Synthèse : Pythagore, Thalès ou trigonométrie ?

Lire une figure et choisir l’outil (angle droit, parallèles, ce que l’on connaît et ce que l’on cherche), rappels du théorème de Pythagore et de sa réciproque, du théorème de Thalès (triangles emboîtés, papillon) et de sa réciproque, de la trigonométrie (cosinus, sinus, tangente), puis enchaîner plusieurs outils et rédiger un problème de géométrie comme au brevet.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 3e rassemble les outils de géométrie du triangle en cinq parties : lire la figure pour choisir entre le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et la trigonométrie ; les rappels de Pythagore et de sa réciproque, de Thalès (triangles emboîtés, papillon) et de sa réciproque, de cosinus, sinus et tangente ; enfin, enchaîner plusieurs outils et rédiger comme au brevet.

Lire la figure et choisir le bon outil

Ce qu’il faut savoir En 3^e, trois théorèmes et leurs réciproques permettent de calculer une longueur ou un angle, ou de démontrer une propriété, dans une figure faite de triangles. Avant tout calcul, on lit la figure et on répond à trois questions : y a-t-il un angle droit ? y a-t-il des droites parallèles ? qu’est-ce que je connais, qu’est-ce que je cherche ?

Ce que je vois et ce que je cherche	L’outil
un triangle rectangle, deux côtés connus : je cherche le troisième	théorème de Pythagore
un triangle rectangle, un angle aigu et un côté connus : je cherche un autre côté	trigonométrie : cos, sin ou tan
un triangle rectangle, deux côtés connus : je cherche un angle aigu	trigonométrie : touche cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹
deux droites sécantes coupées par deux parallèles : je cherche une longueur	théorème de Thalès
les trois côtés d’un triangle : est-il rectangle ?	réciproque (ou contraposée) du théorème de Pythagore
des longueurs sur deux droites sécantes : deux droites sont-elles parallèles ?	réciproque (ou contraposée) du théorème de Thalès

Les hypothèses d’abord. Le théorème de Pythagore et la trigonométrie ne s’utilisent que dans un triangle rectangle : l’angle droit est codé sur la figure, écrit dans l’énoncé ou démontré. Le théorème de Thalès exige des droites parallèles. Sans ces hypothèses, on commence par les démontrer.

Exemples

Sur la figure, les droites $(A E)$ et $(B D)$ se coupent en $C$ , le triangle $A B C$ est rectangle en $B$ et $(A B) ∥ (D E)$ . On connaît $A B$ , $B C$ et $C D$ .
Calculer $A C$ : triangle $A B C$ rectangle en $B$ , deux longueurs connues → théorème de Pythagore.
Calculer $D E$ : deux droites sécantes en $C$ et deux parallèles (configuration papillon) → théorème de Thalès.
Calculer la mesure de $B A C$ : triangle rectangle, deux longueurs connues → trigonométrie (ici la tangente : $B C$ est le côté opposé, $A B$ le côté adjacent).
Montrer que $C D E$ est rectangle en $D$ : $(A B)$ est perpendiculaire à $(B D)$ et $(D E)$ est parallèle à $(A B)$ , donc $(D E)$ est perpendiculaire à $(B D)$ . Aucun calcul ici : une propriété des droites parallèles et perpendiculaires suffit.

Le triangle $U V W$ n’a pas d’angle droit codé ; on connaît $U V$ , $V W$ et la mesure de $U V W$ , et l’on cherche $U W$ . Ni Pythagore ni la trigonométrie : le triangle n’est pas rectangle. Aucun des outils de 3^e ne s’applique directement.

Quand l’angle droit ou les parallèles ne sont pas donnés

Un triangle peut être prouvé rectangle de plusieurs façons : par la réciproque du théorème de Pythagore (on connaît ses trois longueurs), par la somme des angles (un triangle dont deux angles mesurent $27 °$ et $63 °$ a un troisième angle de $180 ° - 27 ° - 63 ° = 90 °$ ), ou parce qu’il est inscrit dans un cercle dont un de ses côtés est un diamètre : il est alors rectangle au sommet opposé à ce diamètre.
Deux droites peuvent être prouvées parallèles par la réciproque du théorème de Thalès, ou par la droite des milieux : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté (c’est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès, avec deux rapports égaux à $\frac{1}{2}$ ).

Réflexe — je cherche le petit carré de l’angle droit et le codage (ou la phrase) des parallèles, puis je me demande : qu’est-ce que je connais, qu’est-ce que je cherche ? C’est cette question qui désigne l’outil.

