Synthèse : Pythagore, Thalès ou trigonométrie ?

Quel outil utiliser ? Réponds par : Pythagore, réciproque de Pythagore, Thalès, réciproque de Thalès ou trigonométrie.

1. Le triangle $KLM$ est rectangle en $K$ ; on connaît $KL$ et $KM$, et l’on cherche $LM$.
   Triangle rectangle, trois longueurs en jeu et aucun angle : théorème de Pythagore ($L{M}^2=K{L}^2+K{M}^2$).
2. On connaît les trois côtés du triangle $NPQ$ et l’on veut savoir s’il a un angle droit.
   Prouver un angle droit à partir des trois longueurs : réciproque du théorème de Pythagore (ou sa contraposée si l’égalité est fausse).
3. Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ ; on connaît $RT$ et la mesure de $SRT$, et l’on cherche $ST$.
   Un angle aigu et deux côtés en jeu dans un triangle rectangle : trigonométrie. $[ST]$ est opposé à $SRT$ et $[RT]$ est l’hypoténuse : c’est le sinus.
4. Les droites $(EG)$ et $(FH)$ se coupent en $O$ et $(EF)\parallel (GH)$ ; on connaît $OE$, $OG$ et $EF$, et l’on cherche $GH$.
   Deux droites sécantes et deux droites parallèles, une longueur cherchée : théorème de Thalès.
5. Les points $O$, $E$, $G$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $O$, $F$, $H$ ; on connaît $OE$, $OG$, $OF$ et $OH$, et l’on veut savoir si $(EF)\parallel (GH)$.
   Prouver un parallélisme à partir de longueurs : réciproque du théorème de Thalès (comparer ${\displaystyle \frac{OE}{OG}}$ et ${\displaystyle \frac{OF}{OH}}$).

Avant d’utiliser un théorème, il faut une hypothèse. Complète.

1. Un triangle a deux angles de $28°$ et $62°$. Son troisième angle mesure $°$.
   $180-28-62=90$ : le troisième angle est droit. Le triangle est rectangle : Pythagore et la trigonométrie s’y appliquent.
2. Un triangle a deux angles de $47°$ et $42°$. Son troisième angle mesure $°$.
   $180-47-42=91$ : aucun angle droit. Ni Pythagore ni la trigonométrie ne s’appliquent dans ce triangle.
3. Dans le triangle $DEF$, $I$ est le milieu de $[DE]$ et $J$ le milieu de $[DF]$. Les droites $(IJ)$ et $(EF)$ sont
   Droite des milieux : la droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté. Donc $(IJ)\parallel (EF)$ (et $IJ={\displaystyle \frac{EF}{2}}$).
4. Le triangle $GHK$ est inscrit dans un cercle de diamètre $[HK]$. Il est rectangle en
   Un triangle inscrit dans un cercle dont un de ses côtés est un diamètre est rectangle au sommet opposé à ce diamètre : ici en $G$.

Il faut parfois deux outils, ou aucun ne convient. Écris les outils dans l’ordre, ou « aucun ».

1. Le triangle $XYZ$ n’a pas d’angle droit ; on connaît $XY$ et les mesures de $XYZ$ et $YXZ$, et l’on cherche $YZ$. Outil :
   Le triangle n’est pas rectangle : ni Pythagore ni la trigonométrie, et il n’y a pas de parallèles pour Thalès. La somme des angles donne la mesure de $XZY$, mais aucun des outils de 3^e ne donne directement la longueur $YZ$.
2. $ABC$ est rectangle en $A$, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. On connaît $AB$, $AC$ et $AM$ ; on cherche $MN$. Premier outil : ; deuxième outil :
   Il faut $BC$ pour écrire ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ : on le calcule d’abord avec le théorème de Pythagore dans $ABC$ rectangle en $A$, puis on applique le théorème de Thalès.
3. On connaît les trois côtés du triangle $DEF$ et l’on veut la mesure de $EDF$. Premier outil : ; deuxième outil :
   La trigonométrie exige un triangle rectangle : on le prouve d’abord avec la réciproque du théorème de Pythagore. Si le triangle est rectangle, on calcule ensuite l’angle avec cos, sin ou tan.

Le triangle est rectangle ; on donne les deux côtés de l’angle droit. Calcule l’hypoténuse en cm (valeur exacte, ou arrondie au dixième si la racine ne tombe pas juste).

