Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente

Rappels de 4e (hypoténuse, côté adjacent et côté opposé, angles aigus de somme 90°, cosinus), sinus et tangente d’un angle aigu, SOH-CAH-TOA pour choisir la formule, calcul d’une longueur (en multipliant ou en divisant), calcul d’un angle avec les touches cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹, pente en pourcentage, angles complémentaires et valeurs remarquables (30°, 45°, 60°) ; en complément, cos² + sin² = 1 et tan = sin ÷ cos.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés de trigonométrie dans des situations réelles : un panneau solaire incliné, deux bateaux vus d’un phare, un escalier et sa rampe, une rue en pente de 8 %, la hauteur d’un immeuble visé depuis le sol et l’aire d’un triangle isocèle.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais un schéma : je dessine le triangle rectangle, je code l’angle droit, je place l’angle et les longueurs connues.
Je nomme l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé par rapport à l’angle utile.
Je choisis la formule (SOH-CAH-TOA) selon les deux côtés qui interviennent, et j’écris l’égalité avec les lettres.
Je calcule sans arrondir en cours de route, j’arrondis comme demandé et je conclus par une phrase avec l’unité. Pièges : la hauteur des yeux, deux unités différentes, un angle mesuré depuis la verticale.

Problème 1 · Le panneau solaire★★★Facile

Un panneau solaire de

1, 65

m de long est posé sur un toit-terrasse horizontal. Il est incliné de

32 °

par rapport à l’horizontale et son bord bas touche le toit.

1. À quelle hauteur au-dessus du toit se trouve le bord haut du panneau ? (en m, au centimètre)
Le panneau est l’hypoténuse, la hauteur est le côté opposé à l’angle de $32 °$ : hauteur $= 1, 65 \times \sin (32 °) \approx 0, 87$ m.
2. Quelle longueur horizontale le panneau occupe-t-il sur le toit ? (en m, au centimètre)
C’est le côté adjacent : $1, 65 \times \cos (32 °) \approx 1, 40$ m.
3. On installe $6$ rangées identiques à la suite, avec $0, 6$ m d’espace entre le bout d’une rangée et le début de la suivante. Quelle profondeur de toit faut-il ? (en m)
Six rangées et cinq espaces : $6 \times 1, 40 + 5 \times 0, 6 = 8, 4 + 3 = 11, 4$ m.
4. On incline le panneau à $40 °$ . À quelle hauteur est alors son bord haut ? (en m, au centimètre)
$1, 65 \times \sin (40 °) \approx 1, 06$ m : le sinus augmente avec l’angle, le bord haut monte.

Problème 2 · Le phare★★★Facile

Du haut d’un phare, l’œil du gardien est à

48

m au-dessus de la mer. Il voit un bateau

B_{1}

sous un angle de

9 °

en dessous de l’horizontale, puis un bateau

B_{2}

, dans la même direction, sous un angle de

14 °

1. Au niveau de l’œil du gardien, quel angle la visée vers $B_{1}$ fait-elle avec le phare, qui est vertical ? °
L’horizontale du gardien est perpendiculaire au phare : $90 ° - 9 ° = 81 °$ . Dans le triangle rectangle formé par le phare, la mer et la visée, les deux angles aigus ont pour somme $90 °$ : l’angle au niveau du bateau mesure donc $90 ° - 81 ° = 9 °$ . C’est cet angle de $9 °$ qu’on utilise ensuite.
2. À quelle distance du pied du phare est le bateau $B_{1}$ ? (en m, au mètre)
La hauteur $48$ m est opposée à l’angle de $9 °$ , la distance $d_{1}$ lui est adjacente : $\tan (9 °) = \frac{48}{d_{1}}$ , donc $d_{1} = \frac{48}{\tan (9 °)} \approx 303, 1$ m, soit $303$ m.
3. À quelle distance du pied du phare est le bateau $B_{2}$ ? (en m, au mètre)
$d_{2} = \frac{48}{\tan (14 °)} \approx 192, 5$ m, soit $193$ m.
4. Quelle distance sépare les deux bateaux ? Calcule-la avec les distances non arrondies, puis arrondis au mètre.
$\frac{48}{\tan (9 °)} - \frac{48}{\tan (14 °)} \approx 110, 54$ m, soit $111$ m. Avec les valeurs déjà arrondies, $303 - 193 = 110$ : c’est pourquoi on garde les valeurs exactes jusqu’au bout.

Problème 3 · L’escalier★★★Moyen

Chaque marche d’un escalier a une hauteur de

17

cm et une profondeur (le giron) de

28

cm. Un fabricant conseille une inclinaison comprise entre

25 °

40 °

pour un escalier de maison.

1. Quel est l’angle d’inclinaison de l’escalier, arrondi au degré ? °
La hauteur est le côté opposé, le giron le côté adjacent : $\tan (α) = \frac{17}{28}$ , donc $α = \tan^{- 1} (17 \div 28) \approx 31, 3 °$ , soit $31 °$ . Il est entre $25 °$ et $40 °$ .
2. Avec des marches de $17$ cm de haut, quel giron donnerait une inclinaison d’exactement $40 °$ ? (en cm, au dixième)
$\tan (40 °) = \frac{17}{g}$ , donc $g = \frac{17}{\tan (40 °)} \approx 20, 3$ cm. Le giron de $28$ cm est plus long : l’escalier est moins raide que $40 °$ .
3. L’escalier compte $15$ marches. Quelle hauteur relie-t-il ? (en m)
$15 \times 17 = 255$ cm, soit $2, 55$ m.
4. Quelle longueur mesure la rampe qui suit la pente sur toute la hauteur ? (en m, au centimètre)
À l’horizontale : $15 \times 28 = 420$ cm $= 4, 2$ m. Théorème de Pythagore : $L^{2} = 4, 2^{2} + 2, 55^{2} = 17, 64 + 6, 5025 = 24, 1425$ , donc $L \approx 4, 91$ m. Avec le sinus, il faut garder l’angle non arrondi : $\frac{2, 55}{\sin (31 °)} \approx 4, 95$ m serait trop imprécis.

Problème 4 · La rue en pente★★★Moyen

Un panneau indique une pente de

8

% : on monte de

8

m pour

100

m parcourus à l’horizontale. La rue mesure

150

m à l’horizontale.

1. Quel quotient trigonométrique le pourcentage de pente donne-t-il ? (cos, sin ou tan)
Montée (côté opposé) ÷ distance horizontale (côté adjacent) : c’est la tangente de l’angle avec l’horizontale.
2. Quel est l’angle de la rue avec l’horizontale, arrondi au dixième de degré ? °
$\tan (α) = 0, 08$ , donc $α = \tan^{- 1} (0, 08) \approx 4, 6 °$ .
3. De combien de mètres monte-t-on sur toute la rue ?
$150 \times 0, 08 = 12$ m.
4. Quelle distance parcourt un cycliste qui remonte toute la rue, le long de la pente ? (en m, au dixième)
La rue est l’hypoténuse : $\cos (α) = \frac{150}{L}$ , donc $L = \frac{150}{\cos (α)} \approx 150, 5$ m, avec l’angle non arrondi. Le théorème de Pythagore donne le même résultat : $L^{2} = 150^{2} + 12^{2} = 22 644$ .

Problème 5 · L’immeuble★★★Difficile

Depuis un point au sol, Sami vise le sommet d’un immeuble sous un angle de

47 °

par rapport à l’horizontale. Il se trouve à

62

m du pied de l’immeuble et ses yeux sont à

1, 60

m du sol.

1. Quelle hauteur sépare le niveau des yeux de Sami du sommet de l’immeuble ? (en m, au dixième)
La distance $62$ m est adjacente à l’angle, la hauteur cherchée lui est opposée : $h = 62 \times \tan (47 °) \approx 66, 49$ m, soit $66, 5$ m.
2. Quelle est la hauteur totale de l’immeuble ? (en m, au dixième)
$66, 49 + 1, 60 \approx 68, 1$ m : il ne faut pas oublier la hauteur des yeux.
3. Sami recule de $20$ m. Sous quel angle voit-il maintenant le sommet ? (au degré) °
Il est à $82$ m du pied : $\tan (α) = \frac{66, 49}{82} \approx 0, 811$ , donc $α \approx 39, 0 °$ , soit $39 °$ .
4. L’immeuble a un rez-de-chaussée de $4, 5$ m, puis des étages de $3, 2$ m. Combien d’étages complets compte-t-il au-dessus du rez-de-chaussée ?
$(68, 1 - 4, 5) \div 3, 2 \approx 19, 9$ : $19$ étages complets (le reste correspond au toit).

Problème 6 · Le triangle isocèle★★★Difficile

A B C

est isocèle en

A

, avec

A B = A C = 7, 4

cm et

B A C = 64 °

. On note

H

le pied de la hauteur issue de

A

1. Quelle est la mesure de l’angle $B A H$ ? °
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la bissectrice de l’angle : $64 ° \div 2 = 32 °$ .
2. Calcule $B H$ (en cm, au centième).
Dans $A B H$ rectangle en $H$ , $[B H]$ est opposé à $B A H$ : $B H = 7, 4 \times \sin (32 °) \approx 3, 921$ cm.
3. Déduis-en $B C$ (en cm, au dixième).
$H$ est aussi le milieu de $[B C]$ : $B C = 2 \times B H \approx 7, 84$ cm, soit $7, 8$ cm.
4. Calcule l’aire du triangle $A B C$ en gardant les valeurs non arrondies de $B C$ et de $A H$ (en cm², au dixième).
$A H = 7, 4 \times \cos (32 °) \approx 6, 276$ cm ; aire $= \frac{B C \times A H}{2} \approx \frac{7, 843 \times 6, 276}{2} \approx 24, 6$ cm². Avec $B C \approx 7, 8$ cm, on trouverait $24, 5$ cm² : on n’arrondit qu’à la fin.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs