Ce cours de mathématiques en troisième sur « La trigonométrie dans le triangle rectangle » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le triangle rectangle : hypoténuse, côté opposé, côté adjacent, Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu, La calculatrice : mode degré, cos / sin / tan, Choisir la bonne formule (la méthode infaillible). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Hypoténuse, côté opposé, côté adjacent
2 · Cosinus, sinus, tangente (SOH-CAH-TOA)
3 · La calculatrice : mode degrés
4 · Choisir la bonne formule
5 · Calculer une longueur
6 · Calculer un angle (cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹)
7 · Relations et valeurs remarquables
8 · Problèmes : hauteur, distance, pente
1Le triangle rectangle : hypoténuse, côté opposé, côté adjacent
Toute la trigonométrie de 3e se passe dans un triangle rectangle, c'est-à-dire un triangle qui possède un angle droit (90°). On va travailler avec un angle aigu du triangle (un angle plus petit que 90°), et lui donner un nom, par exemple l'angle noté x ou l'angle B̂.
Par rapport à cet angle choisi, les trois côtés portent des noms précis :
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours le plus long côté. Elle ne change jamais, quel que soit l'angle aigu choisi. Le côté opposé à l'angle est celui qui est en face de l'angle (il ne le touche pas). Le côté adjacent à l'angle est celui qui touche l'angle (sans être l'hypoténuse).
⚠️ « Opposé » et « adjacent » dépendent de l'angle choisi ! Si tu changes d'angle aigu, l'opposé et l'adjacent s'échangent. Seule l'hypoténuse reste la même (elle dépend de l'angle droit, pas de l'angle aigu).
💡 Pour repérer l'hypoténuse : pars de l'angle droit (le petit carré) et regarde le côté qui ne le touche pas. C'est le côté « en face » du carré.
2Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, on définit trois nombres qui sont des quotients de longueurs. Ces trois nombres ne dépendent que de la mesure de l'angle (pas de la taille du triangle).
cos(x) = côté adjacenthypoténuse sin(x) = côté opposéhypoténuse tan(x) = côté opposécôté adjacent
Le moyen mnémotechnique : SOH · CAH · TOA
Pour ne jamais se tromper de formule, on retient ces trois « mots » :
Mot
Se lit
Formule
S O H
Sinus = Opposé / Hypoténuse
sin = opphyp
C A H
Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
cos = adjhyp
T O A
Tangente = Opposé / Adjacent
tan = oppadj
💡 On le mémorise comme une formule magique : « SOH-CAH-TOA » (prononcer « so-ka-toa »). Le cosinus et le sinus utilisent l'hypoténuse ; la tangente, elle, ne l'utilise jamais.
Exemple. Dans le triangle ci-dessous, l'angle x a un côté opposé de 3 cm, un côté adjacent de 4 cm et une hypoténuse de 5 cm. Alors :
sin(x) = 35 = 0,6 · cos(x) = 45 = 0,8 · tan(x) = 34 = 0,75.
⚠️ Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1 (on divise par l'hypoténuse, qui est le plus grand côté). Si tu trouves un cosinus égal à 1,2, c'est qu'il y a une erreur !
3La calculatrice : mode degré, cos / sin / tan
La calculatrice possède trois touches : cos, sin et tan. Elles donnent, à partir d'un angle en degrés, la valeur du quotient correspondant.
⚠️ Tout premier réflexe : vérifie que la calculatrice est en mode degrés (affichage DEG ou D, pas RAD ni GRAD). Sinon tous tes résultats seront faux.
cos(60) donne 0,5
sin(30) donne 0,5
tan(45) donne 1
💡 On arrondit en général les longueurs au dixième (ou au centième) et les angles au degré, sauf indication contraire. Garde toutes les décimales dans la calculatrice et n'arrondis qu'à la fin.
4Choisir la bonne formule (la méthode infaillible)
Dans un exercice, on connaît certaines longueurs (ou un angle) et on en cherche une autre. La difficulté est de choisir entre cos, sin et tan. Voici la méthode pas à pas.
Étape 1. Place-toi sur l'angle dont on parle. Repère l'hypoténuse (face à l'angle droit). Étape 2. Pour cet angle, nomme les côtés : opposé (en face) et adjacent (qui le touche). Étape 3. Entoure les deux côtés concernés (celui qu'on connaît et celui qu'on cherche). Étape 4. Regarde quels noms tu as entourés et choisis le mot SOH-CAH-TOA correspondant.
Les deux côtés en jeu
Formule à utiliser
opposé & hypoténuse
sinus (SOH)
adjacent & hypoténuse
cosinus (CAH)
opposé & adjacent
tangente (TOA)
💡 Astuce : si l'hypoténuse est concernée (connue ou cherchée), c'est forcément cosinus ou sinus. Si l'hypoténuse n'apparaît pas du tout, c'est la tangente.
5Calculer une longueur
On connaît un angle et une longueur, on cherche une autre longueur. On choisit la bonne formule, on remplace, puis on isole l'inconnue.
Exemple modèle — cherche le côté opposé
Dans un triangle ABC rectangle en A, l'angle B̂ = 35° et l'hypoténuse BC = 8 cm. On cherche AC, le côté opposé à l'angle B.
1) Côtés en jeu : opposé (AC, cherché) et hypoténuse (BC = 8) → on utilise le sinus (SOH). 2) On écrit : sin(35°) = ACBC = AC8. 3) On isole AC : AC = 8 × sin(35°). 4) Calculatrice : AC = 8 × 0,573… ≈ 4,6 cm.
Exemple modèle — l'inconnue est au dénominateur
Triangle rectangle en A, angle B̂ = 50°, côté adjacent AB = 6 cm. On cherche l'hypoténuse BC.
1) Côtés en jeu : adjacent (AB = 6) et hypoténuse (BC, cherchée) → cosinus (CAH). 2) cos(50°) = ABBC = 6BC. 3) L'inconnue est en bas : on échange BC et cos(50°) → BC = 6cos(50°). 4) BC = 6 ÷ 0,642… ≈ 9,3 cm.
💡 Règle « produit en croix » : quand l'inconnue est au numérateur on multiplie (longueur = hyp × sin, etc.) ; quand elle est au dénominateur on divise (longueur = côté ÷ cos, etc.).
6Calculer un angle (les touches cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹)
Cette fois on connaît deux longueurs et on cherche la mesure de l'angle. On calcule d'abord le quotient (cos, sin ou tan), puis on utilise la fonction inverse de la calculatrice.
Les touches inverses (souvent au-dessus, avec 2nde ou SHIFT) : cos⁻¹ (ou acos) : à partir d'un cosinus, redonne l'angle. sin⁻¹ (ou asin) : à partir d'un sinus, redonne l'angle. tan⁻¹ (ou atan) : à partir d'une tangente, redonne l'angle.
Exemple modèle
Triangle rectangle en A, avec opposé AC = 3 cm et adjacent AB = 4 cm, par rapport à l'angle B̂. On cherche la mesure de B̂.
1) Côtés en jeu : opposé (3) et adjacent (4) → tangente (TOA). 2) tan(B̂) = ACAB = 34 = 0,75. 3) On « remonte » à l'angle : B̂ = tan⁻¹(0,75). 4) Calculatrice : B̂ ≈ 37° (arrondi au degré).
⚠️ Ne confonds pas tan et tan⁻¹ ! tan part d'un angle et donne un nombre ; tan⁻¹ part d'un nombre et donne un angle. Pour chercher un angle, c'est toujours la touche inverse.
7Relations utiles & valeurs à connaître
Quelques propriétés vraies pour tout angle aigu x, qui aident à vérifier ses calculs :
tan(x) = sin(x)cos(x) (la tangente est le quotient du sinus par le cosinus).
(cos x)² + (sin x)² = 1 (relation de Pythagore trigonométrique, vue selon les classes).
Plus l'angle grandit (de 0° vers 90°), plus le sinus grandit et plus le cosinus diminue.
Trois angles « remarquables »
Angle
cos
sin
tan
30°
≈ 0,87
0,5
≈ 0,58
45°
≈ 0,71
≈ 0,71
1
60°
0,5
≈ 0,87
≈ 1,73
💡 À 45°, le triangle est isocèle : opposé = adjacent, donc tan(45°) = 1, et cos(45°) = sin(45°). Pratique pour repérer une erreur d'un coup d'œil.
8Résoudre un problème concret (hauteur, distance, pente)
Dans les problèmes du brevet, le triangle rectangle est caché dans une situation réelle. La méthode est toujours la même.
1) Faire un schéma et repérer (ou tracer) le triangle rectangle. 2) Identifier l'angle droit, l'angle connu et les côtés (hypoténuse, opposé, adjacent). 3) Choisir cos, sin ou tan (méthode SOH-CAH-TOA). 4) Écrire l'égalité, isoler l'inconnue, calculer, puis conclure avec une phrase et l'unité.
Exemple — la hauteur d'un arbre
À 12 m du pied d'un arbre, on vise son sommet : la ligne de visée fait un angle de 34° avec le sol (qui est horizontal). Quelle est la hauteur de l'arbre ? (l'observateur vise depuis le sol)
Le triangle est rectangle au pied de l'arbre. Par rapport à l'angle de 34° : l'adjacent est la distance au sol (12 m), l'opposé est la hauteur h cherchée. Opposé & adjacent → tangente.
tan(34°) = h12 → h = 12 × tan(34°) ≈ 12 × 0,6745 ≈ 8,1 m. Conclusion : l'arbre mesure environ 8,1 mètres de haut.
Exemple — la pente d'une route
Une route monte de 5 m de hauteur sur une distance horizontale de 100 m. Quel angle (en degrés) fait cette route avec l'horizontale ?
Opposé (montée verticale) = 5, adjacent (horizontale) = 100 → tangente.
tan(angle) = 5100 = 0,05 → angle = tan⁻¹(0,05) ≈ 2,9°. Conclusion : la route fait un angle d'environ 3° avec l'horizontale (une pente de 5 %).
🎓 Récap express : repère l'angle, l'hypoténuse (face à l'angle droit), l'opposé et l'adjacent · SOH-CAH-TOA pour choisir · pour une longueur : on multiplie ou on divise selon la position de l'inconnue · pour un angle : touche cos⁻¹ / sin⁻¹ / tan⁻¹ · calculatrice en degrés · phrase de conclusion avec l'unité.