Devoir surveillé : Nombres réels, arithmétique et logique

1. a)$11\times 13=143$, donc ${\displaystyle \frac{-143}{11}}=-13$ : c'est un entier négatif, il n'appartient pas à $\mathbb{N}$. Le plus petit ensemble qui le contient est $\mathbb{Z}$ (il appartient aussi à $𝔻$, $\mathbb{Q}$ et $ℝ$). (1 pt) (1)
2. b)$84=42\times 2$ et $126=42\times 3$, donc ${\displaystyle \frac{84}{126}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$, irréductible car $2$ et $3$ n'ont pas d'autre diviseur positif commun que $1$ (0,5 pt). Son dénominateur est $3$, qui ne s'écrit pas avec les seuls facteurs $2$ et $5$ : ${\displaystyle \frac{2}{3}}=0,666\dots$ n'est pas décimal (0,5 pt). (1)
3. c)« et » impose les deux conditions à la fois : $-2⩽x<7$, soit $x\in [-2;7[$ ($-2$ inclus, $7$ exclu). (1 pt) (1)
4. d)La négation de « $P$ et $Q$ » est « (non $P$) ou (non $Q$) » : « $n$ n'est pas un multiple de $5$ ou $n⩽20$ ». (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Nier un « et » donne un « ou » : « $n$ n'est pas un multiple de $5$ et $n⩽20$ » est faux, car il suffit qu'une seule des deux conditions tombe.

1. a)$19\times 23=437$ avec $23\in \mathbb{Z}$ : $437$ est un multiple de $19$, et $19$ est un diviseur de $437$. (1 pt) (1)
2. b)$15\times 16=240$ et $15\times 17=255>250$ ; autrement dit $250=15\times 16+10$ avec $0⩽10<15$. Le plus grand multiple de $15$ inférieur ou égal à $250$ est $240$. (1 pt) (1)
3. c)Soit $a$ et $b$ deux multiples de $6$ : il existe deux entiers $k$ et $k\prime$ tels que $a=6k$ et $b=6k\prime$ (0,5 pt). Alors $a+b=6k+6k\prime =6(k+k\prime )$ ; $K=k+k\prime$ est un entier, donc $a+b=6K$ est un multiple de $6$ (0,5 pt). (1)
4. d)Oui : avec $a=6k$ et $b=6k\prime$ ($k$, $k\prime$ entiers), $ab=36kk\prime$ et $kk\prime$ est un entier : $ab$ est un multiple de $36$. (1 pt) (1)

Méthode — Deux multiples quelconques s'écrivent avec deux lettres, $6k$ et $6k\prime$ : une seule lettre reviendrait à supposer que les deux nombres sont égaux.

1. a)Sur une droite graduée, la zone commune va de $1$ à $5$ : $1$ est exclu de $B$ et $5$ est exclu de $A$, donc $A\cap B=]1;5[$ (0,5 pt). La zone couverte au moins une fois va de $-3$ (inclus dans $A$) à $8$ (inclus dans $B$) : $A\cup B=[-3;8]$ (0,5 pt). (1)
2. b)$x\in B⟺1<x⩽8$ ; on inverse les inégalités et le sens des crochets : $\bar{B}=]-\infty ;1]\cup ]8;+\infty [$. Le réel $1$, exclu de $B$, appartient à $\bar{B}$ ; le réel $8$, inclus dans $B$, n'y appartient pas. (1 pt) (1)
3. c)$|x-2|$ est la distance de $x$ à $2$ ; elle est au plus $5$ : $2-5⩽x⩽2+5$, soit $𝒮=[-3;7]$ (0,5 pt). Tout réel de $[-3;7]$ appartient à $[-3;8]$ : $𝒮\subset A\cup B$ (0,5 pt). (1)
4. d)Elle est fausse : $6\in B$ (car $1<6⩽8$), mais $6^2=36⩾25$. Ce contre-exemple, pris dans $B$, suffit. (1 pt) (1)

Piège — Un contre-exemple doit appartenir à l'ensemble indiqué : $x=-6$ vérifie aussi $x^2⩾25$, mais il n'est pas dans $B$ et ne prouve rien.

