Collège · 3ᵉ · Mathématiques
La trigonométrie dans le triangle rectangle
Cosinus, sinus, tangente : calculer une longueur ou un angle (programme de 3e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « La trigonométrie dans le triangle rectangle » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Hypoténuse, côté adjacent et côté opposé, Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu, SOH-CAH-TOA : choisir la bonne formule, Calculer une longueur. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
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Hypoténuse, côté adjacent et côté opposé
La trigonométrie relie un angle aigu d'un triangle rectangle aux longueurs de ses côtés. Tout commence par le nom des côtés, qui dépend de l'angle que l'on regarde.
Les trois côtés, vus depuis l'angle $\widehat{B}$ (triangle $ABC$ rectangle en $A$) :
• l'hypoténuse $[BC]$ : face à l'angle droit, c'est le côté le plus long ; elle ne dépend pas de l'angle choisi ;
• le côté adjacent à $\widehat{B}$ : $[AB]$, celui qui touche $\widehat{B}$ sans être l'hypoténuse ;
• le côté opposé à $\widehat{B}$ : $[AC]$, celui qui est en face de $\widehat{B}$.
• l'hypoténuse $[BC]$ : face à l'angle droit, c'est le côté le plus long ; elle ne dépend pas de l'angle choisi ;
• le côté adjacent à $\widehat{B}$ : $[AB]$, celui qui touche $\widehat{B}$ sans être l'hypoténuse ;
• le côté opposé à $\widehat{B}$ : $[AC]$, celui qui est en face de $\widehat{B}$.
Attention ! Si l'on regarde l'autre angle aigu $\widehat{C}$, les rôles s'échangent : $[AC]$ devient l'adjacent et $[AB]$ l'opposé. L'hypoténuse, elle, reste $[BC]$. Écris toujours « adjacent à… » ou « opposé à… » en précisant l'angle.
Réflexe. Pose ton doigt sur l'angle : le côté que tu touches (hors hypoténuse) est l'adjacent ; celui que tu ne touches pas est l'opposé.
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Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
Définitions. Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{B}$ : $$\cos \widehat{B} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin \widehat{B} = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \widehat{B} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$$
Ces trois nombres ne dépendent que de l'angle, pas de la taille du triangle : deux triangles rectangles ayant le même angle aigu sont des agrandissements l'un de l'autre, donc leurs rapports de côtés sont égaux.
Exemple. $KLM$ est rectangle en $L$ avec $KL = 2{,}1$ cm, $LM = 2{,}8$ cm et $KM = 3{,}5$ cm. Pour l'angle $\widehat{K}$ : adjacent $= KL$, opposé $= LM$, hypoténuse $= KM$.
$\cos \widehat{K} = \dfrac{2{,}1}{3{,}5} = 0{,}6$, $\sin \widehat{K} = \dfrac{2{,}8}{3{,}5} = 0{,}8$, $\tan \widehat{K} = \dfrac{2{,}8}{2{,}1} = \dfrac{4}{3}$.
$\cos \widehat{K} = \dfrac{2{,}1}{3{,}5} = 0{,}6$, $\sin \widehat{K} = \dfrac{2{,}8}{3{,}5} = 0{,}8$, $\tan \widehat{K} = \dfrac{2{,}8}{2{,}1} = \dfrac{4}{3}$.
Astuce. Comme l'hypoténuse est le plus long côté, $\cos$ et $\sin$ sont toujours inférieurs à 1. Seule la tangente peut dépasser 1 (dès que l'angle dépasse $45°$).
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SOH-CAH-TOA : choisir la bonne formule
| Mot | Formule | À utiliser quand on a… |
|---|---|---|
| SOH | $\sin = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$ | l'opposé et l'hypoténuse |
| CAH | $\cos = \dfrac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$ | l'adjacent et l'hypoténuse |
| TOA | $\tan = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$ | l'opposé et l'adjacent |
Comment choisir. Parmi les trois côtés, deux sont concernés : celui que l'on connaît et celui que l'on cherche (ou les deux connus, si l'on cherche l'angle). La formule à prendre est celle qui contient exactement ces deux côtés.
Exemple. On connaît l'hypoténuse et l'angle, on cherche le côté opposé : opposé + hypoténuse → sinus. On connaît l'adjacent et l'opposé, on cherche l'angle : → tangente.
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Calculer une longueur
Données : un angle aigu et une longueur. On peut alors calculer n'importe quel autre côté.
| 1 | Nommer les côtés par rapport à l'angle connu. |
| 2 | Choisir la formule qui contient le côté connu et le côté cherché. |
| 3 | Écrire l'égalité avec les lettres, puis remplacer. |
| 4 | Isoler l'inconnue (produit en croix) et calculer, calculatrice en degrés. |
Exemple 1 — inconnue au numérateur. $ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{B} = 52°$, $BC = 9{,}4$ cm. On cherche $AB$ (adjacent) : $\cos 52° = \dfrac{AB}{9{,}4}$, donc $AB = 9{,}4 \times \cos 52° \approx 5{,}8$ cm.
