Espace : boule, sections et sphère terrestre

Rappels de 4e et de 5e (solides usuels, volumes du prisme droit, du cylindre, de la pyramide et du cône, unités de volume et de contenance) ; la sphère et la boule : centre, rayon, diamètre, grand cercle, aire de la sphère et volume de la boule ; sections planes d’un pavé droit, d’un cylindre et d’une sphère ; section d’une pyramide ou d’un cône parallèlement à la base et réduction (aires × k², volumes × k³) ; se repérer sur la sphère terrestre : parallèles, méridiens, latitude et longitude.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 3e reprend d’abord les solides et les volumes vus en 5e et en 4e (prisme droit, cylindre, pyramide, cône, unités de contenance), puis traite la sphère et la boule (grand cercle, aire 4πR², volume 4/3πR³, le résultat d’Archimède), les sections planes d’un pavé droit, d’un cylindre et d’une sphère, la section d’une pyramide ou d’un cône et la réduction de rapport k, et le repérage sur la Terre par la latitude et la longitude.

Rappels de 4e et de 5e : solides usuels et volumes

En 5e et en 4e, on a décrit les solides usuels et calculé leurs volumes. On reprend tout ici : les mêmes formules servent ensuite pour la boule, les sections et les réductions.

Ce qu’il faut savoirUn solide est limité par des faces (planes ou courbes) ; deux faces se coupent selon une arête, et les arêtes se rejoignent en des sommets. Dans les formules,

ℬ

est l’aire de la base et

h

la hauteur : la distance entre les deux bases (prisme, cylindre) ou entre le sommet et le plan de la base (pyramide, cône), toujours mesurée perpendiculairement à la base.

Solide	Volume
pavé droit : 6 faces rectangulaires, 12 arêtes, 8 sommets	$L \times ℓ \times h$ (cube : $a^{3}$ )
prisme droit : deux bases polygonales superposables et parallèles, faces latérales rectangulaires	$ℬ \times h$
cylindre de révolution : deux disques de rayon $r$ et une surface latérale courbe	$π \times r^{2} \times h$
pyramide : une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent au sommet	$ℬ \times h \div 3$
cône de révolution : un disque de base de rayon $r$ et un sommet	$π \times r^{2} \times h \div 3$

Deux familles : le prisme droit et le cylindre gardent la même section du bas jusqu’en haut, d’où

V = ℬ \times h

; la pyramide et le cône se resserrent jusqu’au sommet : leur volume est le tiers de celui du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur.
On donne d’abord la valeur exacte (avec

π

), puis une valeur approchée avec « ≈ », arrondie seulement à la fin.

Exemples

Prisme droit de hauteur $7$ cm dont la base est un triangle rectangle de côtés de l’angle droit $5$ cm et $12$ cm : $ℬ = 5 \times 12 \div 2 = 30$ cm², puis $V = 30 \times 7 = 210$ cm³.

Cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm : $V = π \times 3^{2} \times 10 = 90 π$ cm³ (valeur exacte) ; la calculatrice affiche $282, 743 \dots$ , donc $V \approx 282, 7$ cm³.

Pyramide à base carrée de côté $6$ cm et de hauteur $5$ cm : $V = \frac{36 \times 5}{3} = 60$ cm³.

Exemples

Le cône ci-dessus a un rayon de $9$ cm et une génératrice de $15$ cm. La hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle : $h^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 225 - 81 = 144$ , donc $h = 12$ cm. Puis $V = \frac{π \times 81 \times 12}{3} = 324 π$ cm³ $\approx 1 017, 9$ cm³.

Unités de volume et de contenance

D’une unité de volume à la suivante, on multiplie ou on divise par $1 000$ : $1$ m³ $= 1 000$ dm³ $= 10^{6}$ cm³. Pour les contenances : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1 000$ cm³, $1$ mL $= 1$ cm³, $1$ cL $= 10$ cm³ et $1$ m³ $= 1 000$ L. Une masse se déduit d’un volume avec la masse volumique (masse d’une unité de volume).

Exemples

$2, 5$ m³ $= 2 500$ dm³ $= 2 500$ L ; $750$ cm³ $= 0, 75$ dm³ $= 0, 75$ L $= 75$ cL.

