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Ces problèmes corrigés sur « Pythagore, Thalès & trigonométrie » en troisième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de troisième et se résolvent étape par étape. Au programme : Trois outils, trois usages : la carte d'identité, Pythagore : calculer une longueur, La réciproque de Pythagore : un triangle est-il rectangle ?, Thalès : la configuration des parallèles. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en troisième.
Des situations concrètes et des problèmes type brevet, classés par niveau. Repère d'abord le bon outil, rédige proprement, puis compare avec la correction.
Facile
Pb 1Un terrain rectangulaire mesure 30 m de long et 40 m de large. Quelle est la longueur de sa diagonale ?
La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 30 et 40.
d² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 → d = √2500 = 50 m.
Pb 2Un écran de télévision a une largeur de 120 cm et une hauteur de 50 cm. Quelle est la diagonale de l'écran (en cm) ?
Triangle rectangle de côtés 120 et 50.
d² = 120² + 50² = 14400 + 2500 = 16900 → d = √16900 = 130 cm.
Pb 3Un mât vertical de 6 m est maintenu par un câble tendu jusqu'au sol, fixé à 8 m du pied du mât. Quelle est la longueur du câble ?
Le câble est l'hypoténuse d'un triangle rectangle (mât vertical, sol horizontal).
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10 m.
Pb 4Une rampe d'accès fait un angle de 5° avec le sol horizontal. Elle s'appuie sur une marche de 0,5 m de hauteur. Quelle est la longueur de la rampe (arrondie au cm) ?
Hauteur = côté opposé à l'angle de 5°, rampe = hypoténuse.
sin 5° = 0,5rampe → rampe = 0,5sin 5° ≈ 0,50,0872 ≈ 5,74 m.
Moyen
Pb 5Pour mesurer la hauteur d'un arbre, on observe que son ombre mesure 12 m au moment où un piquet vertical de 1 m projette une ombre de 1,5 m. Les rayons du soleil sont parallèles. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
Configuration de Thalès (rayons parallèles, sol commun). Les triangles « objet + ombre » sont en proportion :
hauteur arbreombre arbre = hauteur piquetombre piquet → h12 = 11,5.
h = 12 × 11,5 = 8 m.
Pb 6Un bateau quitte un port. Il navigue 9 km vers l'est, puis 12 km vers le nord. À quelle distance, à vol d'oiseau, se trouve-t-il du port ?
Les deux trajets forment un angle droit. La distance directe est l'hypoténuse.
d² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → d = 15 km.
Pb 7Du pied d'une tour, on vise son sommet sous un angle de 32°. On se tient à 40 m du pied de la tour. Quelle est la hauteur de la tour (arrondie au mètre) ?
Triangle rectangle : distance = adjacent (40 m), hauteur = opposé, angle 32°.
tan 32° = hauteur40 → hauteur = 40 × tan 32° ≈ 40 × 0,625 ≈ 25 m.
Pb 8Une piste de ski descend de 300 m de dénivelé (hauteur verticale) sur une longueur de piste de 1500 m. Quel angle (au degré) la piste fait-elle avec l'horizontale ?
Dénivelé = opposé (300 m), longueur de piste = hypoténuse (1500 m).
sin α = 3001500 = 0,2 → α = sin⁻¹(0,2) ≈ 12°.
Difficile
Pb 9ABC est un triangle avec AB = 4,8 cm, AC = 6,4 cm, BC = 8 cm.
a) Montre que ABC est rectangle.
b) Calcule l'angle B̂ (au degré).
a) Plus grand côté BC = 8. BC² = 64 ; AB² + AC² = 4,8² + 6,4² = 23,04 + 40,96 = 64. Égaux → réciproque de Pythagore : ABC est rectangle en A.
b) Pour B̂ : adjacent AB = 4,8, hypoténuse BC = 8 → cos B̂ = 4,88 = 0,6 → B̂ = cos⁻¹(0,6) ≈ 53°.
Pb 10Sur la figure, A, M, B sont alignés et A, N, C sont alignés. (MN) // (BC). On donne AM = 3 cm, MB = 5 cm, AN = 4,5 cm, MN = 4 cm.
a) Calcule AB et AC.
b) Calcule BC.
a) AB = AM + MB = 3 + 5 = 8 cm. Thalès : AMAB = ANAC → 38 = 4,5AC → AC = 8 × 4,53 = 12 cm.
b) AMAB = MNBC → 38 = 4BC → BC = 8 × 43 ≈ 10,7 cm.
Pb 11Un télésiège monte en ligne droite. Au départ, l'angle de la ligne avec l'horizontale est de 25°. Le sommet est 480 m plus haut que le départ (dénivelé vertical).
a) Quelle est la longueur du câble (au mètre) ?
b) Quelle distance horizontale sépare le départ de l'arrivée (au mètre) ?
a) Dénivelé = opposé (480 m), câble = hypoténuse, angle 25°.
sin 25° = 480câble → câble = 480sin 25° ≈ 4800,4226 ≈ 1136 m.
b) Distance horizontale = adjacent : tan 25° = 480d → d = 480tan 25° ≈ 4800,4663 ≈ 1029 m.
Pb 12ABCD est un carré de côté 6 cm. E est le milieu de [BC]. On trace [AE].
a) Calcule AE (au mm).
b) Calcule l'angle que fait [AE] avec [AB] (au degré).
c) Montre que le triangle ABE n'est pas équilatéral.
a) ABE rectangle en B : AB = 6, BE = 3 → AE² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45 → AE = √45 ≈ 6,7 cm.
b) Pour l'angle en A : opposé BE = 3, adjacent AB = 6 → tan = 36 = 0,5 → angle ≈ 27°.
c) Un triangle équilatéral a 3 côtés égaux ; or AB = 6, BE = 3, AE ≈ 6,7 sont tous différents. Donc ABE n'est pas équilatéral (il est seulement rectangle en B).