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Mathématiques 3ᵉ

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Synthèse : Pythagore, Thalès ou trigonométrie ?

Lire une figure et choisir l’outil (angle droit, parallèles, ce que l’on connaît et ce que l’on cherche), rappels du théorème de Pythagore et de sa réciproque, du théorème de Thalès (triangles emboîtés, papillon) et de sa réciproque, de la trigonométrie (cosinus, sinus, tangente), puis enchaîner plusieurs outils et rédiger un problème de géométrie comme au brevet.

À propos de cette page
Un QCM de synthèse en trois niveaux de douze questions : choisir le bon théorème, hypoténuse et côté adjacent, SOH-CAH-TOA, calculs avec Pythagore, Thalès et la trigonométrie, réciproques et contraposées, puis questions qui demandent deux outils à la suite. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté…

    • A. le plus court des trois
    • B. qui touche l’angle droit
    • C. opposé à l’angle droit
    • D. opposé au plus petit angle
    Réponse

    C. opposé à l’angle droit — L’hypoténuse est en face de l’angle droit ; c’est aussi le plus long des trois côtés.

  2. On connaît deux côtés d’un triangle rectangle et l’on cherche le troisième. On utilise…

    • A. le théorème de Pythagore
    • B. le théorème de Thalès
    • C. la réciproque de Pythagore
    • D. la touche tan⁻¹
    Réponse

    A. le théorème de Pythagore — Triangle rectangle et trois longueurs en jeu, sans angle : théorème de Pythagore.

  3. Si le triangle DEF est rectangle en F, alors…

    • A. DF² = DE² + EF²
    • B. EF² = DE² + DF²
    • C. DE = DF + EF
    • D. DE² = DF² + EF²
    Réponse

    D. DE² = DF² + EF² — L’angle droit est en F : l’hypoténuse est [DE], le côté opposé à F. On additionne les carrés des deux autres côtés.

  4. On cherche une longueur dans une figure où deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles. On utilise…

    • A. le théorème de Pythagore
    • B. le théorème de Thalès
    • C. la réciproque de Thalès
    • D. le cosinus d’un angle
    Réponse

    B. le théorème de Thalès — Deux sécantes et deux parallèles, une longueur cherchée : théorème de Thalès. La réciproque, elle, sert à prouver un parallélisme.

  5. Pour un angle aigu d’un triangle rectangle, le côté adjacent est…

    • A. le côté de l’angle droit qui passe par son sommet
    • B. le côté de l’angle droit situé en face de lui
    • C. le côté situé en face de l’angle droit
    • D. le plus long des trois côtés du triangle
    Réponse

    A. le côté de l’angle droit qui passe par son sommet — Le côté adjacent touche l’angle sans être l’hypoténuse ; le côté opposé est en face de l’angle.

  6. Le sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal à…

    • A. adjacent ÷ hypoténuse
    • B. opposé ÷ adjacent
    • C. hypoténuse ÷ opposé
    • D. opposé ÷ hypoténuse
    Réponse

    D. opposé ÷ hypoténuse — SOH : sinus = côté opposé ÷ hypoténuse.

  7. La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer…

    • A. qu’un triangle est rectangle
    • B. que deux droites sont parallèles
    • C. qu’un angle mesure 90°
    • D. que deux longueurs sont égales
    Réponse

    B. que deux droites sont parallèles — Rapports égaux et points dans le même ordre : les droites sont parallèles.

  8. La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer…

    • A. que deux droites sont parallèles
    • B. que deux longueurs sont proportionnelles
    • C. qu’un triangle est rectangle
    • D. qu’un angle mesure 45°
    Réponse

    C. qu’un triangle est rectangle — Si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.

  9. Le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est toujours…

    • A. supérieur à 1
    • B. un nombre négatif
    • C. égal au sinus de cet angle
    • D. compris entre 0 et 1
    Réponse

    D. compris entre 0 et 1 — Le côté adjacent est plus court que l’hypoténuse : le quotient est entre 0 et 1.

  10. Pour calculer un angle à partir de deux côtés d’un triangle rectangle, on utilise…

    • A. la touche cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹
    • B. le théorème de Pythagore
    • C. la réciproque de Thalès
    • D. la somme des trois angles
    Réponse

    A. la touche cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ — On calcule le quotient des deux côtés, puis la touche inverse de la calculatrice donne l’angle.