Un réservoir en forme de pavé droit, dont le fond mesure $40$ cm sur $25$ cm, contient $18$ L d’eau : $18$ L $= 18 000$ cm³, et la hauteur d’eau vaut $18 000 \div (40 \times 25) = 18$ cm.

Un sable a une masse volumique de $1 600$ kg par m³ : $0, 25$ m³ de ce sable pèse $0, 25 \times 1 600 = 400$ kg.

Réflexe — je reconnais la famille du solide (« droit » ou « pointu »), je calcule l’aire de la base, je vérifie que la hauteur est perpendiculaire à la base et je mets toutes les longueurs dans la même unité.

Attention — c’est le rayon, pas le diamètre, qui est au carré ; la génératrice d’un cône et l’arête latérale d’une pyramide ne sont pas la hauteur ; d’une unité de volume à la suivante, on multiplie par $1 000$ , pas par $10$ .

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La sphère et la boule : aire et volume

Ce qu’il faut savoirLa sphère de centre

O

et de rayon

R

est formée de tous les points de l’espace situés à la distance

R

du point

O

: c’est une surface, comme l’enveloppe d’un ballon.
La boule de centre

O

et de rayon

R

est formée de tous les points situés à une distance de

O

inférieure ou égale à

R

: c’est un solide plein, comme une bille. La sphère est le bord de la boule.
Un diamètre est un segment qui joint deux points de la sphère en passant par

O

; sa longueur est

2 R

. Un grand cercle est un cercle de centre

O

et de rayon

R

tracé sur la sphère.
On calcule l’aire d’une sphère et le volume d’une boule :
• aire de la sphère

= 4 \times π \times R^{2}

;
• volume de la boule

= \frac{4}{3} \times π \times R^{3}

Exemples

Boule de rayon $6$ cm : $V = \frac{4}{3} \times π \times 6^{3} = \frac{4}{3} \times π \times 216 = 288 π$ cm³ $\approx 904, 8$ cm³. Sa sphère a pour aire $4 \times π \times 6^{2} = 144 π$ cm² $\approx 452, 4$ cm².

Ballon de diamètre $24$ cm : $R = 24 \div 2 = 12$ cm et $V = \frac{4}{3} \times π \times 1 728 = 2 304 π$ cm³ $\approx 7 238, 2$ cm³, soit environ $7, 2$ L.

Bol en forme de demi-boule de rayon $9$ cm : la moitié de la boule, $\frac{2}{3} \times π \times 9^{3} = \frac{2}{3} \times π \times 729 = 486 π$ cm³ $\approx 1 526, 8$ cm³.

Archimède : la boule et son cylindre

Une boule de rayon $R$ tient exactement dans un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $2 R$ . Le cylindre a pour volume $π \times R^{2} \times 2 R = 2 π R^{3}$ , et $\frac{2}{3} \times 2 π R^{3} = \frac{4}{3} π R^{3}$ : la boule occupe les deux tiers du cylindre. C’est Archimède, au IIIe siècle avant J.-C., qui a établi ce résultat dans son traité De la sphère et du cylindre ; il y montre aussi que l’aire de la sphère est égale à l’aire latérale de ce cylindre : $2 \times π \times R \times 2 R = 4 π R^{2}$ .

Réflexe — je cherche d’abord le rayon (la moitié du diamètre) ; pour une aire (cm²), $R^{2}$ et le facteur $4$ ; pour un volume (cm³), $R^{3}$ et le facteur $\frac{4}{3}$ ; valeur exacte avec $π$ , puis arrondi.

Attention — la sphère est une surface (on calcule son aire), la boule un solide (on calcule son volume). Dans $\frac{4}{3} π R^{3}$ , seul $R$ est au cube, et $R^{3} = R \times R \times R$ , pas $3 \times R$ .

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Sections planes d’un pavé, d’un cylindre et d’une sphère

Ce qu’il faut savoirCouper un solide par un plan donne une figure plane : la section du solide par ce plan.
• Pavé droit coupé par un plan parallèle à une face : un rectangle de mêmes dimensions que cette face (un carré pour un cube). Coupé par un plan parallèle à une arête : un rectangle dont un côté a la longueur de cette arête.
• Cylindre coupé par un plan perpendiculaire à son axe : un disque de même rayon que la base. Coupé par un plan parallèle à son axe : un rectangle dont un côté est la hauteur du cylindre (il mesure

2 r

sur

h

si le plan contient l’axe).
• Sphère coupée par un plan : un cercle (pour une boule : un disque). Si

H

est le pied de la perpendiculaire au plan menée de

O

, et

M

un point de la section, le triangle

O H M

est rectangle en

H

: avec

d = O H

, le rayon

r

de la section vérifie

r^{2} + d^{2} = R^{2}

. Le cercle est un grand cercle si le plan passe par

O

(

d = 0

) ; il se réduit à un point si

d = R

; il n’y a aucun point commun si

d > R

.
• Pyramide ou cône coupé par un plan parallèle à la base : une réduction de la base (partie suivante).

Exemples

Pavé droit $A B C D E F G H$ avec $A B = 8$ cm, $B C = 6$ cm et $A E = 5$ cm. Un plan parallèle à la face $A B F E$ le coupe selon un rectangle de $8$ cm sur $5$ cm.

Le plan qui contient les arêtes parallèles $[A E]$ et $[C G]$ le coupe selon le rectangle $A C G E$ . Dans le triangle $A B C$ rectangle en $B$ : $A C^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100$ , donc $A C = 10$ cm : la section est un rectangle de $10$ cm sur $5$ cm.

Exemples

Cylindre de rayon $5$ cm et de hauteur $12$ cm. Un plan perpendiculaire à l’axe donne un disque de rayon $5$ cm, d’aire $25 π$ cm².

Un plan parallèle à l’axe, à $3$ cm de lui, coupe le disque de base selon une corde. Sa moitié vérifie $ℓ^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$ , donc $ℓ = 4$ cm : la corde mesure $8$ cm et la section est un rectangle de $8$ cm sur $12$ cm.

Exemples

Sphère de centre $O$ et de rayon $17$ cm, coupée par un plan situé à $8$ cm de $O$ : $r^{2} = 17^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225$ , donc la section est un cercle de rayon $r = 15$ cm.

Boule de rayon $10$ cm coupée à $6$ cm de son centre : $r^{2} = 100 - 36 = 64$ , la section est un disque de rayon $8$ cm, d’aire $64 π$ cm² $\approx 201, 1$ cm².

Réflexe — je regarde la position du plan (parallèle à une face, à l’axe, à la base, à quelle distance du centre) avant de nommer la section ; pour une longueur, je cherche un triangle rectangle et j’utilise le théorème de Pythagore.

Attention — la section d’une sphère est un cercle, celle d’une boule un disque ; un plan parallèle à l’axe d’un cylindre donne un rectangle, pas un disque ; un plan qui ne passe pas par le centre ne donne jamais un grand cercle.

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Pyramide et cône coupés parallèlement à la base : la réduction

Ce qu’il faut savoirOn coupe une pyramide (ou un cône) de sommet

S

et de hauteur

[S O]

par un plan parallèle à la base, qui coupe

[S O]

O'

.
• La section est une réduction de la base de rapport

k = \frac{S O'}{S O}

(petite hauteur ÷ grande hauteur, avec

0 < k < 1

) : même forme, longueurs multipliées par

k

. Pour un cône, c’est un disque de rayon

r \times k

.
• La petite pyramide (ou le petit cône) au-dessus du plan est une réduction du solide entier, de même rapport

k

: longueurs

\times k

, aires

\times k^{2}

, volumes

\times k^{3}

.
• Le solide qui reste sous le plan est un tronc de pyramide (ou de cône) : son volume est la différence

V - V \times k^{3}

Exemples

Pyramide à base carrée de côté $10$ cm et de hauteur $S O = 15$ cm, coupée parallèlement à la base à $6$ cm du sommet : $k = \frac{6}{15} = 0, 4$ . La section est un carré de côté $10 \times 0, 4 = 4$ cm, d’aire $16$ cm², soit bien $100 \times 0, 4^{2}$ .

