Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Géométrie dans l'espace
Solides (prisme, cylindre, pyramide, cône, sphère et boule), volumes, sections de solides et effet d'un agrandissement-réduction (programme de 3e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Géométrie dans l'espace » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Reconnaître les solides usuels, Volume du prisme droit et du cylindre, Volume de la pyramide et du cône, Sphère et boule. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
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Reconnaître les solides usuels
Vocabulaire. Un solide est limité par des faces, qui se coupent selon des arêtes, lesquelles se rejoignent en des sommets. La hauteur est la distance, mesurée perpendiculairement, entre la base et le sommet (ou la face opposée).
| Solide | Description | Exemple |
|---|---|---|
| Pavé droit | 6 faces rectangulaires, 12 arêtes, 8 sommets | boîte à chaussures |
| Prisme droit | deux bases polygonales superposables, faces latérales rectangulaires | toit, barre de chocolat triangulaire |
| Cylindre | deux disques parallèles reliés par une surface courbe | boîte de conserve |
| Pyramide | une base polygonale, des faces latérales triangulaires qui se rejoignent au sommet | pyramide du Louvre |
| Cône de révolution | un disque de base et un sommet | cornet de glace |
| Boule | solide plein limité par une sphère | bille, ballon |
Deux familles. Les solides « droits » (prisme, cylindre) ont partout la même section : volume $= \mathcal{B} \times h$. Les solides « pointus » (pyramide, cône) se resserrent jusqu'au sommet : volume divisé par 3.
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Volume du prisme droit et du cylindre
Règle. Volume d'un prisme droit ou d'un cylindre : $$V = \mathcal{B} \times h$$ où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur. Pour un cylindre de rayon $r$ : $\mathcal{B} = \pi r^2$, donc $V = \pi r^2 h$.
Exemple — cylindre. Rayon $2{,}5$ cm, hauteur $6$ cm : $V = \pi \times 2{,}5^2 \times 6 = 37{,}5\pi \approx 117{,}8$ cm³.
Exemple — prisme à base triangulaire. Base : triangle rectangle de côtés $3$ cm et $4$ cm, donc $\mathcal{B} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6$ cm² ; hauteur du prisme $8{,}5$ cm : $V = 6 \times 8{,}5 = 51$ cm³.
Attention ! Pour le cylindre, $r$ est le rayon : si l'énoncé donne le diamètre, divise-le par 2 avant d'élever au carré. Donne d'abord la valeur exacte ($37{,}5\pi$), puis l'arrondi demandé.
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Volume de la pyramide et du cône
Règle. Volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution : $$V = \frac{\mathcal{B} \times h}{3}$$ Pour un cône de rayon $r$ : $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$.
Exemple — cône. Rayon $3{,}2$ cm, hauteur $7{,}5$ cm : $V = \dfrac{\pi \times 3{,}2^2 \times 7{,}5}{3} = 25{,}6\pi \approx 80{,}4$ cm³.
Exemple — pyramide. Base rectangulaire de $4{,}5$ cm sur $6$ cm, hauteur $7$ cm : $V = \dfrac{27 \times 7}{3} = 63$ cm³.
Attention ! La hauteur $h$ est perpendiculaire à la base : ce n'est pas la longueur d'une arête latérale ni la génératrice du cône. Si l'énoncé donne l'arête, on retrouve $h$ avec le théorème de Pythagore.
Repère. Un cône et un cylindre de même base et de même hauteur : le cône a un volume trois fois plus petit.
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Sphère et boule
La sphère est la surface (ballon vide) ; la boule est le solide plein (bille). On parle donc de l'aire d'une sphère et du volume d'une boule.
Règle. Pour un rayon $R$ : $$\text{aire de la sphère } = 4\pi R^2 \qquad \text{volume de la boule } = \frac{4}{3}\pi R^3$$
Exemple. Boule de pétanque de diamètre $7{,}4$ cm : $R = 3{,}7$ cm. Volume $= \dfrac{4}{3}\pi \times 3{,}7^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 50{,}653 \approx 212{,}2$ cm³ ; aire de la sphère $= 4\pi \times 3{,}7^2 \approx 172{,}0$ cm².
Attention ! Ne confonds pas $R^2$ (aire) et $R^3$ (volume), et n'oublie pas le facteur $\dfrac{4}{3}$ pour le volume. Une demi-boule a un volume de $\dfrac{2}{3}\pi R^3$.
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Sections de solides par un plan
Couper un solide par un plan produit une figure plane : la section.
| Solide coupé par un plan… | Section |
|---|---|
| Pavé droit, plan parallèle à une face | un rectangle identique à cette face |
| Cylindre, plan parallèle à la base | un disque identique à la base |
| Cylindre, plan contenant l'axe | un rectangle de dimensions $2r$ et $h$ |
| Pyramide, plan parallèle à la base | une réduction de la base (même forme, plus petite) |
| Cône, plan parallèle à la base | un disque plus petit (réduction) |
| Sphère, tout plan | un cercle, d'autant plus petit que le plan est loin du centre |
Exemple — cône. Un cône de rayon $9$ cm et de hauteur $12$ cm est coupé par un plan parallèle à la base, à $4$ cm du sommet. La petite partie est une réduction du cône de rapport $k = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ : la section est un disque de rayon $9 \times \dfrac{1}{3} = 3$ cm.
Exemple — sphère. Sphère de rayon $5$ cm coupée par un plan à $3$ cm du centre : le rayon $r$ du cercle vérifie $r^2 + 3^2 = 5^2$ (Pythagore), donc $r = 4$ cm.
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Agrandissement et réduction : effet sur aires et volumes
Règle. Si toutes les longueurs d'un solide sont multipliées par $k$ : les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$.
Exemple — le tronc de cône. Cône de rayon $4$ cm et de hauteur $12$ cm ($V = 64\pi$ cm³). On le coupe à $9$ cm du sommet : le petit cône a pour rapport $k = \dfrac{9}{12} = 0{,}75$, donc $V' = 64\pi \times 0{,}75^3 = 27\pi$ cm³. Le tronc de cône restant a un volume de $64\pi - 27\pi = 37\pi \approx 116{,}2$ cm³.
Réflexe. Dès qu'un solide est coupé parallèlement à sa base, la petite partie est une réduction du solide entier : rapport $k = \dfrac{\text{petite hauteur}}{\text{grande hauteur}}$.
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Méthode : choisir la bonne formule et convertir
Unités de volume. $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³ ; $1$ m³ $= 1\,000$ dm³ $= 1\,000$ L ; $1$ cL $= 10$ cm³. D'une unité de volume à la suivante, on multiplie ou divise par 1 000 (et non par 10).
Exemple. Un cylindre de rayon $10$ cm contient $1{,}5$ L d'eau. Hauteur d'eau : $1{,}5$ L $= 1\,500$ cm³ et $h = \dfrac{1500}{\pi \times 10^2} \approx 4{,}8$ cm.
Attention ! Toutes les longueurs dans la même unité avant le calcul ; le résultat est dans l'unité au cube (cm → cm³). Une masse se déduit du volume par la masse volumique (en g/cm³ ou kg/m³).
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Se repérer sur la sphère terrestre
La Terre est assimilée à une sphère de rayon $6\,371$ km. Un point s'y repère par deux angles.
Latitude et longitude. Les parallèles sont les cercles parallèles à l'équateur ; les méridiens sont les demi-cercles reliant les pôles. La latitude (de $0°$ à $90°$ Nord ou Sud) est l'angle par rapport à l'équateur ; la longitude (de $0°$ à $180°$ Est ou Ouest) est l'angle par rapport au méridien de Greenwich.
Exemple. Marseille : $43°$ N, $5°$ E. Tous les points d'un même parallèle ont la même latitude ; tous les points d'un même méridien ont la même longitude.
Longueur d'un parallèle. Le parallèle de latitude $43°$ est un cercle de rayon $6\,371 \times \cos 43° \approx 4\,659$ km, donc de longueur $2\pi \times 4\,659 \approx 29\,280$ km, contre $40\,030$ km pour l'équateur.
En bref
- Prisme, cylindre : $V = \mathcal{B} \times h$ (cylindre : $\pi r^2 h$).
- Pyramide, cône : $V = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$ (cône : $\dfrac{\pi r^2 h}{3}$), $h$ perpendiculaire à la base.
- Boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ ; sphère : aire $= 4\pi R^2$.
- Sections : parallèle à la base → figure identique (prisme, cylindre) ou réduite (pyramide, cône) ; sphère → cercle.
- Agrandissement-réduction de rapport $k$ : aires × $k^2$, volumes × $k^3$.
- $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³ ; $1$ m³ $= 1\,000$ L. Valeur exacte en $\pi$, puis arrondi.
- Sur la Terre : latitude (parallèles) et longitude (méridiens).
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