À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Pythagore, Thalès & trigonométrie » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître la bonne situation géométrique, Le théorème de Pythagore, La réciproque de Pythagore, Le théorème de Thalès. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Reconnaître la bonne situation géométrique
2 · Le théorème de Pythagore
3 · La réciproque de Pythagore
4 · Le théorème de Thalès
5 · La réciproque de Thalès
6 · La trigonométrie dans le triangle rectangle
7 · Choisir le bon outil : méthode de synthèse
1Reconnaître la bonne situation géométrique
En 3e, trois grands outils permettent de calculer des longueurs et des angles dans des figures. Avant tout calcul, il faut repérer la configuration de la figure pour savoir quel théorème appliquer.
Les trois outils de la 3e.- Pythagore : pour un triangle rectangle, relie les trois longueurs des côtés.
- Trigonométrie ($\cos$, $\sin$, $\tan$) : pour un triangle rectangle, relie des longueurs et un angle aigu.
- Thalès : pour deux droites sécantes coupées par deux parallèles, donne des longueurs proportionnelles.
Réflexe. Cherche d'abord l'angle droit (petit carré) ou les droites parallèles (flèches identiques). C'est ce qui te guide vers le bon théorème.
2Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle. Le côté le plus long, opposé à l'angle droit, s'appelle l'hypoténuse.
Théorème de Pythagore. Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
($BC$ est l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit.)
Exemple — calculer l'hypoténuse. $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm.
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Donc $BC = \sqrt{25} = 5$ cm.
Exemple — calculer un côté de l'angle droit. $DEF$ est rectangle en $D$ avec $EF = 13$ cm (hypoténuse) et $DE = 5$ cm.
$EF^2 = DE^2 + DF^2$, donc $DF^2 = EF^2 - DE^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
Donc $DF = \sqrt{144} = 12$ cm.
Attention ! Quand on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait ($-$). Quand on cherche l'hypoténuse, on additionne ($+$). Vérifie toujours quel est le côté inconnu.
3La réciproque de Pythagore
La réciproque sert à démontrer qu'un triangle est rectangle (ou qu'il ne l'est pas) à partir de ses trois longueurs.
Réciproque du théorème de Pythagore. Dans un triangle $ABC$, si $BC$ est le plus grand côté et que :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
alors le triangle est rectangle en $A$. Sinon, il n'est pas rectangle.
Exemple. Un triangle a pour côtés $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm. Est-il rectangle ?
Le plus grand côté est $10$. On compare :
• $10^2 = 100$ ;
• $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque, le triangle est rectangle (l'angle droit est opposé au côté de $10$ cm).
Contre-exemple. Côtés $4$ cm, $5$ cm, $7$ cm.
$7^2 = 49$ et $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$. Comme $49 \neq 41$, le triangle n'est pas rectangle.
Méthode. Calcule séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres. Compare : égaux → rectangle, différents → pas rectangle.
4Le théorème de Thalès
Le théorème de Thalès s'applique quand deux droites sécantes en un point sont coupées par deux droites parallèles. On reconnaît la configuration « en triangle » ou « en papillon ».
Théorème de Thalès. Soit deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sécantes en $A$. Si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, alors :
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$
Les longueurs des deux triangles sont proportionnelles.
Exemple. Les points sont placés tels que $(MN) \parallel (BC)$, avec $AM = 3$ cm, $AB = 9$ cm et $AC = 12$ cm. Calculer $AN$.
D'après Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, soit $\dfrac{3}{9} = \dfrac{AN}{12}$.
Donc $AN = \dfrac{3 \times 12}{9} = \dfrac{36}{9} = 4$ cm.
Produit en croix. À partir de $\dfrac{3}{9} = \dfrac{AN}{12}$, on multiplie en croix : $9 \times AN = 3 \times 12$, d'où $AN = \dfrac{36}{9} = 4$ cm.
Attention ! Il faut écrire les longueurs dans le bon ordre : au numérateur le petit triangle ($A$ vers $M$, $A$ vers $N$), au dénominateur le grand triangle ($A$ vers $B$, $A$ vers $C$). Respecte toujours la correspondance des sommets.
5La réciproque de Thalès
La réciproque de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles à partir de longueurs proportionnelles.
