Ensembles de nombres et intervalles

Les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ, décimaux et irrationnels (1/3 et √2), encadrements décimaux, intervalles, intersection, réunion, complémentaire et produit cartésien, valeur absolue et distance.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés de 2nde : tolérance d’usinage avec une valeur absolue, test d’appartenance à corriger en Python, hauteur irrationnelle d’une plaque triangulaire, chaîne du froid d’un vaccin en Celsius et en Fahrenheit, et potager carré dont le côté √6 est encadré par balayage.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé en nombres, en inégalités ou en distances (« écart au plus r » devient |x − a| ⩽ r).
Je repère le cas du cours : nature d’un nombre, encadrement, intervalle, intersection ou réunion, valeur absolue.
Je dessine la droite graduée dès qu’il y a des intervalles, et je traite chaque borne : incluse ou exclue.
Je démontre en toutes lettres ce qui est demandé (par l’absurde pour un irrationnel), puis je calcule.
Je conclus dans la situation : pièce acceptée ou non, valeur approchée avec la bonne précision, unité.

Problème 1 · Contrôle qualité dans un atelier d’usinage★★★Facile

Un atelier produit des axes métalliques de diamètre nominal

24, 5

mm. Une pièce est acceptée lorsque l’écart entre son diamètre

d

(en mm) et

24, 5

est inférieur ou égal à

0, 08

mm, c’est-à-dire

| d - 24, 5 | ⩽ 0, 08

. Cinq pièces ont été mesurées : A :

24, 43

; B :

24, 575

; C :

24, 50

; D :

24, 615

; E :

24, 46

1. L’ensemble des diamètres acceptés est l’intervalle $I$ = [ ; ]
Rédaction attendue. $| d - 24, 5 | ⩽ 0, 08$ signifie que la distance de $d$ à $24, 5$ est au plus $0, 08$ : c’est l’intervalle de centre $24, 5$ et de rayon $0, 08$ . Ses bornes sont $24, 5 - 0, 08 = 24, 42$ et $24, 5 + 0, 08 = 24, 58$ , incluses car l’inégalité est large : $I = [24, 42; 24, 58]$ .
2. Écart de la pièce D au diamètre nominal : mm
$| 24, 615 - 24, 5 | = 0, 115 > 0, 08$ : la pièce D est refusée.
3. Nombre de pièces acceptées :
Rédaction attendue. A : $| 24, 43 - 24, 5 | = 0, 07 ⩽ 0, 08$ , acceptée. B : $| 24, 575 - 24, 5 | = 0, 075 ⩽ 0, 08$ , acceptée. C : écart nul, acceptée. D : écart $0, 115$ , refusée. E : $| 24, 46 - 24, 5 | = 0, 04$ , acceptée. Quatre pièces sont acceptées.
4. L’atelier resserre la tolérance à $0, 05$ mm. Nouvel intervalle : $J$ = [ ; ]
Centre $24, 5$ , rayon $0, 05$ : $J = [24, 45; 24, 55]$ .
5. Démontrer que $J \subset I$ , puis donner le nombre de pièces du tableau qui sont dans $I$ mais pas dans $J$ :
Rédaction attendue. Si $d \in J$ , alors $| d - 24, 5 | ⩽ 0, 05$ ; comme $0, 05 ⩽ 0, 08$ , on a $| d - 24, 5 | ⩽ 0, 08$ , donc $d \in I$ : $J \subset I$ . Les pièces acceptées dans $I$ sont A, B, C, E ; dans $J$ , seules C (écart $0$ ) et E (écart $0, 04$ ) restent. A et B sont dans $I$ mais pas dans $J$ : $2$ pièces, ce qui prouve que l’inclusion est stricte.

Problème 2 · Un test d’appartenance écrit en Python★★★Moyen

On veut une fonction Python qui teste si un réel

x

appartient à

E =] - \infty; - 3] \cup] 1; 6 [

. Un élève propose :

def appartient(x):
    if x < -3 or 1 <= x < 6:
        return True
    return False

Écris True ou False quand on te demande ce que renvoie la fonction.

