Collège · 3ᵉ · Mathématiques
La trigonométrie dans le triangle rectangle
Cosinus, sinus, tangente : calculer une longueur ou un angle (programme de 3e)
Dans un triangle rectangle, relier un angle aigu aux longueurs des côtés pour calculer une longueur ou un angle.
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Nommer les côtés (depuis l'angle B)
- Hypoténuse : face à l'angle droit, le plus long côté ; ne dépend pas de l'angle choisi.
- Adjacent à B : touche l'angle B (sans être l'hypoténuse).
- Opposé à B : en face de l'angle B.
- Si l'on change d'angle, adjacent et opposé s'échangent.
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Les trois formules — SOH-CAH-TOA
- sin B = opposé / hypoténuse
- cos B = adjacent / hypoténuse
- tan B = opposé / adjacent
- Choisir la formule qui contient le côté connu et le côté cherché.
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Méthode : calculer une longueur
- Nommer les côtés par rapport à l'angle connu.
- Écrire la formule avec les lettres : cos B $= \dfrac{AB}{BC}$.
- Remplacer, puis produit en croix : inconnue au numérateur → multiplier ; au dénominateur → diviser par cos, sin ou tan.
- Arrondir comme demandé, écrire l'unité.
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Méthode : calculer un angle
- Repérer les deux longueurs connues → choisir sin, cos ou tan.
- Écrire le rapport avec la fraction exacte.
- Touche inverse : cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ (mode degrés).
- Arrondir au degré ou au dixième selon l'énoncé.
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Propriétés et valeurs
- $0 \lt $ cos $\lt 1$ et $0 \lt $ sin $\lt 1$ ; tan peut dépasser 1 (dès 45°).
- cos² B + sin² B = 1 ; tan B = sin B / cos B.
- Angles complémentaires : cos B = sin C quand B + C = 90°.
- cos 60° = sin 30° = 0,5 ; tan 45° = 1 ; cos 45° = sin 45° ≈ 0,71.
- Pente en % = tangente × 100 (8 % ⟺ tan = 0,08 ⟺ 4,6°).
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Pièges à éviter
- Utiliser la trigonométrie dans un triangle non rectangle (isocèle : tracer la hauteur d'abord).
- Un cos ou un sin supérieur à 1 : rapport inversé.
- Calculatrice en radians : sin 30 doit donner 0,5.
- Oublier la hauteur des yeux, ou mélanger m et cm.
- Arrondir le rapport avant la touche inverse.
L'essentiel
- Triangle rectangle obligatoire ; nommer hypoténuse, adjacent, opposé depuis l'angle.
- sin = opp/hyp, cos = adj/hyp, tan = opp/adj.
- Longueur : formule + produit en croix. Angle : rapport + touche inverse.
- cos et sin sont entre 0 et 1 ; cos B = sin C pour deux angles complémentaires.
- Toujours : schéma, formule avec les lettres, unité, phrase de conclusion.
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