Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

Compléter par un entier relatif. Pour un nombre négatif, écris le signe −.

1. $138=6\times k$ avec $k=$
   $138÷6=23$ : $138=6\times 23$. Donc $138$ est un multiple de $6$, et $6$ est un diviseur de $138$.
2. $255=17\times k$ avec $k=$
   $17\times 15=255$ avec $15\in \mathbb{Z}$ : $17$ divise $255$.
3. $-98=14\times k$ avec $k=$
   $14\times (-7)=-98$ et $-7\in \mathbb{Z}$ : $-98$ est un multiple de $14$. Un multiple peut être négatif, puisque $k$ est un entier relatif.
4. Reste de la division euclidienne de $1004$ par $8$ :
   $8\times 125=1000$ et $8\times 126=1008$ : $1004=8\times 125+4$. Le reste vaut $4$, il n’est pas nul : $8$ ne divise pas $1004$ (d’ailleurs ${\displaystyle \frac{1004}{8}}=125,5$ n’est pas un entier).

Diviseurs positifs : on cherche les paires $\left(d;{\displaystyle \frac{a}{d}}\right)$ et on s’arrête dès que $d\times d>a$.

1. Nombre de diviseurs positifs de $96$ :
   $96$ $=1\times 96$ $=2\times 48$ $=3\times 32$ $=4\times 24$ $=6\times 16$ $=8\times 12$ ; $5$, $7$ et $9$ ne divisent pas $96$, et $10\times 10>96$. Diviseurs positifs : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $16$, $24$, $32$, $48$, $96$, soit $12$ diviseurs.
2. Somme des diviseurs positifs de $61$ :
   $8\times 8=64>61$ : on teste $d$ de $2$ à $7$. $61$ est impair (ni $2$, ni $4$, ni $6$) ; $6+1=7$ n’est pas un multiple de $3$ ; il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ ; $7\times 8=56$ et $7\times 9=63$ encadrent $61$. Ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $61$, de somme $62$ ($61$ est un nombre premier, notion vue au collège).
3. Plus grand diviseur positif commun à $96$ et $132$ :
   $132$ $=1\times 132$ $=2\times 66$ $=3\times 44$ $=4\times 33$ $=6\times 22$ $=11\times 12$ ; $5$, $7$, $8$, $9$, $10$ ne divisent pas $132$, et $12\times 12>132$. Diviseurs positifs de $132$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $11$, $12$, $22$, $33$, $44$, $66$, $132$. En comparant avec ceux de $96$, les diviseurs communs sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ : le plus grand est $12$.

Plus grand multiple, et la fonction Python suivante.

def mystere(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

1. Plus grand multiple de $23$ inférieur ou égal à $500$ :
   Division euclidienne : $500=23\times 21+17$ avec $0⩽17<23$. Le plus grand multiple de $23$ inférieur ou égal à $500$ est $23\times 21=483$ ; le suivant, $483+23$, dépasse $500$.
2. Nombre de multiples de $23$ compris entre $1$ et $500$ :
   Ce sont $23\times 1$, $23\times 2$, …, $23\times 21$ (puisque $23\times 21⩽500<23\times 22$) : il y en a $21$.
3. Que renvoie mystere(36, 1000) ?
   La boucle ajoute $36$ tant que le résultat reste inférieur ou égal à $1000$ : la fonction renvoie le plus grand multiple de $36$ inférieur ou égal à $1000$. Or $1000=36\times 27+28$, donc elle renvoie $36\times 27=972$ (et $972+36=1008>1000$).
4. Démontrer que $-391$ est un multiple de $23$ : $-391=23\times k$ avec $k=$
   Rédaction attendue. $23\times 17=391$, donc $-391=23\times (-17)$. Comme $-17$ est un entier relatif, $-391$ est un multiple de $23$ : $23$ est un diviseur de $-391$.

Diviseurs dans $\mathbb{Z}$ : un diviseur peut être négatif.