1. a)Soit $x$ un nombre décimal : il existe $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$ tels que $x={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$. Comme ${10}^n$ est un entier non nul, $x$ est le quotient de deux entiers : $x\in \mathbb{Q}$. (1 pt) (1)
2. b)Réciproque : « si un nombre est rationnel, alors il est décimal » ; elle est fausse, car ${\displaystyle \frac{1}{3}}\in \mathbb{Q}$ mais ${\displaystyle \frac{1}{3}}\notin 𝔻$ (0,5 pt). Contraposée : « si un nombre n'est pas rationnel, alors il n'est pas décimal » ; elle est vraie, car une implication et sa contraposée sont toujours vraies en même temps (0,5 pt). (1)
3. c)$\sqrt{162}=\sqrt{81\times 2}=9\sqrt{2}$ (0,5 pt). Si $\sqrt{162}$ était rationnel, $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{\sqrt{162}}{9}}$ le serait aussi (quotient de deux rationnels) : impossible, donc $\sqrt{162}$ est irrationnel (0,5 pt). (1)
4. d)Vrai. $(n+5{)}^2-n^2=n^2+10n+25-n^2=10n+25=2(5n+12)+1$, et $5n+12$ est un entier : ce nombre est impair. (1 pt) (1)

Astuce — Une contraposée a toujours la même vérité que l'implication : une fois l'implication démontrée, la contraposée est acquise sans nouveau calcul, ce qui n'est pas le cas de la réciproque.

1. a)$90=6\times 15$ : les multiples de $6$ compris entre $1$ et $90$ sont $6\times 1$, $6\times 2$, …, $6\times 15$, donc $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(R)=15$ (0,5 pt). $90=9\times 10$, donc $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(C)=10$ (0,5 pt). (1)
2. b)On teste les éléments de $C$ : $9$, $27$, $45$, $63$, $81$ sont impairs, donc ne sont pas multiples de $6$ ; en revanche $18=6\times 3$, $36=6\times 6$, $54=6\times 9$, $72=6\times 12$ et $90=6\times 15$. Donc $R\cap C=\{18;36;54;72;90\}$ : ce sont les casiers à la fois rouges et à clé. (1 pt) (1)
3. c)$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(R\cup C)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(R)+\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(C)-\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(R\cap C)=15+10-5=20$, car les $5$ casiers de $R\cap C$ sont comptés deux fois dans $15+10$ (0,5 pt). « Ni rouge ni à clé » est la négation de « rouge ou à clé » : $90-20=70$ casiers (0,5 pt). (1)
4. d)Contre-exemple : le casier $15$. $15=3\times 5$ est un multiple de $3$, mais il est impair, donc pas multiple de $6$, et $9<15<18$, donc pas multiple de $9$ : il n'est ni rouge ni à clé. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Additionner $15+10=25$ compte deux fois les casiers rouges et à clé : pour le cardinal d'une réunion, on retranche le cardinal de l'intersection.

1. a)$27\times 14=378$ et $27\times 15=405>400$, soit $400=27\times 14+22$ avec $0⩽22<27$ : le plus grand multiple cherché est $378$. (0,5 pt) (0,75)
2. b)$|x+1,5|=|x-(-1,5)|$ est la distance de $x$ à $-1,5$. Elle est au plus $4$ : $-1,5-4⩽x⩽-1,5+4$, soit $𝒮=[-5,5;2,5]$. (1 pt) (0,75)
3. c)« $x⩾-2$ et $x<3$ » a pour négation « $x<-2$ ou $x⩾3$ », soit $x\in ]-\infty ;-2[\cup [3;+\infty [$ : c'est le complémentaire de $[-2;3[$. (0,5 pt) (0,75)
4. d)Contraposée : « pour tout réel $x$, si $x⩽3$, alors $x^2⩽9$ » (0,5 pt). L'implication est fausse : pour $x=-4$, $x^2=16>9$ mais $-4⩽3$. Le même $x=-4$ met en défaut la contraposée, ce qui est normal : elles ont toujours la même vérité (0,5 pt). (0,75)

Piège — $|x+1,5|$ mesure la distance à $-1,5$, et non à $1,5$ : on réécrit toujours $x+a$ sous la forme $x-(-a)$ avant de lire le centre.

