Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

a) $138÷6=23$ et 23 est un entier : $138=6\times 23$. Donc 138 est un multiple de 6.

b) $17\times 15=255$ avec $15\in \mathbb{Z}$. Donc 17 est un diviseur de 255.

c) $-98=14\times (-7)$ et $-7\in \mathbb{Z}$. Donc $-98$ est un multiple de 14 : un multiple peut être négatif, puisque $k$ est un entier relatif.

d) $8\times 125=1000$ et $8\times 126=1008$ : 1 004 est strictement compris entre deux multiples consécutifs de 8, donc il n'en est pas un. On le confirme : $\frac{1004}{8}=125,5$, qui n'est pas entier. 8 ne divise pas 1 004.

a) On cherche les paires de diviseurs jusqu'à $\sqrt{96}\approx 9,8$ : $96=1\times 96=2\times 48=3\times 32=4\times 24=6\times 16=8\times 12$ ; 5, 7 et 9 ne divisent pas 96. Les diviseurs positifs de 96 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.

b) $\sqrt{61}\approx 7,8$ : on teste 2 (61 est impair), 3 ($6+1=7$ n'est pas multiple de 3), 5 (chiffre des unités 1), 4, 6 et 7 ($7\times 8=56$, $7\times 9=63$). Aucun ne divise 61. Les diviseurs positifs de 61 sont 1 et 61 : 61 a exactement deux diviseurs positifs, 61 est premier.

c) Diviseurs de 132 jusqu'à $\sqrt{132}\approx 11,5$ : $132=1\times 132=2\times 66=3\times 44=4\times 33=6\times 22=11\times 12$ ; 5, 7, 8, 9, 10 ne divisent pas 132. Diviseurs positifs de 132 : 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132. En comparant avec la liste du a), les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 ; le plus grand est 12.

a) $4n+10=2(2n+5)$ et $2n+5$ est un entier : $4n+10$ est pair.

b) $6n+7=6n+6+1=2(3n+3)+1$ et $3n+3$ est un entier : $6n+7$ est impair.

c) On développe : $(2n+1)(2n-1)=4n^2-1=4n^2-2+1=2(2n^2-1)+1$, et $2n^2-1$ est un entier : $(2n+1)(2n-1)$ est impair (produit de deux impairs).

d) $8n-13=8n-14+1=2(4n-7)+1$ et $4n-7$ est un entier : $8n-13$ est impair. Attention : $4n-7$ peut être négatif, ce n'est pas un problème puisque $k$ est un entier relatif.

a) On divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles : $1176=2\times 588=2\times 2\times 294=2\times 2\times 2\times 147$ ; puis $147=3\times 49=3\times 7\times 7$. Donc $1176=2^3\times 3\times 7^2$ (vérification : $8\times 3\times 49=1176$).

b) $1260=2\times 630=2\times 2\times 315$ ; $315=3\times 105=3\times 3\times 35=3\times 3\times 5\times 7$. Donc $1260=2^2\times 3^2\times 5\times 7$ (vérification : $4\times 9\times 35=1260$).

c) Les facteurs premiers communs sont $2^2$, $3$ et $7$. On simplifie : $\frac{1176}{1260}=\frac{2^3\times 3\times 7^2}{2^2\times 3^2\times 5\times 7}=\frac{2\times 7}{3\times 5}=\frac{14}{15}$. Comme $14=2\times 7$ et $15=3\times 5$ n'ont aucun facteur premier commun, $\frac{14}{15}$ est la forme irréductible.

d) $A=\frac{14}{15}-\frac{2}{5}=\frac{14}{15}-\frac{6}{15}=\frac{8}{15}$. Comme $8=2^3$ et $15=3\times 5$ n'ont aucun facteur premier commun, $A=\frac{8}{15}$, sous forme irréductible.

a) ${14}^2=196$ et ${15}^2=225$, donc $\sqrt{211}$ est compris entre 14 et 15 : il suffit de tester les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11 et 13. 211 est impair ; $2+1+1=4$ n'est pas multiple de 3 ; il ne se termine ni par 0 ni par 5 ; $211=7\times 30+1$ ; $211=11\times 19+2$ ; $211=13\times 16+3$. Aucun ne divise 211 : 211 est premier.

b) $\sqrt{323}\approx 17,97$ : on teste les premiers jusqu'à 17. 323 est impair, $3+2+3=8$, pas de 0 ni de 5 ; $323=7\times 46+1$ ; $323=11\times 29+4$ ; $323=13\times 24+11$ ; enfin $17\times 19=323$. Donc 323 n'est pas premier : $323=17\times 19$.

c) $\sqrt{143}\approx 11,96$ : pour conclure, Léo devait tester tous les nombres premiers jusqu'à 11, donc aussi 7 et 11. Or $143=11\times 13$. Son erreur est d'avoir arrêté le test trop tôt : 143 n'est pas premier.

d) $1001$ est impair, $1+0+0+1=2$ : ni 2 ni 3 ni 5 ne le divisent. $1001=7\times 143$ et, d'après c), $143=11\times 13$. Donc $1001=7\times 11\times 13$.

a) Soit $a$ et $b$ deux entiers impairs : il existe deux entiers $k$ et $p$ (distincts a priori) tels que $a=2k+1$ et $b=2p+1$. Alors $a+b=2k+2p+2=2(k+p+1)$ et $k+p+1$ est un entier. Donc $a+b$ est pair.

b) Soit $a$ pair et $b$ un entier quelconque : $a=2k$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Alors $ab=2kb=2(kb)$ et $kb$ est un entier. Donc $ab$ est pair.

