À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Géométrie dans l'espace » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître les solides usuels, Volume du prisme droit et du cylindre, Volume de la pyramide et du cône, Sphère et boule. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Reconnaître les solides usuels
2 · Volume du prisme droit et du cylindre
3 · Volume de la pyramide et du cône
4 · Sphère et boule
5 · Sections de solides par un plan
6 · Agrandissement et réduction : effet sur aires et volumes
7 · Méthode : choisir la bonne formule et convertir
1Reconnaître les solides usuels
Un solide est un objet de l'espace qui occupe un volume. En 3e, on travaille avec quelques solides de référence qu'il faut savoir nommer et décrire.
Vocabulaire. Un solide est délimité par des faces (surfaces), qui se rencontrent le long d'arêtes (segments), qui se croisent en des sommets (points). La hauteur $h$ est la distance entre la base et le sommet (ou la face opposée).
| Solide | Description |
|---|
| Pavé droit | $6$ faces rectangulaires ; $L$, $\ell$, $h$ |
| Prisme droit | $2$ bases polygonales identiques reliées par des rectangles |
| Cylindre | $2$ disques de rayon $r$ reliés par une surface courbe |
| Pyramide | une base polygonale et un sommet, faces triangulaires |
| Cône de révolution | un disque de base de rayon $r$ et un sommet |
| Sphère / boule | tous les points à la distance $R$ du centre |
On peut classer ces solides selon la forme de leur base :
Astuce. Un solide « pointu » (pyramide, cône) a un volume trois fois plus petit que le solide « droit » de même base et même hauteur. On le verra à la section 3.
2Volume du prisme droit et du cylindre
Pour un solide « droit » (qui garde la même section du bas vers le haut), le volume se calcule toujours de la même manière.
Règle. Le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre est : $$V = \mathcal{B} \times h$$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.
Exemple — cylindre. Un cylindre a un rayon $r = 5$ cm et une hauteur $h = 12$ cm. L'aire de la base est $\mathcal{B} = \pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi$ cm². Donc $V = 25\pi \times 12 = 300\pi \approx 942{,}5$ cm³.
Exemple — prisme. Un prisme droit a pour base un triangle d'aire $\mathcal{B} = 8$ cm² et une hauteur $h = 15$ cm. Alors $V = 8 \times 15 = 120$ cm³.
Attention ! La hauteur du cylindre n'est pas le rayon : ne confonds pas $r$ (qui sert pour la base) et $h$ (la longueur du cylindre). Et l'aire d'un disque est $\pi r^2$, pas $2\pi r$ (ça, c'est le périmètre).
Astuce — valeur exacte ou approchée. On peut laisser le résultat « en $\pi$ » ($300\pi$ cm³, valeur exacte) ou donner une valeur approchée avec $\pi \approx 3{,}14$. Au brevet, lis bien la consigne.
3Volume de la pyramide et du cône
Les solides « pointus » se construisent sur une base, mais leur volume est divisé par 3.
Règle. Le volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution est : $$V = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur (perpendiculaire à la base, jusqu'au sommet).
Exemple — cône. Un cône a un rayon de base $r = 3$ cm et une hauteur $h = 7$ cm. Aire de base $\mathcal{B} = \pi \times 3^2 = 9\pi$ cm². Donc $V = \dfrac{9\pi \times 7}{3} = \dfrac{63\pi}{3} = 21\pi \approx 65{,}97$ cm³.
Exemple — pyramide. Une pyramide a une base carrée de côté $4$ cm, donc $\mathcal{B} = 4^2 = 16$ cm², et une hauteur $h = 9$ cm. Alors $V = \dfrac{16 \times 9}{3} = \dfrac{144}{3} = 48$ cm³.
Le graphique compare, pour une même base et une même hauteur, le volume d'un cylindre et celui du cône correspondant : le cône fait exactement un tiers.
Attention ! N'oublie jamais le $\div 3$ pour une pyramide ou un cône. La hauteur $h$ est la hauteur du sommet à la base, pas la longueur d'une arête latérale (l'apothème).
4Sphère et boule
Il faut bien distinguer la sphère (la surface, comme un ballon vide) de la boule (le solide plein, comme une bille).
Règle. Pour un rayon $R$ :
• aire de la sphère : $\mathcal{A} = 4\pi R^2$
• volume de la boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
Exemple — boule. Une boule a un rayon $R = 6$ cm. Son volume est $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \approx 904{,}8$ cm³.
Exemple — sphère. Une sphère de rayon $R = 10$ cm a pour aire $\mathcal{A} = 4\pi \times 10^2 = 400\pi \approx 1\,256{,}6$ cm².