  11. Dans l’égalité AM/AB = AN/AC = MN/BC, la longueur BC appartient…

    • A. au triangle AMN
    • B. au triangle ABC
    • C. aux deux triangles
    • D. à aucun des deux triangles
    Réponse

    B. au triangle ABC — En haut des rapports, on écrit les côtés du triangle AMN ; en bas, les côtés correspondants du triangle ABC, dont fait partie BC.

  12. Un triangle a deux angles de 35° et 55°. Il est…

    • A. isocèle
    • B. équilatéral
    • C. rectangle
    • D. obtusangle
    Réponse

    C. rectangle — 180° − 35° − 55° = 90° : le troisième angle est droit, le triangle est rectangle.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. ABC est rectangle en A, AB = 6,5 cm et AC = 7,2 cm. Alors BC mesure…

    • A. 13,7 cm
    • B. 9,7 cm
    • C. 94,09 cm
    • D. 3,1 cm
    Réponse

    B. 9,7 cm — 6,5² + 7,2² = 42,25 + 51,84 = 94,09 et la racine carrée de 94,09 est 9,7 : BC = 9,7 cm. 13,7 est la somme des longueurs, pas celle des carrés.

  2. L’hypoténuse mesure 8,9 cm et un côté de l’angle droit 3,9 cm. L’autre côté mesure…

    • A. 5 cm
    • B. 9,7 cm
    • C. 8 cm
    • D. 64 cm
    Réponse

    C. 8 cm — 8,9² − 3,9² = 79,21 − 15,21 = 64 et la racine carrée de 64 est 8 : l’autre côté mesure 8 cm. On soustrait les carrés, pas les longueurs.

  3. Un triangle a pour côtés 8 cm, 11 cm et 14 cm. Il est…

    • A. rectangle car 8 + 11 > 14
    • B. rectangle car 64 + 121 = 185
    • C. non rectangle car 14 est le plus grand
    • D. non rectangle car 196 ≠ 185
    Réponse

    D. non rectangle car 196 ≠ 185 — 14² = 196 et 8² + 11² = 64 + 121 = 185 : les deux résultats sont différents, donc d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle.

  4. M est sur [AB], N sur [AC], (MN) // (BC), AM = 3, AB = 4 et BC = 6. Alors MN vaut…

    • A. 4,5
    • B. 8
    • C. 1,5
    • D. 2
    Réponse

    A. 4,5 — D’après le théorème de Thalès, MN/BC = AM/AB, donc MN = 3 × 6 ÷ 4 = 4,5.

  5. Dans un triangle rectangle d’hypoténuse 9,5 cm, un angle aigu mesure 37°. Quelle est, à peu près, la longueur du côté qui lui fait face ?

    • A. 5,7 cm
    • B. 7,6 cm
    • C. 7,2 cm
    • D. 15,8 cm
    Réponse

    A. 5,7 cm — Opposé et hypoténuse : sinus. Opposé = 9,5 × sin(37°) ≈ 5,72, soit 5,7 cm. 7,6 cm serait le côté adjacent (avec le cosinus).

  6. Le côté adjacent mesure 3,5 cm et l’hypoténuse 5 cm. L’angle mesure environ…

    • A. 44°
    • B. 35°
    • C. 46°
    • D. 55°
    Réponse

    C. 46° — Adjacent et hypoténuse : cosinus. cos = 3,5 ÷ 5 = 0,7, donc l’angle vaut cos⁻¹(0,7) ≈ 45,6°, soit 46°. 44° serait obtenu avec sin⁻¹(0,7).

  7. Points dans le même ordre, AM = 2,4, AB = 6, AN = 3,2 et AC = 8. Alors…

    • A. (MN) et (BC) sont parallèles
    • B. (MN) et (BC) sont perpendiculaires
    • C. on ne peut rien conclure
    • D. (MN) et (BC) sont sécantes
    Réponse

    A. (MN) et (BC) sont parallèles — 2,4 ÷ 6 = 0,4 et 3,2 ÷ 8 = 0,4 : rapports égaux, points dans le même ordre, donc (MN) // (BC) d’après la réciproque du théorème de Thalès.

  8. Une échelle de 2,6 m est posée contre un mur vertical, son pied à 1 m du mur, sur un sol horizontal. Elle atteint une hauteur de…

    • A. 1,6 m
    • B. 2,8 m
    • C. 3,6 m
    • D. 2,4 m
    Réponse

    D. 2,4 m — Le mur et le sol forment un angle droit : 2,6² − 1² = 6,76 − 1 = 5,76 et la racine carrée de 5,76 est 2,4 m.

  9. La tangente d’un angle aigu vaut 5/12 et le côté adjacent mesure 36 cm. Le côté opposé mesure…

    • A. 86,4 cm
    • B. 15 cm
    • C. 5 cm
    • D. 39 cm
    Réponse

    B. 15 cm — tan = opposé ÷ adjacent, donc opposé = 36 × 5/12 = 15 cm. 39 cm est l’hypoténuse.

  10. M est sur [AB], N sur [AC], (MN) // (BC), AN = 2,7, AC = 4,5 et AB = 6. Alors MB vaut…

    • A. 3,6
    • B. 8,4
    • C. 2,4
    • D. 1,8
    Réponse

    C. 2,4 — D’après le théorème de Thalès, AM = 2,7 × 6 ÷ 4,5 = 3,6. Donc MB = AB − AM = 6 − 3,6 = 2,4. 3,6 est AM, pas MB.

  11. Dans le triangle RST rectangle en T, pour l’angle SRT, le côté [ST] est…

    • A. l’hypoténuse
    • B. le côté adjacent
    • C. le côté opposé
    • D. un côté qui ne compte pas
    Réponse

    C. le côté opposé — [ST] ne passe pas par le sommet R : c’est le côté opposé à l’angle SRT. L’hypoténuse est [RS], en face de l’angle droit T.

  12. Un triangle a pour côtés 1,2 m, 160 cm et 2 m. Il est…

    • A. non rectangle : unités différentes
    • B. rectangle car 4 = 1,44 + 2,56
    • C. non rectangle car 4 ≠ 3,04
    • D. rectangle car 2 = 1,2 + 0,8
    Réponse

    B. rectangle car 4 = 1,44 + 2,56 — On convertit : 160 cm = 1,6 m. 2² = 4 et 1,2² + 1,6² = 1,44 + 2,56 = 4 : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. On connaît les trois côtés d’un triangle et l’on veut la mesure d’un de ses angles. La bonne démarche est…

    • A. théorème de Pythagore, puis théorème de Thalès
    • B. théorème de Thalès, puis trigonométrie
    • C. réciproque de Pythagore, puis trigonométrie
    • D. trigonométrie directement, avec le cosinus
    Réponse

    C. réciproque de Pythagore, puis trigonométrie — Il faut d’abord prouver que le triangle est rectangle (réciproque de Pythagore) : sinon, la trigonométrie ne s’applique pas.

  2. ABC est rectangle en A, BC = 12 cm et l’angle ABC mesure 33°. La longueur AB vaut environ…

    • A. 10,1 cm
    • B. 6,5 cm
    • C. 7,8 cm
    • D. 14,3 cm
    Réponse

    A. 10,1 cm — [AB] est le côté adjacent à l’angle ABC et [BC] l’hypoténuse : AB = 12 × cos(33°) ≈ 10,1 cm. 6,5 cm serait AC, obtenu avec le sinus.

  3. Un élève écrit : sin(angle) = 9 ÷ 6 = 1,5. L’erreur vient…

    • A. d’un mauvais arrondi
    • B. de l’oubli de l’unité
    • C. du sinus utilisé à la place du cosinus
    • D. du rapport écrit à l’envers
    Réponse

    D. du rapport écrit à l’envers — Un sinus ne dépasse jamais 1 : l’élève a divisé l’hypoténuse par le côté opposé au lieu de l’inverse.

