Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente

Rappels de 4e (hypoténuse, côté adjacent et côté opposé, angles aigus de somme 90°, cosinus), sinus et tangente d’un angle aigu, SOH-CAH-TOA pour choisir la formule, calcul d’une longueur (en multipliant ou en divisant), calcul d’un angle avec les touches cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹, pente en pourcentage, angles complémentaires et valeurs remarquables (30°, 45°, 60°) ; en complément, cos² + sin² = 1 et tan = sin ÷ cos.

À propos de cette page

Ce cours de trigonométrie de 3e reprend le cosinus vu en 4e puis ajoute le sinus et la tangente d’un angle aigu dans le triangle rectangle. Il explique SOH-CAH-TOA pour choisir la formule, le calcul d’une longueur (multiplier ou diviser), le calcul d’un angle avec les touches cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹, la pente en pourcentage, les angles complémentaires et les valeurs remarquables à 30°, 45° et 60°.

Rappels de 4e : côtés du triangle rectangle et cosinus

La trigonométrie relie un angle aigu d’un triangle rectangle aux longueurs de ses côtés. On reprend d’abord ce qui a été vu en 4e : le nom des côtés et le cosinus.

Ce qu’il faut savoir Un triangle rectangle a un angle droit. Son hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : c’est le plus long des trois côtés. Ses deux autres angles sont aigus et leur somme vaut 90°.
Pour un angle aigu, les deux côtés de l’angle droit prennent un nom :
• le côté adjacent à l’angle est le côté de l’angle droit qui passe par le sommet de cet angle ;
• le côté opposé à l’angle est le côté de l’angle droit qui est en face de cet angle.
Le cosinus d’un angle aigu est le quotient

\cos (angle) = \frac{côté adjacent}{hypoténuse}

. Il ne dépend que de la mesure de l’angle, il est compris entre 0 et 1 et il diminue quand l’angle augmente. La touche

\cos^{- 1}

de la calculatrice, en mode degrés, redonne l’angle à partir de son cosinus.

Exemples

Le triangle $L M N$ est rectangle en $M$ : l’hypoténuse est $[L N]$ . Pour l’angle $M L N$ (sommet $L$ ), le côté adjacent est $[L M]$ et le côté opposé est $[M N]$ . Pour l’angle $M N L$ , les rôles s’échangent : le côté adjacent est $[M N]$ , le côté opposé est $[L M]$ .

Avec $L M = 3, 5$ cm et $L N = 5$ cm : $\cos (M L N) = \frac{L M}{L N} = \frac{3, 5}{5} = 0, 7$ , donc $M L N = \cos^{- 1} (0, 7) \approx 45, 6 °$ et $M N L \approx 90 ° - 45, 6 ° = 44, 4 °$ .

Le troisième côté, avec le théorème de Pythagore : $M N^{2} = L N^{2} - L M^{2} = 25 - 12, 25 = 12, 75$ , donc $M N = \sqrt{12, 75} \approx 3, 57$ cm.

Le cosinus ne relie que le côté adjacent et l’hypoténuse. En 4e, quand le côté opposé intervenait, il fallait passer par l’autre angle aigu. En 3e, deux nouveaux quotients, le sinus et la tangente, utilisent directement le côté opposé.

Réflexe — je repère d’abord l’angle droit (l’hypoténuse est en face), puis le sommet de l’angle aigu étudié : le côté adjacent touche ce sommet, le côté opposé est en face.

Attention — « adjacent » et « opposé » changent avec l’angle choisi, l’hypoténuse jamais. L’hypoténuse touche aussi le sommet de l’angle aigu, mais ce n’est pas le côté adjacent : le côté adjacent est toujours un côté de l’angle droit. Et la calculatrice doit être en mode degrés.