1. Nombre de diviseurs de $45$ dans $\mathbb{Z}$ :
   Diviseurs positifs : $45=1\times 45=3\times 15=5\times 9$, soit $1$, $3$, $5$, $9$, $15$, $45$. Dans $\mathbb{Z}$, on ajoute leurs opposés : $\pm 1$, $\pm 3$, $\pm 5$, $\pm 9$, $\pm 15$, $\pm 45$, soit $12$ diviseurs.
2. Justifier que si $d$ divise $a$, alors $-d$ divise $a$. Contrôle : $65=(-5)\times k$ avec $k=$
   Rédaction attendue. Si $d$ divise $a$, il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=kd$. Alors $a=(-k)\times (-d)$, et $-k$ est un entier relatif : $-d$ divise $a$. Contrôle : $65=5\times 13$, donc $65=(-5)\times (-13)$.
3. On cherche les entiers relatifs $n$ tels que $n-2$ divise $7$. Nombre de valeurs possibles de $n$ :
   Les diviseurs de $7$ dans $\mathbb{Z}$ sont $-7$, $-1$, $1$ et $7$. $n-2=-7$ donne $n=-5$ ; $n-2=-1$ donne $n=1$ ; $n-2=1$ donne $n=3$ ; $n-2=7$ donne $n=9$. Il y a $4$ valeurs.
4. Parmi les entiers relatifs $n$ tels que $n-2$ divise $7$, le plus petit est
   D’après la liste $-5$, $1$, $3$, $9$, le plus petit est $-5$ : $n-2=-7$ divise bien $7$, puisque $7=(-7)\times (-1)$. Oublier les diviseurs négatifs ferait perdre deux solutions.

Soit $n$ un entier relatif. Compléter la factorisation.

1. $21n+35=7(3n+c)$ avec $c=$
   $21n+35=7\times 3n+7\times 5=7(3n+5)$, et $3n+5$ est un entier : $21n+35$ est un multiple de $7$.
2. Pour cinq entiers consécutifs : $n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)$ $=5(n+c)$ avec $c=$
   La somme vaut $5n+10=5(n+2)$, et $n+2$ est un entier : la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de $5$.
3. $(n+3{)}^2-(n-3{)}^2=c\times n$ avec $c=$
   Avec les identités remarquables du collège : $(n^2+6n+9)-(n^2-6n+9)=12n$. Comme $n$ est un entier, ce nombre est un multiple de $12$.
4. $12n+30=6(2n+c)$ avec $c=$
   $12n+30=6\times 2n+6\times 5=6(2n+5)$, et $2n+5$ est un entier : $12n+30$ est un multiple de $6$ pour tout entier $n$.

Critères de divisibilité (rappel du collège).

1. Le chiffre $c$ tel que le nombre $58c4$ soit divisible par $9$ : $c=$
   $5+8+c+4=17+c$ doit être un multiple de $9$. Comme $c$ est un chiffre, $17⩽17+c⩽26$ : seul $18$ convient, d’où $c=1$. Vérification : $5814=9\times 646$.
2. Reste de la division euclidienne de $7318$ par $4$ :
   $7318=7300+18$, et $7300=4\times 1825$ est un multiple de $4$. Or $18=4\times 4+2$ : le reste vaut $2$. Le critère le confirme : $18$, formé par les deux derniers chiffres, n’est pas un multiple de $4$.
3. Le plus petit entier naturel non nul multiple à la fois de $6$ et de $10$ :
   Multiples non nuls de $10$ : $10$, $20$, $30$… ; $10$ et $20$ ne sont pas des multiples de $6$, $30=6\times 5$ l’est. Remarque : $30$ n’est pas un multiple de $6\times 10=60$.

La démonstration du cours, avec $n=11$.

1. Démontrer que la somme de deux multiples de $11$ est un multiple de $11$. Contrôle : $132+187=11\times k$ avec $k=$
   Rédaction attendue. Soit $a$ et $b$ deux multiples de $11$ : il existe deux entiers relatifs $k$ et $p$ tels que $a=11k$ et $b=11p$. Alors $a+b=11k+11p=11(k+p)$. Comme $k$ et $p$ sont des entiers, $K=k+p$ est un entier et $a+b=11K$ : $a+b$ est un multiple de $11$. Contrôle : $132=11\times 12$ et $187=11\times 17$, donc $132+187=319=11\times 29$.
2. Démontrer que la différence de deux multiples de $11$ est un multiple de $11$. Contrôle : $187-132=11\times k$ avec $k=$
   Rédaction attendue. Avec les mêmes notations, $a-b=11k-11p=11(k-p)$, et $k-p$ est un entier : $a-b$ est un multiple de $11$. Contrôle : $187-132=55=11\times 5$.
3. Si $a$ est un multiple de $11$, alors $5a$ en est un aussi. Pour $a=143$ : $5a=11\times k$ avec $k=$
   Si $a=11k$, alors $5a=11\times (5k)$ et $5k$ est un entier. Contrôle : $143=11\times 13$, donc $5\times 143=715=11\times 65$.

