ou des angles dans des figures. La difficulté du brevet n'est pas de connaître les formules, mais de choisir le bon outil selon la figure et la question. Voici la carte qui résume tout :
Outil
Quand l'utiliser (la figure)
Ce qu'il permet de calculer
Pythagore
Un triangle rectangle (un angle droit), 2 longueurs connues
La 3e longueur (un côté)
Thalès
Deux droites sécantes coupées par deux parallèles (configuration en « papillon » ou en « triangle emboîté »)
Une longueur manquante (par proportionnalité)
Trigonométrie
Un triangle rectangle où un angle intervient (donné ou cherché)
Un angle, ou un côté à partir d'un angle
💡 Le réflexe du tri. La question parle-t-elle d'un angle ? → trigonométrie. Y a-t-il des droites parallèles ? → Thalès. Sinon, un triangle rectangle avec deux côtés connus → Pythagore.
⚠️ Pythagore et la trigonométrie exigent un triangle rectangle. Thalès, lui, n'a pas besoin d'angle droit : il lui faut des parallèles. C'est le premier tri à faire.
2Pythagore : calculer une longueur
Théorème de Pythagore. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors :
BC² = AB² + AC²
BC est l'hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit, et toujours le plus long.
Méthode pas-à-pas — calculer l'hypoténuse
Énoncé. ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Calculer BC.
1. J'écris le théorème : ABC rectangle en A donc BC² = AB² + AC².
2. Je remplace : BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
3. Donc BC = √25 = 5 cm.
Méthode pas-à-pas — calculer un côté de l'angle droit
Énoncé. DEF rectangle en D, EF = 13 cm (hypoténuse), DE = 5 cm. Calculer DF.
1. DEF rectangle en D donc EF² = DE² + DF² (l'hypoténuse est EF, en face de D).
2. 13² = 5² + DF², soit 169 = 25 + DF².
3. Donc DF² = 169 − 25 = 144, et DF = √144 = 12 cm.
⚠️ Pour un côté de l'angle droit, on soustrait (169 − 25). Pour l'hypoténuse, on additionne. Repérer d'abord l'hypoténuse (face à l'angle droit) évite l'erreur.
3La réciproque de Pythagore : un triangle est-il rectangle ?
Réciproque. Dans un triangle BC est le plus grand côté. Si BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A. Si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle n'est pas rectangle.
Méthode pas-à-pas
Énoncé. Le triangle RST a RS = 6 cm, ST = 8 cm, RT = 10 cm. Est-il rectangle ?
1. Le plus grand côté est RT (10 cm) : ce serait l'hypoténuse, donc l'angle droit serait en S.
2. Je calcule séparément les deux membres :
d'un côté RT² = 10² = 100 ;
de l'autre RS² + ST² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
3. Les deux résultats sont égaux : RT² = RS² + ST². D'après la réciproque de Pythagore, le triangle RST est rectangle en S.
💡 Toujours calculer les deux membres l'un en dessous de l'autre puis comparer. On ne conclut « rectangle » que si l'on cite explicitement « d'après la réciproque de Pythagore ».
⚠️ Pour montrer qu'un triangle n'est pas rectangle, on utilise la contraposée : si les deux membres sont différents, le triangle n'est pas rectangle. Exemple : 5 ; 6 ; 8 → 8² = 64 et 5² + 6² = 61 ≠ 64 → non rectangle.
4Thalès : la configuration des parallèles
Théorème de Thalès. Soit deux droites sécantes en A. B et M sont sur l'une, C et N sur l'autre. Si (BC) et (MN) sont parallèles, alors :
AMAB = ANAC = MNBC
On reconnaît deux situations classiques : le triangle emboîté (le petit triangle AMN est « dans » le grand ABC) et le papillon (les deux triangles sont de part et d'autre du point A).
💡 Construire les rapports sans erreur. On écrit toujours le rapport petit triangle sur grand triangle, en respectant l'ordre des sommets : numérateur et dénominateur doivent désigner le même segment vu dans chaque triangle. Un rapport = côté du petitcôté correspondant du grand.
5Calculer une longueur avec Thalès — méthode
Énoncé. Les points A, M, B sont alignés et A, N, C sont alignés. (MN) est parallèle à (BC). On donne AM = 2 cm, AB = 5 cm, BC = 7,5 cm. Calculer MN.
1. Justifier. Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A ; (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès :
AMAB = ANAC = MNBC
2. Garder les deux rapports utiles (ceux où l'on connaît 3 valeurs sur 4) : AMAB = MNBC, soit 25 = MN7,5.
3. Produit en croix. MN = 2 × 7,55 = 155 = 3 cm.
💡 Le produit en croix : dans ab = cd, on a a × d = b × c. Pour isoler l'inconnue, on multiplie « en diagonale » puis on divise par le terme restant.
⚠️ On ne peut écrire l'égalité de Thalès que si les droites sont parallèles. Si l'énoncé ne le dit pas et ne permet pas de le prouver, Thalès est interdit.
6La réciproque de Thalès : prouver que deux droites sont parallèles
Réciproque. A, M, B alignés et A, N, C alignés dans le même ordre. SiAMAB = ANAC, alors (MN) et (BC) sont parallèles.
Méthode pas-à-pas
Énoncé. AM = 3, AB = 7,5, AN = 4, AC = 10, dans le même ordre. (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
1. Je calcule chaque rapport séparément : AMAB = 37,5 = 0,4 ; ANAC = 410 = 0,4.
2. Les points sont alignés dans le même ordre et les deux rapports sont égaux.
3. D'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles.
⚠️ La condition « dans le même ordre » (alignement) est indispensable : sans elle, on ne peut pas conclure. Et si les deux rapports sont différents, alors les droites ne sont pas parallèles.
7Trigonométrie : SOH-CAH-TOA dans le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, on nomme les côtés par rapport à un angle aigu choisi (ici l'angle marqué) :
l'hypoténuse : toujours en face de l'angle droit ;
le côté opposé : en face de l'angle choisi ;
le côté adjacent : le côté de l'angle choisi (qui n'est pas l'hypoténuse).
Les trois formules (pour l'angle α, rectangle en B) :
cos α = adjacenthypoténuse · sin α = opposéhypoténuse · tan α = opposéadjacent
Moyen mnémotechnique
Formule
SOH
Sin = Opposé / Hypoténuse
CAH
Cos = Adjacent / Hypoténuse
TOA
Tan = Opposé / Adjacent
💡 Comment choisir entre cos, sin et tan ? On regarde les deux côtés qui interviennent (le côté connu + le côté cherché ou l'angle). Adjacent + hypoténuse → cos ; opposé + hypoténuse → sin ; opposé + adjacent → tan.
8Trigonométrie : calculer un angle ou un côté — méthode
Cas 1 — calculer un angle
Énoncé. ABC rectangle en B, BC = 4 cm (opposé à l'angle Â), AB = 3 cm (adjacent). Calculer l'angle  arrondi au degré.
1. Côtés en jeu : opposé (BC) et adjacent (AB) → j'utilise la tangente.
2. tan  = BCAB = 43.
3. Â = tan⁻¹(43) ≈ 53°(touchetan⁻¹ouAtande la calculatrice, en mode degré).
Cas 2 — calculer un côté
Énoncé. DEF rectangle en E, angle D̂ = 40°, hypoténuse DF = 10 cm. Calculer EF (côté opposé à D̂), arrondi au mm.
1. Côtés en jeu : opposé (EF) et hypoténuse (DF) → j'utilise le sinus.
2. sin 40° = EFDF = EF10.
3. EF = 10 × sin 40° ≈ 10 × 0,643 ≈ 6,4 cm.
⚠️ Pour trouver un angle, on utilise les touches « inverses » cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹. Pour trouver un côté, on utilise cos, sin, tan directement. Vérifie que la calculatrice est en mode degré (DEG).
9Rédiger une démonstration au brevet
Une démonstration vaut autant pour la rédaction que pour le résultat. La trame est toujours la même : données → théorème → calcul → conclusion.
Les 4 étapes incontournables :
① Je repère et je cite les hypothèses. « Le triangle est rectangle en… » ou « (MN) // (BC) ».
② J'annonce le théorème utilisé. « D'après le théorème de Pythagore / de Thalès… ».
③ Je pose l'égalité puis je calcule en remplaçant par les valeurs.
④ Je conclus avec l'unité et une phrase : « Donc BC = 5 cm. »
Exemple de rédaction modèle (Pythagore)
Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 6² + 8²
BC² = 36 + 64 = 100
Donc BC = √100 = 10 cm.
💡 Mots-clés qui rapportent des points : « rectangle en », « d'après le théorème de », « // (parallèle) », « donc ». Et toujours l'unité dans la réponse finale.
10Problème de synthèse : enchaîner les outils
Au brevet, un même problème mêle souvent deux ou trois théorèmes : un résultat trouvé devient une donnée pour l'étape suivante. Exemple complet :
Figure. ABC est rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. M est sur [AB] avec AM = 4,5 cm, N est sur [AC] avec AN = 6 cm.
1) Calculer BC (Pythagore).
ABC rectangle en A → BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc BC = 10 cm.
2) Montrer que (MN) // (BC) (réciproque de Thalès). AMAB = 4,56 = 0,75 et ANAC = 68 = 0,75. Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et les rapports sont égaux : d'après la réciproque de Thalès, (MN) // (BC).
3) Calculer l'angle ABĈ (trigonométrie).
Dans ABC rectangle en A, pour l'angle B̂ : opposé AC = 8, adjacent AB = 6 → tan B̂ = 86, donc B̂ ≈ 53°.
💡 Méthode de tri en synthèse : pour chaque question, je relis ce qui est demandé (longueur ? angle ? parallélisme ?) et ce qui est connu, puis je choisis l'outil. Un résultat d'une question sert presque toujours dans la suivante.
⚠️ Récap final : Pythagore = longueur dans un triangle rectangle (et sa réciproque prouve l'angle droit) · Thalès = longueur avec des parallèles (et sa réciproque prouve le parallélisme) · Trigonométrie = relie un angle et deux côtés d'un triangle rectangle.