À propos de cette page
Ces exercices corrigés sur « Géométrie dans l'espace » en troisième permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de troisième et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : Les solides usuels : reconnaître et décrire, Pyramide et cône : vocabulaire et patron, Volume de la pyramide et du cône, Aire de la sphère et volume de la boule. Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » : la correction est immédiate et tolère majuscules, espaces et ponctuation. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en troisième.
Entraîne-toi par niveau. Chaque exercice teste une partie du cours. Cherche d'abord seul, puis clique sur « Voir le corrigé ». On garde la valeur exacte (avec π) puis on arrondit si besoin ; on prend π ≈ 3,14.
Facile
Ex. 1Pour chaque solide, donne son nom :
a) 6 faces rectangulaires
b) 1 base disque + 1 sommet
c) 2 disques + une surface courbe
d) un solide plein dont tous les points de la surface sont à égale distance du centre
a) pavé droit (parallélépipède rectangle).
b) cône.
c) cylindre.
d) boule.
Ex. 2Pour une pyramide à base carrée, compte :
a) le nombre de faces
b) le nombre d'arêtes
c) le nombre de sommets
a) 5 faces (1 base carrée + 4 triangles).
b) 8 arêtes (4 à la base + 4 latérales).
c) 5 sommets (4 à la base + 1 au sommet).
Ex. 3Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?
La sphère est seulement la surface (la « coquille ») ; la boule est le solide plein, l'intérieur compris.
Ex. 4Une sphère a un diamètre de 14 cm.
a) Quel est son rayon ?
b) Et si le rayon est 9 cm, quel est le diamètre ?
a) R = D ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7 cm.
b) D = 2 × R = 2 × 9 = 18 cm.
Ex. 5Une pyramide a une base d'aire B = 12 cm² et une hauteur h = 5 cm. Calcule son volume.
V = B × h3 = 12 × 53 = 603 = 20 cm³.
Ex. 6Une pyramide a une base carrée de côté 6 cm et une hauteur de 10 cm. Calcule son volume.
Aire de la base : B = 6 × 6 = 36 cm². V = 36 × 103 = 3603 = 120 cm³.
Ex. 7Un cône a un rayon de 5 cm et une hauteur de 9 cm. Donne son volume sous forme exacte (avec π).
V = π × R² × h3 = π × 25 × 93 = 225π3 = 75π cm³.
Ex. 8Donne, en fonction de R, la formule :
a) de l'aire d'une sphère
b) du volume d'une boule
a) A = 4 × π × R² = 4πR².
b) V = 43 × π × R³ = 43πR³.
Ex. 9Quelle figure obtient-on en coupant :
a) une sphère par un plan
b) un cylindre par un plan parallèle à sa base
c) un cube par un plan parallèle à une face
a) un cercle (ou disque).
b) un disque de même rayon.
c) un carré identique à la face.
Ex. 10Sur le globe terrestre, comment s'appelle :
a) le grand cercle qui sépare Nord et Sud
b) l'angle mesuré vers l'Est ou l'Ouest depuis Greenwich
a) l'équateur.
b) la longitude.
Moyen
Ex. 11Un cône a un rayon R = 3 cm et une hauteur h = 7 cm.
a) Donne le volume exact (avec π).
b) Donne la valeur arrondie au cm³ (π ≈ 3,14).
a) V = π × 3² × 73 = 63π3 = 21π cm³.
b) 21 × 3,14 = 65,94 ≈ 66 cm³.
Ex. 12Une boule a un rayon de 6 cm. Calcule son volume exact, puis arrondi au cm³.
R³ = 6³ = 216. V = 43 × π × 216 = 8643π = 288π cm³ ≈ 288 × 3,14 ≈ 904 cm³.
Ex. 13Calcule l'aire d'une sphère de rayon 10 cm (exact puis arrondi, π ≈ 3,14).
A = 4 × π × R² = 4 × π × 10² = 4 × π × 100 = 400π cm² ≈ 400 × 3,14 ≈ 1256 cm².
Ex. 14Une pyramide a une base rectangulaire de 8 cm sur 3 cm et une hauteur de 5 cm. Calcule son volume.
B = 8 × 3 = 24 cm². V = 24 × 53 = 1203 = 40 cm³.
Ex. 15On coupe un cylindre de rayon 4 cm par un plan parallèle à son axe, passant par le centre. La hauteur du cylindre est 10 cm. Quelle est la nature et les dimensions de la section ?
La section est un rectangle. Sa largeur est le diamètre : 2 × 4 = 8 cm ; sa hauteur est celle du cylindre : 10 cm. Donc un rectangle 8 cm × 10 cm.
Ex. 16Un cube a une arête de 5 cm. On agrandit ce cube avec un coefficient k = 2.
a) Quelle est la nouvelle arête ?
b) Par combien est multiplié le volume ?
a) nouvelle arête : 5 × 2 = 10 cm.
b) le volume est multiplié par k³ = 2³ = 8.
Ex. 17Un solide a un volume de 40 cm³. On le réduit avec un coefficient k = 12. Quel est le nouveau volume ?
k³ = 18. Nouveau volume : 40 × 18 = 5 cm³.
Ex. 18Convertis :
a) 3 dm³ en cm³
b) 2500 cm³ en L
c) 1,5 L en cm³
a) 3 dm³ = 3 × 1000 = 3000 cm³.
b) 2500 cm³ = 2500 ÷ 1000 = 2,5 L (car 1 L = 1000 cm³).
c) 1,5 L = 1,5 × 1000 = 1500 cm³.
Ex. 19Sur le globe, donne les coordonnées (latitude ; longitude) à 0° près :
a) un point sur l'équateur, au méridien de Greenwich
b) le pôle Nord
a) (0° ; 0°).
b) 90° N ; la longitude n'a pas de sens au pôle (tous les méridiens s'y rejoignent).
Ex. 20Une pyramide a un volume de 90 cm³ et une base d'aire 27 cm². Quelle est sa hauteur ?
De V = B×h3 on tire h = 3 × VB = 3 × 9027 = 27027 = 10 cm.
Difficile
Ex. 21Un cône a une base de rayon 6 cm et une hauteur de 8 cm.
a) Calcule la longueur d'une « génératrice » (du sommet au bord de la base) avec Pythagore.
b) Calcule le volume exact du cône.
a) La génératrice g est l'hypoténuse du triangle rectangle de côtés R = 6 et h = 8 : g² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc g = 10 cm.
b) V = π × 6² × 83 = 288π3 = 96π cm³.
Ex. 22Une boule a un volume de 36π cm³. Quel est son rayon ?
43πR³ = 36π → R³ = 36 × 34 = 1084 = 27 → R = 3 cm (car 3³ = 27).
Ex. 23On coupe un cône (rayon de base 9 cm, hauteur 12 cm) par un plan parallèle à la base, à mi-hauteur. Le petit cône obtenu au-dessus est une réduction du grand.
a) Quel est le coefficient de réduction k ?
b) Quel est le rayon de la section ?
a) à mi-hauteur, les hauteurs sont dans le rapport 612 = 12, donc k = 12.
b) le rayon est multiplié par k : 9 × 12 = 4,5 cm.
Ex. 24Deux boules sont semblables : la grande a un rayon double de la petite. La petite a un volume de 20 cm³.
a) Quel est le volume de la grande ?
b) Quel est le rapport de leurs aires ?
a) k = 2 → volumes ×k³ = 8 → 20 × 8 = 160 cm³.
b) aires ×k² = 2² = 4 : l'aire de la grande est 4 fois celle de la petite.
Ex. 25On coupe une sphère de rayon 13 cm par un plan situé à 5 cm du centre. Quel est le rayon du cercle de section ?
Le rayon r de la section, la distance d = 5 au centre et le rayon R = 13 forment un triangle rectangle : r² = R² − d² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc r = 12 cm.
Ex. 26Un cône et un cylindre ont le même rayon de base et la même hauteur. Compare leurs volumes.
Vcylindre = πR²h et Vcône = πR²h3. Le cône a donc un volume 3 fois plus petit que le cylindre (le cône remplit le tiers du cylindre).
Ex. 27Une glace est composée d'un cône (rayon 3 cm, hauteur 10 cm) surmonté d'une demi-boule de même rayon (3 cm). Calcule le volume total exact.
Cône : V₁ = π × 3² × 103 = 90π3 = 30π cm³.
Demi-boule : V₂ = 12 × 43π × 3³ = 12 × 4 × 273π = 12 × 36π = 18π cm³.
Total : 30π + 18π = 48π cm³.
Ex. 28Une maquette d'immeuble est à l'échelle 1100. La maquette occupe un volume de 0,5 dm³. Quel est le volume réel de l'immeuble, en m³ ?
L'échelle 1100 de la maquette vers le réel donne k = 100 pour les longueurs, donc les volumes sont multipliés par k³ = 100³ = 1 000 000.
0,5 dm³ → 0,5 × 1 000 000 = 500 000 dm³. Or 1 m³ = 1000 dm³, donc 500 000 ÷ 1000 = 500 m³.