Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques
Ensembles de nombres et intervalles
Naturels, entiers, rationnels, irrationnels, réels et intervalles : les fondations du calcul en seconde générale
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Appartenance et classification
/ 4 pts- Classer chacun des nombres suivants dans le plus petit ensemble possible parmi ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ∖ ℚ (en justifiant brièvement) : −6 ; 0,4 ; √11 ; 5/2 ; 0 ; √25.
- Recopier et compléter avec ∈ ou ∉ : a) 0 ___ ℕ b) −3 ___ ℕ c) 3/7 ___ ℤ d) π ___ ℚ
Exercice 2 — Intervalles et notation
/ 4 pts- Écrire en notation d'intervalle l'ensemble des réels x vérifiant : a) −4 ≤ x < 2 b) x ≤ 7 c) x > −1 d) 0 ≤ x ≤ 3.
- Représenter sur une droite numérique (à dessiner) l'intervalle ]−2 ; 3] en indiquant clairement les bornes (ouvertes ou fermées).
Exercice 3 — Intersection et réunion d'intervalles
/ 5 pts- Soit A = [−2 ; 5] et B = ]1 ; 8[. Calculer A ∩ B et A ∪ B.
- Soit C = ]−∞ ; 3[ et D = [5 ; +∞[. Calculer C ∩ D et C ∪ D.
- Vrai ou Faux (justifier) : si E ⊂ F, alors E ∩ F = E.
Exercice 4 — Valeur absolue et résolution d'inéquations
/ 4 pts- Résoudre |x − 4| ≤ 3 et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
- Résoudre |2x + 3| > 5 et donner l'ensemble solution.
- Calculer la distance entre les réels −5 et 2 sur la droite numérique.
Exercice 5 — Raisonnement et synthèse
/ 3 pts- Résoudre l'inéquation double : −1 < 2x − 3 ≤ 7 et donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
- Expliquer, sans calcul, pourquoi √2 ∉ ℚ (argument de la décimale ou rappel du raisonnement par l'absurde).
- Donner un exemple de nombre appartenant à ℝ mais n'appartenant ni à ℚ ni à ℤ.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Appartenance et classification
Corrigé :
Q1 — Classification :
• −6 ∈ ℤ (entier négatif, pas dans ℕ)
• 0,4 = 2/5 ∈ ℚ (fraction, pas entier)
• √11 ∈ ℝ ∖ ℚ (11 n'est pas un carré parfait, donc irrationnel)
• 5/2 ∈ ℚ (fraction d'entiers, pas entier)
• 0 ∈ ℕ (entier naturel par convention)
• √25 = 5 ∈ ℕ (carré parfait)
Q2 — Appartenance :
a) 0 ∈ ℕ b) −3 ∉ ℕ c) 3/7 ∉ ℤ d) π ∉ ℚ
Exercice 2 — Intervalles et notation
Corrigé :
Q1 — Intervalles :
a) [−4 ; 2[ b) ]−∞ ; 7] c) ]−1 ; +∞[ d) [0 ; 3]
Q2 — Droite numérique : On représente ]−2 ; 3] avec un rond vide en −2 (exclu) et un rond plein en 3 (inclus), et le segment entre les deux en gras.
Exercice 3 — Intersection et réunion d'intervalles
Corrigé :
Q1 : A = [−2 ; 5], B = ]1 ; 8[
• A ∩ B : borne gauche max(−2, 1) = 1 (B ouvert en 1) → ]1 ; min(5, 8)[ = ]1 ; 5]
• A ∪ B : les intervalles se chevauchent → [−2 ; 8[
Q2 : C = ]−∞ ; 3[, D = [5 ; +∞[
• C ∩ D = ∅ (pas de chevauchement : C finit avant 3, D commence à 5)
• C ∪ D = ]−∞ ; 3[ ∪ [5 ; +∞[ (deux intervalles disjoints)
Q3 : Vrai. Si E ⊂ F, tout élément de E est dans F, donc E ∩ F = E (l'intersection « conserve » E entier).
Exercice 4 — Valeur absolue et résolution d'inéquations
Corrigé :
Q1 : |x − 4| ≤ 3 ⟺ −3 ≤ x − 4 ≤ 3 ⟺ 1 ≤ x ≤ 7. Ensemble solution : [1 ; 7]
Q2 : |2x + 3| > 5 ⟺ 2x + 3 < −5 ou 2x + 3 > 5
• 2x + 3 < −5 ⟺ 2x < −8 ⟺ x < −4
• 2x + 3 > 5 ⟺ 2x > 2 ⟺ x > 1
Ensemble solution : ]−∞ ; −4[ ∪ ]1 ; +∞[
Q3 : Distance = |2 − (−5)| = |7| = 7
Exercice 5 — Raisonnement et synthèse
Corrigé :
Q1 : −1 < 2x − 3 ≤ 7 ⟺ 2 < 2x ≤ 10 ⟺ 1 < x ≤ 5. Ensemble solution : ]1 ; 5]
Q2 : La décimale de √2 = 1,41421356… est infinie et sans motif périodique. Or tout rationnel a une décimale finie ou périodique. Donc √2 ∉ ℚ. (Alternativement : si √2 = p/q irréductible, alors p² = 2q², donc p² est pair, donc p est pair, puis q est pair, contradiction avec l'irréductibilité.)
Q3 : Exemples valides : √3, √5, π, 1 + √2 (tout nombre irrationnel convient).
Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Ensembles de nombres et intervalles » : 5 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Appartenance et classification/ 4 pts
- Exercice 2 — Intervalles et notation/ 4 pts
- Exercice 3 — Intersection et réunion d'intervalles/ 5 pts
- Exercice 4 — Valeur absolue et résolution d'inéquations/ 4 pts
- Exercice 5 — Raisonnement et synthèse/ 3 pts
Notions évaluées
Les ensembles de nombres : ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, Les nombres irrationnels, Inclusions et appartenance : symboles ∈ et ⊂, La droite numérique et représentation des réels, Les intervalles : définitions et notations, Opérations sur les intervalles : intersection et réunion.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Ensembles de nombres et intervalles » ?
- 55 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Ensembles de nombres et intervalles » du programme officiel de mathématiques en seconde, soit Les ensembles de nombres : ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, Les nombres irrationnels, Inclusions et appartenance : symboles ∈ et ⊂, La droite numérique et représentation des réels.
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