Synthèse : Pythagore, Thalès ou trigonométrie ?

Lire une figure et choisir l’outil (angle droit, parallèles, ce que l’on connaît et ce que l’on cherche), rappels du théorème de Pythagore et de sa réciproque, du théorème de Thalès (triangles emboîtés, papillon) et de sa réciproque, de la trigonométrie (cosinus, sinus, tangente), puis enchaîner plusieurs outils et rédiger un problème de géométrie comme au brevet.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés qui mélangent les trois théorèmes : la barre de renfort d’une porte de garage, la glissière d’un toboggan, un triangle coupé par une parallèle, l’équerre du carreleur, le câble d’un téléphérique et le chemin qui traverse un terrain triangulaire.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais un schéma à main levée et j’y reporte les données : angles droits (verticales, horizontales, coins de rectangle), parallèles, longueurs.
Je repère les triangles utiles : un triangle rectangle (Pythagore, trigonométrie) ou deux sécantes coupées par deux parallèles (Thalès).
Je choisis l’outil à chaque question en me demandant ce que je connais et ce que je cherche ; je vérifie ses hypothèses avant de l’écrire.
Je garde les valeurs exactes (racines, fractions) pour les questions suivantes et je convertis toutes les longueurs dans la même unité.
Je conclus par une phrase, avec l’arrondi demandé et l’unité, et je vérifie que le résultat est plausible (l’hypoténuse est le plus long côté).

Problème 1 · La porte de garage★★★Facile

Une porte de garage rectangulaire mesure

2, 4

m de large et

1, 8

m de haut. Le menuisier fixe une barre de renfort le long d’une diagonale.

1. Quel théorème permet de calculer la longueur de la barre ?
La diagonale est l’hypoténuse du triangle rectangle formé par la largeur et la hauteur de la porte (les angles d’un rectangle sont droits) : théorème de Pythagore.
2. Longueur de la barre : m
$2, 4^{2} + 1, 8^{2} = 5, 76 + 3, 24 = 9$ et $\sqrt{9} = 3$ : la barre mesure $3$ m.
3. La barre fait un angle avec le bas de la porte. Pour cet angle, quel rapport relie la hauteur et la largeur ? (cos, sin ou tan)
La hauteur est le côté opposé à l’angle, la largeur le côté adjacent : opposé et adjacent, c’est la tangente.
4. Mesure de cet angle, arrondie au degré : $°$
$\tan = \frac{1, 8}{2, 4} = 0, 75$ , donc l’angle mesure environ $36, 9 °$ , soit $37 °$ .

Problème 2 · Le toboggan★★★Facile

Un toboggan est formé d’une échelle verticale de

2, 2

m et d’une glissière rectiligne qui part du haut de l’échelle et arrive au sol à

3, 9

m du pied de l’échelle. Le sol est horizontal.

1. Longueur de la glissière, arrondie au centimètre : m
L’échelle est verticale et le sol horizontal : le triangle est rectangle au pied de l’échelle. D’après le théorème de Pythagore : $2, 2^{2} + 3, 9^{2} = 4, 84 + 15, 21 = 20, 05$ , donc la glissière mesure $\sqrt{20, 05} \approx 4, 478$ m, soit $4, 48$ m.
2. Angle de la glissière avec le sol, arrondi au degré : $°$
Pour l’angle au sol, l’échelle est le côté opposé et la distance au sol le côté adjacent : $\tan = \frac{2, 2}{3, 9}$ , donc l’angle mesure environ $29, 4 °$ , soit $29 °$ .
3. Le fabricant accepte un angle d’au plus $30 °$ . Sans changer le point d’arrivée au sol, quelle hauteur d’échelle donnerait exactement $30 °$ ? (au centimètre) m
$\tan (30 °) = \frac{h}{3, 9}$ , donc $h = 3, 9 \times \tan (30 °) \approx 2, 25$ m. L’échelle de $2, 2$ m est plus basse : l’angle reste sous $30 °$ .
4. On garde l’échelle de $2, 2$ m. À quelle distance de son pied la glissière doit-elle arriver pour un angle d’exactement $30 °$ ? (au centimètre) m
$\tan (30 °) = \frac{2, 2}{d}$ , donc $d = \frac{2, 2}{\tan (30 °)} \approx 3, 81$ m. La distance cherchée est en bas du quotient : on divise.

Problème 3 · Le triangle et sa parallèle★★★Moyen

A B C

est un triangle rectangle en

A

avec

A B = 12

cm et

A C = 6, 4

cm. Le point

M

est sur

[A B]

avec

A M = 9

cm, et

N

est le point de

[A C]

tel que

(M N) ∥ (B C)