Nora affirme : « la somme de quatre entiers consécutifs est toujours un multiple de 4 ». Soit $n$ un entier relatif.

1. $n+(n+1)+(n+2)+(n+3)$ $=4n+c$ avec $c=$
   $n+n+1+n+2+n+3=4n+6$. Un contre-exemple suffit déjà à montrer que Nora se trompe : $1+2+3+4=10$, qui n’est pas un multiple de $4$.
2. Démontrer que cette somme n’est jamais un multiple de $4$. Elle s’écrit $4(n+1)+r$ avec $r=$
   Rédaction attendue. $4n+6=4(n+1)+2$. Supposons qu’il existe un entier $m$ tel que $4n+6=4m$. Alors $4m-4(n+1)=2$, soit $4(m-n-1)=2$, d’où $m-n-1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : c’est impossible, car $m-n-1$ est un entier. Donc la somme de quatre entiers consécutifs n’est jamais un multiple de $4$ (raisonnement par l’absurde).

On cherche les entiers naturels $n$ tels que $n+3$ divise $n+17$.

1. Démontrer que si $n+3$ divise $n+17$, alors $n+3$ divise un entier qui ne dépend pas de $n$, égal à
   Rédaction attendue. Supposons que $n+3$ divise $n+17$. Comme $n+3$ divise aussi $n+3$, il divise la différence de ces deux multiples de $n+3$ (propriété du cours) : $(n+17)-(n+3)=14$. Donc $n+3$ divise $14$.
2. Nombre d’entiers naturels $n$ qui conviennent :
   $n⩾0$ donne $n+3⩾3$. Les diviseurs positifs de $14$ sont $1$, $2$, $7$, $14$ ; seuls $7$ et $14$ sont au moins égaux à $3$ : $n=4$ ou $n=11$. La première question ne donnait qu’une condition nécessaire, on vérifie : pour $n=4$, $21=7\times 3$ ; pour $n=11$, $28=14\times 2$. Il y a deux solutions.
3. Même méthode : nombre d’entiers naturels $n$ tels que $n+2$ divise $n+12$ :
   $n+2$ divise $(n+12)-(n+2)=10$ et $n+2⩾2$ : $n+2\in \{2;5;10\}$, d’où $n=0$, $3$ ou $8$. Vérification : $2$ divise $12$, $5$ divise $15$, $10$ divise $20$. Il y a $3$ solutions.

Soit $n$ un entier relatif. Écris pair ou impair.

1. $4n+10$ est
   $4n+10=2(2n+5)$, et $2n+5$ est un entier : $4n+10$ est pair.
2. $6n+7$ est
   $6n+7=6n+6+1=2(3n+3)+1$, et $3n+3$ est un entier : $6n+7$ est impair.
3. $(2n+1)(2n-1)$ est
   On développe : $(2n+1)(2n-1)$ $=4n^2-1$ $=4n^2-2+1$ $=2(2n^2-1)+1$, et $2n^2-1$ est un entier : ce nombre est impair (c’est le produit de deux impairs).
4. $8n-13$ est
   $8n-13=8n-14+1=2(4n-7)+1$, et $4n-7$ est un entier : $8n-13$ est impair. Que $4n-7$ soit négatif ne gêne pas : $k$ est un entier relatif.

Écrire chaque entier sous la forme demandée, avec $k\in \mathbb{Z}$. Pour un nombre négatif, écris le signe −.