Attention — un triangle qui « a l’air » rectangle sur le dessin ne l’est pas forcément : sans angle droit codé, donné ou démontré, ni Pythagore ni la trigonométrie. Et les deux réciproques n’ont pas le même rôle : celle de Pythagore prouve un angle droit, celle de Thalès prouve un parallélisme.

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Rappels : le théorème de Pythagore et sa réciproque

Ce qu’il faut savoir Théorème de Pythagore. Si un triangle

A B C

est rectangle en

A

, alors

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

. Le côté

[B C]

, opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse : c’est le plus long des trois côtés.
• Hypoténuse cherchée : j’additionne les carrés des deux autres côtés, puis je prends la racine carrée.
• Côté de l’angle droit cherché : je soustrais au carré de l’hypoténuse le carré du côté connu, puis je prends la racine carrée.
Réciproque. Dans un triangle

A B C

dont

[B C]

est le plus long côté, si

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

, alors le triangle est rectangle en

A

.
Contraposée. Si

B C^{2} \neq A B^{2} + A C^{2}

, alors le triangle

A B C

n’est pas rectangle.

Exemples

Hypoténuse. Le triangle $P Q R$ est rectangle en $P$ , avec $P Q = 1, 6$ cm et $P R = 3$ cm. D’après le théorème de Pythagore : $Q R^{2} = P Q^{2} + P R^{2}$ , soit $Q R^{2} = 1, 6^{2} + 3^{2} = 2, 56 + 9 = 11, 56$ , donc $Q R = \sqrt{11, 56} = 3, 4$ cm.

Côté de l’angle droit. Le triangle $S T U$ est rectangle en $T$ , avec $S U = 7$ cm et $S T = 4$ cm. $S U^{2} = S T^{2} + T U^{2}$ , donc $T U^{2} = 7^{2} - 4^{2} = 49 - 16 = 33$ et $T U = \sqrt{33} \approx 5, 7$ cm (au dixième).

Réciproque. Le triangle $V W X$ a pour côtés $V W = 1, 2$ cm, $W X = 3, 5$ cm et $V X = 3, 7$ cm. Le plus long côté est $[V X]$ .
D’une part, $V X^{2} = 3, 7^{2} = 13, 69$ . D’autre part, $V W^{2} + W X^{2} = 1, 44 + 12, 25 = 13, 69$ .
Les deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $V W X$ est rectangle en $W$ , le sommet opposé au plus long côté.

Contraposée. Un triangle a pour côtés $6$ cm, $7$ cm et $9$ cm. D’une part, $9^{2} = 81$ ; d’autre part, $6^{2} + 7^{2} = 36 + 49 = 85$ . Comme $81 \neq 85$ , d’après la contraposée du théorème de Pythagore, ce triangle n’est pas rectangle.

Le théorème de Pythagore sert aussi dans les figures : la diagonale d’un rectangle (ou d’un carré) est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont la longueur et la largeur. Pour un carré de côté $c$ et de diagonale $d$ : $d^{2} = c^{2} + c^{2} = 2 c^{2}$ .

Réflexe — hypoténuse cherchée : j’additionne ; côté de l’angle droit cherché : je soustrais. Pour prouver qu’un triangle est rectangle : deux calculs séparés, puis je compare.

Attention — on n’écrit jamais « $3, 7^{2} = 1, 2^{2} + 3, 5^{2}$ » avant d’avoir calculé : on ne sait pas encore si c’est vrai. Les trois longueurs doivent être dans la même unité avant d’être élevées au carré. Et $\sqrt{33}$ n’est ni $33 \div 2$ ni $5, 7$ : on écrit la valeur exacte, puis l’arrondi avec « ≈ ».

Pour revoir ce théorème en détail : Théorème de Pythagore : calculer, réciproque.

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Rappels : le théorème de Thalès et sa réciproque

Ce qu’il faut savoir Théorème de Thalès. Les droites

(B M)

(C N)

sont sécantes en

A

. Si

(M N) ∥ (B C)

, alors

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

.
Toutes les longueurs des deux premiers rapports partent de

A

; en haut, les côtés du triangle

A M N

, en bas les côtés correspondants du triangle

A B C

. La configuration est celle des triangles emboîtés (

M

sur

[A B]

N

sur

[A C]

) ou celle du papillon (

A

entre

M

B

, et entre

N

C

).
Réciproque. Si les points

A

M

B

et les points

A

N

C

sont alignés dans le même ordre et si

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

, alors

(M N) ∥ (B C)

.
Contraposée. Si

\frac{A M}{A B} \neq \frac{A N}{A C}

, alors les droites

(M N)

(B C)

ne sont pas parallèles.

Exemples

Triangles emboîtés. $H \in [G E]$ , $K \in [G F]$ et $(H K) ∥ (E F)$ , avec $G H = 2, 4$ cm, $G E = 6$ cm et $E F = 5, 5$ cm. D’après le théorème de Thalès : $\frac{G H}{G E} = \frac{G K}{G F} = \frac{H K}{E F}$ , soit $\frac{2, 4}{6} = \frac{H K}{5, 5}$ . Donc $H K = \frac{2, 4 \times 5, 5}{6} = 2, 2$ cm.

Exemples

Papillon. Les points $P$ , $O$ , $R$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $Q$ , $O$ , $S$ , et $(P Q) ∥ (R S)$ . On donne $O P = 3$ cm, $O R = 4, 8$ cm et $O S = 4$ cm. D’après le théorème de Thalès : $\frac{O P}{O R} = \frac{O Q}{O S} = \frac{P Q}{R S}$ , soit $\frac{3}{4, 8} = \frac{O Q}{4}$ . Donc $O Q = \frac{3 \times 4}{4, 8} = 2, 5$ cm.

Réciproque. Les points $T$ , $U$ , $V$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $T$ , $X$ , $Y$ , avec $T U = 1, 8$ cm, $T V = 4, 8$ cm, $T X = 1, 5$ cm et $T Y = 4$ cm. D’une part, $\frac{T U}{T V} = \frac{1, 8}{4, 8} = 0, 375$ ; d’autre part, $\frac{T X}{T Y} = \frac{1, 5}{4} = 0, 375$ . Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(U X) ∥ (V Y)$ .

Contraposée. Même disposition, avec $T U = 2, 4$ cm, $T V = 4, 5$ cm, $T X = 3, 8$ cm et $T Y = 7$ cm. Les quotients ne tombent pas juste : on compare les produits en croix. $T U \times T Y = 2, 4 \times 7 = 16, 8$ et $T V \times T X = 4, 5 \times 3, 8 = 17, 1$ . Ils sont différents, donc $\frac{T U}{T V} \neq \frac{T X}{T Y}$ : d’après la contraposée du théorème de Thalès, $(U X)$ et $(V Y)$ ne sont pas parallèles.

Réflexe — je pars du point commun : petit triangle en haut, grand triangle en bas, et je garde les deux rapports qui contiennent la longueur cherchée. Pour un parallélisme, je vérifie l’ordre des points, puis je compare les deux rapports en valeurs exactes.

Attention — $M B$ n’entre jamais dans les rapports du théorème : en triangles emboîtés, $A B = A M + M B$ ; en papillon, $M B = M A + A B$ . Pour la réciproque, le rapport $\frac{M N}{B C}$ ne sert pas, et l’on ne compare jamais des valeurs arrondies.

Pour revoir ce théorème en détail : Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque.

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Rappels : la trigonométrie dans le triangle rectangle

Ce qu’il faut savoir Dans un triangle rectangle, on nomme les côtés par rapport à l’angle aigu utilisé : l’hypoténuse (en face de l’angle droit), le côté opposé (en face de l’angle) et le côté adjacent (le côté de l’angle droit qui passe par le sommet de l’angle).

\cos = \frac{adjacent}{hypoténuse}

;

\sin = \frac{opposé}{hypoténuse}

;

\tan = \frac{opposé}{adjacent}

(moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA).
• Une longueur : je choisis le rapport qui contient le côté connu et le côté cherché. Si la longueur cherchée est en haut du quotient, je multiplie ; si elle est en bas, je divise.
• Un angle : je calcule le quotient de deux longueurs, puis j’utilise la touche

\cos^{- 1}

\sin^{- 1}

\tan^{- 1}

de la calculatrice, en mode degrés.
Les deux angles aigus d’un triangle rectangle ont pour somme

90 °

: quand l’un est connu, l’autre vaut

90 °

moins le premier.

Exemples

Longueur en haut. Le triangle $L M N$ est rectangle en $M$ , $M L N = 44 °$ et $L N = 8$ cm. On cherche $M N$ , le côté opposé à $M L N$ : opposé et hypoténuse, c’est le sinus.
$\sin (M L N) = \frac{M N}{L N}$ , soit $\sin (44 °) = \frac{M N}{8}$ , donc $M N = 8 \times \sin (44 °) \approx 5, 6$ cm (au dixième).

