Espace : boule, sections et sphère terrestre

Réponds par un mot ou par un nombre.

1. Solide dont toutes les sections parallèles à la base sont des polygones identiques à la base :
   Le prisme droit garde la même section du bas jusqu’en haut ; le cylindre aussi, mais sa base est un disque, pas un polygone.
2. Nombre d’arêtes d’une pyramide à base carrée :
   $4$ arêtes pour la base et $4$ arêtes latérales qui montent au sommet : $8$.
3. Nombre de sommets d’un prisme droit à base triangulaire :
   $3$ sommets pour chacune des deux bases : $6$.
4. Nombre de faces latérales d’une pyramide à base hexagonale :
   Autant de faces latérales que de côtés à la base : $6$ triangles.
5. Solide formé d’un disque de base et d’un sommet, relié par une surface courbe :
   C’est le cône de révolution ; le cylindre a deux disques et aucun sommet.

Longueurs en cm. Pour une valeur exacte, écris le nombre qui multiplie $\pi$ ; sinon, arrondis comme demandé.

1. Cylindre de rayon $2,5$ et de hauteur $6$ : $V=$ $\pi$ cm³
   $V=\pi \times 2,5^2\times 6=\pi \times 6,25\times 6=37,5\pi$ cm³.
2. Cône de rayon $6$ et de hauteur $5,5$ : $V=$ $\pi$ cm³
   $V={\displaystyle \frac{\pi \times 36\times 5,5}{3}}={\displaystyle \frac{198\pi }{3}}=66\pi$ cm³.
3. Cylindre de diamètre $10$ et de hauteur $3$ : $V=$ $\pi$ cm³
   Le rayon vaut $10÷2=5$ : $V=\pi \times 25\times 3=75\pi$ cm³ (et non $300\pi$ avec le diamètre au carré).
4. Cône de génératrice $37$ et de rayon $12$ : hauteur cm, puis $V=$ $\pi$ cm³
   Triangle rectangle au centre de la base : $h^2={37}^2-{12}^2=1369-144=1225$, donc $h=35$ cm.
   $V={\displaystyle \frac{\pi \times 144\times 35}{3}}=1680\pi$ cm³.
5. Pyramide à base rectangulaire de $4,5$ sur $6$, de hauteur $7$ : $V=$ cm³
   $ℬ=4,5\times 6=27$ cm², puis $V={\displaystyle \frac{27\times 7}{3}}=63$ cm³.
6. Cône de rayon $3,2$ et de hauteur $7,5$, au dixième : $V\approx$ cm³
   $V={\displaystyle \frac{\pi \times 10,24\times 7,5}{3}}=25,6\pi$ cm³ $\approx 80,4$ cm³.
7. Prisme droit de hauteur $8,5$ dont la base est un triangle rectangle de côtés de l’angle droit $3$ et $4$ : $V=$ cm³
   $ℬ=3\times 4÷2=6$ cm², puis $V=6\times 8,5=51$ cm³.
8. Cylindre de rayon $1,2$ et de hauteur $15$, au dixième : $V\approx$ cm³
   $V=\pi \times 1,44\times 15=21,6\pi$ cm³ $\approx 67,9$ cm³.

Conversions et raisonnements.

1. $3,5$ L $=$ cm³
   $1$ L $=1000$ cm³, donc $3,5$ L $=3500$ cm³.
2. $0,75$ m³ $=$ L
   $1$ m³ $=1000$ dm³ $=1000$ L, donc $0,75$ m³ $=750$ L.
3. $2400000$ cm³ $=$ m³
   $1$ m³ $={10}^6$ cm³ $=1000000$ cm³, donc $2400000$ cm³ $=2,4$ m³.
4. Un cube d’arête $4$ dm a une contenance de L
   $4^3=64$ dm³, et $1$ dm³ $=1$ L : $64$ L.
5. Un cylindre de rayon $10$ cm contient $1,5$ L d’eau. Hauteur d’eau, au dixième : cm
   $1,5$ L $=1500$ cm³ et $ℬ=\pi \times {10}^2=100\pi$ cm². $h=1500÷(100\pi )\approx 4,77$, soit $4,8$ cm.
6. Un cylindre et un cône ont la même base et la même hauteur ; le cylindre a un volume de $85,2$ cm³. Volume du cône : cm³
   Le cône a le tiers du volume du cylindre : $85,2÷3=28,4$ cm³.
7. Une pyramide a une hauteur de $9$ cm et un volume de $84$ cm³. Aire de sa base : cm²
   $V={\displaystyle \frac{ℬ\times h}{3}}$ : le produit $ℬ\times h$ vaut $3\times 84=252$, donc $ℬ=252÷9=28$ cm².

