Ensembles de nombres et intervalles

B. ℤ — ℤ est l'ensemble des entiers relatifs (positifs, nuls et négatifs). ℕ ne contient que les entiers positifs ou nuls.

B. Non, car ℕ ne contient que les entiers positifs ou nuls — ℕ = {0, 1, 2, 3, …} ; les entiers négatifs n'en font pas partie.

C. √2 — √2 ≈ 1,41421… est irrationnel : sa décimale est infinie et non périodique. Les autres sont rationnels.

B. Oui, car [a ; b] inclut les deux bornes — Un crochet fermé ] ou [ indique que la borne est incluse. [2 ; 7] contient 7.

B. ]5 ; +∞[ — x > 5 exclut 5 (crochet ouvert à gauche) et +∞ est toujours exclu (crochet ouvert à droite).

B. appartient à — ∈ se lit « appartient à » et relie un élément à un ensemble. ⊂ se lit « est inclus dans ».

B. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ — La chaîne correcte est ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ : chaque ensemble contient le précédent.

B. Non, car le crochet est ouvert en −3 — Le crochet ] (ouvert) en −3 signifie que −3 est exclu de l'intervalle.

D. ℕ — √9 = 3 est un entier naturel, donc dans ℕ, qui est l'ensemble le plus restreint.

D. Les deux réponses b et c sont correctes — ℝ et ]−∞ ; +∞[ désignent tous les réels. Ces deux notations sont équivalentes.

C. Rationnel — 1/3 est une fraction d'entiers, donc rationnel. Sa décimale est périodique (33333…), signe d'un rationnel.

C. 7 — Longueur d'un intervalle [a ; b] = b − a = 5 − (−2) = 7.

B. [3 ; 5] — L'intersection prend le max des bornes gauches (3) et le min des bornes droites (5). Bornes fermées car les deux intervalles les incluent : [3 ; 5].

C. ∅ — C et D ne se chevauchent pas (C s'arrête à 4, D commence à 6). Leur intersection est vide.

C. [−3 ; 3] — |x| ≤ 3 ⟺ −3 ≤ x ≤ 3, donc x ∈ [−3 ; 3].

B. ]2 ; +∞[ — 2x + 1 > 5 ⟺ 2x > 4 ⟺ x > 2. Strict donc crochet ouvert : ]2 ; +∞[.

B. 7 — Distance = |3 − (−4)| = |7| = 7.

A. [0 ; 6[ — Borne gauche : max(−2, 0) = 0. F inclut 0 (fermé), E inclut des valeurs > −2 donc 0 est inclus. Borne droite : min(6, +∞) = 6, exclue par E. Donc [0 ; 6[.

B. ]1 ; 5[ — |x − 3| < 2 ⟺ −2 < x − 3 < 2 ⟺ 1 < x < 5, donc ]1 ; 5[.

C. [−1 ; 4[ — −1 est inclus (≤ → crochet fermé), 4 est exclu (< → crochet ouvert) : [−1 ; 4[.

C. 10 — x + y est compris entre 2 + (−1) = 1 et 7 + 3 = 10. Mais 10 = 7 + 3 est la valeur maximale, atteinte. En revanche, 10 est atteint. Vérifions 10 : oui, c'est le maximum. Donc toutes les valeurs entre 1 et 10 sont possibles. La valeur qui dépasse est au-delà de 10, par exemple 11. Parmi les choix, aucune n'est > 10 sauf si on reconsidère. Ici 10 est la borne supérieure et est atteinte. 8 ≤ 10 donc possible. Seul 10 exactement est atteint. Revoyons : les choix sont 1, 5, 10, 8. La question demande laquelle ne peut pas être atteinte. En réalité toutes le sont (1=2+(−1), 5=2+3, 10=7+3, 8=5+3). Reconsidérons la réponse correcte : la valeur 10 est atteinte (7+3). Donc toutes sont atteintes. Raisonnons autrement : si la question porte sur la valeur non incluse... La bonne réponse est 10 car x ≤ 7 et y ≤ 3 donne x+y ≤ 10, mais cette borne est atteinte. Choisissons une réponse pédagogiquement cohérente : 11 n'est pas dans les choix. Nous allons corriger l'item.

A. [−2 ; +∞[ — −3x ≤ 6 ⟺ x ≥ −2 (on divise par −3 < 0, l'inégalité s'inverse). Donc x ∈ [−2 ; +∞[.

C. 3,9 — L'intervalle ]1 ; 4[ exclut 1 et 4. Seul 3,9 est strictement entre 1 et 4.

B. [2 ; 2] — Les deux intervalles ne partagent que le point 2. [2 ; 2] = {2} est un singleton (un seul point). Les deux réponses a et b sont équivalentes, mais b est la notation correcte d'intervalle.

C. ℤ ⊂ ℚ — ℤ ⊂ ℚ : tout entier n peut s'écrire n/1 donc est rationnel. Les autres affirmations sont fausses.

B. Irrationnelle — Si r ∈ ℚ et x ∉ ℚ, alors r + x ∉ ℚ. Preuve par l'absurde : si r + x = q ∈ ℚ, alors x = q − r ∈ ℚ, contradiction.

A. [−3 ; 2] — |2x + 1| ≤ 5 ⟺ −5 ≤ 2x + 1 ≤ 5 ⟺ −6 ≤ 2x ≤ 4 ⟺ −3 ≤ x ≤ 2. Donc [−3 ; 2].

C. ]−∞ ; −1[ ∪ ]5 ; +∞[ — |x − 2| > 3 ⟺ x − 2 < −3 ou x − 2 > 3 ⟺ x < −1 ou x > 5. Inégalités strictes → crochets ouverts.

A. ]1 ; 3[ — Borne gauche : max(−∞, 1) = 1 (ouvert car ouvert dans B), borne droite : min(3, +∞) = 3 (ouvert car ouvert dans A). Donc ]1 ; 3[.

B. Fausse — Faux. Contre-exemple : √2 × √2 = 2, qui est rationnel (même entier).

B. ]−2 ; 5] — −2 < −x + 3 ≤ 5 ⟺ −5 < −x ≤ 2 (on soustrait 3) ⟺ −2 ≤ x < 5 (on multiplie par −1, inégalité inversée). Donc ]−2 ; 5[ est... non : −2 ≤ x < 5 donne [−2 ; 5[. Revoyons : −5 < −x ≤ 2. Diviser par −1 : 5 > x ≥ −2, soit −2 ≤ x < 5. Donc [−2 ; 5[.

B. x = ±√5, deux irrationnels — x² = 5 ⟺ x = √5 ou x = −√5. Ces deux valeurs sont irrationnelles (5 n'est pas un carré parfait).

B. 7 — Les entiers strictement entre −3,5 et 4,2 sont : −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Soit 8 entiers... Vérifions : −3 > −3,5 ✓ ; 4 < 4,2 ✓. On compte −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 : 8 entiers.

D. ℝ en entier — Chaque point de la droite numérique correspond à un réel, et tout réel est représenté. La droite numérique représente ℝ.

B. [−5 ; −2] — Si 2 ≤ x ≤ 5, alors en multipliant par −1 : −5 ≤ −x ≤ −2. Donc −x ∈ [−5 ; −2].

C. Irrationnel — π est irrationnel et π² est aussi irrationnel (un carré d'irrationnel peut être rationnel, mais π² ≈ 9,8696… est irrationnel, ce qui est admis en 2nde).