Ensembles de nombres et intervalles

1. a)${\displaystyle \frac{-84}{12}}=-7$ : entier négatif, donc le plus petit ensemble est $\mathbb{Z}$. (0,5)
2. b)$0,8^2=0,64$ et $0,8⩾0$, donc $\sqrt{0,64}=0,8$ : décimal non entier, $𝔻$. (0,5)
3. c)$\mathbb{N}\subset 𝔻$ : ce sont deux ensembles, on écrit une inclusion. (0,5)
4. d)$x\in ]4;9]$ : $4$ exclu (inégalité stricte), $9$ inclus (inégalité large). (0,5)
5. e)$x<-0,5$ (crochet ouvert en $-0,5$). (0,5)
6. f)$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\times B)=3\times 2=6$ ; par exemple le couple $(1;v)$ : premier élément dans $A$, second dans $B$. (0,5)
7. g)$1,3-1,25=0,05$. (0,5)
8. h)Troncature $7,9$, décimale suivante $6$ : on augmente, l’arrondi est $8,0$. (0,5)

Repère — Simplifier avant de classer, et lire chaque crochet comme une inégalité.

1. a)Raisonnons par l’absurde : supposons ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$. En multipliant par $3\times {10}^n$ : ${10}^n=3a$, donc ${10}^n$ serait un multiple de $3$. Or ${10}^n$ s’écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros : la somme de ses chiffres vaut $1$, qui n’est pas un multiple de $3$. Contradiction : ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ n’est pas décimal. (1)
2. b)$17$ est premier et ne divise pas $80$ : la fraction est irréductible. $80=2^4\times 5$ ne contient que les facteurs $2$ et $5$ : ${\displaystyle \frac{17}{80}}$ est décimal. En effet ${\displaystyle \frac{17}{80}}={\displaystyle \frac{17\times 125}{80\times 125}}={\displaystyle \frac{2125}{10000}}=0,2125$. (1)
3. c)On simplifie par $6$ : ${\displaystyle \frac{24}{90}}={\displaystyle \frac{4}{15}}$, irréductible. $15=3\times 5$ contient le facteur $3$ : ${\displaystyle \frac{24}{90}}$ n’est pas décimal ($0,2666\dots$). C’est un rationnel. (1)
4. d)Supposons par l’absurde que $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ soit un rationnel $q$. Alors $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{q}{6}}$ ; si $q={\displaystyle \frac{a}{b}}$, ${\displaystyle \frac{q}{6}}={\displaystyle \frac{a}{6b}}$ est un quotient d’entiers : $\sqrt{2}$ serait rationnel, ce qui est faux. Donc $\sqrt{72}$ est irrationnel. (1)

Méthode — Irréductible d’abord, puis le dénominateur ; pour un irrationnel, on se ramène à √2 par l’absurde.

1. a)La zone commune va de $0$ à $2$ : $0$ est inclus dans $B$ et dans $A$, $2$ est inclus dans $A$ et dans $B$. Donc $A\cap B=[0;2]$. (1)
2. b)Les intervalles se chevauchent entre $0$ et $2$ : la réunion est un intervalle, de $-5$ (exclu de $A$, absent de $B$) à $9$ (exclu de $B$). $A\cup B=]-5;9[$. (1)
3. c)On inverse inégalités et crochets : $\bar{A}=]-\infty ;-5]\cup ]2;+\infty [$. (1)
4. d)Tout élément de $A$ vérifie $x⩽2<3$ : $A\cap [3;9[=\varnothing$. Les entiers de $A$ sont $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ : il y en a $7$ ($-5$ est exclu). (1)

Repère — Une borne est dans l’intersection seulement si elle est dans les deux ensembles.

1. a)$3-14=-11$, donc $|3-14|=11$ ; $14-3=11$, donc $|14-3|=11$. C’est la distance entre les points d’abscisses $3$ et $14$ : elle ne dépend pas de l’ordre. (1)
2. b)La distance de $x$ à $6$ vaut $11$ : $x=6-11=-5$ ou $x=6+11=17$. $S=\{-5;17\}$. (1)
3. c)$|x+3|=|x-(-3)|$ : la distance de $x$ à $-3$ est strictement inférieure à $7$. Les solutions vont de $-3-7=-10$ à $-3+7=4$, bornes exclues : $S=]-10;4[$. (1)
4. d)Centre : ${\displaystyle \frac{-8+16}{2}}=4$ ; rayon : ${\displaystyle \frac{16-(-8)}{2}}=12$. Donc $x\in [-8;16]⟺|x-4|⩽12$. (1)

Méthode — Forme |x − a|, centre a, rayon r : on compte r de chaque côté de a.

1. a)${\displaystyle \frac{42,4}{30}}={\displaystyle \frac{424}{300}}={\displaystyle \frac{106}{75}}$ (on simplifie par $4$). $106=2\times 53$ et $75=3\times 5^2$ n’ont aucun facteur commun : la fraction est irréductible. Son dénominateur contient le facteur $3$ : ce nombre n’est pas décimal. (1)
2. b)Par l’absurde : supposons $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a}{b}}$, $a$ et $b$ entiers naturels, $b\ne 0$, fraction irréductible. Alors $a^2=2b^2$ : $a^2$ est pair, donc $a$ est pair (le carré d’un impair est impair). Avec $a=2k$ : $4k^2=2b^2$, soit $b^2=2k^2$, donc $b$ est pair. $a$ et $b$ sont tous deux pairs : contradiction avec l’irréductibilité. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel. (1)
3. c)Si $30\sqrt{2}=42,4$, alors $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{42,4}{30}}={\displaystyle \frac{106}{75}}$ serait un quotient d’entiers, donc un rationnel. Or $\sqrt{2}$ est irrationnel (question 2) : contradiction. La diagonale ne mesure pas exactement $42,4$ cm ; $42,4$ cm n’en est qu’une valeur approchée. (1)
4. d)On multiplie par $30$, qui est positif : $30\times 1,41421=42,4263$ et $30\times 1,41422=42,4266$, donc $42,4263<30\sqrt{2}<42,4266$. Alors $42,43-30\sqrt{2}$ est compris entre $42,43-42,4266=0,0034$ et $42,43-42,4263=0,0037$ : il est positif et inférieur à $0,004$, donc $|42,43-30\sqrt{2}|<0,004$. L’arrondi au centième, $42,43$ cm, est à moins de $0,004$ cm, soit $0,04$ mm, de la vraie longueur, alors que $42,4$ cm en est à près de $0,3$ mm. (1)

À retenir — Une mesure est toujours décimale ; un irrationnel n’est atteint qu’à une précision près.