1. Le complémentaire de $E$ dans $ℝ$ est ] ; ] ∪ [6 ; +∞[
Un réel n’est pas dans $E$ s’il vérifie $x > - 3$ et ( $x ⩽ 1$ ou $x ⩾ 6$ ) : $\overset{―}{E} =] - 3; 1] \cup [6; + \infty [$ .
2. appartient(-3) renvoie
-3 < -3 est faux et 1 <= -3 aussi : la fonction renvoie False, alors que $- 3 \in E$ (crochet fermé). Elle devrait renvoyer True.
3. appartient(1) renvoie
1 <= 1 < 6 est vrai : la fonction renvoie True, alors que $1$ est exclu de $] 1; 6 [$ . Elle devrait renvoyer False.
4. Expliquer l’erreur et corriger le test. Dans $E$ , la borne $- 3$ est (incluse ou exclue).
Rédaction attendue. Dans E, −3 est incluse (crochet fermé) et 1 est exclue (crochet ouvert). L’élève a fait l’inverse : il a programmé ]−∞;−3[ ∪ [1;6[. La ligne corrigée est :
```
    if x <= -3 or 1 < x < 6:
```
Avec elle, appartient(-3) renvoie True et appartient(1) renvoie False.
5. $E \cap [- 5; 2] = [- 5; - 3] \cup$ ] ; ]
$] - \infty; - 3]$ rencontre $[- 5; 2]$ sur $[- 5; - 3]$ ; $] 1; 6 [$ le rencontre sur $] 1; 2]$ .
6. $E \cup] - 4; 3]$ = ]−∞ ; [
$] - \infty; - 3]$ et $] - 4; 3]$ se chevauchent : leur réunion est $] - \infty; 3]$ . Puis $] - \infty; 3]$ et $] 1; 6 [$ se chevauchent sur $] 1; 3]$ : la réunion se recolle en $] - \infty; 6 [$ , avec $6$ exclu.
7. Nombre d’entiers relatifs de $E \cap [- 8; 8]$ :
Rédaction attendue. $E \cap [- 8; 8] = [- 8; - 3] \cup] 1; 6 [$ . Le premier morceau contient $- 8$ , $- 7$ , $- 6$ , $- 5$ , $- 4$ , $- 3$ , soit $6$ entiers ; le second $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , soit $4$ entiers ( $1$ et $6$ sont exclus). Les morceaux sont disjoints : $C a r d = 6 + 4 = 10$ .

Problème 3 · Des plaques triangulaires★★★Moyen

Un triangle équilatéral de côté

a

cm a pour hauteur

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

cm. Un artisan découpe des plaques triangulaires équilatérales de côté

12

cm. On admet l’encadrement

1, 7320508 < \sqrt{3} < 1, 7320509

1. Valeur exacte : $h = k \sqrt{3}$ avec $k =$
$h = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$ .
2. Encadrement : $< h <$
On multiplie l’encadrement de $\sqrt{3}$ par $6$ , positif : $6 \times 1, 7320508 = 10, 3923048$ et $6 \times 1, 7320509 = 10, 3923054$ . L’amplitude, $0, 0000006$ , est inférieure à $10^{- 6}$ .
3. Valeur de $h$ arrondie au millième : cm
Les deux bornes commencent par $10, 3923$ : l’arrondi au millième est $10, 392$ (décimale suivante : $3$ ).
4. Démontrer que $h$ n’est pas rationnel. On utilise le fait que $\sqrt{3}$ est
Rédaction attendue. Supposons par l’absurde que $h = 6 \sqrt{3}$ soit rationnel. Alors $\sqrt{3} = \frac{h}{6}$ serait le quotient d’un rationnel par un entier non nul, donc un rationnel. Or $3$ n’est pas un carré parfait : $\sqrt{3}$ est irrationnel. Contradiction : $h$ est irrationnel, et $10, 392$ n’en est qu’une valeur approchée.
5. La machine n’accepte que les hauteurs comprises entre $10, 38$ cm et $10, 40$ cm, c’est-à-dire $| h - 10, 39 | ⩽ r$ avec $r =$
Rédaction attendue. L’intervalle $[10, 38; 10, 40]$ a pour centre $\frac{10, 38 + 10, 40}{2} = 10, 39$ et pour rayon $\frac{10, 40 - 10, 38}{2} = 0, 01$ . D’après l’encadrement, $h - 10, 39$ est compris entre $0, 0023048$ et $0, 0023054$ : il est positif et inférieur à $0, 01$ . La plaque est conforme.
6. Une autre plaque a une hauteur de $8$ cm : son côté $a$ vérifie $a \sqrt{3} = 16$ . Démontrer que $a$ est irrationnel : s’il était rationnel, on aurait $\sqrt{3} = \frac{m}{a}$ avec $m =$
Rédaction attendue. $\frac{a \sqrt{3}}{2} = 8$ donne $a \sqrt{3} = 16$ . Supposons par l’absurde que $a$ soit rationnel ; $a \neq 0$ . Alors $\sqrt{3} = \frac{16}{a}$ serait le quotient d’un entier par un rationnel non nul, donc un rationnel. Or $\sqrt{3}$ est irrationnel : contradiction. Le côté $a$ est irrationnel ; on ne peut le donner qu’en valeur approchée.

Problème 4 · Chaîne du froid et changement d’unité★★★Difficile

Un vaccin doit être conservé à une température

T

(en °C) vérifiant

| T - 5 | ⩽ 3

. Un transporteur étranger travaille en degrés Fahrenheit :

F = \frac{9}{5} T + 32

. Six relevés ont été faits pendant le transport :

1, 8

;

4, 2

;

8, 0

;

8, 4

;

2, 0

;

6, 7

(en °C).