Réponds par un nombre ou par un mot (sphère ou boule).

1. Rayon d’une boule de diamètre $13$ cm : cm
   Le rayon est la moitié du diamètre : $13÷2=6,5$ cm.
2. Rayon d’un grand cercle d’une sphère de diamètre $18$ cm : cm
   Un grand cercle a le même centre et le même rayon que la sphère : $18÷2=9$ cm.
3. Longueur d’un diamètre d’une sphère de rayon $4,6$ cm : cm
   Un diamètre mesure $2R=2\times 4,6=9,2$ cm.
4. Le cuir d’un ballon a la forme d’une
   Le cuir est une surface, sans épaisseur à notre échelle : c’est une sphère.
5. Une bille d’acier, pleine, a la forme d’une
   La bille est un solide plein : c’est une boule (sa surface est une sphère).

Longueurs en cm. Pour une valeur exacte, écris le nombre qui multiplie $\pi$ ; sinon, arrondis comme demandé.

1. Boule de rayon $1,5$ : $V=$ $\pi$ cm³
   $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 1,5^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 3,375=4,5\pi$ cm³.
2. Demi-boule de rayon $3$ : $V=$ $\pi$ cm³
   La boule entière : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 27=36\pi$ cm³ ; la moitié : $18\pi$ cm³.
3. Sphère de rayon $7$ : aire $=$ $\pi$ cm²
   Aire $=4\times \pi \times 7^2=4\times 49\times \pi =196\pi$ cm².
4. Boule de rayon $3,5$, au dixième : $V\approx$ cm³
   $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 3,5^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 42,875\approx 179,6$ cm³.
5. Boule de diamètre $2$, au centième : $V\approx$ cm³
   $R=1$ cm, donc $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 1^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \approx 4,19$ cm³.
6. Sphère de rayon $2,4$, au dixième : aire $\approx$ cm²
   Aire $=4\times \pi \times 2,4^2=4\times \pi \times 5,76=23,04\pi \approx 72,4$ cm².

Raisonne : écris d’abord la formule, puis calcule.

1. Une boule a un rayon de $11$ cm. Son volume, en litres arrondis au dixième : L
   $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times {11}^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 1331\approx 5575,3$ cm³, et $1$ L $=1000$ cm³ : environ $5,6$ L.
2. Deux boules ont des rayons de $2$ cm et $5$ cm. Le volume de la grande est celui de la petite multiplié par
   Le rayon est multiplié par $5÷2=2,5$ ; dans ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$, le rayon est au cube : $2,5^3=15,625$.
3. Une boule de rayon $5$ cm est enfermée dans une boîte cubique de $10$ cm d’arête. Volume de la boîte non occupé par la boule, au cm³ : cm³
   Boîte : ${10}^3=1000$ cm³. Boule : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 125\approx 523,6$ cm³. Reste : $1000-523,6\approx 476$ cm³.
4. Une balle de rayon $R$ tient exactement dans une boîte cylindrique de rayon $R$ et de hauteur $2R$. Part du volume de la boîte occupée par la balle, en pourcentage arrondi à l’unité : %
   Boîte : $\pi \times R^2\times 2R=2\pi R^3$. Balle : ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$. Quotient : ${\displaystyle \frac{4}{3}}÷2={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx 0,667$, soit environ $67$ % (le résultat d’Archimède).

Nature de la section : réponds par un mot (rectangle, carré, disque, cercle ou point).

1. Pavé droit coupé par un plan parallèle à une face :
   Un rectangle de mêmes dimensions que cette face.
2. Cube coupé par un plan parallèle à une face :
   Toutes les faces d’un cube sont des carrés : la section est un carré identique à une face.
3. Cylindre coupé par un plan perpendiculaire à son axe :
   Un disque de même rayon que la base.
4. Cylindre coupé par un plan parallèle à son axe :
   Un rectangle dont un côté est la hauteur du cylindre.
5. Sphère de rayon $5$ cm coupée par un plan à $2$ cm de son centre :
   La sphère est une surface : sa section est un cercle (pour la boule, ce serait un disque).
6. Sphère de rayon $4$ cm et plan situé à $4$ cm de son centre :
   $d=R$ : le plan touche la sphère en un seul point ($r^2=4^2-4^2=0$).

Dimensions de la section (longueurs en cm).

