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Ces problèmes corrigés sur « La trigonométrie dans le triangle rectangle » en troisième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de troisième et se résolvent étape par étape. Au programme : Le triangle rectangle : hypoténuse, côté opposé, côté adjacent, Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu, La calculatrice : mode degré, cos / sin / tan, Choisir la bonne formule (la méthode infaillible). Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en troisième.
Des situations concrètes de type brevet (hauteur, distance, pente). Fais un schéma et pose bien tes calculs avant de regarder la correction. Calculatrice en mode degrés.
Facile
Pb 1Une échelle de 4 m est posée contre un mur. Elle fait un angle de 70° avec le sol horizontal. À quelle hauteur le haut de l'échelle touche-t-il le mur ? (arrondi au dixième)
L'échelle est l'hypoténuse (4 m), la hauteur h est l'opposé à l'angle de 70°. sin(70°) = h4 → h = 4 × sin(70°) ≈ 4 × 0,940 ≈ 3,8 m.
Pb 2Une rampe d'accès monte de 0,5 m de haut sur une longueur horizontale de 6 m. Quel angle fait-elle avec l'horizontale ? (arrondi au degré)
Opposé (hauteur) = 0,5 ; adjacent (horizontale) = 6 → tangente. tan(angle) = 0,56 ≈ 0,083 → angle = tan⁻¹(0,083) ≈ 5°.
Pb 3Pour atteindre le sommet d'un toboggan, on vise depuis le sol. La ligne de visée fait 30° avec le sol, et le sommet est à 12 m de distance le long de cette visée (l'hypoténuse). Quelle est la hauteur du sommet ? (arrondi au dixième)
Hypoténuse = 12, hauteur = opposé à 30°. sin(30°) = h12 → h = 12 × sin(30°) = 12 × 0,5 = 6 m.
Pb 4Un cerf-volant est relié au sol par un fil tendu de 25 m. Le fil fait un angle de 50° avec le sol. À quelle hauteur vole le cerf-volant ? (arrondi au dixième)
Fil = hypoténuse (25), hauteur = opposé à 50°. sin(50°) = h25 → h = 25 × sin(50°) ≈ 25 × 0,766 ≈ 19,2 m.
Moyen
Pb 5Du haut d'un phare de 40 m, un gardien observe un bateau. La ligne de visée fait un angle de 25° vers le bas par rapport à l'horizontale. À quelle distance (horizontale) du pied du phare se trouve le bateau ? (arrondi au mètre)
Le triangle rectangle a pour hauteur 40 m (opposé à l'angle de 25°) et pour base la distance d (adjacent). tan(25°) = 40d → d = 40tan(25°) = 40 ÷ 0,466 ≈ 86 m.
Pb 6Une route de montagne a un panneau « pente 8 % », ce qui signifie qu'elle monte de 8 m pour 100 m parcourus horizontalement. Quel est l'angle de la pente avec l'horizontale ? (arrondi au degré)
Opposé = 8, adjacent = 100 → tangente. tan(angle) = 8100 = 0,08 → angle = tan⁻¹(0,08) ≈ 5°.
Pb 7Un avion décolle en suivant une trajectoire rectiligne qui fait 15° avec la piste horizontale. Après avoir parcouru 2 000 m dans les airs (le long de la trajectoire), à quelle altitude se trouve-t-il ? (arrondi au mètre)
Trajectoire = hypoténuse (2000), altitude = opposé à 15°. sin(15°) = h2000 → h = 2000 × sin(15°) ≈ 2000 × 0,259 ≈ 518 m.
Pb 8Un mât vertical de 6 m est maintenu par un câble tendu du sommet du mât jusqu'à un piquet planté au sol, à 4 m du pied du mât. Quel angle le câble fait-il avec le sol ? (arrondi au degré)
Au piquet, l'opposé est la hauteur du mât (6) et l'adjacent la distance au sol (4) → tangente. tan(angle) = 64 = 1,5 → angle = tan⁻¹(1,5) ≈ 56°.
Difficile
Pb 9Une tour est observée depuis un point A : la ligne de visée du sommet fait 38° avec l'horizontale. A est à 50 m du pied de la tour. L'œil de l'observateur est à 1,6 m du sol.
a) Calcule la hauteur entre l'œil et le sommet.
b) Déduis la hauteur totale de la tour. (arrondis au dixième)
a) tan(38°) = h50 → h = 50 × tan(38°) ≈ 50 × 0,781 ≈ 39,1 m (hauteur au-dessus de l'œil).
b) hauteur totale = 39,1 + 1,6 = 40,7 m. On n'oublie pas la hauteur de l'observateur !
Pb 10Un toboggan a une partie glissante (la pente) de 5 m de long qui fait 35° avec l'horizontale.
a) Quelle est la hauteur du sommet du toboggan ?
b) Quelle est la longueur horizontale occupée au sol ? (arrondis au dixième)
La pente est l'hypoténuse (5 m).
a) hauteur = opposé : sin(35°) = h5 → h = 5 × sin(35°) ≈ 5 × 0,574 ≈ 2,9 m.
b) base = adjacent : cos(35°) = b5 → b = 5 × cos(35°) ≈ 5 × 0,819 ≈ 4,1 m.
Pb 11Deux personnes observent un même ballon dirigeable, depuis deux points alignés avec le pied du ballon, du même côté. La première, à 80 m, le voit sous un angle de 40° au-dessus de l'horizontale.
a) Calcule l'altitude du dirigeable.
b) Sous quel angle la deuxième personne, située à 150 m, le voit-elle ? (arrondis au degré et au mètre)
a) tan(40°) = h80 → h = 80 × tan(40°) ≈ 80 × 0,839 ≈ 67 m.
b) De 150 m : tan(angle) = 67150 ≈ 0,447 → angle = tan⁻¹(0,447) ≈ 24°. Plus on est loin, plus l'angle de visée est petit.
Pb 12Un escalier monte d'un étage à l'autre : il franchit une hauteur totale de 2,7 m sur une longueur horizontale de 3,6 m.
a) Quel angle l'escalier fait-il avec l'horizontale ?
b) Quelle est la longueur de la rampe (l'hypoténuse) ? (arrondis au degré et au dixième)
a) opposé = 2,7 ; adjacent = 3,6 → tangente. tan(angle) = 2,73,6 = 0,75 → angle = tan⁻¹(0,75) ≈ 37°.
b) hypoténuse : sin(37°) = 2,7L → L = 2,7 ÷ sin(37°) ≈ 2,7 ÷ 0,602 ≈ 4,5 m. (Vérif Pythagore : √(2,7² + 3,6²) = √(7,29 + 12,96) = √20,25 = 4,5.)