Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente

1. a)Théorème de Pythagore dans $RST$ rectangle en $S$ : $R{T}^2=5,6^2+3,3^2=31,36+10,89=42,25$, donc $RT=6,5$ cm (1)
2. b)$\cos (SRT)={\displaystyle \frac{RS}{RT}}={\displaystyle \frac{5,6}{6,5}}\approx 0,86$ ; $\sin (SRT)={\displaystyle \frac{ST}{RT}}={\displaystyle \frac{3,3}{6,5}}\approx 0,51$ ; $\tan (SRT)={\displaystyle \frac{ST}{RS}}={\displaystyle \frac{3,3}{5,6}}\approx 0,59$ (1)
3. c)$SRT={\tan }^{-1}(3,3÷5,6)\approx 30,5^{\circ }$, soit ${31}^{\circ }$ au degré (on trouve la même mesure avec ${\cos }^{-1}(5,6÷6,5)$) (1)
4. d)Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : $STR\approx {90}^{\circ }-30,{51}^{\circ }=59,{49}^{\circ }$, soit ${59}^{\circ }$ au degré (1)

Méthode — Pythagore donne le troisième côté ; les trois quotients s’écrivent avec les lettres avant les nombres ; l’autre angle aigu s’obtient par 90° moins le premier.

1. a)La rampe est l’hypoténuse et la hauteur est le côté opposé à l’angle avec l’horizontale : on utilise le sinus (1)
2. b)A : ${\sin }^{-1}(0,20÷4,20)\approx 2,7^{\circ }$, conforme. B : ${\sin }^{-1}(0,45÷6,50)\approx 4,0^{\circ }$, non conforme (1)
3. c)$12$ cm $=0,12$ m ; ${\sin }^{-1}(0,12÷2,50)\approx 2,8^{\circ }$ : conforme, de justesse (1)
4. d)La hauteur est opposée à l’angle, la longueur horizontale lui est adjacente : $\tan (2,9^{\circ })={\displaystyle \frac{0,45}{d}}$, donc $d={\displaystyle \frac{0,45}{\tan (2,9^{\circ })}}\approx 8,9$ m (1)

Repère — Rampe = hypoténuse, hauteur = côté opposé : c’est le sinus ; pour la longueur au sol, c’est la tangente. On met tout dans la même unité.

1. a)Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi une hauteur : $(AH)⟂(BC)$. $BH=9,6÷2=4,8$ m ; $[AH]$ est opposé à $ABH$ et $[BH]$ adjacent : $AH=4,8\times \tan ({28}^{\circ })\approx 2,55$ m (1)
2. b)$\cos ({28}^{\circ })={\displaystyle \frac{BH}{AB}}$, donc $AB={\displaystyle \frac{4,8}{\cos ({28}^{\circ })}}\approx 5,44$ m (1)
3. c)Surface $=2\times AB\times 11\approx 119,60$ m², soit environ $120$ m² (avec $AB\approx 5,44$ m : $119,68$, soit aussi $120$ m²) (1)
4. d)$120\times 14=1680$ tuiles, et $1680\times 1,05=1764$ : il commande $1764$ tuiles (1)

Le point clé — Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal fabrique deux triangles rectangles : c’est là qu’on applique la trigonométrie.

1. a)Faux : $\sin ({40}^{\circ })\approx 0,643$ et $2\times \sin ({20}^{\circ })\approx 0,684$ ; le sinus n’est pas proportionnel à l’angle (1)
2. b)Faux : ${\cos }^{-1}(0,6)\approx 53,1^{\circ }$ ; c’est $\cos ({60}^{\circ })$ qui vaut $0,5$ (1)
3. c)Vrai : le côté opposé peut être trois fois plus long que le côté adjacent ; l’angle mesure alors ${\tan }^{-1}(3)\approx 71,6^{\circ }$ (1)
4. d)Vrai : l’autre angle aigu mesure ${90}^{\circ }-{35}^{\circ }={55}^{\circ }$, et le côté adjacent à l’angle de ${55}^{\circ }$ est le côté opposé à l’angle de ${35}^{\circ }$ : $\cos ({55}^{\circ })=\sin ({35}^{\circ })$ (1)

Méthode — Un contre-exemple chiffré suffit pour montrer qu’une affirmation est fausse ; pour « vrai », on s’appuie sur une définition ou une propriété.

1. a)Deux triangles rectangles qui ont le même côté vertical $h$ : l’un a pour côté horizontal $d$ (angle de ${52}^{\circ }$), l’autre $d+25$ (angle de ${35}^{\circ }$) (1)
2. b)$h=d\times \tan ({52}^{\circ })$ et $h=(d+25)\times \tan ({35}^{\circ })$ (1)
3. c)$d\times \tan ({52}^{\circ })=(d+25)\times \tan ({35}^{\circ })$, donc $d\times (\tan ({52}^{\circ })-\tan ({35}^{\circ }))=25\times \tan ({35}^{\circ })$ et $d={\displaystyle \frac{25\times \tan ({35}^{\circ })}{\tan ({52}^{\circ })-\tan ({35}^{\circ })}}\approx 30,2$ m (1)
4. d)$h=d\times \tan ({52}^{\circ })\approx 38,6$ m ; hauteur totale $\approx 38,6+1,6\approx 40$ m (1)

Le point clé — Deux visées, deux triangles rectangles qui partagent la même hauteur : on écrit $h$ de deux façons et on résout l’équation obtenue.