Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Géométrie dans l'espace
Solides (prisme, cylindre, pyramide, cône, sphère et boule), volumes, sections de solides et effet d'un agrandissement-réduction (programme de 3e)
Nommer les solides, calculer leurs volumes, prévoir une section et l'effet d'un agrandissement-réduction, et convertir les unités.
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Formules de volume
| Solide | Volume |
|---|---|
| Pavé droit | L × l × h |
| Prisme droit, cylindre | $\mathcal{B} \times h$ (cylindre : $\pi r^2 h$) |
| Pyramide, cône | $\dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$ (cône : $\dfrac{\pi r^2 h}{3}$) |
| Boule | $\dfrac{4}{3}\pi R^3$ |
Aire de la sphère : $4\pi R^2$. Aire du disque : $\pi r^2$. La hauteur est toujours perpendiculaire à la base.
2
Sections par un plan
- Pavé, plan parallèle à une face → rectangle identique à la face.
- Cylindre, plan parallèle à la base → disque identique ; plan contenant l'axe → rectangle 2r × h.
- Pyramide ou cône, plan parallèle à la base → réduction de la base, rapport k = petite hauteur / grande hauteur.
- Sphère → cercle ; rayon r tel que r² + d² = R² (d = distance du plan au centre).
3
Agrandissement-réduction
- Longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
- Cône coupé à mi-hauteur : petit cône = 1/8 du volume.
- Tronc = solide entier − petit solide réduit.
4
Unités
- 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ ; 1 cL = 10 cm³ ; 1 m³ = 1 000 L.
- D'une unité de volume à la suivante : × ou ÷ 1 000.
- Masse = volume × masse volumique (g/cm³ ou kg/m³).
- Hauteur de liquide : h = V ÷ $\mathcal{B}$.
5
Se repérer sur la Terre
- Sphère de rayon ≈ 6 371 km ; équateur ≈ 40 000 km.
- Latitude : angle par rapport à l'équateur (N/S), lue sur les parallèles.
- Longitude : angle par rapport au méridien de Greenwich (E/O), lue sur les méridiens.
- Rayon d'un parallèle = R × cos(latitude).
6
Pièges à éviter
- Mettre le diamètre au carré au lieu du rayon.
- Oublier le ÷ 3 de la pyramide et du cône, ou le 4/3 de la boule.
- Prendre l'arête ou la génératrice pour la hauteur.
- Convertir les volumes avec × 10 au lieu de × 1 000.
- Arrondir π trop tôt : garder la valeur exacte jusqu'à la fin.
L'essentiel
- Solides droits : V = B × h ; solides pointus : V = B × h ÷ 3 ; boule : 4/3 π R³.
- Une section parallèle à la base est identique (prisme, cylindre) ou réduite (pyramide, cône).
- Réduction de rapport k : aires × k², volumes × k³.
- 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ ; 1 m³ = 1 000 L.
- Valeur exacte en π d'abord, arrondi ensuite, unité toujours.
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