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Ensembles de nombres et intervalles
Les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ, décimaux et irrationnels (1/3 et √2), encadrements décimaux, intervalles, intersection, réunion, complémentaire et produit cartésien, valeur absolue et distance.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Le plus petit ensemble qui contient −11 est :
- A. ℕ
- B. 𝔻
- C. ℤ
- D. ℚ
Réponse
C. ℤ — −11 est un entier négatif : il est dans ℤ, pas dans ℕ. Il est aussi dans 𝔻 et ℚ, mais ℤ est le plus petit.
Le nombre 21/8 est :
- A. un décimal non entier
- B. un entier relatif
- C. un rationnel non décimal
- D. un nombre irrationnel
Réponse
A. un décimal non entier — 21/8 est irréductible et 8 = 2³ : il est décimal, égal à 2,625, et ce n’est pas un entier.
Quel symbole complète « 0,7 … 𝔻 » ?
- A. ⊂
- B. ∉
- C. ∪
- D. ∈
Réponse
D. ∈ — 0,7 est un élément, et c’est un décimal : 0,7 ∈ 𝔻. Le symbole ⊂ relie deux ensembles.
L’écriture ℤ ⊂ ℚ signifie que :
- A. tout rationnel est un entier relatif
- B. tout entier relatif est rationnel
- C. ℤ est un élément de l’ensemble ℚ
- D. ℤ et ℚ ont exactement les mêmes éléments
Réponse
B. tout entier relatif est rationnel — L’inclusion dit que chaque élément de ℤ est dans ℚ ; elle est stricte, car 1/2 est rationnel sans être entier.
L’ensemble des réels x tels que −1 < x ≤ 6 est :
- A. [−1 ; 6[
- B. ]−1 ; 6]
- C. [−1 ; 6]
- D. ]−1 ; 6[
Réponse
B. ]−1 ; 6] — Inégalité stricte en −1 : crochet ouvert ; inégalité large en 6 : crochet fermé.
La condition « x ≥ 2,5 » s’écrit :
- A. [2,5 ; +∞]
- B. ]2,5 ; +∞[
- C. ]−∞ ; 2,5]
- D. [2,5 ; +∞[
Réponse
D. [2,5 ; +∞[ — Inégalité large : crochet fermé en 2,5 ; devant +∞, le crochet est toujours ouvert.
|−13| est égal à :
- A. 13
- B. −13
- C. 0
- D. 169
Réponse
A. 13 — −13 est négatif, donc |−13| = −(−13) = 13. Une valeur absolue n’est jamais négative et ce n’est pas un carré.
Parmi ces nombres, lequel est irrationnel ?
- A. √100
- B. 13/7
- C. √13
- D. 0,875
Réponse
C. √13 — √100 = 10 est entier, 13/7 est un quotient d’entiers, 0,875 est décimal. 13 n’est pas un carré parfait : √13 est irrationnel.
La distance entre les points d’abscisses 3 et −8 vaut :
- A. 5
- B. −11
- C. 24
- D. 11
Réponse
D. 11 — La distance est |3 − (−8)| = |11| = 11. Une distance n’est jamais négative.
L’amplitude de l’encadrement 4,62 < x < 4,7 est :
- A. 0,8
- B. 0,08
- C. 0,1
- D. 0,02
Réponse
B. 0,08 — L’amplitude est la différence des bornes : 4,7 − 4,62 = 0,08.
L’arrondi au centième de 5,8371 est :
- A. 5,83
- B. 5,8
- C. 5,84
- D. 5,837
Réponse
C. 5,84 — On garde 5,83 ; la décimale suivante est 7, on augmente : 5,84. 5,83 est la troncature, pas l’arrondi.
Avec A = {1 ; 2 ; 3} et B = {x ; y}, le cardinal de A × B vaut :
- A. 6
- B. 5
- C. 9
- D. 8
Réponse
A. 6 — A × B contient les couples (a ; b) avec a ∈ A et b ∈ B : Card(A × B) = 3 × 2 = 6. On multiplie, on n’additionne pas.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Avec A = [−5 ; 2] et B = [−1 ; 6], l’intersection A ∩ B vaut :
- A. [−5 ; 6]
- B. [−1 ; 2]
- C. ]−1 ; 2[
- D. l’ensemble vide ∅
Réponse
B. [−1 ; 2] — La zone commune va de −1 à 2, deux bornes incluses dans A et dans B. [−5 ; 6] est la réunion.
L’ensemble des solutions de |x − 3| ≤ 4 est :
- A. [−4 ; 4]
- B. [3 ; 7]
- C. [−7 ; 1]
- D. [−1 ; 7]
Réponse
D. [−1 ; 7] — Intervalle de centre 3 et de rayon 4 : de 3 − 4 = −1 à 3 + 4 = 7, bornes incluses.
Le nombre 7/12 est :
- A. un rationnel non décimal
- B. un entier relatif
- C. un nombre décimal
- D. un nombre irrationnel
Réponse
A. un rationnel non décimal — 7/12 est irréductible et 12 = 2² × 3 contient le facteur 3 : il n’est pas décimal (0,58333…), mais c’est un quotient d’entiers.
Le complémentaire de ]−∞ ; −2[ dans ℝ est :
- A. ]−2 ; +∞[
- B. ]−∞ ; −2]
- C. [−2 ; +∞[
- D. ℝ tout entier
Réponse
C. [−2 ; +∞[ — −2 est exclu de l’intervalle de départ, donc il appartient au complémentaire : crochet fermé.
Approfondissement : Le nombre 0,181818… est égal à :
- A. 18/100
- B. 18/90
- C. 18/99
- D. 1/8
Réponse
C. 18/99 — Avec x = 0,1818…, 100x − x = 18, donc 99x = 18 et x = 18/99 = 2/11. 18/100 vaut 0,18 exactement.
La réunion [−4 ; 1[ ∪ [1 ; 3] est égale à :
- A. [−4 ; 3]
- B. [−4 ; 3[
- C. ]−4 ; 3]
- D. aucun intervalle
Réponse
A. [−4 ; 3] — 1, exclu du premier morceau, est inclus dans le second : les morceaux se touchent sans trou. −4 et 3 restent inclus.
La fraction 39/65 est :
- A. non décimale, car 65 = 5 × 13
- B. décimale, égale à 0,65
- C. un nombre irrationnel
- D. décimale, égale à 0,6
Réponse
D. décimale, égale à 0,6 — On simplifie par 13 : 39/65 = 3/5, et 5 seul au dénominateur : décimal, égal à 0,6. On regarde le dénominateur après simplification.
On sait que 2,23 < √5 < 2,24. Alors 3√5 est compris entre :
- A. 6,69 et 6,70
- B. 6,69 et 6,72
- C. 5,23 et 5,24
- D. 6,23 et 6,24
Réponse
B. 6,69 et 6,72 — On multiplie les trois membres par 3, positif : 3 × 2,23 = 6,69 et 3 × 2,24 = 6,72. L’amplitude est multipliée par 3.
|x + 5| représente :
- A. la distance de x à −5
- B. la distance de x à 5
- C. la somme de x et de 5
- D. la distance de 5 à 0
Réponse
A. la distance de x à −5 — On écrit |x + 5| = |x − (−5)| : c’est la distance de x à −5.
L’intervalle [−6 ; 10] s’écrit :
- A. |x − 8| ≤ 2
- B. |x + 2| ≤ 8
- C. |x − 2| ≤ 8
- D. |x − 4| ≤ 16
Réponse
C. |x − 2| ≤ 8 — Centre (−6 + 10) ÷ 2 = 2 et rayon (10 − (−6)) ÷ 2 = 8.
Si x ∈ ]1 ; 4], alors −2x appartient à :
- A. ]−2 ; −8]
- B. [−8 ; −2[
- C. ]−8 ; −2]
- D. [−2 ; −8[
Réponse
B. [−8 ; −2[ — On multiplie 1 < x ≤ 4 par −2, négatif : le sens change, −8 ≤ −2x < −2. La plus petite borne s’écrit à gauche.
Avec A = {2 ; 4} et B = {1 ; 3 ; 5}, le couple (2 ; 5) appartient à :
- A. B × A
- B. A ∩ B
- C. A ∪ B
- D. A × B
Réponse
D. A × B — Son premier élément 2 est dans A et son second 5 est dans B : (2 ; 5) ∈ A × B. Dans B × A, le premier élément doit être dans B. Un couple n’est pas un nombre : il n’est ni dans A ∩ B ni dans A ∪ B.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Si r est un rationnel non nul et s un irrationnel, le produit r × s est :
- A. toujours rationnel
- B. rationnel seulement si s > 0
- C. impossible à déterminer ici
- D. toujours irrationnel
Réponse
D. toujours irrationnel — Si r × s était rationnel, s = (r × s) ÷ r le serait aussi, car r ≠ 0 : contradiction. Avec r = 0, le produit vaudrait 0.
L’affirmation « la somme de deux irrationnels est irrationnelle » est :
- A. vraie, c’est une propriété du cours
- B. fausse : (1 + √5) + (1 − √5) = 2
- C. vraie, sauf si les deux sont négatifs
- D. fausse, car cette somme est toujours entière
Réponse
B. fausse : (1 + √5) + (1 − √5) = 2 — Un seul contre-exemple suffit : 1 + √5 et 1 − √5 sont irrationnels et leur somme vaut 2. La somme n’est pas pour autant toujours entière : √2 + √2 = 2√2.