1. Températures autorisées : $I$ = [ ; ]
Distance à $5$ au plus $3$ : de $5 - 3 = 2$ à $5 + 3 = 8$ , bornes incluses.
2. Nombre de relevés hors plage :
Rédaction attendue. On calcule l’écart à $5$ : $| 1, 8 - 5 | = 3, 2 > 3$ (hors plage) ; $| 4, 2 - 5 | = 0, 8$ ; $| 8, 0 - 5 | = 3$ (à la limite, conforme) ; $| 8, 4 - 5 | = 3, 4 > 3$ (hors plage) ; $| 2, 0 - 5 | = 3$ (conforme) ; $| 6, 7 - 5 | = 1, 7$ . Deux relevés sont hors plage : $1, 8$ et $8, 4$ .
3. Démontrer que la condition s’écrit $| F - 41 | ⩽ 5, 4$ . En Fahrenheit, l’intervalle autorisé est $J$ = [ ; ]
Rédaction attendue. $F = 1, 8 T + 32$ . De $2 ⩽ T ⩽ 8$ , on multiplie par $1, 8$ , positif : $3, 6 ⩽ 1, 8 T ⩽ 14, 4$ ; on ajoute $32$ : $35, 6 ⩽ F ⩽ 46, 4$ . Cet intervalle a pour centre $\frac{35, 6 + 46, 4}{2} = 41$ et pour rayon $\frac{46, 4 - 35, 6}{2} = 5, 4$ : la condition est bien $| F - 41 | ⩽ 5, 4$ .
4. Un second protocole impose aussi $T \in [3; 9]$ . Températures respectant les deux : [ ; ]
Les deux contraintes en même temps : intersection $[2; 8] \cap [3; 9] = [3; 8]$ .
5. Un technicien affirme : « toute température acceptable pour le premier protocole l’est aussi pour le second ». Le relevé du tableau qui le contredit est °C
Rédaction attendue. Le relevé $2, 0$ °C vérifie $| 2 - 5 | = 3 ⩽ 3$ , donc $2 \in I$ ; mais $2 < 3$ , donc $2 \notin [3; 9]$ . Un seul contre-exemple suffit : l’affirmation est fausse, $I$ n’est pas inclus dans $[3; 9]$ . L’inverse est faux aussi ( $8, 5 \in [3; 9]$ mais $8, 5 \notin I$ ). La seule inclusion vraie est celle de la plage commune : $[3; 8] \subset I$ et $[3; 8] \subset [3; 9]$ .

Problème 5 · Un potager carré de 6 m²★★★Difficile

Un jardinier veut un potager carré d’aire

6

m². Son côté mesure donc

c = \sqrt{6}

m. Il encadre

c

avec ce programme :

def balayage(pas):
    x = 2
    while x**2 < 6:
        x = x + pas
    return x - pas, x

1. $2^{2} = 4$ et $3^{2} =$ : donc $2 < \sqrt{6} < 3$ et $\sqrt{6}$ n’est pas entier.
$4 < 6 < 9$ , donc $2 < \sqrt{6} < 3$ : $\sqrt{6}$ n’est pas un entier.
2. On suppose $\sqrt{6} = \frac{a}{b}$ , fraction irréductible. Alors $a^{2} = m \times b^{2}$ avec $m =$
En élevant au carré : $6 = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ , donc $a^{2} = 6 b^{2}$ .
3. Démontrer que $\sqrt{6}$ est irrationnel. $a^{2}$ est pair, donc $a$ est pair ; avec $a = 2 k$ , on obtient $2 k^{2} = p \times b^{2}$ avec $p =$
Rédaction attendue. Par l’absurde, supposons $\sqrt{6} = \frac{a}{b}$ , fraction irréductible. Alors $a^{2} = 6 b^{2} = 2 \times 3 b^{2}$ est pair, donc $a$ est pair (le carré d’un impair est impair). Avec $a = 2 k$ : $4 k^{2} = 6 b^{2}$ , soit $2 k^{2} = 3 b^{2}$ . Donc $3 b^{2}$ est pair ; comme $3$ est impair, $b^{2}$ est pair (un produit de deux impairs est impair), donc $b$ est pair. $a$ et $b$ sont pairs : contradiction avec l’irréductibilité. Donc $\sqrt{6}$ est irrationnel.
4. balayage(0.01) donne : $< \sqrt{6} <$
$2, 44^{2} = 5, 9536 < 6$ et $2, 45^{2} = 6, 0025 ⩾ 6$ : la boucle s’arrête en $2, 45$ .
5. Le périmètre $P = 4 \sqrt{6}$ vérifie : $< P <$
On multiplie par $4$ , positif : $4 \times 2, 44 = 9, 76$ et $4 \times 2, 45 = 9, 8$ .
6. La bordure se vend au décimètre : longueur minimale à acheter, au dixième de mètre : m
Rédaction attendue. Il faut une longueur au moins égale à $P$ . Comme $P > 9, 76 > 9, 7$ , $9, 7$ m ne suffisent pas ; comme $P < 9, 8$ , $9, 8$ m suffisent. Il achète $9, 8$ m. Aucune longueur décimale n’est exactement égale à $P$ : $P$ est irrationnel, comme $\sqrt{6}$ .

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