  4. ABC est rectangle en A, AB = 12 et AC = 5. M est sur [AB] avec AM = 3, N sur [AC], (MN) // (BC). Alors MN vaut…

    • A. 3,25
    • B. 1,25
    • C. 9,75
    • D. 4
    Réponse

    A. 3,25 — Pythagore : BC² = 144 + 25 = 169, donc BC = 13. Thalès : MN = 3 × 13 ÷ 12 = 3,25. 1,25 est AN.

  5. ABC est rectangle en A et l’angle ABC mesure 32°. Pour calculer AB connaissant BC = 10 cm, on peut écrire…

    • A. AB = 10 × sin(58°)
    • B. AB = 10 × sin(32°)
    • C. AB = 10 ÷ cos(32°)
    • D. AB = 10 × tan(58°)
    Réponse

    A. AB = 10 × sin(58°) — L’angle ACB mesure 90° − 32° = 58°, et [AB] est le côté opposé à cet angle : AB = 10 × sin(58°), ce qui donne la même valeur que 10 × cos(32°).

  6. Points dans le même ordre, AM = 3,5, AB = 9, AN = 4,5 et AC = 11,5. Les droites (MN) et (BC) sont…

    • A. parallèles car 3,5/9 ≈ 4,5/11,5
    • B. non parallèles car 40,25 ≠ 40,5
    • C. parallèles d’après Thalès
    • D. non parallèles car 3,5 ≠ 4,5
    Réponse

    B. non parallèles car 40,25 ≠ 40,5 — Produits en croix : 3,5 × 11,5 = 40,25 et 9 × 4,5 = 40,5. Ils sont différents, donc les rapports aussi : d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites ne sont pas parallèles.

  7. Un carré a une diagonale de 10 cm. Son côté mesure…

    • A. 5 cm, la moitié de la diagonale
    • B. √50 cm, soit environ 7,1 cm
    • C. √20 cm, soit environ 4,5 cm
    • D. 50 cm, la moitié de 10²
    Réponse

    B. √50 cm, soit environ 7,1 cm — Avec Pythagore : c² + c² = 10², donc 2c² = 100, c² = 50 et c = √50 ≈ 7,07 cm.

  8. Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu vaut 0,5. Cet angle mesure…

    • A. 30°
    • B. 45°
    • C. 0,5°
    • D. 60°
    Réponse

    D. 60° — La touche cos⁻¹ donne cos⁻¹(0,5) = 60°. C’est le sinus de 30° qui vaut 0,5.

  9. ABC est rectangle en A avec AB = 7 et AC = 24. La tangente de l’angle ACB vaut…

    • A. 24/7
    • B. 24/25
    • C. 7/25
    • D. 7/24
    Réponse

    D. 7/24 — Pour l’angle ACB, le côté opposé est [AB] = 7 et le côté adjacent [AC] = 24 : tan = 7/24.

  10. ABC est rectangle en B ; M est sur [AB], N sur [AC] et (MN) // (BC). Le triangle AMN est…

    • A. rectangle en M
    • B. isocèle en A
    • C. rectangle en A
    • D. rectangle en N
    Réponse

    A. rectangle en M — Les angles correspondants AMN et ABC sont égaux, car (MN) // (BC) : l’angle AMN est droit.

  11. Un triangle a pour côtés 2,9 dm, 20 cm et 0,22 m. Il est…

    • A. non rectangle : unités incompatibles
    • B. rectangle car 841 = 400 + 441
    • C. rectangle car il a trois côtés
    • D. non rectangle car 841 ≠ 884
    Réponse

    D. non rectangle car 841 ≠ 884 — En centimètres : 29, 20 et 22. Le plus long côté mesure 29 cm : 29² = 841, mais 20² + 22² = 400 + 484 = 884. D’après la contraposée du théorème de Pythagore, il n’est pas rectangle.

  12. L’hypoténuse mesure 17 cm et le côté opposé 8 cm. Pour trouver l’angle, on tape…

    • A. sin⁻¹(17 ÷ 8)
    • B. cos⁻¹(8 ÷ 17)
    • C. sin⁻¹(8 ÷ 17)
    • D. tan⁻¹(8 ÷ 17)
    Réponse

    C. sin⁻¹(8 ÷ 17) — Opposé et hypoténuse : sinus, puis la touche sin⁻¹ avec le quotient 8 ÷ 17.

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