Fiche de révision : pythagore, Thalès & trigonométrie

Lire une figure et choisir l’outil (angle droit, parallèles, ce que l’on connaît et ce que l’on cherche), rappels du théorème de Pythagore et de sa réciproque, du théorème de Thalès (triangles emboîtés, papillon) et de sa réciproque, de la trigonométrie (cosinus, sinus, tangente), puis enchaîner plusieurs outils et rédiger un problème de géométrie comme au brevet.

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benprofparticulier.frMathématiques · 3ᵉ

Synthèse : Pythagore, Thalès ou trigonométrie ?

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Espace et géométrie · Triangles)

La démarche pour choisir l’outil et rédiger

1. Je lis la figure : angle droit codé ou donné ? droites parallèles ? longueurs connues, longueur ou angle cherché.

2. Je choisis l’outil : triangle rectangle et longueurs → Pythagore ; triangle rectangle et un angle → trigonométrie ; sécantes et parallèles → Thalès ; prouver un angle droit → réciproque de Pythagore ; prouver un parallélisme → réciproque de Thalès.

3. J’écris le nom du théorème, le triangle et l’hypothèse, puis la formule avec les lettres, puis les valeurs dans la même unité.

4. Je conclus : valeur exacte, arrondi demandé avec « ≈ », unité, phrase ; je garde la valeur exacte si elle ressert.

Le réflexe — angle droit + longueurs → Pythagore ; angle droit + un angle → trigonométrie ; parallèles → Thalès ; prouver → une réciproque (égalité) ou la contraposée (pas d’égalité).

Cas 1 · Lire la figure et choisir le bon outil

Réflexe — je cherche l’angle droit et les parallèles, puis je me demande ce que je connais et ce que je cherche.

Exemple 1. Le triangle $J K L$ est rectangle en $K$ ; on connaît $J K$ et $K J L$ , on cherche $J L$ . Quel outil ?

Triangle rectangle, un angle et une longueur en jeu : la trigonométrie. $[J K]$ est le côté adjacent à $K J L$ et $[J L]$ l’hypoténuse : c’est le cosinus.

Exemple 2. Un triangle a deux angles de $34 °$ et $56 °$ . Peut-on y utiliser le théorème de Pythagore ?

Troisième angle : $180 ° - 34 ° - 56 ° = 90 °$ . Le triangle est rectangle : on peut utiliser Pythagore (et la trigonométrie).

Attention — un triangle qui « a l’air » rectangle ne l’est pas forcément : l’angle droit doit être codé, donné ou démontré.

Cas 2 · Pythagore et sa réciproque

Réflexe — hypoténuse cherchée : j’additionne les carrés ; côté de l’angle droit : je soustrais ; prouver : deux calculs séparés, puis je compare.

Exemple 1. Le triangle $A B C$ est rectangle en $C$ , avec $A B = 5, 2$ cm et $B C = 2$ cm. Calculer $A C$ .

D’après le théorème de Pythagore : $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ , donc $A C^{2} = 5, 2^{2} - 2^{2} = 27, 04 - 4 = 23, 04$ et $A C = \sqrt{23, 04} = 4, 8$ cm.

Exemple 2. Le triangle de côtés $6$ m, $9, 1$ m et $10, 9$ m est-il rectangle ?

D’une part $10, 9^{2} = 118, 81$ ; d’autre part $6^{2} + 9, 1^{2} = 36 + 82, 81 = 118, 81$ . Égalité : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle (angle droit opposé au côté de $10, 9$ m).

Attention — mêmes unités avant d’élever au carré ; on n’écrit pas l’égalité avant de l’avoir vérifiée.

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Cas 3 · Thalès et sa réciproque

Réflexe — je pars du point commun : petit triangle en haut, grand en bas ; pour la réciproque, même ordre des points et rapports exacts.

Exemple. $M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ , $(M N) ∥ (B C)$ , $A M = 1, 2$ cm, $A B = 4$ cm, $B C = 6, 5$ cm. Calculer $M N$ .

D’après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$ , soit $\frac{1, 2}{4} = \frac{M N}{6, 5}$ , donc $M N = \frac{1, 2 \times 6, 5}{4} = 1, 95$ cm.

Attention — $M B$ n’entre pas dans les rapports ; pour la réciproque, $\frac{M N}{B C}$ ne sert pas.

Cas 4 · La trigonométrie

Réflexe — je nomme les côtés par rapport à l’angle, je choisis SOH, CAH ou TOA avec le connu et le cherché ; angle : touche inverse.

Exemple. Le triangle $P Q R$ est rectangle en $Q$ , $P Q = 5$ cm et $Q R = 2$ cm. Calculer $Q P R$ au degré.

$[Q R]$ est opposé à $Q P R$ , $[P Q]$ adjacent : $\tan (Q P R) = \frac{2}{5} = 0, 4$ , donc $Q P R \approx 22 °$ .

Attention — un cosinus ou un sinus plus grand que $1$ : rapport à l’envers ; calculatrice en degrés.

Cas 5 · Enchaîner les outils

Réflexe — chaque résultat peut resservir : je le garde exact et je n’arrondis que la réponse demandée.

Exemple. Le triangle $U V W$ est rectangle en $U$ , $U V = 1, 3$ cm, $U W = 8, 4$ cm. Calculer $V W$ , puis $U W V$ au degré.

Pythagore : $V W^{2} = 1, 69 + 70, 56 = 72, 25$ , donc $V W = 8, 5$ cm. Puis $\sin (U W V) = \frac{U V}{V W} = \frac{1, 3}{8, 5}$ , donc $U W V \approx 9 °$ .

Attention — prouver l’angle droit avant d’utiliser cos, sin ou tan ; nommer le théorème à chaque question.

Les pièges

Utiliser Pythagore ou la trigonométrie dans un triangle dont l’angle droit n’est ni codé, ni donné, ni démontré.
Confondre les deux réciproques : celle de Pythagore prouve un angle droit, celle de Thalès un parallélisme.
Écrire $\frac{A M}{M B}$ au lieu de $\frac{A M}{A B}$ , ou conclure au parallélisme sans vérifier l’ordre des points.
Additionner les longueurs au lieu de leurs carrés : $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ n’est pas $a + b$ .
Arrondir un résultat intermédiaire puis le réutiliser, ou mélanger cm et m.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche en quatre étapes — lire, choisir, écrire, conclure — puis un exemple corrigé par outil : choisir le théorème, calculer un côté avec Pythagore, prouver un angle droit, calculer une longueur avec Thalès, un angle avec la tangente, et enchaîner Pythagore et le sinus. Les pièges classiques terminent la fiche.

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