1. a)Soit $n$ un entier impair : $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Alors $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$, et $m=2k^2+2k$ est un entier : $n^2=2m+1$ est impair. (1 pt) (1)
2. b)Le résultat s'écrit « si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair ». Sa contraposée est « si $n^2$ n'est pas impair, alors $n$ n'est pas impair », c'est-à-dire « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair » (0,5 pt). Elle est vraie, comme l'implication démontrée en a) (0,5 pt). (1)
3. c)Supposons $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a}{b}}$ avec $a$ et $b$ entiers naturels, $b\ne 0$, la fraction étant irréductible. Alors $a^2=2b^2$ : $a^2$ est pair, donc $a$ est pair d'après b) ; avec $a=2k$, on obtient $4k^2=2b^2$, soit $b^2=2k^2$ : $b^2$ est pair, donc $b$ est pair (0,5 pt). Ainsi $2$ divise $a$ et $b$, ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction. Donc $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ (0,5 pt). (1)
4. d)$\sqrt{242}=\sqrt{121\times 2}=11\sqrt{2}$ et $\sqrt{338}=\sqrt{169\times 2}=13\sqrt{2}$, donc $A=24\sqrt{2}-30$ (0,5 pt). Si $A$ était un rationnel $q$, alors $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{q+30}{24}}$ serait rationnel (somme et quotient de rationnels), ce qui contredit c). Donc $A$ est irrationnel (0,5 pt). (1)

Méthode — Pour montrer qu'un nombre est irrationnel, on le suppose rationnel et on isole $\sqrt{2}$ : la contradiction vient de l'irrationalité de $\sqrt{2}$, déjà démontrée.

1. a)Par l'absurde : si ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$, alors ${10}^n=3a$ : ${10}^n$ serait un multiple de $3$ (0,5 pt). Or ${10}^n$ s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros : la somme de ses chiffres vaut $1$, qui n'est pas un multiple de $3$. Contradiction : ${\displaystyle \frac{1}{3}}\notin 𝔻$ (0,5 pt). (1)
2. b)$126=6\times 21$ et $150=6\times 25$ : ${\displaystyle \frac{126}{150}}={\displaystyle \frac{21}{25}}$, irréductible ($21=3\times 7$, $25=5^2$) ; le dénominateur ne contient que le facteur $5$ : c'est un décimal, ${\displaystyle \frac{21}{25}}={\displaystyle \frac{84}{100}}=0,84$ (0,5 pt). $70=2\times 35$ et $132=2\times 66$ : ${\displaystyle \frac{70}{132}}={\displaystyle \frac{35}{66}}$, irréductible ($35=5\times 7$, $66=2\times 3\times 11$) ; le dénominateur contient le facteur $3$ : ce n'est pas un décimal (0,5 pt). (1)
3. c)$150=3\times 50$ est un multiple de $3$, et pourtant ${\displaystyle \frac{126}{150}}=0,84$ est décimal (question b) : c'est un contre-exemple. Le critère du dénominateur ne s'applique qu'à une fraction irréductible. (1 pt) (1)
4. d)Supposons ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ décimal : ${\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$ avec $a\in \mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$. Alors ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}-1={\displaystyle \frac{a-{10}^n}{{10}^n}}$, où $a-{10}^n$ est un entier : ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ serait décimal, ce qui contredit a). Donc ${\displaystyle \frac{4}{3}}\notin 𝔻$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — On ne regarde le dénominateur qu'après avoir rendu la fraction irréductible : un facteur $3$ qui se simplifie ne dit rien sur le caractère décimal.