Attention ! La sphère a une aire (en cm²), la boule a un volume (en cm³). On ne parle jamais du « volume d'une sphère » ni de l'« aire d'une boule ». Et attention au cube : $R^3$ signifie $R \times R \times R$.
Astuce. Avec le rayon $R$, on a aussi le diamètre $d = 2R$. Si l'énoncé donne le diamètre, divise d'abord par $2$ pour obtenir $R$ avant d'appliquer les formules.
5Sections de solides par un plan
Couper un solide par un plan revient à le « trancher » : on obtient une figure plane appelée section.
| Solide coupé par… | Section obtenue |
|---|
| Cylindre, plan parallèle à la base | un disque identique à la base |
| Cylindre, plan contenant l'axe | un rectangle |
| Cône, plan parallèle à la base | un disque plus petit (réduction) |
| Pyramide, plan parallèle à la base | une figure de même forme que la base, réduite |
| Sphère, par un plan | un cercle |
| Pavé droit, plan parallèle à une face | un rectangle identique à cette face |
Exemple — cône. On coupe un cône de rayon $r = 6$ cm (hauteur $h = 12$ cm) par un plan parallèle à la base, à mi-hauteur. La section est un disque réduit : à mi-hauteur, le rayon est divisé par $2$, donc le disque a un rayon de $3$ cm.
Astuce. Quand un plan est parallèle à la base d'un cône ou d'une pyramide, la section est une réduction de la base : c'est le lien direct avec la section suivante sur l'agrandissement-réduction.
6Agrandissement et réduction : effet sur aires et volumes
Quand on agrandit (ou réduit) un solide en multipliant toutes ses longueurs par un même nombre $k$, les aires et les volumes ne suivent pas le même coefficient.
Règle. Dans un agrandissement (ou réduction) de coefficient $k$ :
• les longueurs sont multipliées par $k$ ;
• les aires sont multipliées par $k^2$ ;
• les volumes sont multipliés par $k^3$.
($k > 1$ : agrandissement ; $0 < k < 1$ : réduction.)
Exemple. On agrandit un solide avec $k = 3$. Une longueur de $5$ cm devient $5 \times 3 = 15$ cm. Une aire de $4$ cm² devient $4 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ cm². Un volume de $2$ cm³ devient $2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$ cm³.
Le tableau montre comment un même coefficient $k$ agit différemment sur les longueurs, les aires et les volumes :
Attention ! On ne multiplie pas le volume par $k$ ! Doubler les dimensions ($k = 2$) ne double pas le volume, il le multiplie par $2^3 = 8$. C'est l'erreur la plus piégeuse du chapitre.
Astuce — retrouver $k$. Si on connaît le rapport des volumes, on prend la racine cubique : volumes dans le rapport $8$ → $k = \sqrt[3]{8} = 2$. Pour les aires : racine carrée.
7Méthode : choisir la bonne formule et convertir
Devant un problème, deux réflexes : identifier le solide pour choisir la formule, et soigner les unités.
| Solide | Volume |
|---|
| Pavé / prisme / cylindre | $V = \mathcal{B} \times h$ |
| Pyramide / cône | $V = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$ |
| Boule | $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ |
Conversions utiles. $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³. Pour les volumes, chaque changement d'unité se fait par paquets de mille : $1$ m³ $= 1\,000$ dm³ $= 1\,000\,000$ cm³.
Exemple de raisonnement. Un réservoir cylindrique a un rayon $r = 50$ cm et une hauteur $h = 80$ cm. $V = \pi \times 50^2 \times 80 = \pi \times 2\,500 \times 80 = 200\,000\pi \approx 628\,319$ cm³, soit environ $628$ L (car $1$ L $= 1\,000$ cm³).
Attention ! Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant de calculer. Ne mélange pas des cm et des m dans une même formule.
Astuce — relire son résultat. Vérifie que l'unité finale est bien un volume (cm³, dm³, m³ ou L) et que l'ordre de grandeur est plausible.
★À retenir
En bref :
• Prisme droit et cylindre : $V = \mathcal{B} \times h$.
• Pyramide et cône : $V = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$ (ne pas oublier le $\div 3$).
• Sphère (surface) : aire $\mathcal{A} = 4\pi R^2$ ; boule (solide plein) : volume $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
• Sections : cylindre/cône ∥ base → disque ; sphère → cercle ; cylindre coupé par son axe → rectangle.
• Agrandissement-réduction de coefficient $k$ : longueurs $\times k$, aires $\times k^2$, volumes $\times k^3$.
• Unités : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³.