Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Pythagore, Thalès & trigonométrie
Calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle ou une configuration de Thalès — synthèse de géométrie de 3e
Trois outils pour calculer des longueurs et des angles : Pythagore et la trigonométrie dans un triangle rectangle, Thalès avec des parallèles — et savoir lequel choisir.
Télécharger la fiche PDF1
Pythagore et sa réciproque
- $ABC$ rectangle en A : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (BC = hypoténuse, le plus long côté, face à l'angle droit).
- Hypoténuse cherchée : on additionne ; côté de l'angle droit : on soustrait.
- Réciproque : si (plus grand côté)² = somme des deux autres carrés, le triangle est rectangle. Sinon il ne l'est pas (contraposée).
- Calculer séparément les deux membres, puis comparer.
2
Thalès et sa réciproque
- (BM) et (CN) sécantes en A, (MN) // (BC) : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
- Tout part de A ; numérateurs = petit triangle, dénominateurs = grand.
- Une longueur : deux rapports utiles + produit en croix.
- Réciproque : points dans le même ordre et $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ ⟹ (MN) // (BC).
3
Trigonométrie (triangle rectangle)
- cos = adjacent / hypoténuse ; sin = opposé / hypoténuse ; tan = opposé / adjacent (SOH-CAH-TOA).
- Opposé = en face de l'angle ; adjacent = touche l'angle (pas l'hypoténuse).
- Longueur : formule puis produit en croix. Angle : cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹, calculatrice en degrés.
- cos et sin sont toujours entre 0 et 1.
4
Méthode : choisir l'outil
- Lire la figure : angle droit ? parallèles ? ce qui est connu, ce qui est cherché.
- Triangle rectangle + 3 longueurs → Pythagore ; + un angle → trigonométrie.
- Parallèles + sécantes → Thalès.
- Prouver un angle droit → réciproque de Pythagore ; prouver un parallélisme → réciproque de Thalès.
- Écrire la formule avec les lettres, même unité, valeur exacte, puis arrondi et unité.
5
Pièges à éviter
- Pythagore ou trigonométrie sans angle droit démontré.
- Confondre $\sqrt{a^2 + b^2}$ et $a + b$ : on prend la racine de la somme des carrés.
- Mélanger cm et m, ou mm et cm, avant d'élever au carré.
- Un cos ou sin supérieur à 1 : rapport inversé.
- Réciproque de Thalès sans vérifier l'ordre des points.
- Arrondir avant la fin : garder la valeur exacte ($\sqrt{56}$, $\dfrac{5}{13}$) jusqu'au résultat.
L'essentiel
- Rectangle en A : BC² = AB² + AC² ; réciproque pour prouver l'angle droit.
- Parallèles + sécantes : AM/AB = AN/AC = MN/BC ; réciproque pour prouver le parallélisme.
- cos = adj/hyp, sin = opp/hyp, tan = opp/adj ; angle avec la touche inverse.
- Avant de calculer : nommer le théorème et vérifier ses hypothèses.
- Même unité, valeur exacte, arrondi demandé, unité dans la conclusion.
Bloqué sur ce chapitre ?
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs