Fiche de révision : trigonométrie du triangle rectangle

Rappels de 4e (hypoténuse, côté adjacent et côté opposé, angles aigus de somme 90°, cosinus), sinus et tangente d’un angle aigu, SOH-CAH-TOA pour choisir la formule, calcul d’une longueur (en multipliant ou en divisant), calcul d’un angle avec les touches cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹, pente en pourcentage, angles complémentaires et valeurs remarquables (30°, 45°, 60°) ; en complément, cos² + sin² = 1 et tan = sin ÷ cos.

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benprofparticulier.frMathématiques · 3ᵉ

Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Espace et géométrie · Triangle rectangle)

La démarche pour un calcul de trigonométrie

1. Je vérifie que le triangle est rectangle et je repère l’angle aigu utile.

2. Je nomme l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé par rapport à cet angle.

3. Je choisis SOH, CAH ou TOA selon les deux côtés qui interviennent, et j’écris l’égalité avec les lettres.

4. Je calcule : je multiplie ou je divise pour une longueur, j’utilise la touche inverse pour un angle (mode degrés), puis j’arrondis avec l’unité.

Le réflexe — une formule trigonométrique relie toujours un angle aigu et deux côtés : il faut connaître deux de ces trois éléments pour trouver le troisième.

Cas 1 · Rappels de 4e : côtés du triangle rectangle et cosinus

Réflexe — l’hypoténuse est en face de l’angle droit ; le côté adjacent touche le sommet de l’angle, le côté opposé est en face ; $\cos = \frac{adjacent}{hypoténuse}$ .

Exemple. $S T U$ est rectangle en $T$ , $S T = 4, 8$ cm et $S U = 7, 5$ cm. Calculer $\cos (T S U)$ , puis l’angle au dixième.

Hypoténuse $[S U]$ , côté adjacent à $T S U$ : $[S T]$ .

$\cos (T S U) = \frac{4, 8}{7, 5} = 0, 64$ , donc $T S U = \cos^{- 1} (0, 64) \approx 50, 2 °$ .

Attention — l’hypoténuse touche aussi le sommet de l’angle, mais ce n’est jamais le côté adjacent.

Cas 2 · Sinus, tangente et SOH-CAH-TOA

Réflexe — SOH : $\sin = \frac{opp}{hyp}$ ; CAH : $\cos = \frac{adj}{hyp}$ ; TOA : $\tan = \frac{opp}{adj}$ .

Exemple 1. $N P Q$ est rectangle en $P$ . Écrire $\sin (P Q N)$ et $\tan (P Q N)$ .

Hypoténuse $[N Q]$ ; pour l’angle de sommet $Q$ : adjacent $[P Q]$ , opposé $[N P]$ .

$\sin (P Q N) = \frac{N P}{N Q}$ et $\tan (P Q N) = \frac{N P}{P Q}$ .

Exemple 2. On connaît un angle aigu et le côté adjacent ; on cherche le côté opposé. Quelle formule ?

Opposé et adjacent : TOA, la tangente.

Attention — la tangente n’utilise pas l’hypoténuse ; un sinus ou un cosinus plus grand que $1$ signale des côtés inversés.

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Cas 3 · Calculer une longueur

Réflexe — longueur cherchée en haut : je multiplie ; en bas : je divise par $\cos$ , $\sin$ ou $\tan$ .

Exemple 1. Hypoténuse $9$ cm, angle aigu $26 °$ : côté opposé au centième.

$\sin (26 °) = \frac{opp}{9}$ , donc $opp = 9 \times \sin (26 °) \approx 3, 95$ cm.

Exemple 2. Côté opposé $4$ cm, angle aigu $29 °$ : côté adjacent au centième.

$\tan (29 °) = \frac{4}{adj}$ , donc $adj = \frac{4}{\tan (29 °)} \approx 7, 22$ cm.

Attention — l’hypoténuse trouvée doit être le plus long côté ; on n’arrondit pas $\cos$ , $\sin$ ou $\tan$ avant la fin.

Cas 4 · Calculer un angle

Réflexe — je calcule le quotient des deux côtés connus, puis $\cos^{- 1}$ , $\sin^{- 1}$ ou $\tan^{- 1}$ (mode degrés).

Exemple. Côté opposé $3$ cm, hypoténuse $7$ cm : l’angle au dixième, puis l’autre angle aigu.

SOH : $\sin (angle) = \frac{3}{7}$ , donc angle $= \sin^{- 1} (\frac{3}{7}) \approx 25, 4 °$ .

L’autre angle aigu : $90 ° - 25, 4 ° = 64, 6 °$ .

Attention — on tape le quotient exact dans la touche inverse ; une pente de $p$ % donne $\tan = p \div 100$ .

Cas 5 · Angles complémentaires, valeurs remarquables et relations

Réflexe — $\cos (x) = \sin (90 ° - x)$ ; en complément, $\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) = 1$ et $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Exemple. Un angle aigu $x$ a pour sinus $\frac{12}{37}$ . Calculer $\cos (x)$ et $\tan (x)$ .

$\cos^{2} (x) = 1 - \frac{144}{1 369} = \frac{1 225}{1 369}$ , donc $\cos (x) = \frac{35}{37}$ .

$\tan (x) = \frac{12}{37} \times \frac{37}{35} = \frac{12}{35}$ .

Attention — $\cos (60 °) = \sin (30 °) = 0, 5$ et $\tan (45 °) = 1$ ; les quotients ne sont pas proportionnels aux angles.

Les pièges

Appliquer la trigonométrie dans un triangle qui n’est pas rectangle : dans un triangle isocèle, on trace d’abord la hauteur.
Prendre l’hypoténuse pour le côté adjacent parce qu’elle touche le sommet de l’angle.
Multiplier au lieu de diviser quand la longueur cherchée est en bas du quotient.
Calculer en mode radians : $\cos (60)$ doit afficher $0, 5$ .
Arrondir le quotient avant la touche inverse, ou oublier la hauteur des yeux et les unités dans un problème.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode de trigonométrie résume la démarche en quatre étapes : vérifier que le triangle est rectangle, nommer hypoténuse, côté adjacent et côté opposé, choisir SOH, CAH ou TOA, puis calculer. Des exemples corrigés pour chaque cas et les pièges classiques : mode radians, hypoténuse prise pour le côté adjacent, arrondi trop tôt.

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