Solides, volumes, sections, agrandissements et repérage sur la sphère
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Géométrie dans l'espace » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Les solides usuels : reconnaître et décrire, Pyramide et cône : vocabulaire et patron, Volume de la pyramide et du cône, Aire de la sphère et volume de la boule. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Les solides usuels : reconnaître et décrire
2 · Pyramide et cône : vocabulaire et patron
3 · Volume de la pyramide et du cône
4 · Aire de la sphère et volume de la boule
5 · Le récapitulatif des formules
6 · Sections planes d'un solide
7 · Agrandissement et réduction (×k³)
8 · Repérage sur la sphère : latitude et longitude
9 · Résoudre un problème dans l'espace
1Les solides usuels : reconnaître et décrire
Un solide est un objet de l'espace : il a un volume. On le décrit par ses faces (les surfaces), ses arêtes (les segments où deux faces se rencontrent) et ses sommets (les points).
Les solides à connaître en 3ᵉ
Solide
Description
Particularité
Pavé droit
6 faces rectangulaires
aussi appelé « parallélépipède rectangle »
Cube
6 faces carrées
un pavé dont tout est égal
Prisme droit
2 bases identiques + des rectangles
les bases sont des polygones
Cylindre
2 disques + une surface courbe
« prisme à base ronde »
Pyramide
1 base polygonale + des triangles
tous les triangles ont un sommet commun
Cône
1 disque (base) + 1 sommet
« pyramide à base ronde »
Sphère / boule
surface ronde / intérieur plein
tous les points à la même distance du centre
Sphère ou boule ? La sphère est seulement la surface (comme la coquille d'un œuf, ou un ballon dégonflé). La boule est le solide plein (l'intérieur compris). On calcule l'aire d'une sphère et le volume d'une boule.
💡 Le rayon R d'une sphère est la distance du centre à n'importe quel point de la surface. Le diamètre vaut D = 2R.
2Pyramide et cône : vocabulaire et patron
La pyramide
Une pyramide a une base qui est un polygone (triangle, carré, rectangle…) et des faces latérales qui sont des triangles se rejoignant en un même point : le sommet (ou « apex »).
La hauteur h est le segment qui part du sommet et tombe perpendiculairement sur la base.
Une pyramide à base carrée de côté c a 5 faces, 8 arêtes, 5 sommets.
Le cône (de révolution)
Un cône a une base en forme de disque (de rayon R) et un sommet. Sa hauteur h relie le sommet au centre du disque, perpendiculairement.
Patron du cône. La surface latérale « déroulée » est un secteur de disque (une part de camembert) ; la base est un disque. Pour la pyramide, le patron est la base + les triangles latéraux rabattus.
⚠️ Ne confonds pas la hauteur h (qui tombe au centre) et l'apothème / la longueur d'une arête latérale (qui va jusqu'au bord). Ce sont deux longueurs différentes, souvent reliées par le théorème de Pythagore.
3Volume de la pyramide et du cône
Formule (la même pour les deux).
V = aire de la base × hauteur3 = B × h3
La pyramide et le cône ont la même formule. C'est exactement le tiers du volume d'un prisme (ou cylindre) qui aurait la même base et la même hauteur.
Pyramide : B = aire de la base (carré, rectangle, triangle…).
Cône : la base est un disque, donc B = π × R², et la formule devient :
Vcône = π × R² × h3
Méthode pas à pas — exemple (cône)
Un cône a un rayon R = 3 cm et une hauteur h = 8 cm. Calculer son volume (valeur exacte puis arrondie au cm³).
Étape 1 — aire de la base : B = π × R² = π × 3² = 9π cm².
💡 On garde π dans les calculs le plus longtemps possible : la valeur exacte (avec π) est la plus juste. On ne remplace π par 3,14… qu'à la toute fin si on veut une valeur approchée.
4Aire de la sphère et volume de la boule
Formules à connaître par cœur (R = rayon).
Aire de la sphère : A = 4 × π × R²
Volume de la boule : V = 43 × π × R³
Attention à bien distinguer : on calcule l'aire (une surface, en cm²) pour la sphère, et le volume (en cm³) pour la boule.
Méthode pas à pas — exemple (boule)
Une boule a un rayon R = 6 cm. Calculer son volume.
Étape 1 — on élève le rayon au cube : R³ = 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
Étape 2 — on applique la formule : V = 43 × π × 216 = 4 × 2163 × π = 8643 × π = 288π cm³.
Étape 3 — valeur approchée : 288 × π ≈ 905 cm³.
⚠️ Erreur classique : confondre R² (pour l'aire) et R³ (pour le volume), ou oublier le 43. Vérifie l'unité : une aire est en cm², un volume en cm³.
5Le récapitulatif des formules
Toutes les formules de volume utiles, à garder sous les yeux :
Solide
Volume
Pavé droit (L, l, h)
V = L × l × h
Cube (côté a)
V = a³
Prisme droit / cylindre
V = B × h (cylindre : B = πR²)
Pyramide
V = B × h3
Cône
V = π × R² × h3
Boule (rayon R)
V = 43 π R³
💡 La pyramide et le cône partagent le « ÷ 3 ». Le cylindre et le prisme n'ont pas de « ÷ 3 » : c'est ce ÷ 3 qui distingue les solides « pointus » des solides « droits ».