1. $-15=2k+1$ avec $k=$
   $2\times (-8)+1=-16+1=-15$ : $-15$ est impair. Attention, $k=-7$ donnerait $-13$.
2. $37=2k+1$ avec $k=$
   $2\times 18+1=37$ : $37$ est impair.
3. $-1=2k+1$ avec $k=$
   $2\times (-1)+1=-2+1=-1$ : $-1$ est impair.
4. $-40=2k$ avec $k=$
   $2\times (-20)=-40$ : $-40$ est pair.

Dans tout l’exercice, les lettres désignent des entiers relatifs.

1. Soit $a$ et $b$ deux entiers impairs : démontrer que $a+b$ est pair. Avec $a=2k+1$ et $b=2p+1$, on obtient $a+b=2(k+p+c)$ avec $c=$
   Rédaction attendue. Soit $a$ et $b$ deux entiers impairs : il existe deux entiers $k$ et $p$ tels que $a=2k+1$ et $b=2p+1$. Alors $a+b=2k+2p+2=2(k+p+1)$, et $k+p+1$ est un entier. Donc $a+b$ est pair.
2. Soit $a$ un entier pair et $b$ un entier quelconque : démontrer que $ab$ est pair. Contrôle : pour $a=-12$ et $b=17$, $ab=2K$ avec $K=$
   Rédaction attendue. Soit $a$ un entier pair et $b$ un entier : il existe un entier $c$ tel que $a=2c$. Alors $ab=2c\times b=2(c\times b)$, et $c\times b$ est un entier (produit d’entiers). Donc $ab$ est pair, quelle que soit la parité de $b$. Contrôle : $-12=2\times (-6)$, donc $K=-6\times 17=-102$, et $2\times (-102)=-204=-12\times 17$.
3. Démontrer que le carré d’un entier impair est impair. Contrôle : ${13}^2=2m+1$ avec $m=$
   Rédaction attendue. Soit $n$ impair : $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Alors $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$, et $m=2k^2+2k$ est un entier (sommes et produits d’entiers) : $n^2$ est impair. Contrôle : $13=2\times 6+1$, donc $m=2\times 36+12=84$, et $2\times 84+1=169=13\times 13$.
4. Un entier $n$ est tel que $n^2$ est pair. Alors $n$ est
   Rédaction attendue. Raisonnons par l’absurde : si $n$ était impair, $n^2$ serait impair d’après la propriété démontrée juste avant, ce qui contredit l’hypothèse « $n^2$ est pair ». Donc $n$ est pair (c’est la contraposée de « si $n$ est impair, $n^2$ est impair »).

Soit $n$ un entier relatif.

1. Démontrer que $n^2+n$ est pair, en distinguant deux cas. Pour $n=2k+1$ : $n^2+n=2(2k+1)(k+c)$ avec $c=$
   Rédaction attendue. On factorise : $n^2+n=n(n+1)$.
   • Si $n$ est pair, $n=2k$ et $n(n+1)=2\times k(2k+1)$ : c’est un nombre pair.
   • Si $n$ est impair, $n=2k+1$, donc $n+1=2k+2=2(k+1)$ et $n(n+1)=2(2k+1)(k+1)$ : c’est un nombre pair.
   Dans tous les cas, $n^2+n$ est pair.
2. En déduire la parité de $n^2+3n+5$ : il est
   $n^2+3n+5=(n^2+n)+2n+4+1$. D’après la question précédente, $n^2+n=2p$ avec $p\in \mathbb{Z}$. Donc $n^2+3n+5$ $=2p+2n+4+1$ $=2(p+n+2)+1$, et $p+n+2$ est un entier : $n^2+3n+5$ est impair pour tout entier $n$.