Volume de la grande pyramide : $\frac{100 \times 15}{3} = 500$ cm³. Petite pyramide : $500 \times 0, 4^{3} = 500 \times 0, 064 = 32$ cm³ (vérification : $\frac{16 \times 6}{3} = 32$ ). Tronc de pyramide : $500 - 32 = 468$ cm³.

Cône de rayon $7, 5$ cm et de hauteur $10$ cm, coupé parallèlement à la base à $4$ cm de la base : le petit cône a pour hauteur $10 - 4 = 6$ cm, donc $k = \frac{6}{10} = 0, 6$ et la section est un disque de rayon $7, 5 \times 0, 6 = 4, 5$ cm.

Volume du cône : $\frac{π \times 7, 5^{2} \times 10}{3} = 187, 5 π$ cm³ ; petit cône : $187, 5 π \times 0, 6^{3} = 40, 5 π$ cm³ ; tronc de cône : $187, 5 π - 40, 5 π = 147 π$ cm³ $\approx 461, 8$ cm³.

Coupé à mi-hauteur, $k = \frac{1}{2}$ : le petit cône n’a que ${(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8}$ du volume, et le tronc les $\frac{7}{8}$ .

À l’inverse, on retrouve $k$ à partir de deux volumes : un petit cône de $3$ cm³ découpé dans un cône de $375$ cm³ donne $k^{3} = 3 \div 375 = 0, 008$ ; comme $0, 2^{3} = 0, 008$ , $k = 0, 2$ . Avec deux aires, on cherche de même le nombre dont le carré est le quotient.

Réflexe — je calcule $k$ = petite hauteur ÷ grande hauteur, les deux mesurées depuis le sommet ; puis longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ .

Attention — si la distance est donnée depuis la base, je la retire de la hauteur avant de calculer $k$ . Le tronc n’est pas une réduction : son volume se calcule par différence. Et pour un volume, c’est $k^{3}$ , pas $k$ .

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Se repérer sur la sphère terrestre : latitude et longitude

Ce qu’il faut savoirOn assimile la Terre à une sphère de centre

O

et de rayon environ

6 371

km, qui tourne autour de l’axe des pôles (pôle Nord et pôle Sud).
• L’équateur est le grand cercle perpendiculaire à l’axe des pôles ; il sépare l’hémisphère Nord de l’hémisphère Sud.
• Les parallèles sont les cercles parallèles à l’équateur ; leur rayon diminue quand on s’approche d’un pôle.
• Les méridiens sont les demi-cercles qui vont d’un pôle à l’autre : ce sont des moitiés de grands cercles. Le méridien de Greenwich sert d’origine.
• La latitude d’un point

M

est l’angle, de sommet

O

, entre le plan de l’équateur et

[O M]

: de

0 °

(équateur) à

90 °

(pôle), Nord ou Sud.
• La longitude de

M

est l’angle entre le méridien de Greenwich et le méridien de

M

: de

0 °

180 °

, Est ou Ouest.
Les points d’un même parallèle ont la même latitude ; ceux d’un même méridien ont la même longitude. On écrit la latitude d’abord :

M (40 ° N; 30 ° E)

Exemples

Paris est à environ $48, 9 °$ N et $2, 4 °$ E : un peu au nord du parallèle $45 °$ N et juste à l’est du méridien de Greenwich. Sydney, en Australie, est à environ $33, 9 °$ S et $151, 2 °$ E.

Longueur de l’équateur : $2 \times π \times 6 371 \approx 40 030$ km.

Deux villes du même méridien, de latitudes $40 °$ N et $55 °$ N, sont séparées de $15 °$ : l’arc de méridien vaut $\frac{15}{360}$ du grand cercle, soit $2 \times π \times 6 371 \times \frac{15}{360} \approx 1 668$ km.

Parallèle $50 °$ N : dans le triangle $O H M$ rectangle en $H$ (figure de droite), son rayon vaut $H M = O M \times \cos 50 °$ , soit $6 371 \times \cos 50 ° \approx 4 095$ km, et sa longueur $2 \times π \times H M \approx 25 731$ km, bien moins que l’équateur. Deux points de ce parallèle dont les longitudes diffèrent de $90 °$ sont séparés, le long du parallèle, d’un quart de cette longueur : environ $6 433$ km.