1. $0,9$ cm et $4$ cm. Hypoténuse : cm
   $0,9^2+4^2=0,81+16=16,81$ et $\sqrt{16,81}=4,1$ cm.
2. $2$ cm et $2,1$ cm. Hypoténuse : cm
   $2^2+2,1^2=4+4,41=8,41$ et $\sqrt{8,41}=2,9$ cm.
3. $3$ cm et $5$ cm. Hypoténuse ≈ cm
   $3^2+5^2=9+25=34$ : l’hypoténuse vaut $\sqrt{34}\approx 5,83$, soit $5,8$ cm au dixième.

On donne l’hypoténuse et un côté de l’angle droit. Calcule l’autre côté (valeur exacte, ou arrondie au dixième).

1. Hypoténuse $6,1$ cm, côté $1,1$ cm. Autre côté : cm
   $6,1^2-1,1^2=37,21-1,21=36$ et $\sqrt{36}=6$ cm.
2. Hypoténuse $8$ cm, côté $5$ cm. Autre côté ≈ cm
   $8^2-5^2=64-25=39$ : l’autre côté vaut $\sqrt{39}\approx 6,24$, soit $6,2$ cm au dixième.
3. Hypoténuse $2,5$ m, côté $70$ cm. Autre côté : m
   Même unité d’abord : $70$ cm $=0,7$ m. $2,5^2-0,7^2=6,25-0,49=5,76$ et $\sqrt{5,76}=2,4$ m.

Le triangle est-il rectangle ? Écris la lettre du sommet de l’angle droit, ou « aucun ».

1. $AB=1,6$ cm, $BC=6,3$ cm, $AC=6,5$ cm. Angle droit en :
   Plus long côté : $[AC]$. $A{C}^2=42,25$ et $A{B}^2+B{C}^2=2,56+39,69=42,25$ : égalité, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $B$ (le sommet opposé à $[AC]$).
2. $DE=7$ cm, $EF=9$ cm, $DF=11$ cm. Angle droit en :
   $D{F}^2=121$ et $D{E}^2+E{F}^2=49+81=130$. Comme $121\ne 130$, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, $DEF$ n’est pas rectangle.
3. $GH=36$ mm, $HK=7,7$ cm, $GK=8,5$ cm. Angle droit en :
   En cm : $GH=3,6$. $G{K}^2=72,25$ et $G{H}^2+H{K}^2=12,96+59,29=72,25$ : rectangle en $H$, opposé au plus long côté $[GK]$.
4. $LM=10$ cm, $MN=24$ cm, $LN=25$ cm. Angle droit en :
   $L{N}^2=625$ et $L{M}^2+M{N}^2=100+576=676$. $625\ne 676$ : d’après la contraposée, pas rectangle (il aurait fallu $LN=26$ cm).

Triangles emboîtés : $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. Calcule la longueur demandée, en cm.

1. $AM=3$, $AB=7,5$, $BC=5$. $MN=$
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{3}{7,5}}={\displaystyle \frac{MN}{5}}$ : $MN={\displaystyle \frac{3\times 5}{7,5}}=2$ cm.
2. $AN=2,8$, $AC=4$, $AB=5,5$. $AM=$
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, soit ${\displaystyle \frac{AM}{5,5}}={\displaystyle \frac{2,8}{4}}$ : $AM={\displaystyle \frac{5,5\times 2,8}{4}}=3,85$ cm.
3. $AM=4,2$, $MB=1,8$, $BC=9$. $MN=$
   $AB=AM+MB=4,2+1,8=6$ cm. ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ : $MN={\displaystyle \frac{4,2\times 9}{6}}=6,3$ cm.

Papillon : les points $M$, $A$, $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $N$, $A$, $C$, et $(MN)\parallel (BC)$. Calcule la longueur demandée, en cm.

1. $AM=2$, $AB=5$, $BC=6,5$. $MN=$
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{MN}{6,5}}$ : $MN={\displaystyle \frac{2\times 6,5}{5}}=2,6$ cm.
2. $AN=3,6$, $AC=2,4$, $MN=4,5$. $BC=$
   ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{3,6}{2,4}}={\displaystyle \frac{4,5}{BC}}$ : $BC={\displaystyle \frac{2,4\times 4,5}{3,6}}=3$ cm. Ici le rapport ${\displaystyle \frac{3,6}{2,4}}=1,5$ dépasse $1$ : le triangle $AMN$ est le plus grand.
3. $AM=1,5$, $MB=6$, $AC=3$. $AN=$
   En papillon, $A$ est entre $M$ et $B$ : $AB=MB-AM=6-1,5=4,5$ cm. ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ : $AN={\displaystyle \frac{1,5\times 3}{4,5}}=1$ cm.

Les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre. Calcule les produits en croix, puis conclus par « parallèles » ou « non parallèles ».

1. $AM=2,5$, $AB=6$, $AN=3$, $AC=7,2$. $AM\times AC=$ ; $AB\times AN=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ :
   $2,5\times 7,2=18$ et $6\times 3=18$ : les produits sont égaux, donc ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$. Les points étant dans le même ordre, d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$.
2. $AM=3$, $AB=8$, $AN=4$, $AC=10,5$. $AM\times AC=$ ; $AB\times AN=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ :
   $3\times 10,5=31,5$ et $8\times 4=32$ : les produits sont différents, donc ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}\ne {\displaystyle \frac{AN}{AC}}$. D’après la contraposée du théorème de Thalès, $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles, même si les rapports sont proches.
3. Papillon : $AM=1,4$, $AB=3,5$, $AN=1,8$, $AC=4,5$. $AM\times AC=$ ; $AB\times AN=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ :
   $1,4\times 4,5=6,3$ et $3,5\times 1,8=6,3$ : produits égaux, points dans le même ordre ($M$, $A$, $B$ et $N$, $A$, $C$) : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$.

Le triangle est rectangle. Quel rapport relie l’angle et les deux côtés indiqués ? Réponds cos, sin ou tan.

1. $ABC$ rectangle en $B$ : $BAC$, le côté $[AB]$ et l’hypoténuse $[AC]$.
   $[AB]$ passe par le sommet $A$ : c’est le côté adjacent. Adjacent et hypoténuse : CAH, le cosinus.
2. $DEF$ rectangle en $E$ : $EDF$, le côté $[EF]$ et l’hypoténuse $[DF]$.
   $[EF]$ est en face de $D$ : c’est le côté opposé. Opposé et hypoténuse : SOH, le sinus.
3. $GHI$ rectangle en $H$ : $HGI$ et les côtés $[GH]$ et $[HI]$.
   $[HI]$ est opposé à $HGI$ et $[GH]$ adjacent : TOA, la tangente.
4. $JKL$ rectangle en $J$ : $JKL$, le côté $[JL]$ et le côté $[KL]$.
   $[KL]$ est en face de l’angle droit : c’est l’hypoténuse. $[JL]$ ne passe pas par $K$ : c’est le côté opposé à $JKL$. SOH : le sinus.

Calcule la longueur demandée, arrondie au dixième (calculatrice en mode degrés).

1. $ABC$ rectangle en $B$, $BAC=34°$, $AC=9$ cm. $AB$ ≈ cm
   $[AB]$ est adjacent, $[AC]$ l’hypoténuse : $\cos (34°)={\displaystyle \frac{AB}{9}}$, donc $AB=9\times \cos (34°)\approx 7,46$, soit $7,5$ cm.
2. $DEF$ rectangle en $E$, $EDF=52°$, $DE=4,5$ cm. $EF$ ≈ cm
   $[EF]$ est opposé, $[DE]$ adjacent : $\tan (52°)={\displaystyle \frac{EF}{4,5}}$, donc $EF=4,5\times \tan (52°)\approx 5,76$, soit $5,8$ cm.
3. $GHI$ rectangle en $H$, $HGI=23°$, $HI=2,8$ cm. $GI$ ≈ cm
   $[HI]$ est opposé, $[GI]$ l’hypoténuse : $\sin (23°)={\displaystyle \frac{2,8}{GI}}$, donc $GI={\displaystyle \frac{2,8}{\sin (23°)}}\approx 7,17$, soit $7,2$ cm. La longueur cherchée est en bas : on divise.

Calcule la mesure de l’angle demandé, arrondie au degré.

1. $JKL$ rectangle en $J$, $JK=5$ cm, $KL=8$ cm. $JKL$ ≈ $°$
   $[JK]$ est adjacent à $JKL$, $[KL]$ l’hypoténuse : $\cos (JKL)={\displaystyle \frac{5}{8}}=0,625$, donc $JKL\approx 51,3°$, soit $51°$ au degré.
2. $MNP$ rectangle en $N$, $MN=6$ cm, $NP=2,5$ cm. $NMP$ ≈ $°$
   $[NP]$ est opposé, $[MN]$ adjacent : $\tan (NMP)={\displaystyle \frac{2,5}{6}}$, donc $NMP\approx 22,6°$, soit $23°$.
3. $QRS$ rectangle en $R$, $QS=7,5$ cm, $RS=4,4$ cm. $QSR$ ≈ $°$
   Pour $RQS$ : $[RS]$ est opposé et $[QS]$ l’hypoténuse, $\sin (RQS)={\displaystyle \frac{4,4}{7,5}}$, donc $RQS\approx 35,92°$. Les deux angles aigus ont pour somme $90°$ : $QSR\approx 90°-35,92°=54,08°$, soit $54°$. On peut aussi écrire directement $\cos (QSR)={\displaystyle \frac{4,4}{7,5}}$.

Le triangle $JKL$ est rectangle en $K$, avec $JK=3,2$ cm et $KJL=40°$. Réponds au dixième.

1. $KL$ ≈ cm
   $[KL]$ est opposé à $KJL$, $[JK]$ adjacent : $KL=3,2\times \tan (40°)\approx 2,685$, soit $2,7$ cm.
2. $JL$ ≈ cm
   $\cos (40°)={\displaystyle \frac{3,2}{JL}}$, donc $JL={\displaystyle \frac{3,2}{\cos (40°)}}\approx 4,18$, soit $4,2$ cm. Contrôle avec Pythagore et la valeur non arrondie de $KL$ : $J{L}^2\approx 3,2^2+2,{685}^2\approx 17,45$ et $\sqrt{17,45}\approx 4,18$.

Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$, avec $EF=4$ cm et $EG=7,5$ cm. Le point $H$ est sur $[EF]$ avec $EH=2,4$ cm, le point $K$ sur $[EG]$, et $(HK)\parallel (FG)$.

1. $FG=$ cm
   Dans $EFG$ rectangle en $E$, d’après le théorème de Pythagore : $F{G}^2=4^2+7,5^2=16+56,25=72,25$, donc $FG=8,5$ cm.
2. $EK=$ cm
   D’après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{EH}{EF}}={\displaystyle \frac{EK}{EG}}$, soit ${\displaystyle \frac{2,4}{4}}={\displaystyle \frac{EK}{7,5}}$ : $EK={\displaystyle \frac{2,4\times 7,5}{4}}=4,5$ cm.
3. $HK=$ cm
   ${\displaystyle \frac{EH}{EF}}={\displaystyle \frac{HK}{FG}}$ : $HK={\displaystyle \frac{2,4\times 8,5}{4}}=5,1$ cm (on utilise $FG$ calculé à la première question).
4. $EFG$ ≈ $°$ (au degré)
   $[EG]$ est opposé à $EFG$, $[EF]$ adjacent : $\tan (EFG)={\displaystyle \frac{7,5}{4}}=1,875$, donc $EFG\approx 61,9°$, soit $62°$.

Le triangle $PQR$ a pour côtés $PQ=4$ cm, $QR=4,2$ cm et $PR=5,8$ cm.

1. $P{R}^2=$ et $P{Q}^2+Q{R}^2=$
   $5,8^2=33,64$ et $4^2+4,2^2=16+17,64=33,64$.
2. Le triangle $PQR$ est rectangle en
   Les deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $PQR$ est rectangle en $Q$, le sommet opposé au plus long côté $[PR]$.
3. $QPR$ ≈ $°$ (au degré)
   Le triangle est rectangle en $Q$ : la trigonométrie s’applique. $[QR]$ est opposé à $QPR$, $[PQ]$ adjacent : $\tan (QPR)={\displaystyle \frac{4,2}{4}}=1,05$, donc $QPR\approx 46,4°$, soit $46°$.
4. $QRP$ ≈ $°$ (au degré)
   Les deux angles aigus ont pour somme $90°$ : $QRP\approx 90°-46,4°=43,6°$, soit $44°$.