1. a)L'implication est fausse : $0\in [-1;4]$ mais $0^2=0\notin [1;16]$ (0,5 pt). Réciproque : « si $x^2\in [1;16]$, alors $x\in [-1;4]$ » ; elle est fausse aussi : $(-3{)}^2=9\in [1;16]$ mais $-3\notin [-1;4]$ (0,5 pt). (1)
2. b)Non : $3+5=8$ est pair, mais $3$ et $5$ sont impairs (0,5 pt). La réciproque « si $a$ et $b$ sont pairs, alors $a+b$ est pair » est vraie : avec $a=2k$ et $b=2p$ ($k$, $p$ entiers), $a+b=2(k+p)$ où $k+p$ est un entier (0,5 pt). (1)
3. c)Supposons qu'il existe des entiers $n$ et $k$ tels que $6n+4=6k$. Alors $4=6(k-n)$, donc $k-n={\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$, qui n'est pas un entier, alors que $k-n$ en est un : contradiction. Aucun entier $n$ ne convient. (1 pt) (1)
4. d)$|x-0,5|⩽2⟺x\in [-1,5;2,5]$ et $|x|=|x-0|⩽3⟺x\in [-3;3]$. Comme $[-1,5;2,5]\subset [-3;3]$, l'implication est vraie (0,5 pt). Sa réciproque est fausse : $x=-2$ vérifie $|-2|=2⩽3$, mais $|-2-0,5|=2,5>2$ (0,5 pt). (1)

Astuce — Une implication entre deux conditions sur $x$ revient à une inclusion d'ensembles : « si $x\in I$, alors $x\in J$ » est vraie exactement quand $I\subset J$.

1. a)$N=6a+15b=3(2a+5b)$ et $2a+5b$ est un entier : $N$ est un multiple de $3$, comme somme de deux multiples de $3$. (1 pt) (1)
2. b)Contraposée de a) : « si $N$ n'est pas un multiple de $3$, alors $N$ ne s'écrit pas $6a+15b$ » (0,5 pt). La somme des chiffres de $100$ vaut $1$ : $100$ n'est pas un multiple de $3$, donc la commande est impossible (0,5 pt). (1)
3. c)$6a+15b=99⟺2a+5b=33$ (on divise par $3$). Alors $5b=33-2a$ est impair, donc $b$ est impair, et $5b⩽33$ impose $b⩽6$ : $b\in \{1;3;5\}$ (0,5 pt). $b=1$ donne $a=14$ ; $b=3$ donne $a=9$ ; $b=5$ donne $a=4$. Donc $E=\{(14;1);(9;3);(4;5)\}$ et $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)=3$ (0,5 pt). (1)
4. d)Pour chaque nombre $b$ de boîtes de $15$ tel que $15b⩽N$, elle teste si le reste $N-15b$ est un multiple de $6$ (reste de la division par $6$ nul) : elle renvoie True si $N$ peut s'écrire $6a+15b$, False sinon (0,5 pt). possible(57) : pour $b=0$, $57=6\times 9+3$ ; pour $b=1$, $57-15=42=6\times 7$ : elle renvoie True ($a=7$, $b=1$). possible(9) : pour $b=0$, $9=6\times 1+3$ ; pour $b=1$, $15>9$ et la boucle s'arrête : elle renvoie False (0,5 pt). (1)
5. e)La réciproque « tout multiple de $3$ s'écrit $6a+15b$ » est fausse : $9$ est un multiple de $3$, mais la commande est impossible : $9<15$ impose $b=0$, et $9$ n'est pas un multiple de $6$ (0,5 pt). Soit $N=3m$ avec $m⩾4$ entier. Si $m$ est pair, $m=2a$ et $N=6a$ ($b=0$). Si $m$ est impair, alors $m⩾5$ et $m-5=2a$ avec $a$ entier naturel : $N=3(2a+5)=6a+15$ ($b=1$). Dans les deux cas, la commande est possible (0,5 pt). (1)

Méthode — Pour prouver qu'une commande est impossible, on cherche une propriété partagée par toutes les commandes possibles (ici, être un multiple de $3$) et on raisonne par contraposée.

