Synthèse : Pythagore, Thalès ou trigonométrie ?

1. a)Dans $ABC$ rectangle en $A$, d’après le théorème de Pythagore : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, donc $A{C}^2=7,3^2-4,8^2=53,29-23,04=30,25$ et $AC=\sqrt{30,25}=5,5$ cm (1)
2. b)$[AB]$ est le côté adjacent à $ABC$ et $[BC]$ l’hypoténuse : $\cos (ABC)={\displaystyle \frac{4,8}{7,3}}$, donc $ABC\approx 48,9^{\circ }$, soit ${49}^{\circ }$ (1)
3. c)Aire $={\displaystyle \frac{AB\times AC}{2}}={\displaystyle \frac{4,8\times 5,5}{2}}=13,2$ cm² (1)
4. d)L’aire vaut aussi ${\displaystyle \frac{BC\times AH}{2}}$ : ${\displaystyle \frac{7,3\times AH}{2}}=13,2$, donc $AH={\displaystyle \frac{2\times 13,2}{7,3}}\approx 3,62$ cm, soit $3,6$ cm au millimètre (1)

Méthode — Un même triangle rectangle se prête à plusieurs outils : Pythagore pour un côté, la trigonométrie pour un angle, et deux écritures de l’aire pour une hauteur.

1. a)Plus long côté : $5,3$ cm. D’une part $5,3^2=28,09$ ; d’autre part $2,8^2+4,5^2=7,84+20,25=28,09$. Égalité : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $T_1$ est rectangle, et l’angle droit est opposé au côté de $5,3$ cm (1)
2. b)D’une part $9,9^2=98,01$ ; d’autre part $6^2+8^2=36+64=100$. Comme $98,01\ne 100$, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, $T_2$ n’est pas rectangle (1)
3. c)En cm : $90$, $120$ et $150$. D’une part ${150}^2=22500$ ; d’autre part ${90}^2+{120}^2=8100+14400=22500$. Égalité : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $T_3$ est rectangle (1)
4. d)$T_1$ est rectangle : pour cet angle, le côté de $2,8$ cm est opposé et celui de $4,5$ cm adjacent. $\tan ={\displaystyle \frac{2,8}{4,5}}$, donc l’angle mesure environ $31,9^{\circ }$, soit ${32}^{\circ }$ (1)

Repère — On calcule séparément le carré du plus long côté et la somme des deux autres carrés, puis on compare : égalité → réciproque, différence → contraposée.

1. a)Le pied $[MN]$ et la droite $(BC)$ sont verticaux : ils sont tous deux perpendiculaires au sol $(AB)$. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : $(MN)\parallel (BC)$ (1)
2. b)$M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. D’après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{2,4}{7,2}}={\displaystyle \frac{1,3}{BC}}$, donc $BC={\displaystyle \frac{7,2\times 1,3}{2,4}}=3,9$ m (1)
3. c)Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. D’après le théorème de Pythagore : $A{C}^2=7,2^2+3,9^2=51,84+15,21=67,05$, donc $AC=\sqrt{67,05}\approx 8,19$ m (1)
4. d)Dans $ABC$ rectangle en $B$, $[BC]$ est opposé à $BAC$ et $[AB]$ adjacent : $\tan (BAC)={\displaystyle \frac{3,9}{7,2}}$, donc $BAC\approx 28,4^{\circ }$, soit ${28}^{\circ }$ (1)

Méthode — Trois outils à la suite : Thalès donne la hauteur, qui sert ensuite à Pythagore pour la longueur et à la tangente pour l’angle.

1. a)Vrai : $15$ mm $=1,5$ cm. D’une part $3,9^2=15,21$ ; d’autre part $1,5^2+3,6^2=2,25+12,96=15,21$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (1)
2. b)Faux : le côté adjacent est plus court que l’hypoténuse, donc un cosinus est toujours compris entre $0$ et $1$. Quand l’angle est très petit, le cosinus est proche de $1$ sans le dépasser (1)
3. c)Faux : il faut aussi que les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ soient alignés dans le même ordre ; sinon, la réciproque du théorème de Thalès ne s’applique pas (1)
4. d)Faux : le cosinus ne s’utilise que dans un triangle rectangle. Il faut d’abord prouver que le triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore) ; s’il ne l’est pas, la trigonométrie de 3^e ne s’applique pas (1)

Le point clé — Chaque théorème a ses hypothèses : un angle droit pour Pythagore et la trigonométrie, des parallèles pour Thalès, le même ordre des points pour sa réciproque.

1. a)Dénivelé $=12,4-2,8=9,6$ m. Le schéma montre un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $54$ m (horizontal) et $9,6$ m (vertical), et dont l’hypoténuse est le câble (1)
2. b)D’après le théorème de Pythagore : $L^2={54}^2+9,6^2=2916+92,16=3008,16$, donc $L=\sqrt{3008,16}\approx 54,85$ m (1)
3. c)Le dénivelé est le côté opposé à l’angle, la distance horizontale le côté adjacent : $\tan ={\displaystyle \frac{9,6}{54}}$, donc l’angle mesure environ $10,1^{\circ }$. Comme $10,1^{\circ }<{12}^{\circ }$, la condition est respectée (1)
4. d)Longueur nécessaire $\approx 54,85+2\times 1,5=57,85$ m. Il faut donc $6$ rouleaux ($60$ m ; $5$ rouleaux ne font que $50$ m) : $6\times 38=228$ € (1)

Méthode — Dans une situation, on fait un schéma pour faire apparaître le triangle rectangle, puis on enchaîne Pythagore, la trigonométrie et un calcul concret.