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Sinus, tangente et SOH-CAH-TOA

Ce qu’il faut savoir Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu :

\cos (angle) = \frac{côté adjacent}{hypoténuse}

\sin (angle) = \frac{côté opposé}{hypoténuse}

\tan (angle) = \frac{côté opposé}{côté adjacent}

A B C

est rectangle en

A

\cos (A B C) = \frac{A B}{B C}

\sin (A B C) = \frac{A C}{B C}

\tan (A B C) = \frac{A C}{A B}

.
Comme le cosinus, le sinus et la tangente ne dépendent que de la mesure de l’angle. Le sinus est compris entre 0 et 1, car le côté opposé est plus court que l’hypoténuse ; la tangente, elle, peut être plus grande que 1.

Exemples

$D E F$ est rectangle en $E$ , avec $D E = 6$ cm, $E F = 3, 2$ cm et $D F = 6, 8$ cm. Pour l’angle $E D F$ : côté adjacent $D E$ , côté opposé $E F$ , hypoténuse $D F$ .

$\cos (E D F) = \frac{6}{6, 8} = \frac{15}{17} \approx 0, 88$ ; $\sin (E D F) = \frac{3, 2}{6, 8} = \frac{8}{17} \approx 0, 47$ ; $\tan (E D F) = \frac{3, 2}{6} = \frac{8}{15} \approx 0, 53$ .

Pour l’autre angle aigu, $D F E$ : $\tan (D F E) = \frac{D E}{E F} = \frac{6}{3, 2} = 1, 875$ , une tangente plus grande que 1.

Pourquoi seulement l’angle ? Deux triangles rectangles qui ont un même angle aigu ont les mêmes angles : l’un est un agrandissement de l’autre (voir Triangles semblables). Toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre, donc les quotients de deux côtés ne changent pas.

SOH-CAH-TOA : choisir la bonne formule

Mot	Formule	À utiliser quand interviennent…
SOH	Sinus = Opposé ÷ Hypoténuse	le côté opposé et l’hypoténuse
CAH	Cosinus = Adjacent ÷ Hypoténuse	le côté adjacent et l’hypoténuse
TOA	Tangente = Opposé ÷ Adjacent	le côté opposé et le côté adjacent

Deux côtés interviennent toujours : celui que l’on connaît et celui que l’on cherche (ou les deux côtés connus, quand on cherche l’angle). On prend la formule qui contient exactement ces deux côtés.

Exemples

$A B C$ est rectangle en $A$ . On connaît $A B C$ et l’hypoténuse $B C$ , on cherche $A C$ , le côté opposé : opposé et hypoténuse, c’est SOH, le sinus.

On connaît $A B C$ et $A B$ , le côté adjacent, on cherche $A C$ , le côté opposé : opposé et adjacent, c’est TOA, la tangente.

On connaît $A B$ et $B C$ , on cherche l’angle $A B C$ : adjacent et hypoténuse, c’est CAH, le cosinus.

Réflexe — je nomme les trois côtés depuis l’angle, je repère les deux côtés qui interviennent (le connu et le cherché) et je prends la formule qui contient ces deux-là : SOH, CAH ou TOA.

Attention — la tangente n’utilise jamais l’hypoténuse. Un sinus ou un cosinus plus grand que 1 est impossible (côtés inversés) ; une tangente plus grande que 1 est possible.

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Calculer une longueur

Ce qu’il faut savoir On connaît un angle aigu et une longueur du triangle rectangle : on peut calculer chacun des deux autres côtés.
1. Je nomme les côtés par rapport à l’angle connu.
2. Je choisis la formule qui contient le côté connu et le côté cherché (SOH-CAH-TOA).
3. J’écris l’égalité avec les lettres, puis je remplace par les valeurs.
4. J’isole la longueur cherchée : si elle est en haut du quotient, je multiplie ; si elle est en bas, je divise par le cosinus, le sinus ou la tangente.
La calculatrice est en mode degrés, et on arrondit seulement le résultat final.

Exemples

Inconnue en haut. $G H K$ est rectangle en $G$ , $G H K = 38 °$ et $G H = 6, 5$ cm ; on cherche $G K$ .
$[G K]$ est le côté opposé à $G H K$ et $[G H]$ son côté adjacent : TOA.
Dans le triangle $G H K$ rectangle en $G$ : $\tan (G H K) = \frac{G K}{G H}$
$\tan (38 °) = \frac{G K}{6, 5}$
$G K = 6, 5 \times \tan (38 °)$
$G K \approx 5, 08$ cm (au centième).

Exemples

Inconnue en bas. $X Y Z$ est rectangle en $X$ , $X Y Z = 57 °$ et $X Z = 7, 3$ cm ; on cherche l’hypoténuse $Y Z$ .
$[X Z]$ est le côté opposé à $X Y Z$ : opposé et hypoténuse, SOH.
Dans le triangle $X Y Z$ rectangle en $X$ : $\sin (X Y Z) = \frac{X Z}{Y Z}$
$\sin (57 °) = \frac{7, 3}{Y Z}$
$Y Z = \frac{7, 3}{\sin (57 °)}$
$Y Z \approx 8, 70$ cm (au centième).

Contrôle : l’hypoténuse trouvée, $8, 70$ cm, est plus longue que le côté opposé, $7, 3$ cm.

Pour isoler $Y Z$ , on peut lire $\frac{\sin (57 °)}{1} = \frac{7, 3}{Y Z}$ comme une égalité de deux quotients et faire un produit en croix : $Y Z \times \sin (57 °) = 7, 3 \times 1$ , donc $Y Z = \frac{7, 3}{\sin (57 °)}$ .

Réflexe — la longueur cherchée est en haut du quotient : je multiplie ; elle est en bas : je divise. Puis je vérifie que l’hypoténuse reste le plus long côté.

Attention — pour l’hypoténuse, multiplier au lieu de diviser donne $7, 3 \times \sin (57 °) \approx 6, 12$ cm, plus court que le côté opposé : c’est impossible. Et je n’arrondis pas le sinus avant de diviser : avec $\sin (57 °) \approx 0, 84$ , on trouverait $8, 69$ cm au lieu de $8, 70$ cm.

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Calculer un angle avec les touches inverses

Ce qu’il faut savoir On connaît deux longueurs du triangle rectangle : on choisit la formule qui contient ces deux côtés, on calcule le quotient, puis on remonte à l’angle avec la touche inverse.
Si

\cos (A B C) = k

, alors

A B C = \cos^{- 1} (k)

; de même avec

\sin^{- 1}

\tan^{- 1}

. Ces touches sont souvent écrites au-dessus de cos, sin et tan (touche « seconde » ou « shift ») ; on les appelle aussi arccos, arcsin et arctan. La calculatrice doit être en mode degrés.
L’autre angle aigu mesure 90° moins le premier.

Exemples

$I J K$ est rectangle en $I$ , $I J = 4, 6$ cm et $I K = 7, 2$ cm ; on cherche $I J K$ . $[I K]$ est le côté opposé, $[I J]$ le côté adjacent : TOA.
Dans le triangle $I J K$ rectangle en $I$ : $\tan (I J K) = \frac{I K}{I J} = \frac{7, 2}{4, 6}$
$I J K = \tan^{- 1} (\frac{7, 2}{4, 6}) \approx 57, 4 °$ (au dixième).
L’autre angle aigu : $I K J \approx 90 ° - 57, 4 ° = 32, 6 °$ .

Un triangle rectangle a un angle aigu dont le côté opposé mesure $3, 4$ cm et l’hypoténuse $8, 5$ cm : SOH. $\sin (angle) = \frac{3, 4}{8, 5} = 0, 4$ , donc l’angle mesure $\sin^{- 1} (0, 4) \approx 23, 6 °$ .

Astuce — on tape directement $\tan^{- 1} (7, 2 \div 4, 6)$ , avec les parenthèses. Arrondir d’abord le quotient à $1, 57$ donnerait $\tan^{- 1} (1, 57) \approx 57, 5 °$ : un résultat faux au dixième.

Une pente en pourcentage est une tangente

Sur un panneau routier, une pente de 12 % veut dire que la route monte de 12 m pour 100 m parcourus à l’horizontale. La montée est le côté opposé à l’angle avec l’horizontale, la distance horizontale son côté adjacent : $\tan (angle) = \frac{12}{100} = 0, 12$ , donc l’angle mesure $\tan^{- 1} (0, 12) \approx 6, 8 °$ . Le pourcentage n’est donc pas la mesure de l’angle.

Réflexe — deux longueurs connues : je choisis SOH, CAH ou TOA, je calcule le quotient exact, j’applique la touche inverse en mode degrés, et j’arrondis seulement l’angle.

Attention — $\tan (7, 2 \div 4, 6)$ n’est pas l’angle : c’est la touche $\tan^{- 1}$ qu’il faut. Si la calculatrice affiche une erreur avec $\sin^{- 1}$ ou $\cos^{- 1}$ , le quotient est plus grand que 1 : les deux côtés sont inversés.

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Angles complémentaires, valeurs remarquables et relations

Ce qu’il faut savoir Dans un triangle

A B C

rectangle en

A

, les deux angles aigus sont complémentaires :

A B C + A C B = 90 °

. Le côté adjacent à l’un est le côté opposé à l’autre, donc :

\cos (A B C) = \sin (A C B)

\sin (A B C) = \cos (A C B)

; la tangente de l’un est l’inverse de la tangente de l’autre.
Pour tout angle aigu

x

\cos (x) = \sin (90 ° - x)

.
Quand l’angle aigu augmente, son cosinus diminue, son sinus et sa tangente augmentent ;

\tan (45 °) = 1

Exemples

$\cos (A B C) = \frac{A B}{B C}$ et, vu depuis $C$ , $[A B]$ est le côté opposé : $\sin (A C B) = \frac{A B}{B C}$ , le même quotient.

$27 ° + 63 ° = 90 °$ , donc $\sin (27 °) = \cos (63 °) \approx 0, 454$ .

Valeurs remarquables

Dans un triangle équilatéral de côté 2, la hauteur coupe un côté en son milieu : le triangle $A B H$ est rectangle en $H$ , avec $B H = 1$ , $A B = 2$ , des angles de 60° et de 30°, et $A H^{2} = 2^{2} - 1^{2} = 3$ (théorème de Pythagore), donc $A H = \sqrt{3}$ .

Dans un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l’angle droit mesurent 1, les angles aigus mesurent 45° et l’hypoténuse mesure $\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ .

Angle	cosinus	sinus	tangente
30°	$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0, 866$	$\frac{1}{2} = 0, 5$	$\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0, 577$
45°	$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0, 707$	$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0, 707$	$1$
60°	$\frac{1}{2} = 0, 5$	$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0, 866$	$\sqrt{3} \approx 1, 732$

Deux relations (complément)

Complément (hors programme de 3e) — ces deux égalités ne sont pas exigibles en 3e, mais elles se démontrent avec les définitions et le théorème de Pythagore, et elles permettent de passer d’un quotient à l’autre.

Pour un angle aigu $x$ : $\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = 1$ et $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ (on note $\cos^{2} (x)$ pour $(\cos (x))^{2}$ ).
Preuve : ${(\frac{adj}{hyp})}^{2} + {(\frac{opp}{hyp})}^{2} = \frac{{adj}^{2} + {opp}^{2}}{{hyp}^{2}} = 1$ , car ${adj}^{2} + {opp}^{2} = {hyp}^{2}$ ; et $\frac{opp}{hyp} \div \frac{adj}{hyp} = \frac{opp}{adj}$ .

Exemples

Dans le triangle $D E F$ plus haut : ${(\frac{15}{17})}^{2} + {(\frac{8}{17})}^{2} = \frac{225}{289} + \frac{64}{289} = \frac{289}{289} = 1$ .

Si $\cos (x) = \frac{20}{29}$ : $\sin^{2} (x) = 1 - \frac{400}{841} = \frac{441}{841}$ , donc $\sin (x) = \frac{21}{29}$ (un sinus est positif) et $\tan (x) = \frac{21}{29} \times \frac{29}{20} = \frac{21}{20} = 1, 05$ .