Longueur en bas. Le triangle $E F G$ est rectangle en $F$ , $F E G = 62 °$ et $E F = 3$ cm. On cherche l’hypoténuse $E G$ ; $[E F]$ est le côté adjacent : c’est le cosinus.
$\cos (62 °) = \frac{3}{E G}$ , donc $E G = \frac{3}{\cos (62 °)} \approx 6, 4$ cm (au dixième).

Angle. Le triangle $H I J$ est rectangle en $I$ , avec $H I = 4, 2$ cm et $I J = 3, 5$ cm. Pour $I H J$ , $[I J]$ est le côté opposé et $[H I]$ le côté adjacent : c’est la tangente.
$\tan (I H J) = \frac{3, 5}{4, 2}$ , donc $I H J = \tan^{- 1} (\frac{3, 5}{4, 2}) \approx 40 °$ (au degré), et $I J H \approx 90 ° - 40 ° = 50 °$ .

Réflexe — je nomme les côtés par rapport à l’angle utilisé, je choisis le rapport qui contient le connu et le cherché, et je n’arrondis qu’à la fin.

Attention — un cosinus ou un sinus est toujours compris entre $0$ et $1$ : un résultat comme $1, 25$ signale un rapport écrit à l’envers. La calculatrice doit être en mode degrés, et la trigonométrie ne s’utilise que dans un triangle rectangle.

Pour revoir la trigonométrie en détail : Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente.

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Enchaîner les outils et rédiger comme au brevet

Ce qu’il faut savoir Au brevet, une figure demande souvent deux ou trois outils à la suite : une longueur calculée à une question sert à la suivante. La démarche, à chaque question :
1. Lire : angle droit, parallèles, longueurs connues, longueur ou angle cherché.
2. Choisir : nommer le théorème et vérifier ses hypothèses (« le triangle … est rectangle en … », « les droites … sont parallèles »).
3. Écrire : la formule avec les lettres de la figure, puis les valeurs, toutes dans la même unité.
4. Conclure : valeur exacte, arrondi demandé, unité, phrase de réponse.
Enchaînements fréquents : Pythagore puis Thalès ; Thalès puis Pythagore ; Pythagore puis trigonométrie ; réciproque de Pythagore puis trigonométrie (l’angle droit doit être prouvé avant d’utiliser cos, sin ou tan).

Exemples

Le triangle $R S T$ est rectangle en $R$ , avec $R S = 2, 5$ cm et $R T = 6$ cm. Le point $M$ est sur $[R S]$ avec $R M = 1, 5$ cm, le point $N$ sur $[R T]$ , et $(M N) ∥ (S T)$ .
1. Calculer $S T$ . Le triangle $R S T$ est rectangle en $R$ . D’après le théorème de Pythagore : $S T^{2} = R S^{2} + R T^{2} = 6, 25 + 36 = 42, 25$ , donc $S T = \sqrt{42, 25} = 6, 5$ cm.
2. Calculer $M N$ . $M \in [R S]$ , $N \in [R T]$ et $(M N) ∥ (S T)$ . D’après le théorème de Thalès : $\frac{R M}{R S} = \frac{R N}{R T} = \frac{M N}{S T}$ , soit $\frac{1, 5}{2, 5} = \frac{M N}{6, 5}$ . Donc $M N = \frac{1, 5 \times 6, 5}{2, 5} = 3, 9$ cm.
3. Calculer la mesure de $R S T$ . Dans le triangle $R S T$ rectangle en $R$ , $[R T]$ est le côté opposé à $R S T$ et $[R S]$ le côté adjacent : $\tan (R S T) = \frac{R T}{R S} = \frac{6}{2, 5} = 2, 4$ , donc $R S T \approx 67 °$ (au degré).

Réciproque puis trigonométrie. Un triangle $D E F$ a pour côtés $D E = 2, 4$ cm, $E F = 7$ cm et $D F = 7, 4$ cm ; on veut la mesure de $E F D$ . On ne sait pas s’il est rectangle : on le prouve d’abord. $D F^{2} = 54, 76$ et $D E^{2} + E F^{2} = 5, 76 + 49 = 54, 76$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $D E F$ est rectangle en $E$ . Alors $\sin (E F D) = \frac{D E}{D F} = \frac{2, 4}{7, 4}$ , donc $E F D \approx 19 °$ (au degré).

Le petit triangle est-il rectangle ? Dans une configuration de Thalès, les angles sont conservés. Si l’angle droit est au point commun (ici $R$ ), le petit triangle $R M N$ a le même angle droit. S’il est ailleurs, par exemple en $B$ dans un triangle $A B C$ avec $(M N) ∥ (B C)$ , $M$ sur $[A B]$ et $N$ sur $[A C]$ , les angles correspondants $A M N$ et $A B C$ sont égaux : le triangle $A M N$ est rectangle en $M$ .

Réflexe — chaque résultat peut resservir à la question suivante : je le garde en valeur exacte (ou avec plusieurs décimales) et je n’arrondis que la réponse demandée.

Attention — un résultat intermédiaire arrondi puis réutilisé peut fausser la réponse finale. Et à chaque question, je nomme le théorème utilisé et le triangle (ou la configuration) dans lequel je l’applique.

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Pour aller plus loin

Liens — chaque outil a son chapitre détaillé : Théorème de Pythagore : calculer, réciproque ; Théorème de Thalès : configuration papillon et réciproque ; Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente. Deux triangles d’une configuration de Thalès sont semblables, et deux triangles rectangles qui ont un angle aigu égal aussi : voir Triangles semblables.

À retenir

Avant tout calcul : angle droit ? droites parallèles ? ce que je connais, ce que je cherche. Pythagore et la trigonométrie exigent un triangle rectangle, Thalès des droites parallèles.
Triangle rectangle et trois longueurs en jeu → Pythagore ; un angle en jeu → trigonométrie (SOH-CAH-TOA) ; deux sécantes et deux parallèles → Thalès.
Prouver un angle droit → réciproque du théorème de Pythagore (deux calculs séparés, puis comparaison) ; prouver un parallélisme → réciproque du théorème de Thalès (même ordre des points, rapports égaux en valeurs exactes).
Si l’égalité n’est pas vérifiée, c’est la contraposée qui conclut : le triangle n’est pas rectangle, ou les droites ne sont pas parallèles.
Rédaction : nommer le théorème et le triangle, vérifier les hypothèses, écrire la formule avec les lettres, mêmes unités, valeur exacte gardée pour la suite, arrondi et unité à la fin.

Questions fréquentes

Comment savoir s’il faut utiliser Pythagore, Thalès ou la trigonométrie ?

On lit la figure. Un triangle rectangle et seulement des longueurs : théorème de Pythagore. Un triangle rectangle et un angle : trigonométrie (cosinus, sinus, tangente). Deux droites sécantes coupées par deux parallèles : théorème de Thalès. Pour prouver un angle droit, on utilise la réciproque de Pythagore ; pour prouver un parallélisme, la réciproque de Thalès.

Comment calculer une longueur avec le théorème de Pythagore ?

Dans un triangle rectangle, on additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit pour obtenir le carré de l’hypoténuse : avec 1,6 cm et 3 cm, 1,6² + 3² = 2,56 + 9 = 11,56, et l’hypoténuse mesure √11,56 = 3,4 cm. Pour un côté de l’angle droit, on soustrait au lieu d’additionner.

Comment démontrer que deux droites sont parallèles avec Thalès ?

On vérifie que les points sont alignés dans le même ordre, puis on compare les deux rapports AM/AB et AN/AC en valeurs exactes (ou leurs produits en croix). S’ils sont égaux, la réciproque du théorème de Thalès prouve que (MN) et (BC) sont parallèles ; s’ils sont différents, la contraposée prouve qu’elles ne le sont pas.

Comment calculer un angle dans un triangle rectangle ?

On nomme les côtés par rapport à l’angle (opposé, adjacent, hypoténuse), on choisit le rapport qui contient les deux côtés connus (SOH-CAH-TOA), puis on utilise la touche cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ en mode degrés. Avec un côté opposé de 3,5 cm et un côté adjacent de 4,2 cm : tan⁻¹(3,5 ÷ 4,2) ≈ 40°.

Comment rédiger un problème de géométrie au brevet ?

À chaque question : nommer le triangle et le théorème utilisé, vérifier ses hypothèses (« rectangle en… », « droites parallèles »), écrire la formule avec les lettres de la figure, remplacer par les valeurs dans la même unité, puis conclure par une phrase avec l’arrondi demandé et l’unité. Les résultats intermédiaires se gardent en valeur exacte.

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