Carrés impairs et multiples de $8$. Soit $n$ un entier impair, écrit $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

1. $n^2-1=4k(k+c)$ avec $c=$
   $n^2-1$ $=(2k+1{)}^2-1$ $=4k^2+4k+1-1$ $=4k^2+4k$ $=4k(k+1)$.
2. Démontrer que $n^2-1$ est un multiple de $8$. Contrôle : ${15}^2=8m+1$ avec $m=$
   Rédaction attendue. $k$ et $k+1$ sont deux entiers consécutifs : l’un des deux est pair, donc leur produit est pair : $k(k+1)=2m$ avec $m\in \mathbb{Z}$. Alors $n^2-1=4\times 2m=8m$ : c’est un multiple de $8$, et $n^2=8m+1$. Contrôle : ${15}^2=225=8\times 28+1$.
3. Un élève affirme : « $n^2-1$ est un multiple de $8$ pour tout entier $n$ ». Le plus petit entier naturel non nul qui le contredit est
   Pour $n=1$, $n^2-1=0=8\times 0$ : pas de contradiction. Pour $n=2$, $n^2-1=3$, qui n’est pas un multiple de $8$ : c’est un contre-exemple. Le résultat précédent ne vaut que pour les entiers impairs : l’élève a oublié cette condition.

Donner la forme irréductible. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/9) ; pour un nombre négatif, écris le signe −.

1. ${\displaystyle \frac{35}{49}}=$
   $35=5\times 7$ et $49=7\times 7$ : on simplifie par $7$, d’où ${\displaystyle \frac{5}{7}}$ ; $5$ et $7$ n’ont pas d’autre diviseur positif commun que $1$.
2. ${\displaystyle \frac{84}{36}}=$
   $84=2^2\times 3\times 7$ et $36=2^2\times 3^2$ : facteurs communs $2^2\times 3=12$. ${\displaystyle \frac{84}{36}}={\displaystyle \frac{7}{3}}$.
3. ${\displaystyle \frac{-42}{66}}=$
   $42=2\times 3\times 7$ et $66=2\times 3\times 11$ : on simplifie par $6$, d’où $-{\displaystyle \frac{7}{11}}$.
4. ${\displaystyle \frac{125}{100}}=$
   $125=5^3$ et $100=2^2\times 5^2$ : on simplifie par $5^2=25$, d’où ${\displaystyle \frac{5}{4}}$.

On donne $1260=2^2\times 3^2\times 5\times 7$.

1. $1176=2^a\times 3\times 7^2$ avec $a=$
   On divise par les plus petits nombres premiers possibles : $1176$ $=2\times 588$ $=2\times 2\times 294$ $=2\times 2\times 2\times 147$, puis $147=3\times 49=3\times 7\times 7$. Donc $1176=2^3\times 3\times 7^2$ (vérification : $8\times 3\times 49=1176$).
2. Forme irréductible de ${\displaystyle \frac{1176}{1260}}$ :
   Facteurs communs : $2^2$, $3$ et $7$. ${\displaystyle \frac{1176}{1260}}$ $={\displaystyle \frac{2^3\times 3\times 7^2}{2^2\times 3^2\times 5\times 7}}$ $={\displaystyle \frac{2\times 7}{3\times 5}}$ $={\displaystyle \frac{14}{15}}$. $14=2\times 7$ et $15=3\times 5$ n’ont aucun facteur premier commun : c’est la forme irréductible.
3. $A={\displaystyle \frac{1176}{1260}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}$ sous forme irréductible : $A=$
   $A={\displaystyle \frac{14}{15}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{14}{15}}-{\displaystyle \frac{6}{15}}={\displaystyle \frac{8}{15}}$. $8=2^3$ et $15=3\times 5$ n’ont aucun facteur premier commun : $A={\displaystyle \frac{8}{15}}$.

Démontrer, puis simplifier.