Unités de volume. 1 dm³ = 1 L = 1000 cm³. Pour convertir, on décale de 3 rangs à chaque saut d'unité (m³ → dm³ → cm³ → mm³). Ex. : 1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³.
6Sections planes d'un solide
Une section, c'est la figure plane obtenue quand on coupe un solide par un plan (comme une tranche). La forme de la tranche dépend du solide et de la direction de la coupe.
Solide coupé
Plan de coupe
Section obtenue
Pavé / cube
parallèle à une face
un rectangle (ou carré) identique à la face
Pavé / cube
parallèle à une arête
un rectangle
Cylindre
parallèle à la base
un disque de même rayon
Cylindre
parallèle à l'axe
un rectangle
Cône
parallèle à la base
un disque plus petit
Sphère / boule
n'importe quel plan
toujours un cercle (ou disque)
À retenir. Couper une sphère donne toujours un cercle ; le plus grand cercle (passant par le centre) s'appelle un grand cercle, son rayon est celui de la sphère.
⚠️ Couper un cône parallèlement à la base donne un disque plus petit : c'est une réduction du disque de base (voir partie sur les agrandissements).
7Agrandissement et réduction : effet sur les volumes
On multiplie toutes les longueurs d'un solide par un même nombre k (le coefficient). Si k > 1 c'est un agrandissement ; si 0 < k < 1 c'est une réduction.
Règle des dimensions.
Longueurs
Aires
Volumes
× k
× k²
× k³
Les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³.
Méthode pas à pas — exemple
Une boule a un volume de 50 cm³. On agrandit son rayon en le multipliant par k = 3. Quel est le nouveau volume ?
Étape 1 — on travaille sur un volume → coefficient k³ = 3³ = 27.
Étape 2 — nouveau volume : 50 × 27 = 1350 cm³.
💡 Dans l'autre sens : si on connaît le rapport des volumes, on retrouve k en prenant la racine cubique. Ex. : volumes dans le rapport 8 → k = 2 (car 2³ = 8).
⚠️ Piège fréquent : un agrandissement de coefficient 2 ne double pas le volume, il le multiplie par 2³ = 8 ! De même l'aire est multipliée par 4, pas par 2.
8Repérage sur la sphère : latitude et longitude
Sur la Terre (assimilée à une sphère), on repère un point par deux angles, comme avec un couple de coordonnées. Les repères sont :
l'équateur : le grand cercle qui partage la Terre en deux (Nord / Sud) ;
les méridiens : les demi-cercles qui passent par les deux pôles ; le méridien de référence est celui de Greenwich ;
les parallèles : les cercles parallèles à l'équateur.
Latitude. Angle mesuré depuis l'équateur, vers le Nord (N) ou le Sud (S), de 0° à 90°. Elle se lit sur un méridien. Longitude. Angle mesuré depuis le méridien de Greenwich, vers l'Est (E) ou l'Ouest (O), de 0° à 180°. Elle se lit sur l'équateur (ou un parallèle).
On écrit alors les coordonnées géographiques d'un point, par exemple : 48° N ; 2° E (Paris, approximativement).
💡 Moyen mnémo : la latitude dit si on est en haut ou en bas (Nord/Sud) ; la longitude dit si on est à gauche ou à droite (Est/Ouest).
⚠️ La longueur d'un parallèle diminue quand on s'approche des pôles : seul l'équateur est un grand cercle de rayon égal à celui de la Terre.
9Résoudre un problème de géométrie dans l'espace
Une méthode fiable pour les problèmes type brevet :
1) Identifie le solide et note les données (rayon, hauteur, côté…) avec leurs unités.
2) Choisis la bonne formule (aire ou volume ? quel solide ?).
3) Convertis si nécessaire pour avoir la même unité partout.
4) Calcule en gardant π si on demande la valeur exacte, puis arrondis.
5) Vérifie l'unité finale (cm² pour une aire, cm³ ou L pour un volume) et le bon sens du résultat.
Exemple complet. Un réservoir est un cylindre de rayon 50 cm et de hauteur 1,20 m surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 30 cm. Volume total ? Mise en unité : tout en cm → cylindre h = 120 cm, cône h = 30 cm. Cylindre : V₁ = π × 50² × 120 = 300 000π cm³. Cône : V₂ = π × 50² × 303 = 75 000π3 = 25 000π cm³. Total : V = 325 000π cm³ ≈ 1 020 000 cm³ ≈ 1020 L (car 1 L = 1000 cm³).
🎓 Récap express : pyramide & cône → V = B×h3 · boule → 43πR³ · sphère (aire) → 4πR² · couper une sphère = un cercle · agrandir ×k → aires ×k², volumes ×k³ · sur la sphère : latitude (N/S) et longitude (E/O).