L’ensemble des solutions de |x − 2| ≥ 5 est :
- A. [−3 ; 7]
- B. ]−3 ; 7[
- C. ]−∞ ; −3] ∪ [7 ; +∞[
- D. ]−∞ ; 3] ∪ [7 ; +∞[
Réponse
C. ]−∞ ; −3] ∪ [7 ; +∞[ — Les réels à une distance au moins 5 de 2 : à gauche de 2 − 5 = −3 ou à droite de 2 + 5 = 7, bornes incluses.
Avec A = ]−∞ ; 5[ et B = [5 ; +∞[, on a :
- A. A ∩ B = ∅ et A ∪ B = ℝ
- B. A ∩ B = {5} et A ∪ B = ℝ
- C. A ∩ B = ∅ et A ∪ B = ℝ*
- D. A ∩ B = 0 et A ∪ B = ℝ
Réponse
A. A ∩ B = ∅ et A ∪ B = ℝ — 5 est exclu de A et inclus dans B : aucun réel n’est dans les deux, l’intersection est vide (et on écrit ∅, pas 0). La réunion couvre tous les réels.
Le nombre 9/(2⁴ × 5³) est :
- A. décimal, égal à 0,0045
- B. un rationnel non décimal
- C. un nombre irrationnel
- D. décimal, égal à 0,045
Réponse
A. décimal, égal à 0,0045 — La fraction est irréductible et son dénominateur 2⁴ × 5³ = 2 000 ne contient que des 2 et des 5 : 9/2 000 = 0,0045.
Dans la démonstration de l’irrationalité de √2, on obtient a² = 2b². On en déduit que a est pair car :
- A. le carré d’un nombre pair est pair
- B. a² est divisible par 4
- C. le carré d’un nombre impair est impair
- D. b est pair
Réponse
C. le carré d’un nombre impair est impair — a² est pair ; si a était impair, a² serait impair. La parité de b se déduit seulement après, de b² = 2k².
Pour démontrer que 1/3 n’est pas décimal, on aboutit à 10ⁿ = 3a, impossible car :
- A. 10ⁿ est un nombre pair
- B. la somme des chiffres de 10ⁿ vaut 1
- C. a ne peut pas être entier
- D. 10ⁿ est un multiple de 5
Réponse
B. la somme des chiffres de 10ⁿ vaut 1 — Un multiple de 3 a une somme de chiffres multiple de 3 ; celle de 10ⁿ vaut 1. Être pair ou multiple de 5 n’empêche pas d’être multiple de 3 (30, 15).
Un balayage de pas 0,001 renvoie un encadrement de √2 :
- A. d’amplitude 0,01
- B. exact : il trouve √2
- C. d’amplitude 0,0001
- D. d’amplitude 0,001
Réponse
D. d’amplitude 0,001 — Les deux valeurs renvoyées diffèrent d’un pas. Le programme ne peut pas trouver √2 exactement : ce nombre n’est pas décimal.
Les réels x tels que |x − 1| < 3 et x ≥ 0 forment :
- A. ]−2 ; 4[
- B. ]0 ; 4[
- C. [0 ; 4[
- D. [0 ; 4]
Réponse
C. [0 ; 4[ — |x − 1| < 3 donne ]−2 ; 4[ ; avec x ≥ 0, on prend l’intersection avec [0 ; +∞[ : [0 ; 4[.
Le complémentaire de [−1 ; 3[ ∪ [5 ; +∞[ dans ℝ est :
- A. ]−∞ ; −1[ ∪ [3 ; 5[
- B. ]−∞ ; −1] ∪ ]3 ; 5]
- C. ]−∞ ; −1[ ∪ ]3 ; 5[
- D. [3 ; 5[
Réponse
A. ]−∞ ; −1[ ∪ [3 ; 5[ — Il manque les réels avant −1 (−1 exclu, car inclus au départ) et ceux de 3 (inclus, car exclu au départ) à 5 (exclu).
Le point équidistant des points d’abscisses −7 et 3 a pour abscisse :
- A. −5
- B. 2
- C. 5
- D. −2
Réponse
D. −2 — C’est le milieu : (−7 + 3) ÷ 2 = −2. Vérification : |−2 − (−7)| = 5 et |−2 − 3| = 5.
Un élève écrit √2 = 1,414. Son erreur :
- A. il fallait écrire √2 = 1,4142
- B. 1,414 n’est qu’une valeur approchée
- C. il fallait écrire √2 = 1,41
- D. il n’y a pas d’erreur
Réponse
B. 1,414 n’est qu’une valeur approchée — √2 est irrationnel : aucun décimal ne lui est égal. On écrit √2 ≈ 1,414.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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