La trigonométrie dans le triangle rectangle

Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ avec $RS=5,6$ cm et $ST=3,3$ cm.

1. Calcule la longueur $RT$.
2. Donne les valeurs de cos SRT, sin SRT et tan SRT sous forme de fractions, puis arrondies au centième.
3. Calcule la mesure de l'angle SRT, arrondie au degré.
4. En déduire la mesure de l'angle STR sans nouvelle utilisation des touches trigonométriques, en justifiant.

Un architecte contrôle trois rampes d'accès pour fauteuils roulants. Une rampe est conforme si son angle avec l'horizontale est inférieur à $2,9°$ (pente de $5\%$).

1. Quel rapport trigonométrique permet de calculer l'angle de chaque rampe à partir des deux mesures du tableau ? Justifie.
2. Calcule l'angle de la rampe A et celui de la rampe B, arrondis au dixième de degré. Sont-elles conformes ?
3. La rampe C est-elle conforme ? Attention aux unités.
4. Quelle longueur horizontale minimale faut-il prévoir pour franchir la hauteur de la rampe B de façon conforme ?

Le pignon d'une maison est un triangle $ABC$ isocèle en $A$ dont la base $[BC]$ mesure $9,6$ m et dont l'angle ABC mesure $28°$. On note $H$ le milieu de $[BC]$. Le toit, formé des deux pans $[AB]$ et $[AC]$, a une profondeur de $12$ m.

1. Explique pourquoi le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ et calcule la hauteur $AH$ du pignon, arrondie au centimètre.
2. Calcule la longueur $AB$ d'un pan de toit, arrondie au centimètre.
3. Calcule la surface totale du toit (les deux pans).
4. Il faut $14$ tuiles par m² et le couvreur commande $5\%$ de tuiles en plus pour la casse. Combien de tuiles commande-t-il ?

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie par un calcul ou une propriété.

1. « sin $40°=2\times$ sin $20°$. »
2. « Si cos B $=0,6$, alors B $=60°$. »
3. « Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu peut valoir $3$. »
4. « Dans un triangle rectangle, si un angle aigu mesure $35°$, alors le cosinus de l'autre angle aigu vaut sin $35°$. »

Depuis un point $P$ au sol, Inès voit le sommet $S$ d'une tour sous un angle de $35°$ par rapport à l'horizontale. Elle avance de $25$ m en ligne droite vers la tour jusqu'au point $Q$ ; elle voit alors le sommet sous un angle de $52°$. Ses yeux sont à $1,6$ m du sol. On note $d$ la distance, en mètres, entre $Q$ et le pied de la tour, et $h$ la hauteur du sommet au-dessus du niveau des yeux.

1. Fais un schéma de la situation avec les deux triangles rectangles, les angles et les distances.
2. Exprime $h$ en fonction de $d$ en utilisant l'angle de $52°$, puis en utilisant l'angle de $35°$.
3. En déduire la valeur de $d$, arrondie au dixième de mètre.
4. Calcule la hauteur totale de la tour, arrondie au mètre. Toute trace de recherche sera prise en compte.