1. Démontrer que ${\displaystyle \frac{1001}{1365}}$ n’est pas irréductible, puis donner sa forme irréductible :
   Rédaction attendue. $1001=7\times 11\times 13$ et $1365=3\times 5\times 7\times 13$. Le numérateur et le dénominateur ont le diviseur commun $7\times 13=91$, différent de $1$ : la fraction n’est pas irréductible. En simplifiant par $91$ : ${\displaystyle \frac{1001}{1365}}={\displaystyle \frac{11}{3\times 5}}={\displaystyle \frac{11}{15}}$. $11$ et $15=3\times 5$ n’ont aucun facteur premier commun : ${\displaystyle \frac{11}{15}}$ est irréductible.
2. ${\displaystyle \frac{7}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{18}}$ sous forme irréductible :
   $12=2^2\times 3$ et $18=2\times 3^2$ : dénominateur commun $2^2\times 3^2=36$. ${\displaystyle \frac{7}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{18}}={\displaystyle \frac{21}{36}}+{\displaystyle \frac{10}{36}}={\displaystyle \frac{31}{36}}$. Les seuls diviseurs positifs de $31$ sont $1$ et $31$, et $31$ ne divise pas $36$ : la fraction est irréductible.
3. ${\displaystyle \frac{14}{45}}\times {\displaystyle \frac{27}{8}}$ sous forme irréductible :
   On simplifie avant de multiplier : ${\displaystyle \frac{14\times 27}{45\times 8}}$ $={\displaystyle \frac{2\times 7\times 3^3}{3^2\times 5\times 2^3}}$ $={\displaystyle \frac{7\times 3}{5\times 2^2}}$ $={\displaystyle \frac{21}{20}}$. $21=3\times 7$ et $20=2^2\times 5$ n’ont aucun facteur commun.

Décomposer, puis simplifier.

1. $693=3^a\times 7\times 11$ avec $a=$
   $6+9+3=18$ : $693$ est divisible par $9$. $693=3\times 231=3\times 3\times 77=3^2\times 7\times 11$ (vérification : $9\times 77=693$).
2. $858=2\times 3\times 11\times p$, où $p$ est un nombre premier : $p=$
   $858=2\times 429$ ; $4+2+9=15$, donc $429=3\times 143$ ; enfin $143=11\times 13$. Donc $858=2\times 3\times 11\times 13$ (vérification : $6\times 143=858$).
3. Forme irréductible de ${\displaystyle \frac{693}{858}}$ :
   Facteurs premiers communs : $3$ et $11$, soit $33$. ${\displaystyle \frac{693}{858}}={\displaystyle \frac{3^2\times 7\times 11}{2\times 3\times 11\times 13}}={\displaystyle \frac{3\times 7}{2\times 13}}={\displaystyle \frac{21}{26}}$. $21=3\times 7$ et $26=2\times 13$ n’ont aucun facteur premier commun : c’est la forme irréductible.
4. $B={\displaystyle \frac{693}{858}}+{\displaystyle \frac{5}{13}}$ sous forme irréductible : $B=$
   D’après la question précédente, $B={\displaystyle \frac{21}{26}}+{\displaystyle \frac{5}{13}}={\displaystyle \frac{21}{26}}+{\displaystyle \frac{10}{26}}={\displaystyle \frac{31}{26}}$. Les seuls diviseurs positifs de $31$ sont $1$ et $31$, et $31$ ne divise pas $26$ : $B={\displaystyle \frac{31}{26}}$.

Soit $n$ un entier naturel. On étudie la fraction ${\displaystyle \frac{2n+1}{n+1}}$.

1. Si un entier naturel $d$ divise $2n+1$ et $n+1$, alors il divise $2(n+1)-(2n+1)$, qui vaut
   $d$ divise $n+1$, donc il divise son multiple $2(n+1)$ ; il divise aussi $2n+1$, donc la différence $2(n+1)-(2n+1)=2n+2-2n-1=1$.
2. Démontrer que ${\displaystyle \frac{2n+1}{n+1}}$ est irréductible pour tout entier naturel $n$. Contrôle : pour $n=20$, cette fraction vaut
   Rédaction attendue. Soit $d$ un diviseur positif commun à $2n+1$ et $n+1$. D’après la question précédente, $d$ divise $1$, donc $d=1$ : le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur positif commun autre que $1$, la fraction est irréductible. Contrôle : pour $n=20$, on obtient ${\displaystyle \frac{41}{21}}$, déjà irréductible : $21=3\times 7$, et $41$ n’est divisible ni par $3$ ni par $7$.
3. Lucas « simplifie par $n$ » la fraction ${\displaystyle \frac{2n+1}{n+1}}$ et trouve $2$. Pour $n=3$, la vraie valeur de cette fraction est
   Pour $n=3$ : ${\displaystyle \frac{2\times 3+1}{3+1}}={\displaystyle \frac{7}{4}}=1,75$, et non $2$. On ne simplifie que par un facteur commun au numérateur et au dénominateur, jamais par un terme d’une somme.