Espace : boule, sections et sphère terrestre

D. B × h — Prisme droit (et cylindre) : aire de la base × hauteur. Le « ÷ 3 » est réservé à la pyramide et au cône.

A. B × h ÷ 3 — Une pyramide a le tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur : B × h ÷ 3.

A. 4 × π × R² — Une aire contient R au carré : 4 × π × R². 4/3 × π × R³ est le volume de la boule, π × R² l’aire d’un disque, 2 × π × R la longueur d’un cercle.

D. inférieure ou égale à R — La boule est le solide plein : tous les points à une distance de O inférieure ou égale à R. Les points à exactement R de O forment la sphère.

D. un disque de base et un sommet — Le cône a un seul disque de base et un sommet. Deux disques, c’est le cylindre ; une base carrée, une pyramide ; six faces rectangulaires, un pavé.

C. 1 L — 1 dm³ = 1 L = 1 000 cm³ ; 1 cL ne vaut que 10 cm³.

D. 12 arêtes et 8 sommets — Un pavé droit a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets (4 en bas, 4 en haut).

D. π × r² × h — Aire du disque de base, π × r², multipliée par la hauteur. 2 × π × r × h est l’aire latérale ; le « ÷ 3 » donne le cône.

C. la distance du sommet au plan de la base — La hauteur est perpendiculaire à la base ; la génératrice est oblique, donc plus longue que la hauteur.

D. un cercle de centre O et de rayon R — Un grand cercle a le même centre et le même rayon que la sphère : c’est la section par un plan passant par O, comme l’équateur.

A. 2/3 × π × R³ — La moitié de 4/3 × π × R³ est 2/3 × π × R³. 2 × π × R² est la moitié de l’aire de la sphère, pas un volume.

C. depuis l’équateur, de 0° à 90° N ou S — La latitude est l’angle avec le plan de l’équateur : de 0° (équateur) à 90° (pôles), Nord ou Sud. Depuis Greenwich, c’est la longitude.

A. 40,5π cm³ — π × 3² × 4,5 = π × 9 × 4,5 = 40,5π cm³. Sans le carré du rayon on trouve 13,5π ; avec le diamètre au carré, 162π ; avec la hauteur au carré, 60,75π.

B. 10π cm³ — π × 2² × 7,5 ÷ 3 = 30π ÷ 3 = 10π cm³. 30π oublie le « ÷ 3 » ; 5π oublie le carré du rayon.

C. 2,304π cm³ — 4/3 × π × 1,2³ = 4/3 × π × 1,728 = 2,304π cm³. 1,728π oublie le 4/3 ; 5,76π est l’aire de la sphère (4 × π × 1,2²) ; 6,912π met 4 au lieu de 4/3.

A. 48,6 cm³ — Base : 5,4² = 29,16 cm². V = 29,16 × 5 ÷ 3 = 48,6 cm³. 145,8 oublie le « ÷ 3 » ; 72,9 divise par 2 ; 9 oublie le carré du côté (5,4 × 5 ÷ 3).

B. 80π cm³ — Rayon 4 cm : π × 16 × 5 = 80π cm³. Avec le diamètre au carré, on trouverait 320π ; sans le carré, 20π.

D. une réduction de la base — La section a la même forme que la base, en plus petit : un carré pour une base carrée, un triangle pour une base triangulaire…

A. un cercle de même rayon que la sphère — Un plan qui passe par le centre donne un grand cercle, de rayon R. La sphère est une surface : sa section est un cercle, pas un disque.

C. 4,5 L — 1 L = 1 000 cm³, donc 4 500 cm³ = 4,5 L.

C. 3 cm — k = 5 ÷ 10 = 0,5 : la section est un disque de rayon 6 × 0,5 = 3 cm. Le rayon de la base, 6 cm, ne se garde que pour un cylindre.

B. 72 L — 60 × 30 × 40 = 72 000 cm³, et 1 L = 1 000 cm³ : 72 L.

B. 18 cm² — V = B × h, donc B = 126 ÷ 7 = 18 cm². 882 = 126 × 7 ; 42 = 126 ÷ 3 (formule de la pyramide).

B. 16π cm² — 4 × π × 2² = 16π cm². 32/3 π est le volume de la boule ; 8π oublie le carré du rayon (4 × π × 2) ; 4π oublie le facteur 4 (π × 2²).

A. 27 — Le rayon est au cube dans 4/3 × π × R³ : 3³ = 27. 9 = 3² multiplierait l’aire de la sphère ; 81 = 3⁴ a un facteur 3 de trop.

B. 12π cm³ — k = 1/2, donc les volumes sont multipliés par (1/2)³ = 1/8 : 96π ÷ 8 = 12π cm³. 48π divise seulement par 2, 24π par 4.

B. 12,7 cm — 1 L = 1 000 cm³ et B = π × 25 ≈ 78,5 cm² : h = 1 000 ÷ (25π) ≈ 12,7 cm. 3,2 cm vient du diamètre au carré, 40 cm de l’oubli de π.

A. 19 cm³ — La pyramide a le tiers du volume du prisme : 57 ÷ 3 = 19 cm³.

C. 40 cm — r² = 41² − 9² = 1 681 − 81 = 1 600, donc r = 40 cm. 32 = 41 − 9 ; 50 = 41 + 9 ; 41 cm serait un grand cercle (plan passant par le centre).

D. 11 300 L — π × 1,2² × 2,5 = 3,6π ≈ 11,31 m³, soit environ 11 300 L. 9 420 L oublie le carré du rayon ; 1 130 L se trompe dans la conversion (1 m³ = 1 000 L).

A. 12 cm — La hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle : h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc h = 12 cm.

B. 57π cm³ — Petit cône : 81π × (2/3)³ = 81π × 8/27 = 24π cm³ ; tronc : 81π − 24π = 57π cm³. 54π multiplie par 2/3 au lieu de (2/3)³.

C. la moitié du rayon terrestre — Rayon du parallèle = R × cos 60° = R × 0,5 : la moitié du rayon terrestre. Seul l’équateur a le rayon R.

B. 2 — Les volumes sont multipliés par 400 ÷ 50 = 8 = 2³ : les longueurs, donc les rayons, sont multipliées par 2.

D. 24 billes — Cylindre : π × 9 × 12 = 108π cm³. Bille : 4/3 × π × 1,5³ = 4,5π cm³. 108π ÷ 4,5π = 24 billes. 32 oublie le 4/3 de la boule.

C. 905 kg — En mètres : π × 0,2² × 3 = 0,12π ≈ 0,377 m³, puis 0,377 × 2 400 ≈ 905 kg. 377 est le volume en litres, pas la masse.