Réflexe — latitude : je lis l’angle depuis l’équateur (N ou S) ; longitude : depuis le méridien de Greenwich (E ou O). Pour un arc, j’utilise la proportionnalité : angle ÷ 360 × longueur du cercle entier.

Attention — une latitude ne dépasse jamais $90 °$ et une longitude jamais $180 °$ ; sans N, S, E ou O, une coordonnée est incomplète. Les parallèles, sauf l’équateur, ne sont pas des grands cercles : leur rayon $R \times \cos (latitude)$ est plus petit que $R$ .

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Pour aller plus loin

Pour aller plus loin — l’effet d’un agrandissement ou d’une réduction sur toutes les figures (longueurs × k, aires × k², volumes × k³) et l’homothétie : voir Homothétie : agrandissement et réduction. Le cosinus qui donne le rayon d’un parallèle : voir Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente. Le théorème de Pythagore, qui sert dans les sections et pour la hauteur d’un cône : voir Synthèse : Pythagore, Thalès ou trigonométrie ?

À retenir

Prisme droit et cylindre : V = B × h ; pyramide et cône : V = B × h ÷ 3, avec une hauteur perpendiculaire à la base. Volumes : × 1 000 d’une unité à la suivante ; 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³.
Sphère de centre O et de rayon R : les points à la distance R de O (une surface) ; boule : les points à une distance au plus R (un solide). Aire de la sphère : 4 × π × R² ; volume de la boule : 4/3 × π × R³.
Section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face : un rectangle identique à cette face ; d’un cylindre : un disque (plan perpendiculaire à l’axe) ou un rectangle (plan parallèle à l’axe) ; d’une sphère : un cercle de rayon r, avec r² + d² = R².
Pyramide ou cône coupé parallèlement à la base : la section et le petit solide sont des réductions de rapport k = petite hauteur ÷ grande hauteur ; aires × k², volumes × k³ ; tronc = solide entier − petit solide.
Sur la Terre : latitude de 0° à 90° (N ou S) depuis l’équateur, longitude de 0° à 180° (E ou O) depuis le méridien de Greenwich ; le parallèle de latitude φ a pour rayon R × cos φ.

Questions fréquentes

Quelle formule de volume utiliser pour un prisme, un cylindre, une pyramide ou un cône ?

Pour un prisme droit ou un cylindre, V = aire de la base × hauteur (cylindre : π × r² × h). Pour une pyramide ou un cône, on prend le tiers : V = aire de la base × hauteur ÷ 3. La hauteur est toujours perpendiculaire à la base : la génératrice d’un cône n’est pas sa hauteur.

Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?

La sphère de centre O et de rayon R est une surface : les points situés exactement à la distance R de O. La boule est le solide plein qu’elle limite. On calcule l’aire d’une sphère, 4 × π × R², et le volume d’une boule, 4/3 × π × R³ : pour R = 10 cm, environ 1 256,6 cm² et 4 188,8 cm³.

Quelle est la section d’une sphère par un plan ?

C’est un cercle (un disque pour une boule). Si le plan est à la distance d du centre, le rayon r de la section vérifie r² + d² = R², d’après le théorème de Pythagore. Quand le plan passe par le centre, on obtient un grand cercle, de même rayon que la sphère.

Comment calculer le volume d’un cône ou d’une pyramide coupé parallèlement à sa base ?

Le petit solide du sommet est une réduction du grand, de rapport k = petite hauteur ÷ grande hauteur : son volume est celui du grand multiplié par k³. Le tronc qui reste a pour volume la différence. Coupé à mi-hauteur, le petit cône n’a que le huitième du volume.

Comment se repérer sur la Terre avec la latitude et la longitude ?

La latitude mesure l’angle avec le plan de l’équateur (de 0° à 90°, Nord ou Sud) ; la longitude mesure l’angle avec le méridien de Greenwich (de 0° à 180°, Est ou Ouest). Les points d’un même parallèle ont la même latitude, ceux d’un même méridien la même longitude.

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