1. Sphère de rayon $5,3$ coupée par un plan à $4,5$ cm du centre. Rayon du cercle : cm
   Triangle $OHM$ rectangle en $H$ : $r^2=5,3^2-4,5^2=28,09-20,25=7,84$, et $2,8^2=7,84$, donc $r=2,8$ cm.
2. Boule de rayon $29$ coupée par un plan à $20$ cm du centre. Rayon du disque : cm
   $r^2={29}^2-{20}^2=841-400=441$, donc $r=21$ cm.
3. Cylindre de rayon $2,5$ et de hauteur $8$ coupé par un plan qui contient son axe. Aire de la section : cm²
   Un rectangle de $2r=5$ cm sur $h=8$ cm : $5\times 8=40$ cm².
4. Pavé droit de $7$ sur $4$ sur $3$, coupé parallèlement à sa face de $7$ sur $3$. Aire de la section : cm²
   La section est un rectangle identique à cette face : $7\times 3=21$ cm².

Raisonne avec le théorème de Pythagore.

1. Une sphère de rayon $6,5$ cm est coupée selon un cercle de rayon $2,5$ cm. Distance du plan au centre : cm
   $d^2=R^2-r^2=6,5^2-2,5^2=42,25-6,25=36$, donc $d=6$ cm.
2. Un cylindre de rayon $6,1$ cm et de hauteur $9$ cm est coupé par un plan parallèle à son axe, à $1,1$ cm de l’axe. La section est un rectangle de cm sur $9$ cm
   Dans le disque de base, la demi-corde vérifie ${\ell }^2=6,1^2-1,1^2=37,21-1,21=36$, donc $\ell =6$ cm : la corde mesure $12$ cm. Le rectangle mesure $12$ cm sur $9$ cm.
3. Le cube $ABCDEFGH$ d’arête $6$ cm est coupé par le plan qui contient les arêtes $[AE]$ et $[CG]$. Longueur $AC$ du rectangle obtenu, au dixième : cm ; aire de ce rectangle, au cm² : cm²
   La section est le rectangle $ACGE$. Dans le carré $ABCD$ : $A{C}^2=6^2+6^2=72$, donc $AC=\sqrt{72}\approx 8,49$, soit $8,5$ cm.
   Aire : $AC\times AE=\sqrt{72}\times 6\approx 50,9$, soit $51$ cm² (on garde $\sqrt{72}$ jusqu’au bout).

Rapport de réduction et dimensions de la section (les plans sont parallèles à la base).

1. Cône de rayon $12$ cm et de hauteur $15$ cm, coupé à $10$ cm du sommet. Rayon de la section : cm
   $k={\displaystyle \frac{10}{15}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ : la section est un disque de rayon $12\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=8$ cm.
2. Pyramide à base carrée de côté $12$ cm et de hauteur $8$ cm, coupée à $6$ cm du sommet. Côté de la section : cm
   $k={\displaystyle \frac{6}{8}}=0,75$ : la section est un carré de côté $12\times 0,75=9$ cm.
3. Pyramide de hauteur $20$ cm coupée à $5$ cm du sommet : $k=$
   $k={\displaystyle \frac{5}{20}}=0,25$.
4. Cône de hauteur $16$ cm coupé à $4$ cm de sa base : $k=$
   Le petit cône a pour hauteur $16-4=12$ cm : $k={\displaystyle \frac{12}{16}}=0,75$ (et non ${\displaystyle \frac{4}{16}}$).

Aires et volumes (les plans sont parallèles à la base).

1. Une pyramide de $540$ cm³ est coupée à mi-hauteur. Volume de la petite pyramide : cm³
   $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc les volumes sont divisés par $2^3=8$ : $540÷8=67,5$ cm³.
2. La base d’un cône a une aire de $72$ cm² ; on le coupe avec $k=0,5$. Aire de la section : cm²
   Les aires sont multipliées par $k^2=0,25$ : $72\times 0,25=18$ cm².
3. Un cône de $300$ cm³ est coupé avec $k=0,9$. Volume du petit cône : cm³
   $0,9^3=0,729$ et $300\times 0,729=218,7$ cm³.
4. Un cône de rayon $4$ cm et de hauteur $12$ cm est coupé à $9$ cm du sommet. Volume exact du tronc de cône : $\pi$ cm³
   Cône entier : ${\displaystyle \frac{\pi \times 16\times 12}{3}}=64\pi$ cm³. $k={\displaystyle \frac{9}{12}}=0,75$ et $0,{75}^3=0,421875$ : petit cône $64\pi \times 0,421875=27\pi$ cm³.
   Tronc : $64\pi -27\pi =37\pi$ cm³.

Raisonne à l’envers : retrouve $k$ ou une distance.

1. Une pyramide coupée parallèlement à sa base : la section a une aire de $27$ cm², la base $75$ cm². $k=$
   $k^2={\displaystyle \frac{27}{75}}=0,36$ et $0,6^2=0,36$, donc $k=0,6$.
2. Un petit cône de $27$ cm³ est obtenu en coupant un cône de $1000$ cm³ parallèlement à sa base. $k=$
   $k^3={\displaystyle \frac{27}{1000}}=0,027$ et $0,3^3=0,027$, donc $k=0,3$.
3. À quelle distance du sommet faut-il couper un cône de hauteur $10$ cm pour que le petit cône ait le huitième du volume ? cm
   Il faut $k^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$, donc $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : on coupe à $10\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=5$ cm du sommet, à mi-hauteur.
4. Une pyramide de $900$ cm³ est coupée avec $k=0,2$. Volume du tronc de pyramide : cm³
   Petite pyramide : $900\times 0,2^3=900\times 0,008=7,2$ cm³. Tronc : $900-7,2=892,8$ cm³.

Vocabulaire de la sphère terrestre : réponds par un mot ou par un nombre.

1. Les cercles tracés sur la Terre parallèlement à l’équateur s’appellent les
   Ce sont les parallèles : tous leurs points ont la même latitude.
2. Les demi-cercles qui joignent le pôle Nord au pôle Sud s’appellent les
   Ce sont les méridiens : tous leurs points ont la même longitude.
3. Latitude d’un point de l’équateur : °
   La latitude se mesure depuis le plan de l’équateur : elle vaut $0°$ sur l’équateur.
4. Latitude du pôle Sud : ° S
   La latitude va de $0°$ à $90°$ : le pôle Sud est à $90°$ S.
5. Un point de latitude $40°$ S est dans l’hémisphère
   S signifie Sud : le point est au sud de l’équateur, dans l’hémisphère Sud.
6. Longitude de tous les points du méridien de Greenwich : °
   Le méridien de Greenwich est l’origine des longitudes : $0°$.

Sur ce planisphère, les lignes sont tracées tous les $15°$. Lis les coordonnées : la latitude d’abord, puis la longitude, avec N, S, E ou O.

1. $A$ : latitude ° ; longitude °
   $A$ est trois lignes au-dessus de l’équateur ($3\times 15°=45°$ N) et quatre lignes à droite de Greenwich ($60°$ E).
2. $B$ : latitude ° ; longitude °
   $B$ est une ligne sous l’équateur ($15°$ S) et deux lignes à gauche de Greenwich ($30°$ O).
3. $C$ est sur l’équateur. Sa longitude : °
   $C$ est cinq lignes à gauche de Greenwich : $5\times 15°=75°$ O (sa latitude est $0°$).
4. Le point situé sur le méridien de Greenwich et sur le parallèle $60°$ N est le point
   Sur Greenwich, la longitude est $0°$ ; sur le parallèle $60°$ N, la ligne du haut : c’est $D(60°\text{ N};0°)$.

On assimile la Terre à une sphère de rayon $6371$ km.

1. Longueur d’un arc de méridien de $1°$, au km près : km
   Un méridien est une moitié de grand cercle : $1°$ correspond à ${\displaystyle \frac{1}{360}}$ du grand cercle, $2\times \pi \times 6371÷360\approx 111,2$, soit $111$ km.
2. Deux points du même méridien ont pour latitudes $12°$ N et $18°$ S. Longueur de l’arc de méridien qui les sépare, au km près : km
   De part et d’autre de l’équateur : écart $12°+18°=30°$. Arc $=2\times \pi \times 6371\times {\displaystyle \frac{30}{360}}\approx 3335,8$, soit $3336$ km.
3. Rayon du parallèle $70°$ N, au km près : km
   Dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$ : $r=6371\times \cos 70°\approx 2179$ km.
4. Longueur du parallèle $70°$ N, au km près : km
   $2\times \pi \times 6371\times \cos 70°\approx 13691$ km : à peine plus du tiers de l’équateur.
5. Sur l’équateur, quel écart de longitude correspond à $1000$ km ? Au dixième de degré : °
   L’angle est proportionnel à l’arc : ${\displaystyle \frac{1000}{40030,2}}\times 360\approx 8,99$, soit $9,0°$.