Fiche de révision : géométrie dans l'espace

Rappels de 4e et de 5e (solides usuels, volumes du prisme droit, du cylindre, de la pyramide et du cône, unités de volume et de contenance) ; la sphère et la boule : centre, rayon, diamètre, grand cercle, aire de la sphère et volume de la boule ; sections planes d’un pavé droit, d’un cylindre et d’une sphère ; section d’une pyramide ou d’un cône parallèlement à la base et réduction (aires × k², volumes × k³) ; se repérer sur la sphère terrestre : parallèles, méridiens, latitude et longitude.

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benprofparticulier.frMathématiques · 3ᵉ

Espace : boule, sections et sphère terrestre

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Espace et géométrie · Représenter l’espace)

La démarche pour un calcul dans l’espace

1. Je reconnais le solide ou la section et je fais un croquis à main levée avec les longueurs connues.

2. Je choisis la formule : $ℬ \times h$ , $ℬ \times h \div 3$ , $\frac{4}{3} π R^{3}$ , $4 π R^{2}$ , $r^{2} + d^{2} = R^{2}$ , $k^{3}$ , ou un arc proportionnel à l’angle.

3. Je calcule avec toutes les longueurs dans la même unité, en valeur exacte (avec $π$ ), puis j’arrondis à la fin, avec l’unité (cm³, L, km…).

Le réflexe — un volume multiplie trois longueurs (r × r × h, R × R × R) et s’écrit en unités cubes ; une aire en multiplie deux.

Cas 1 · Rappels : volumes des solides usuels

Réflexe — solide « droit » : $V = ℬ \times h$ ; solide « pointu » : $V = ℬ \times h \div 3$ ; je vérifie que $h$ est perpendiculaire à la base.

Exemple 1. Volume d’un cône de diamètre $8$ cm et de hauteur $6$ cm, exact puis au dixième.

$r = 8 \div 2 = 4$ cm. $V = \frac{π \times 4^{2} \times 6}{3} = \frac{π \times 16 \times 6}{3} = 32 π$ cm³ $\approx 100, 5$ cm³.

Exemple 2. Convertir $4, 2$ L en cm³ et $0, 36$ m³ en L.

$1$ L $= 1 000$ cm³, donc $4, 2$ L $= 4 200$ cm³. $1$ m³ $= 1 000$ L, donc $0, 36$ m³ $= 360$ L.

Attention — le rayon (pas le diamètre) est au carré ; la génératrice n’est pas la hauteur.

Cas 2 · Aire d’une sphère, volume d’une boule

Réflexe — aire $= 4 π R^{2}$ (cm²) ; volume $= \frac{4}{3} π R^{3}$ (cm³) ; je commence par trouver le rayon.

Exemple 1. Volume d’une boule de diamètre $30$ cm, en litres.

$R = 15$ cm. $V = \frac{4}{3} \times π \times 15^{3} = \frac{4}{3} \times π \times 3 375 = 4 500 π$ cm³ $\approx 14 137, 2$ cm³, soit environ $14, 1$ L.

Exemple 2. Aire d’une sphère de rayon $2, 5$ cm.

$4 \times π \times 2, 5^{2} = 4 \times π \times 6, 25 = 25 π$ cm² $\approx 78, 5$ cm².

Attention — seul $R$ est au cube ; une demi-boule a pour volume $\frac{2}{3} π R^{3}$ .

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Cas 3 · Sections d’un pavé, d’un cylindre, d’une sphère

Réflexe — je regarde la position du plan ; pour la sphère, triangle rectangle $O H M$ : $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ .

Exemple 1. Sphère de rayon $25$ cm coupée par un plan à $7$ cm du centre : nature et rayon de la section.

C’est un cercle. $r^{2} = 25^{2} - 7^{2} = 625 - 49 = 576$ , donc $r = 24$ cm.

Exemple 2. Cube d’arête $4$ cm coupé par un plan parallèle à une face.

La section est un carré de $4$ cm de côté, identique à la face.

Attention — sphère → cercle, boule → disque ; cylindre coupé parallèlement à l’axe → rectangle.

Cas 4 · Section d’une pyramide ou d’un cône et réduction

Réflexe — $k$ = petite hauteur ÷ grande hauteur ; longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ .

Exemple. Une pyramide de hauteur $20$ cm et de volume $625$ cm³ est coupée parallèlement à la base à $16$ cm du sommet : volume de la petite pyramide et du tronc.

$k = \frac{16}{20} = 0, 8$ . Petite pyramide : $625 \times 0, 8^{3} = 625 \times 0, 512 = 320$ cm³. Tronc : $625 - 320 = 305$ cm³.

Sa base a pour aire $\frac{3 \times 625}{20} = 93, 75$ cm² : la section a pour aire $93, 75 \times 0, 8^{2} = 93, 75 \times 0, 64 = 60$ cm².

Attention — une distance donnée depuis la base se retire de la hauteur avant de calculer $k$ .

Cas 5 · Latitude, longitude et distances sur la Terre

Réflexe — latitude depuis l’équateur (N/S), longitude depuis Greenwich (E/O) ; arc = angle ÷ 360 × longueur du cercle.

Exemple 1. Deux points de l’équateur ont pour longitudes $20 °$ O et $25 °$ E. Longueur de l’arc d’équateur qui les sépare ( $R = 6 371$ km).

Ils sont de part et d’autre de Greenwich : écart $20 ° + 25 ° = 45 °$ . Arc $= 2 \times π \times 6 371 \times \frac{45}{360} \approx 5 004$ km.

Exemple 2. Rayon du parallèle $35 °$ N.

$r = 6 371 \times \cos 35 ° \approx 5 219$ km.

Attention — longitudes de part et d’autre de Greenwich : on ajoute les angles ; du même côté : on les soustrait.

Les pièges

Mettre le diamètre au carré (ou au cube) au lieu du rayon.
Oublier le « ÷ 3 » de la pyramide et du cône, ou le $\frac{4}{3}$ de la boule ; confondre $4 π R^{2}$ (aire) et $\frac{4}{3} π R^{3}$ (volume).
Dire « disque » pour la section d’une sphère (c’est un cercle) ou « disque » pour un cylindre coupé parallèlement à son axe (c’est un rectangle).
Multiplier un volume par $k$ au lieu de $k^{3}$ , ou calculer $k$ avec une distance mesurée depuis la base.
Convertir des volumes avec × 10 au lieu de × 1 000, ou écrire une latitude sans N ni S.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour un calcul dans l’espace, puis un exemple corrigé par cas : volume d’un cône de diamètre donné et conversions, boule et sphère, section d’une sphère par Pythagore, petite pyramide et tronc avec k³, arc d’équateur et rayon d’un parallèle. Elle se termine par les pièges classiques (diamètre au carré, cercle ou disque, k au lieu de k³).

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