1. a)$a^2=8m+1$ et $b^2=8m\prime +1$ avec $m$ et $m\prime$ entiers (deux lettres), donc $a^2-5b^2=8m+1-40m\prime -5=8(m-5m\prime )-4$ (0,5 pt). Si l'on avait $a^2-5b^2=8K$ avec $K$ entier, alors $8(m-5m\prime -K)=4$, soit $m-5m\prime -K={\displaystyle \frac{1}{2}}$, qui n'est pas un entier : contradiction (0,5 pt). (1)
2. b)Supposons $\sqrt{5}={\displaystyle \frac{a}{b}}$, fraction irréductible ($a$, $b$ entiers naturels, $b\ne 0$) : $a^2=5b^2$. Si $b$ était pair, $5b^2$ serait pair, donc $a^2$ et $a$ aussi : $2$ diviserait $a$ et $b$, ce qui contredit l'irréductibilité. Donc $b$ est impair, $5b^2$ est impair (produit de deux impairs), $a^2$ aussi, donc $a$ est impair (0,5 pt). D'après a), $a^2-5b^2$ n'est pas un multiple de $8$ ; or il vaut $0=8\times 0$ : contradiction. Donc $\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}$ (0,5 pt). (1)
3. c)${\phi }^2={\displaystyle \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}}={\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{4}}={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}+1=\phi +1$ (0,5 pt). Si $\phi$ était un rationnel $r$, alors $\sqrt{5}=2r-1$ serait rationnel (produit et différence de rationnels), ce qui contredit b). Donc $\phi$ est irrationnel (0,5 pt). (1)
4. d)Contraposée : « si $x$ est rationnel, alors $x^2$ est rationnel ». Elle est vraie : si $x={\displaystyle \frac{p}{q}}$ avec $p$, $q$ entiers et $q\ne 0$, alors $x^2={\displaystyle \frac{p^2}{q^2}}$ avec $p^2$, $q^2$ entiers et $q^2\ne 0$. Donc $(I)$ est vraie (0,5 pt). Réciproque : « si $x$ est irrationnel, alors $x^2$ est irrationnel » ; elle est fausse : $\sqrt{5}$ est irrationnel (question b) mais ${\left(\sqrt{5}\right)}^2=5$ est rationnel (0,5 pt). (1)

Piège — Quand $a^2=5b^2$ avec $a$ et $b$ impairs, la parité ne suffit plus pour conclure : c'est le calcul modulo $8$ (question a) qui donne la contradiction.

1. a)Supposons ${\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$. Alors $7\times {10}^n=15a=3\times 5a$ : $7\times {10}^n$ serait un multiple de $3$ (0,5 pt). Or $7\times {10}^n$ s'écrit avec un $7$ suivi de $n$ zéros : la somme de ses chiffres vaut $7$, qui n'est pas un multiple de $3$. Contradiction : ${\displaystyle \frac{7}{15}}\notin 𝔻$ (0,5 pt). (1)
2. b)$100x=46,666\dots$ et $10x=4,666\dots$ ont la même partie décimale : $100x-10x=46-4=42$, soit $90x=42$ (0,5 pt). Donc $x={\displaystyle \frac{42}{90}}={\displaystyle \frac{7}{15}}$ (on simplifie par $6$). Cette écriture décimale illimitée et périodique est cohérente avec a) (0,5 pt). (1)
3. c)D'après b), $0,466<{\displaystyle \frac{7}{15}}<0,467$ : encadrement d'amplitude ${10}^{-3}$ (0,5 pt). ${\displaystyle \frac{7}{15}}-0,466={\displaystyle \frac{1400-1398}{3000}}={\displaystyle \frac{2}{3000}}={\displaystyle \frac{1}{1500}}$ et $0,467-{\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{1401-1400}{3000}}={\displaystyle \frac{1}{3000}}$. Comme ${\displaystyle \frac{1}{3000}}<{\displaystyle \frac{1}{1500}}$, l'arrondi au millième est $0,467$, alors que la troncature est $0,466$ (0,5 pt). (1)
4. d)Fausse. ${\displaystyle \frac{1}{30}}$ est irréductible et son dénominateur $30=2\times 3\times 5$ contient le facteur $3$ : il n'est pas décimal (0,5 pt). Or ${\displaystyle \frac{7}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{30}}={\displaystyle \frac{14+1}{30}}={\displaystyle \frac{15}{30}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$ est décimal : c'est un contre-exemple (0,5 pt). (1)

