Espace : boule, sections et sphère terrestre

1. a)$V={\displaystyle \frac{\pi \times 4,5^2\times 8}{3}}={\displaystyle \frac{\pi \times 20,25\times 8}{3}}=54\pi$ cm³ $\approx 169,6$ cm³ (1)
2. b)$V=\pi \times 4,5^2\times 8=162\pi$ cm³ $\approx 508,9$ cm³ : c’est trois fois le volume du cône ($3\times 54\pi =162\pi$), car ils ont même base et même hauteur (1)
3. c)$R=9÷2=4,5$ cm ; $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 4,5^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 91,125=121,5\pi$ cm³ $\approx 381,7$ cm³ (1)
4. d)Cône < boule < cylindre. Non : la boule a le même diamètre que le cylindre ($9$ cm), mais ce diamètre dépasse la hauteur de la boîte ($8$ cm) : elle n’y entre pas, bien que son volume soit plus petit (1)

Repère — Même base et même hauteur : le cône vaut le tiers du cylindre ; un volume plus petit ne garantit pas qu’un solide entre dans un autre.

1. a)$V_A=\pi \times 3,2^2\times 24=245,76\pi$ cm³ $\approx 772,1$ cm³ ; $1$ cL $=10$ cm³, donc environ $77,2$ cL $⩾75$ cL : étiquette juste (1)
2. b)$V_B=6\times 6\times 20,5=738$ cm³ $=73,8$ cL $<75$ cL : étiquette fausse. Pour C, le rayon vaut $7÷2=3,5$ cm : $V_C=\pi \times 3,5^2\times 18=220,5\pi$ cm³ $\approx 692,7$ cm³, soit environ $69,3$ cL $<70$ cL : étiquette fausse, de peu (1)
3. c)A : $1,80÷0,77208\approx 2,33$ € le litre ; B : $1,65÷0,738\approx 2,24$ € ; C : $1,40÷0,69272\approx 2,02$ €. C est le plus économique (1)
4. d)$75$ cL $=750$ cm³ et la base a pour aire $\pi \times 3,2^2=10,24\pi$ cm² : $h=750÷(10,24\pi )\approx 23,3$ cm, soit $233$ mm, sous le bord ($24$ cm) (1)

Méthode — On compare des grandeurs dans la même unité : $1$ cL $=10$ cm³ ; pour un cylindre, on divise toujours le diamètre par $2$ avant d’élever au carré.

1. a)La section d’une boule est un disque. Si $H$ est son centre et $M$ un point de son bord, $OHM$ est rectangle en $H$ : $H{M}^2={25}^2-{15}^2=625-225=400$, donc le rayon vaut $20$ cm (1)
2. b)Aire $=\pi \times {20}^2=400\pi$ cm² $\approx 1257$ cm² (1)
3. c)Un rectangle, dont un côté est la hauteur, $10$ cm. Dans le disque de base, la demi-corde vérifie ${\ell }^2=6^2-3,6^2=36-12,96=23,04$, donc $\ell =4,8$ cm : la section mesure $9,6$ cm sur $10$ cm (1)
4. d)Vrai : la section est un carré identique à une face, où que soit le plan. b) Faux : la distance $5$ cm est plus grande que le rayon $4$ cm, le plan ne touche pas la sphère (1)

Le point clé — Pour une sphère, la distance du plan au centre décide de tout : $r^2=R^2-d^2$ si $d<R$, un point si $d=R$, rien si $d>R$.

1. a)$V={\displaystyle \frac{9^2\times 12}{3}}={\displaystyle \frac{81\times 12}{3}}=324$ cm³ (1)
2. b)$k={\displaystyle \frac{SO\prime }{SO}}={\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ; la section est une réduction de la base : $A\prime B\prime =9\times {\displaystyle \frac{1}{3}}=3$ cm (1)
3. c)Avec la formule : ${\displaystyle \frac{3^2\times 4}{3}}=12$ cm³. Avec la réduction : $324\times {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3=324÷27=12$ cm³ (1)
4. d)$324-12=312$ cm³ (1)

Méthode — $k$ se lit sur les hauteurs mesurées depuis le sommet ; les volumes se multiplient par $k^3$, et le tronc se calcule par différence.

1. a)Leur latitude est $0^{\circ }$ : ils sont sur l’équateur, de part et d’autre de Greenwich. Écart : ${30}^{\circ }+{45}^{\circ }={75}^{\circ }$. Arc $=2\times \pi \times 6371\times {\displaystyle \frac{75}{360}}\approx 8340$ km (1)
2. b)Écart de latitude : ${60}^{\circ }-0^{\circ }={60}^{\circ }$, sur un grand cercle : $2\times \pi \times 6371\times {\displaystyle \frac{60}{360}}\approx 6672$ km (1)
3. c)Dans le triangle $OHC$ rectangle en $H$ ($H$ centre du parallèle) : $HC=OC\times \cos {60}^{\circ }=6371\times 0,5=3185,5$ km. Longueur : $2\times \pi \times 3185,5\approx 20015$ km (1)
4. d)L’angle est proportionnel à l’arc : ${\displaystyle \frac{2000}{20015}}\times 360\approx {36}^{\circ }$. Il est alors à la longitude ${45}^{\circ }+{36}^{\circ }={81}^{\circ }$ E (et toujours à ${60}^{\circ }$ N) (1)

Repère — Sur un méridien ou sur l’équateur, l’arc se calcule avec le rayon terrestre ; sur un autre parallèle, avec le rayon $R\times \cos (\text{latitude})$, plus petit.