À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « La trigonométrie dans le triangle rectangle » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Hypoténuse, côté adjacent et côté opposé, Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu, SOH-CAH-TOA : choisir la bonne formule, Calculer une longueur. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Hypoténuse, côté adjacent et côté opposé
2 · Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
3 · SOH-CAH-TOA : choisir la bonne formule
4 · Calculer une longueur
5 · Calculer un angle avec la calculatrice
6 · Quelques propriétés utiles
7 · Méthode : résoudre un problème de trigonométrie
1Hypoténuse, côté adjacent et côté opposé
On travaille toujours dans un triangle rectangle. La trigonométrie relie un angle aigu du triangle aux longueurs de ses côtés.
Les trois côtés (vus depuis un angle aigu). Pour un triangle $ABC$ rectangle en $A$, et l'angle aigu $\widehat{B}$ :
• l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours $[BC]$, le côté le plus long ;
• le côté adjacent à $\widehat{B}$ est celui qui touche l'angle $\widehat{B}$ (sans être l'hypoténuse) : ici $[AB]$ ;
• le côté opposé à $\widehat{B}$ est celui qui est en face de l'angle $\widehat{B}$ : ici $[AC]$.
Attention ! Les noms « adjacent » et « opposé » changent selon l'angle aigu choisi. L'hypoténuse, elle, ne change jamais : elle est toujours face à l'angle droit.
2Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
À chaque angle aigu $\widehat{B}$ d'un triangle rectangle, on associe trois nombres : son cosinus, son sinus et sa tangente.
Définitions. Pour un triangle rectangle et un angle aigu $\widehat{B}$ :
$$\cos(\widehat{B})=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\qquad \sin(\widehat{B})=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\qquad \tan(\widehat{B})=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$$
Exemple. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB=3$, $AC=4$ et $BC=5$, pour l'angle $\widehat{B}$ : l'adjacent est $AB=3$, l'opposé est $AC=4$, l'hypoténuse est $BC=5$. Donc $\cos(\widehat{B})=\dfrac{3}{5}=0{,}6$, $\sin(\widehat{B})=\dfrac{4}{5}=0{,}8$ et $\tan(\widehat{B})=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$.
Astuce. Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre $0$ et $1$, car l'hypoténuse est le plus grand côté. Si tu trouves un cosinus supérieur à $1$, c'est qu'il y a une erreur.
3SOH-CAH-TOA : choisir la bonne formule
Pour ne pas confondre les trois formules, on retient le mot magique SOH-CAH-TOA.
| Mot | Formule | Lecture |
|---|
| SOH | $\sin=\dfrac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$ | Sinus : Opposé sur Hypoténuse |
| CAH | $\cos=\dfrac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$ | Cosinus : Adjacent sur Hypoténuse |
| TOA | $\tan=\dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$ | Tangente : Opposé sur Adjacent |
Comment choisir ? Repère, parmi les côtés, ceux qui sont connus et celui que tu cherches. Puis prends la formule qui contient exactement ces deux côtés : adjacent + hypoténuse → cosinus ; opposé + hypoténuse → sinus ; opposé + adjacent → tangente.
4Calculer une longueur
Quand on connaît un angle aigu et une longueur, on peut calculer une autre longueur.
Méthode. 1) Repérer les côtés (connu et cherché) par rapport à l'angle donné. 2) Choisir la formule SOH-CAH-TOA adaptée. 3) Remplacer les valeurs connues. 4) Résoudre pour trouver la longueur inconnue.
Exemple. Triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $\widehat{B}=35°$ et l'hypoténuse $BC=10$ cm. On cherche $AB$ (le côté adjacent à $\widehat{B}$).
Côtés en jeu : adjacent + hypoténuse → on utilise le cosinus.
$\cos(35°)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AB}{10}$
Donc $AB=10\times\cos(35°)\approx 10\times 0{,}819\approx 8{,}2$ cm.
Attention ! Quand l'inconnue est au dénominateur, on doit la « faire remonter ». Si $\sin(40°)=\dfrac{6}{BC}$, alors $BC=\dfrac{6}{\sin(40°)}\approx 9{,}3$. On divise par le cosinus/sinus au lieu de multiplier.
5Calculer un angle avec la calculatrice
Quand on connaît deux longueurs, on peut calculer la mesure d'un angle aigu.
Touches inverses. Pour retrouver l'angle, on utilise les touches $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ et $\tan^{-1}$ de la calculatrice (parfois notées $\arccos$, $\arcsin$, $\arctan$). La calculatrice doit être en mode degré (DEG).
Exemple. Dans un triangle rectangle, on connaît l'opposé ($=4$) et l'hypoténuse ($=8$) d'un angle $\widehat{B}$. On utilise le sinus : $\sin(\widehat{B})=\dfrac{4}{8}=0{,}5$.
Puis : $\widehat{B}=\sin^{-1}(0{,}5)=30°$.
Exemple. Si $\tan(\widehat{A})=\dfrac{5}{3}\approx 1{,}667$, alors $\widehat{A}=\tan^{-1}(1{,}667)\approx 59°$.
6Quelques propriétés utiles
Encadrement. Pour tout angle aigu $\widehat{B}$ (entre $0°$ et $90°$) : $0<\cos(\widehat{B})<1$ et $0<\sin(\widehat{B})<1$. La tangente, elle, peut dépasser $1$.
Relation remarquable. Pour tout angle aigu : $\cos^2(\widehat{B})+\sin^2(\widehat{B})=1$ et $\tan(\widehat{B})=\dfrac{\sin(\widehat{B})}{\cos(\widehat{B})}$.
Exemple. Si $\cos(\widehat{B})=0{,}6$, alors $\sin^2(\widehat{B})=1-0{,}6^2=1-0{,}36=0{,}64$, donc $\sin(\widehat{B})=\sqrt{0{,}64}=0{,}8$.
| Angle | $\cos$ | $\sin$ | $\tan$ |
|---|
| $30°$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$ | $0{,}5$ | $\approx 0{,}58$ |
| $45°$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71$ | $1$ |
| $60°$ | $0{,}5$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$ | $\approx 1{,}73$ |
7Méthode : résoudre un problème de trigonométrie
Démarche en 4 étapes. Devant un problème, on suit toujours le même chemin.
Astuce d'arrondi. Pour une longueur, on arrondit souvent au dixième (un chiffre après la virgule). Pour un angle, on arrondit au degré. Pense à toujours indiquer l'unité (cm, m, ou degré).
Attention au mode de la calculatrice ! Vérifie qu'elle est en mode degré (DEG). En mode « radian », tous tes résultats seront faux.
★À retenir
En bref :
• Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : adjacent (touche l'angle), opposé (en face), hypoténuse (face à l'angle droit, le plus long).
• SOH-CAH-TOA : $\sin=\dfrac{\text{Opp}}{\text{Hyp}}$, $\cos=\dfrac{\text{Adj}}{\text{Hyp}}$, $\tan=\dfrac{\text{Opp}}{\text{Adj}}$.
• Pour une longueur : on connaît un angle + un côté, on isole l'inconnue.
• Pour un angle : on connaît deux côtés, on utilise $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ (mode degré).
• Toujours : $0<\cos<1$ et $0<\sin<1$ pour un angle aigu.