Astuce — Pour une écriture périodique, on multiplie par deux puissances de $10$ qui placent la virgule juste avant le début d'une période : ici $100x$ et $10x$, dont la différence est entière.

1. a)Soit $N=p^2+q^2$ avec $p$ et $q$ impairs. D'après le résultat rappelé, $p^2=8m+1$ et $q^2=8m\prime +1$ avec $m$ et $m\prime$ entiers (deux lettres). Alors $N-2=8m+8m\prime =8(m+m\prime )$, où $m+m\prime$ est un entier : $N-2$ est un multiple de $8$. (1 pt) (1)
2. b)$2026=2025+1={45}^2+1^2$, avec $45$ et $1$ impairs : oui (0,5 pt). $2030-2=2028=8\times 253+4$ n'est pas un multiple de $8$ ; par contraposée de a), $2030$ n'est pas la somme des carrés de deux entiers impairs (0,5 pt). (1)
3. c)Réciproque : « si $N-2$ est un multiple de $8$, alors $N$ est la somme des carrés de deux entiers impairs ». Pour $N=42$, $N-2=40=8\times 5$. Les carrés impairs inférieurs à $42$ sont $1$, $9$ et $25$, et $42-1=41$, $42-9=33$, $42-25=17$ ne sont pas des carrés : $42$ n'est pas la somme de deux carrés impairs. La réciproque est fausse. (1 pt) (1)
4. d)Soit $n=2j$ : $n^2=4j^2$. Si $j=2i$, $n^2=16i^2=8\times 2i^2$ ; si $j=2i+1$, $n^2=4(4i^2+4i+1)=8(2i^2+2i)+4$ (0,5 pt). Tout carré s'écrit donc $8m$, $8m+1$ ou $8m+4$. En ajoutant deux tels carrés ($0+0$, $0+1$, $0+4$, $1+1$, $1+4$, $4+4=8$), on obtient un entier de la forme $8M+r$ avec $r\in \{0;1;2;4;5\}$, jamais $8M\prime +7$ : l'écart $7-r$ vaut $7$, $6$, $5$, $3$ ou $2$, qui n'est pas un multiple de $8$. Comme $2023=8\times 252+7$, $2023$ n'est pas la somme de deux carrés (0,5 pt). (1)

Méthode — Une condition nécessaire (« $N-2$ multiple de $8$ ») sert à éliminer des cas par contraposée ; pour conclure qu'un nombre convient, il faut un exemple explicite, comme ${45}^2+1^2$.