1. $B C =$ cm
Dans $A B C$ rectangle en $A$ , d’après le théorème de Pythagore : $B C^{2} = 12^{2} + 6, 4^{2} = 144 + 40, 96 = 184, 96$ , donc $B C = \sqrt{184, 96} = 13, 6$ cm.
2. $A N =$ cm
D’après le théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ , soit $\frac{9}{12} = \frac{A N}{6, 4}$ : $A N = \frac{9 \times 6, 4}{12} = 4, 8$ cm.
3. $M N =$ cm
$\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$ : $M N = \frac{9 \times 13, 6}{12} = 10, 2$ cm (avec $B C$ calculé à la première question).
4. Mesure de $A B C$ , arrondie au degré : $°$
Dans $A B C$ rectangle en $A$ , $[A C]$ est opposé à $A B C$ et $[A B]$ adjacent : $\tan (A B C) = \frac{6, 4}{12}$ , donc $A B C \approx 28, 07 °$ , soit $28 °$ .
5. Mesure de $A N M$ , arrondie au degré, sans nouveau calcul de trigonométrie : $°$
$(M N) ∥ (B C)$ : les angles correspondants $A N M$ et $A C B$ sont égaux. Dans $A B C$ rectangle en $A$ , $A C B \approx 90 ° - 28, 07 ° = 61, 93 °$ . Donc $A N M \approx 62 °$ . Le triangle $A M N$ a les mêmes angles que $A B C$ : il est rectangle en $A$ .

Problème 4 · L’équerre du carreleur★★★Moyen

Pour vérifier qu’un coin de pièce est droit, un carreleur mesure

3, 3

m le long d’un mur,

5, 6

m le long de l’autre, puis la distance entre les deux marques :

6, 5

1. Carré du plus grand côté :
$6, 5^{2} = 42, 25$ .
2. Somme des carrés des deux autres côtés :
$3, 3^{2} + 5, 6^{2} = 10, 89 + 31, 36 = 42, 25$ .
3. Quel théorème permet de conclure que le coin est droit ?
Les deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et l’angle opposé au côté de $6, 5$ m, c’est-à-dire le coin, est droit. Pas « Pythagore » tout court : on part de l’égalité pour prouver l’angle droit.
4. Angle entre le mur de $5, 6$ m et la ligne de $6, 5$ m, arrondi au dixième de degré : $°$
Le triangle est rectangle : le côté de $3, 3$ m est opposé à cet angle et la ligne de $6, 5$ m est l’hypoténuse. $\sin = \frac{3, 3}{6, 5}$ , donc l’angle mesure environ $30, 51 °$ , soit $30, 5 °$ .

Problème 5 · Le téléphérique★★★Difficile

Un câble rectiligne relie la gare basse

B

à la gare haute

H

. Il mesure

1 250

m, et la gare haute est

480

m plus haut que la gare basse. On note

P

le point situé à la verticale de

H

, à l’altitude de

B

: le triangle

B P H

est rectangle en

P

1. Distance horizontale $B P$ , arrondie au mètre : m
D’après le théorème de Pythagore : $B P^{2} = 1 250^{2} - 480^{2} = 1 562 500 - 230 400 = 1 332 100$ , donc $B P = \sqrt{1 332 100} \approx 1 154, 2$ m, soit $1 154$ m.
2. Angle du câble avec l’horizontale, arrondi au degré : $°$
$[H P]$ est opposé à l’angle en $B$ et $[B H]$ l’hypoténuse : $\sin = \frac{480}{1 250} = 0, 384$ , donc l’angle mesure environ $22, 6 °$ , soit $23 °$ .
3. On place un repère vertical $[Q S]$ de $42$ m : son pied $Q$ est sur $[B P]$ et son sommet $S$ sur le câble. À quelle distance de $B$ est $Q$ ? (au mètre) m
$[Q S]$ et $[P H]$ sont verticaux, donc parallèles ; $Q \in [B P]$ et $S \in [B H]$ . D’après le théorème de Thalès : $\frac{B Q}{B P} = \frac{Q S}{P H}$ , soit $B Q = \frac{42 \times B P}{480}$ . Avec la valeur non arrondie $B P \approx 1 154, 17$ m : $B Q \approx 100, 99$ m, soit $101$ m.
4. La cabine avance à $6$ m/s le long du câble. Durée de la montée, arrondie à la seconde : s
$1 250 \div 6 \approx 208, 3$ s, soit $208$ s (environ $3$ min $28$ s).

Problème 6 · Le terrain triangulaire★★★Difficile

Un terrain

A B C

a pour côtés

A B = 52

A C = 39

m et

B C = 65

m. Un chemin

[M N]

le traverse, avec

M \in [A B]

A M = 20

N \in [A C]

A N = 15

1. $A B^{2} + A C^{2} =$
$52^{2} + 39^{2} = 2 704 + 1 521 = 4 225$ , à comparer avec $B C^{2} = 65^{2} = 4 225$ .
2. Le triangle $A B C$ est rectangle en
Les deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $A B C$ est rectangle en $A$ , le sommet opposé au plus long côté $[B C]$ .
3. Écris $\frac{A M}{A B}$ sous forme de fraction irréductible :
$\frac{20}{52} = \frac{5}{13}$ ; de même $\frac{A N}{A C} = \frac{15}{39} = \frac{5}{13}$ . Rapports égaux, points dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(M N) ∥ (B C)$ .
4. Longueur du chemin $M N$ : m
D’après le théorème de Thalès : $\frac{M N}{B C} = \frac{5}{13}$ , donc $M N = \frac{5 \times 65}{13} = 25$ m.
5. Aire de la parcelle $M B C N$ : m²
Le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , et $A M N$ aussi (même angle en $A$ ). Aire de $A B C$ : $\frac{52 \times 39}{2} = 1 014$ m² ; aire de $A M N$ : $\frac{20 \times 15}{2} = 150$ m². Aire de $M B C N$ : $1 014 - 150 = 864$ m².

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