c) On factorise : $n^2+n=n(n+1)$, produit de deux entiers consécutifs. On distingue deux cas.
• Si $n$ est pair, $n=2k$ et $n(n+1)=2\times k(2k+1)$ : c'est un nombre pair.
• Si $n$ est impair, $n=2k+1$, donc $n+1=2k+2=2(k+1)$ et $n(n+1)=2\times (2k+1)(k+1)$ : c'est un nombre pair.
Dans tous les cas, $n^2+n$ est pair.

d) $n^2+3n+5=(n^2+n)+2n+4+1$. D'après c), $n^2+n=2p$ avec $p\in \mathbb{Z}$. Donc $n^2+3n+5=2p+2n+4+1=2(p+n+2)+1$ et $p+n+2$ est un entier : $n^2+3n+5$ est impair pour tout entier $n$.

a) $21n+35=7\times 3n+7\times 5=7(3n+5)$ et $3n+5$ est un entier : $21n+35$ est un multiple de 7.

b) Cinq entiers consécutifs s'écrivent $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$. Leur somme vaut $5n+10=5(n+2)$, avec $n+2$ entier : c'est un multiple de 5.

c) Contre-exemple : $1+2+3+4=10$, qui n'est pas un multiple de 4. L'affirmation de Nora est donc fausse. Plus précisément, $n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=4(n+1)+2$. Supposons que $4n+6=4m$ avec $m$ entier : alors $4(m-n-1)=2$, soit $m-n-1=\frac{1}{2}$, ce qui est impossible pour un entier. Donc la somme de quatre entiers consécutifs n'est jamais un multiple de 4 (elle laisse toujours le reste 2).

d) $(n+3{)}^2-(n-3{)}^2=(n^2+6n+9)-(n^2-6n+9)=12n$, et $n$ est un entier : $(n+3{)}^2-(n-3{)}^2$ est un multiple de 12.

a) Soit $n$ pair : $n=2k$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Alors $n^2=4k^2$ et $k^2$ est un entier : $n^2$ est un multiple de 4.

b) $n^2-1=(2k+1{)}^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k(k+1)$. On a bien $n^2-1=4k(k+1)$.

c) $k$ et $k+1$ sont deux entiers consécutifs, donc l'un des deux est pair et leur produit est pair : $k(k+1)=2m$ avec $m\in \mathbb{Z}$ (si $k=2q$, $m=q(2q+1)$ ; si $k=2q+1$, $m=(2q+1)(q+1)$). Alors $n^2-1=4\times 2m=8m$, donc $n^2=8m+1$. Vérification : ${15}^2=225=8\times 28+1$.

d) C'est faux : pour $n=2$, $n^2-1=3$, qui n'est pas un multiple de 8 (pour $n=0$, on obtient même $-1$). Le résultat de c) ne vaut que pour les entiers impairs : l'élève a oublié cette condition.

a) Supposons que $n+3$ divise $n+17$. Comme $n+3$ divise aussi $n+3$, il divise la différence de ces deux multiples de $n+3$ (propriété de stabilité) : $(n+17)-(n+3)=14$. Donc $n+3$ divise 14.

b) $n\in \mathbb{N}$, donc $n+3⩾3$ et $n+3$ est un diviseur positif de 14. Les diviseurs positifs de 14 sont 1, 2, 7 et 14 ; seuls 7 et 14 sont supérieurs ou égaux à 3. Donc $n+3=7$ ou $n+3=14$, c'est-à-dire $n=4$ ou $n=11$.

c) Le a) donne seulement une condition nécessaire : il faut vérifier. Pour $n=4$ : $n+3=7$ et $n+17=21=7\times 3$, donc 7 divise 21. Pour $n=11$ : $n+3=14$ et $n+17=28=14\times 2$, donc 14 divise 28. Les solutions sont $n=4$ et $n=11$.

d) Pour $n=-2$, $n+3=1$ divise bien 15, et pour $n=-1$, $n+3=2$ divise bien 16 : les calculs de l'élève sont justes, mais $-2$ et $-1$ ne sont pas des entiers naturels. L'énoncé cherche $n\in \mathbb{N}$ ; c'est cette condition qui impose $n+3⩾3$ et élimine les diviseurs 1 et 2.

a) Identité remarquable : $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

b) $(x+y)+(x-y)=2x$ est pair. Si l'un des deux nombres était pair et l'autre impair, leur somme serait impaire, ce qui est faux. Donc $x+y$ et $x-y$ sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs.

c) $(x-y)(x+y)=33>0$ et $x+y⩾0$, donc $x+y>0$ et $x-y>0$. De plus $x-y⩽x+y$. Les écritures de 33 comme produit de deux entiers positifs, le plus petit en premier, sont $1\times 33$ et $3\times 11$.
• $x-y=1$ et $x+y=33$ : en additionnant, $2x=34$, d'où $x=17$ et $y=16$.
• $x-y=3$ et $x+y=11$ : $2x=14$, d'où $x=7$ et $y=4$.
Vérification : ${17}^2-{16}^2=289-256=33$ et $7^2-4^2=49-16=33$. Les couples solutions sont $(17;16)$ et $(7;4)$.

d) Supposons $(x-y)(x+y)=30$. D'après b), deux cas seulement :
• les deux facteurs sont impairs : leur produit est impair, or 30 est pair, impossible ;
• les deux facteurs sont pairs : $x-y=2a$ et $x+y=2b$, donc le produit vaut $4ab$, un multiple de 4 ; or $30=4\times 7+2$ n'est pas un multiple de 4, impossible.
Donc aucun couple d'entiers naturels ne vérifie $x^2-y^2=30$.