Exemple 2 — inconnue au dénominateur. $\widehat{B} = 64°$, opposé $AC = 11{,}2$ cm, on cherche l'hypoténuse : $\sin 64° = \dfrac{11{,}2}{BC}$, donc $BC = \dfrac{11{,}2}{\sin 64°} \approx 12{,}5$ cm.
Attention ! Quand l'inconnue est au dénominateur, on divise par le cosinus ou le sinus : $BC = \dfrac{11{,}2}{\sin 64°}$ et non $11{,}2 \times \sin 64°$. Vérifie la cohérence : l'hypoténuse doit être le plus long côté.
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Calculer un angle avec la calculatrice
Données : deux longueurs. On calcule d'abord le rapport, puis on remonte à l'angle avec les touches inverses.
Touches inverses. Si $\cos \widehat{B} = k$, alors $\widehat{B} = \cos^{-1}(k)$ (touche $cos⁻¹$, $acos$ ou $arccos$). De même avec $\sin^{-1}$ et $\tan^{-1}$. La calculatrice doit être en mode degrés (DEG ou D à l'écran).
Exemple. Opposé $= 5{,}1$ cm, hypoténuse $= 9{,}3$ cm. $\sin \widehat{B} = \dfrac{5{,}1}{9{,}3} \approx 0{,}548$, donc $\widehat{B} = \sin^{-1}\left(\dfrac{5{,}1}{9{,}3}\right) \approx 33°$.
Attention ! Tape la fraction exacte dans la touche inverse ($\sin^{-1}(5{,}1 \div 9{,}3)$) plutôt qu'un arrondi : $\sin^{-1}(0{,}55)$ donne $33{,}4°$ au lieu de $33{,}3°$, et l'écart peut changer l'arrondi final.
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Propriétés et valeurs à connaître
Encadrement. Pour un angle aigu : $0 \lt \cos \widehat{B} \lt 1$ et $0 \lt \sin \widehat{B} \lt 1$ ; $\tan \widehat{B} \gt 0$ sans limite.
Relations. $\cos^2 \widehat{B} + \sin^2 \widehat{B} = 1$ et $\tan \widehat{B} = \dfrac{\sin \widehat{B}}{\cos \widehat{B}}$.
Angles complémentaires. Dans un triangle rectangle, $\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$ et $\cos \widehat{B} = \sin \widehat{C}$ : l'adjacent de l'un est l'opposé de l'autre.
Angles complémentaires. Dans un triangle rectangle, $\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$ et $\cos \widehat{B} = \sin \widehat{C}$ : l'adjacent de l'un est l'opposé de l'autre.
Exemple. Si $\cos \widehat{B} = 0{,}28$, alors $\sin^2 \widehat{B} = 1 - 0{,}28^2 = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216$, donc $\sin \widehat{B} = 0{,}96$ et $\tan \widehat{B} = \dfrac{0{,}96}{0{,}28} \approx 3{,}43$.
Quand l'angle grandit de $0°$ à $90°$, le cosinus diminue de $1$ vers $0$ et le sinus augmente de $0$ vers $1$ ; ils se croisent à $45°$.
| Angle | $\cos$ | $\sin$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| $30°$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58$ |
| $45°$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ | $1$ |
| $60°$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$ | $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ |
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Méthode : résoudre un problème de trigonométrie
Les problèmes du brevet (échelle, rampe, visée, pente) cachent toujours un triangle rectangle. La démarche :
| 1. Schéma | Dessiner le triangle rectangle, coder l'angle droit, placer l'angle et les longueurs connues. |
| 2. Nommer | Hypoténuse, adjacent, opposé par rapport à l'angle utile. |
| 3. Formule | SOH-CAH-TOA selon les deux côtés concernés ; écrire l'égalité avec les lettres. |
| 4. Calcul | Résoudre, arrondir comme demandé, écrire l'unité et une phrase de conclusion. |
Exemple — la pente d'une rue. Une rue monte de $12$ m sur $150$ m mesurés à l'horizontale. Angle avec l'horizontale : opposé $= 12$, adjacent $= 150$, donc $\tan \alpha = \dfrac{12}{150} = 0{,}08$ et $\alpha = \tan^{-1}(0{,}08) \approx 4{,}6°$. Cette pente est de 8 % : le pourcentage exprime la tangente, pas l'angle.
Pièges classiques. Une « hauteur d'œil » à ajouter à la fin ; des longueurs dans deux unités différentes ; un angle mesuré par rapport à la verticale et non à l'horizontale (il faut alors prendre son complémentaire).
En bref
- Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : hypoténuse (face à l'angle droit), adjacent (touche l'angle), opposé (en face).
- SOH-CAH-TOA : $\sin = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$, $\cos = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$, $\tan = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$.
- Longueur : angle + une longueur → formule → produit en croix (diviser si l'inconnue est au dénominateur).
- Angle : deux longueurs → rapport → touche $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$, mode degrés.
- $\cos$ et $\sin$ sont entre 0 et 1 ; $\cos^2 + \sin^2 = 1$ ; $\cos \widehat{B} = \sin \widehat{C}$ si $\widehat{B} + \widehat{C} = 90°$.
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