Espace : boule, sections et sphère terrestre

Rappels de 4e et de 5e (solides usuels, volumes du prisme droit, du cylindre, de la pyramide et du cône, unités de volume et de contenance) ; la sphère et la boule : centre, rayon, diamètre, grand cercle, aire de la sphère et volume de la boule ; sections planes d’un pavé droit, d’un cylindre et d’une sphère ; section d’une pyramide ou d’un cône parallèlement à la base et réduction (aires × k², volumes × k³) ; se repérer sur la sphère terrestre : parallèles, méridiens, latitude et longitude.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de géométrie dans l’espace : remplir une piscine hors-sol, le volume et la toile d’une tente canadienne, une citerne faite d’un cylindre et de deux demi-boules, une boule de pétanque creuse, une jardinière en tronc de pyramide et des distances le long d’un méridien, d’un parallèle et de l’équateur.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère le ou les solides (cylindre, cône, boule, pyramide…) et je fais un croquis avec les longueurs données.
Je convertis toutes les longueurs dans la même unité ; je cherche le rayon si l’énoncé donne un diamètre.
Je calcule chaque volume ou chaque aire en valeur exacte ; pour une section ou un solide coupé, je cherche un triangle rectangle ou le rapport $k$ .
J’arrondis à la fin, je convertis (cm³ → L, m³ → L) et je réponds par une phrase avec l’unité.

Problème 1 · La piscine hors-sol★★★Facile

Une piscine hors-sol a la forme d’un cylindre de diamètre intérieur

4, 6

m et de hauteur

1, 2

m. On la remplit jusqu’à

10

cm du bord avec un tuyau qui débite

1, 5

m³ par heure. L’eau coûte

4, 20

€ le m³. Pour les calculs, garde la valeur exacte du volume.

1. Hauteur d’eau dans la piscine : m
$10$ cm $= 0, 1$ m, donc $1, 2 - 0, 1 = 1, 1$ m.
2. Volume d’eau, au dixième de m³ : m³
Rayon : $4, 6 \div 2 = 2, 3$ m. $V = π \times 2, 3^{2} \times 1, 1 = 5, 819 π$ m³ $\approx 18, 3$ m³.
3. Durée du remplissage, à la minute près : h min
$5, 819 π \div 1, 5 \approx 12, 187$ h ; $0, 187$ h $\approx 0, 187 \times 60 \approx 11$ min : environ $12$ h $11$ min.
4. Prix de l’eau, au centime : €
$5, 819 π \times 4, 20 \approx 76, 78$ €. Avec le volume arrondi $18, 3$ , on trouverait $76, 86$ € : on arrondit à la fin.
5. Cinq personnes entrent dans l’eau ; chacune fait monter le niveau comme $70$ L d’eau ajoutés. Hausse du niveau, au mm près : cm
$5 \times 70 = 350$ L $= 0, 35$ m³. Hausse : $0, 35 \div (π \times 2, 3^{2}) \approx 0, 021$ m, soit $2, 1$ cm : c’est moins que les $10$ cm libres, l’eau ne déborde pas.

Problème 2 · La tente canadienne★★★Facile

Une tente a la forme d’un prisme droit à base triangulaire : le triangle de la façade est isocèle, de base

2, 2

m et de hauteur

1, 4

m ; la tente mesure

2, 5

m de long.

1. Aire du triangle de façade : m²
$\frac{2, 2 \times 1, 4}{2} = 1, 54$ m².
2. Volume de la tente : m³
Prisme droit : $V = ℬ \times h = 1, 54 \times 2, 5 = 3, 85$ m³.
3. Deux personnes y dorment. Volume d’air par personne : L
$3, 85 \div 2 = 1, 925$ m³, et $1$ m³ $= 1 000$ L : $1 925$ L.
4. Largeur d’un pan incliné du toit (côté égal du triangle), au cm près : m
La hauteur coupe la base en son milieu : triangle rectangle de côtés $1, 1$ m et $1, 4$ m. Pan $= \sqrt{1, 1^{2} + 1, 4^{2}} = \sqrt{3, 17} \approx 1, 78$ m.
5. Aire totale de toile (les deux pans et les deux façades), au dixième de m² : m²
Pans : $2 \times 1, 78 \times 2, 5 = 8, 9$ m² ; façades : $2 \times 1, 54 = 3, 08$ m². Total : $8, 9 + 3, 08 \approx 12, 0$ m².

Problème 3 · La citerne★★★Moyen

Une citerne est formée d’un cylindre de rayon

0, 6

m et de longueur

3

m, fermé à chaque bout par une demi-boule de même rayon.