Réflexe — pour l’autre angle aigu, j’échange cosinus et sinus ; pour obtenir un quotient à partir d’un autre, j’utilise $\cos^{2} + \sin^{2} = 1$ , puis $\tan = \sin \div \cos$ .

Attention — $\cos^{2} (x)$ veut dire $(\cos (x))^{2}$ , pas $\cos (x^{2})$ . Et les quotients ne sont pas proportionnels aux angles : $\cos (2 \times 30 °) = \cos (60 °) = 0, 5$ , alors que $2 \times \cos (30 °) \approx 1, 73$ .

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Pour aller plus loin

Liens — le cosinus vu en 4e : Cosinus : dans le triangle rectangle. Choisir entre le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et la trigonométrie dans un problème de brevet : Synthèse : Pythagore, Thalès ou trigonométrie ?.

Se verra au lycée — en 1re (spécialité mathématiques), le cosinus et le sinus seront définis pour tout nombre réel, grâce au cercle trigonométrique : ils ne seront plus réservés aux angles aigus d’un triangle rectangle.

À retenir

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est en face de l’angle droit ; pour un angle aigu, le côté adjacent est le côté de l’angle droit qui passe par son sommet, le côté opposé est en face. Les deux angles aigus ont pour somme 90°.
SOH-CAH-TOA : sinus = opposé ÷ hypoténuse, cosinus = adjacent ÷ hypoténuse, tangente = opposé ÷ adjacent. On prend la formule qui contient le côté connu et le côté cherché.
Longueur : la longueur cherchée est en haut du quotient → on multiplie ; elle est en bas → on divise par cos, sin ou tan. Calculatrice en degrés, arrondi à la fin.
Angle : on calcule le quotient de deux longueurs, puis cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ ; l’autre angle aigu vaut 90° moins le premier. Une pente en pourcentage est une tangente.
Cosinus et sinus sont entre 0 et 1, la tangente peut dépasser 1 ; cos(x) = sin(90° − x) ; cos(60°) = sin(30°) = 0,5 et tan(45°) = 1. En complément : cos² + sin² = 1 et tan = sin ÷ cos.

Questions fréquentes

Comment reconnaître le côté adjacent et le côté opposé ?

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu, le côté adjacent est le côté de l’angle droit qui passe par le sommet de l’angle ; le côté opposé est celui qui est en face. L’hypoténuse, en face de l’angle droit, ne change jamais. Si LMN est rectangle en M, pour l’angle de sommet L : adjacent [LM], opposé [MN], hypoténuse [LN].

Que veut dire SOH-CAH-TOA ?

C’est un moyen de retenir les trois formules : Sinus = Opposé ÷ Hypoténuse, Cosinus = Adjacent ÷ Hypoténuse, Tangente = Opposé ÷ Adjacent. On choisit la formule qui contient le côté connu et le côté cherché : par exemple, avec l’hypoténuse et le côté opposé, c’est le sinus.

Comment calculer une longueur avec la trigonométrie ?

On écrit la formule avec les lettres, on remplace, puis on isole la longueur : si elle est en haut du quotient, on multiplie ; si elle est en bas, on divise. Avec un angle de 38° et un côté adjacent de 6,5 cm, le côté opposé vaut 6,5 × tan(38°) ≈ 5,08 cm.

Comment trouver un angle avec la calculatrice ?

On calcule le quotient des deux côtés connus avec la bonne formule, puis on utilise la touche inverse cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹, calculatrice en mode degrés. Avec un côté opposé de 3,4 cm et une hypoténuse de 8,5 cm, sin = 0,4 et l’angle mesure environ 23,6°.

Quel lien entre le cosinus et le sinus des deux angles aigus ?

Les deux angles aigus d’un triangle rectangle ont pour somme 90°, et le côté adjacent à l’un est le côté opposé à l’autre : le cosinus de l’un est le sinus de l’autre. Ainsi sin(27°) = cos(63°). En complément, pour tout angle aigu, cos² + sin² = 1 et tan = sin ÷ cos.

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