1. a)$|L-a|⩽r⟺L\in [a-r;a+r]$ : $I_1=[12,1;12,7]$, $I_2=[12,5;13,3]$ et $I_3=[12,8;13,4]$. (1 pt) (1)
2. b)$L\in I_1\cap I_2=[12,5;12,7]$ (0,5 pt). Centre ${\displaystyle \frac{12,5+12,7}{2}}=12,6$ et rayon ${\displaystyle \frac{12,7-12,5}{2}}=0,1$ : $|L-12,6|⩽0,1$ (0,5 pt). (1)
3. c)Par l'absurde : si les trois étaient fiables, $L$ appartiendrait à $I_1\cap I_3$ ; or tout réel de $I_1$ est inférieur ou égal à $12,7$ et tout réel de $I_3$ est supérieur ou égal à $12,8$ : $I_1\cap I_3=\varnothing$, contradiction (0,5 pt). Pour la même raison, les capteurs 1 et 3 ne sont pas fiables tous les deux : le défaillant est le 1 ou le 3. Si c'est le 3, $L\in I_1\cap I_2=[12,5;12,7]$, non vide ; si c'est le 1, $L\in I_2\cap I_3=[12,8;13,3]$, non vide. Les deux cas restent possibles : on ne peut pas savoir lequel (0,5 pt). (1)
4. d)Si $x$ est un point commun, $x⩽a+r$ et $x⩾b-s$, donc $b-s⩽a+r$, soit $b-a⩽r+s$ (0,5 pt). Contraposée : « si $b-a>r+s$, alors les deux intervalles n'ont aucun point commun ». Pour les capteurs 1 et 3 : $13,1-12,4=0,7>0,3+0,3=0,6$, d'où $I_1\cap I_3=\varnothing$ sans tracer les intervalles (0,5 pt). (1)

Astuce — Deux garanties « à $r$ près » et « à $s$ près » ne peuvent être vraies ensemble que si les centres sont distants d'au plus $r+s$ : un calcul de distance remplace le dessin.

1. a)Si $n=3k$, alors $n^2=3\times 3k^2$ s'écrit $3m$ (0,5 pt). Sinon, parmi $n-1$, $n$, $n+1$, c'est $n-1$ ou $n+1$ qui est un multiple de $3$ : $n-1=3j$ ou $n+1=3j$ avec $j$ entier. Alors $n^2-1=(n-1)(n+1)$ vaut $3j(n+1)$ ou $3j(n-1)$ : c'est un multiple de $3$, $n^2-1=3m$, d'où $n^2=3m+1$ (0,5 pt). (1)
2. b)${10}^n-1$ s'écrit avec $n$ chiffres $9$ : la somme de ses chiffres, $9n$, est un multiple de $3$, donc ${10}^n-1=3q$ avec $q$ entier et ${10}^n+1=3q+2$ (0,5 pt). Si ${10}^n+1$ était un carré, il s'écrirait $3m$ ou $3m+1$ d'après a). Or $3q+2=3m$ donnerait $2=3(m-q)$, et $3q+2=3m+1$ donnerait $1=3(m-q)$ : impossible, car ni $2$ ni $1$ ne sont des multiples de $3$. Donc ${10}^n+1$ n'est pas un carré (0,5 pt). (1)
3. c)$1000001={10}^6+1$ n'est pas un carré d'après b), donc $\sqrt{1000001}$ est irrationnel (0,5 pt). Si $\sqrt{1000001}-1000$ était décimal, il serait rationnel ($𝔻\subset \mathbb{Q}$) et $\sqrt{1000001}$, somme de deux rationnels, serait rationnel : contradiction (0,5 pt). (1)
4. d)$3m+2$ va de $2$ ($m=0$) à $59$ ($m=19$), donc $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)=20$. Si $n$ n'est pas un carré, $\sqrt{n}\notin \mathbb{Q}$ (résultat admis) ; si $n=k^2$, $\sqrt{n}=k\in \mathbb{Q}$. Donc $F=\{1;4;9;16;25;36;49\}$ (0,5 pt). D'après a), aucun carré ne s'écrit $3m+2$ : $E\cap F=\varnothing$, donc $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E\cup F)=20+7-0=27$ (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — Vérifier que $11$, $101$ et $1001$ ne sont pas des carrés ne prouve rien pour tout $n$ : seul l'argument général de la question a) couvre tous les entiers.