1. Longueur totale de la citerne, d’un bout à l’autre : m
Chaque demi-boule ajoute un rayon : $3 + 2 \times 0, 6 = 4, 2$ m.
2. Volume exact du cylindre : $π$ m³
$π \times 0, 6^{2} \times 3 = π \times 0, 36 \times 3 = 1, 08 π$ m³.
3. Volume exact des deux demi-boules réunies : $π$ m³
Deux demi-boules font une boule : $\frac{4}{3} \times π \times 0, 6^{3} = \frac{4}{3} \times π \times 0, 216 = 0, 288 π$ m³.
4. Contenance de la citerne, au litre près : L
$1, 08 π + 0, 288 π = 1, 368 π$ m³ $\approx 4, 2977$ m³, et $1$ m³ $= 1 000$ L : environ $4 298$ L.
5. On peint toute la surface extérieure. Aire à peindre, au dixième de m² : m²
Surface latérale du cylindre : $2 \times π \times 0, 6 \times 3 = 3, 6 π$ m². Les deux demi-sphères forment une sphère : $4 \times π \times 0, 6^{2} = 1, 44 π$ m².
Total : $5, 04 π \approx 15, 8$ m².

Problème 4 · La boule de pétanque★★★Moyen

Une boule de pétanque a un diamètre de

7, 4

cm et une masse de

700

g. L’acier dont elle est faite a une masse volumique de

7, 8

g par cm³.

1. Volume de la boule, au dixième de cm³ : cm³
$R = 3, 7$ cm. $V = \frac{4}{3} \times π \times 3, 7^{3} = \frac{4}{3} \times π \times 50, 653 \approx 212, 2$ cm³.
2. Masse qu’aurait cette boule si elle était pleine d’acier, au gramme près : g
$212, 17 \dots \times 7, 8 \approx 1 655$ g.
3. Volume d’acier réellement présent dans la boule, au dixième de cm³ : cm³
$700 \div 7, 8 \approx 89, 7$ cm³ : bien moins que $212, 2$ cm³, la boule est creuse.
4. Aire de la surface de la boule, au cm² près : cm²
$4 \times π \times 3, 7^{2} = 54, 76 π \approx 172$ cm².

Problème 5 · La jardinière★★★Difficile

Une pyramide

S A B C D

a pour base un carré de

60

cm de côté et pour hauteur

S O = 90

cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, à

63

cm du sommet

S

. Une jardinière a la forme du tronc de pyramide obtenu, retourné : la petite face carrée sert de fond, la grande base est l’ouverture. On la remplit de terreau jusqu’en haut.

1. Rapport de réduction $k$ entre la petite pyramide et la grande :
$k = \frac{63}{90} = 0, 7$ .
2. Côté du carré qui sert de fond : cm
La section est une réduction de la base : $60 \times 0, 7 = 42$ cm.
3. Volume de la grande pyramide : cm³
$\frac{60^{2} \times 90}{3} = \frac{3 600 \times 90}{3} = 108 000$ cm³.
4. Volume de la petite pyramide retirée au sommet : cm³
$108 000 \times 0, 7^{3} = 108 000 \times 0, 343 = 37 044$ cm³ (vérification : $\frac{42^{2} \times 63}{3} = 37 044$ ).
5. Volume de terreau, en litres au dixième : L
Tronc : $108 000 - 37 044 = 70 956$ cm³ $= 70, 956$ L, soit environ $71, 0$ L.
6. Le terreau est vendu en sacs de $40$ L. Nombre de sacs à acheter :
$1$ sac ( $40$ L) ne suffit pas ; il en faut $2$ ( $80$ L).

Problème 6 · Autour du parallèle de Marseille★★★Difficile

On assimile la Terre à une sphère de rayon

6 371

km. Marseille est située à environ

43 °

de latitude Nord et

5 °

de longitude Est.

1. Le parallèle de Marseille est un cercle de rayon $6 371 \times \cos 43 °$ . Ce rayon, à la dizaine de km : km
Dans le triangle $O H M$ rectangle en $H$ : $6 371 \times \cos 43 ° \approx 4 659$ km, soit $4 660$ km.
2. Longueur du parallèle de Marseille, à la centaine de km : km
$2 \times π \times 6 371 \times \cos 43 ° \approx 29 276$ km (avec la valeur exacte du rayon), soit $29 300$ km.
3. Une ville du même méridien que Marseille a une latitude de $53 °$ N. Distance entre les deux villes le long du méridien, à la dizaine de km : km
Écart : $53 ° - 43 ° = 10 °$ , sur un grand cercle : $2 \times π \times 6 371 \times \frac{10}{360} \approx 1 112$ km, soit $1 110$ km.
4. Une ville du même parallèle que Marseille a une longitude de $55 °$ E. Distance entre les deux villes le long du parallèle, à la dizaine de km : km
Écart : $55 ° - 5 ° = 50 °$ . $29 276 \times \frac{50}{360} \approx 4 066$ km, soit $4 070$ km.
5. Même écart de $50 °$ , mais entre deux points de l’équateur : distance à la dizaine de km : km
$2 \times π \times 6 371 \times \frac{50}{360} \approx 5 560$ km, soit $5 560$ km. Les parallèles rétrécissent vers les pôles : un degré de longitude y vaut moins de kilomètres.

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