Réciproque du théorème de Thalès. Si les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et $A$, $N$, $C$ alignés dans le même ordre, et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Exemple. $AM = 2$ cm, $AB = 5$ cm, $AN = 2{,}8$ cm, $AC = 7$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
• $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ ;
• $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2{,}8}{7} = 0{,}4$.
Les deux rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d'après la réciproque, $(MN) \parallel (BC)$.
Attention à l'ordre ! Si les points ne sont pas alignés dans le même ordre (de part et d'autre du point d'intersection sans correspondance), la réciproque ne s'applique pas. Vérifie toujours l'ordre des points avant de conclure.
6La trigonométrie dans le triangle rectangle
La trigonométrie relie un angle aigu d'un triangle rectangle aux longueurs de ses côtés. Pour un angle aigu donné, on nomme les côtés : l'hypoténuse (face à l'angle droit), le côté opposé (face à l'angle) et le côté adjacent (qui touche l'angle).
Formules de trigonométrie. Pour un angle aigu $\widehat{B}$ dans un triangle rectangle :
$$\cos(\widehat{B}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin(\widehat{B}) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\widehat{B}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$$
Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA.
• Sin = Opposé / Hypoténuse ;
• Cos = Adjacent / Hypoténuse ;
• Tan = Opposé / Adjacent.
| Fonction | Rapport | S'utilise quand… |
|---|
| $\cos$ | adjacent / hypoténuse | on a l'angle, l'adjacent ou l'hypoténuse |
| $\sin$ | opposé / hypoténuse | on a l'angle, l'opposé ou l'hypoténuse |
| $\tan$ | opposé / adjacent | on a l'angle, l'opposé ou l'adjacent |
Exemple — calculer un côté. $ABC$ est rectangle en $A$, avec $\widehat{B} = 30°$ et $BC = 8$ cm (hypoténuse). Calculer $AC$ (côté opposé à $\widehat{B}$).
On utilise le sinus : $\sin(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{BC}$, donc $AC = BC \times \sin(30°) = 8 \times 0{,}5 = 4$ cm.
Exemple — calculer un angle. Triangle rectangle avec opposé $= 3$ cm et hypoténuse $= 6$ cm pour l'angle $\widehat{B}$.
$\sin(\widehat{B}) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$, donc $\widehat{B} = \sin^{-1}(0{,}5) = 30°$ (touche $\sin^{-1}$ de la calculatrice).
7Choisir le bon outil : méthode de synthèse
La difficulté en 3e est de choisir entre Pythagore, Thalès et la trigonométrie. Ce tableau résume la démarche.
| Ce que je vois / cherche | Outil à utiliser |
|---|
| Triangle rectangle, 2 longueurs connues, je cherche la 3e | Théorème de Pythagore |
| 3 longueurs connues, je veux savoir si le triangle est rectangle | Réciproque de Pythagore |
| Triangle rectangle, un angle aigu intervient | Trigonométrie (SOH-CAH-TOA) |
| Deux parallèles coupant deux sécantes, je cherche une longueur | Théorème de Thalès |
| Longueurs proportionnelles, je veux montrer que deux droites sont parallèles | Réciproque de Thalès |
Erreurs fréquentes.- Utiliser Pythagore dans un triangle non rectangle.
- Oublier que l'hypoténuse est le plus grand côté (face à l'angle droit).
- Confondre côté opposé et adjacent en trigonométrie : ils dépendent de l'angle choisi.
- Écrire les rapports de Thalès dans le désordre (numérateur / dénominateur inversés).
★À retenir
À retenir — Pythagore, Thalès & trigonométrie en 3e :
• Pythagore (triangle rectangle en $A$) : $BC^2 = AB^2 + AC^2$. On additionne pour l'hypoténuse, on soustrait pour un autre côté.
• Réciproque de Pythagore : si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (avec $BC$ le plus grand côté), le triangle est rectangle.
• Thalès (deux parallèles, deux sécantes) : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ ; on calcule par produit en croix.
• Réciproque de Thalès : rapports égaux + points dans le même ordre → droites parallèles.
• Trigonométrie (SOH-CAH-TOA) : $\cos = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$, $\sin = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$, $\tan = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$.
• Toujours justifier le choix du théorème avant de calculer, et donner l'unité.