Ensembles de nombres et intervalles

Donne le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ qui contient le nombre. Écris N, Z, D, Q ou R.

1. ${\displaystyle \frac{-63}{7}}$ :
   ${\displaystyle \frac{-63}{7}}=-9$ : c’est un entier, mais il est négatif, donc il n’est pas dans $\mathbb{N}$. Le plus petit ensemble est $\mathbb{Z}$.
2. ${\displaystyle \frac{11}{8}}$ :
   ${\displaystyle \frac{11}{8}}=1,375$ : l’écriture décimale s’arrête, et ce n’est pas un entier. Le plus petit ensemble est $𝔻$.
3. ${\displaystyle \frac{13}{6}}$ :
   ${\displaystyle \frac{13}{6}}$ est irréductible et $6=2\times 3$ contient le facteur $3$ : ce n’est pas un décimal ($2,1666\dots$). C’est un quotient d’entiers : $\mathbb{Q}$.
4. $\sqrt{81}$ :
   $\sqrt{81}=9$, car $9^2=81$ et $9⩾0$ : c’est un entier naturel, donc $\mathbb{N}$.
5. ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ :
   Si ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ était un rationnel $q$, alors $\pi =2q$ serait rationnel, ce qui est faux. Le plus petit ensemble est $ℝ$.

Complète par ∈, ∉ ou ⊂ (tu peux écrire « appartient », « n’appartient pas » ou « inclus »).

1. $-2$ $\mathbb{Z}$
   $-2$ est un nombre (un élément) et c’est un entier relatif : $-2\in \mathbb{Z}$.
2. $𝔻$ $\mathbb{Q}$
   Ce sont deux ensembles : tout décimal ${\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$ est un quotient d’entiers, donc $𝔻\subset \mathbb{Q}$.
3. $\{0;1\}$ $\mathbb{N}$
   $\{0;1\}$ est un ensemble (entre accolades), dont les deux éléments sont des entiers naturels : $\{0;1\}\subset \mathbb{N}$.
4. ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ $\mathbb{Z}$
   ${\displaystyle \frac{5}{4}}=1,25$ n’est pas un entier : ${\displaystyle \frac{5}{4}}\notin \mathbb{Z}$.

On considère l’ensemble $E=\{-5;-1,2;0;\frac{2}{3};\sqrt{9};\sqrt{5}\}$.

1. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)=$
   $E$ a six éléments : $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)=6$.
2. Nombre d’éléments de $E$ qui appartiennent à $\mathbb{N}$ :
   $0\in \mathbb{N}$ et $\sqrt{9}=3\in \mathbb{N}$. Les autres sont négatifs, non entiers ou irrationnels : il y en a $2$.
3. Nombre d’éléments de $E$ qui appartiennent à $𝔻$ :
   $-5$, $-1,2$, $0$ et $3$ sont décimaux. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ne l’est pas (dénominateur $3$) et $\sqrt{5}$ est irrationnel : il y en a $4$.
4. Justifier que $E$ n’est pas inclus dans $\mathbb{Q}$ : l’élément de $E$ qui n’est pas rationnel est
   Rédaction attendue. Pour que $E\subset \mathbb{Q}$, il faudrait que tous les éléments de $E$ soient rationnels. Or $5$ n’est pas un carré parfait ($2^2=4$ et $3^2=9$), donc $\sqrt{5}$ est irrationnel : $\sqrt{5}\in E$ mais $\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}$. Donc $E$ n’est pas inclus dans $\mathbb{Q}$.

Démontrer que $\mathbb{Z}\subset 𝔻\subset \mathbb{Q}$, puis que l’inclusion $𝔻\subset \mathbb{Q}$ est stricte.

1. Le décimal $0,037$ s’écrit ${\displaystyle \frac{a}{1000}}$ avec $a=$
   Rédaction attendue. $0,037={\displaystyle \frac{37}{1000}}={\displaystyle \frac{37}{{10}^3}}$. Plus généralement, tout décimal s’écrit ${\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et ${10}^n$ entier non nul : c’est un quotient de deux entiers, donc un rationnel. Ainsi $𝔻\subset \mathbb{Q}$.
2. L’entier $-8$ s’écrit ${\displaystyle \frac{a}{10}}$ avec $a=$
   $-8={\displaystyle \frac{-80}{10}}$ : tout entier $k$ s’écrit ${\displaystyle \frac{10k}{{10}^1}}$, donc $\mathbb{Z}\subset 𝔻$.
3. Parmi ${\displaystyle \frac{3}{8}}$, ${\displaystyle \frac{5}{12}}$, ${\displaystyle \frac{9}{20}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{25}}$, le seul qui n’est pas décimal est : l’inclusion $𝔻\subset \mathbb{Q}$ est stricte.
   ${\displaystyle \frac{3}{8}}=0,375$, ${\displaystyle \frac{9}{20}}=0,45$ et ${\displaystyle \frac{7}{25}}=0,28$ sont décimaux. ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ est irréductible et $12=2^2\times 3$ contient le facteur $3$ : c’est un rationnel qui n’est pas décimal.

Rends la fraction irréductible et décompose le dénominateur. Écris sa valeur décimale, ou « non décimal ».

1. ${\displaystyle \frac{27}{50}}=$
   ${\displaystyle \frac{27}{50}}$ est irréductible et $50=2\times 5^2$ : décimal. ${\displaystyle \frac{27}{50}}={\displaystyle \frac{54}{100}}=0,54$.
2. ${\displaystyle \frac{33}{44}}=$
   On simplifie par $11$ : ${\displaystyle \frac{33}{44}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$, et $4=2^2$ : décimal, égal à $0,75$.
3. ${\displaystyle \frac{8}{15}}$ :
   ${\displaystyle \frac{8}{15}}$ est irréductible et $15=3\times 5$ contient le facteur $3$ : ce n’est pas un décimal ($0,5333\dots$).
4. ${\displaystyle \frac{3}{160}}=$
   $160=2^5\times 5$ : décimal. ${\displaystyle \frac{3}{160}}={\displaystyle \frac{3\times 625}{160\times 625}}={\displaystyle \frac{1875}{100000}}=0,01875$.

Donne le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ qui contient le nombre. Écris N, Z, D, Q ou R.

1. $\sqrt{1,21}$ :
   $1,1^2=1,21$, donc $\sqrt{1,21}=1,1$ : décimal non entier, $𝔻$.
2. $\sqrt{12}$ :
   $12$ n’est pas un carré parfait ($3^2=9$, $4^2=16$) : $\sqrt{12}$ est irrationnel, $ℝ$.
3. ${\displaystyle \frac{22}{7}}$ :
   ${\displaystyle \frac{22}{7}}$ est irréductible, de dénominateur $7$ : pas décimal, mais quotient d’entiers, donc $\mathbb{Q}$. Ce n’est qu’une valeur approchée de $\pi$ : ${\displaystyle \frac{22}{7}}\ne \pi$.
4. $5-\sqrt{3}$ :
   Si $5-\sqrt{3}$ était un rationnel $q$, alors $\sqrt{3}=5-q$ serait rationnel ; or $3$ n’est pas un carré parfait. Donc $5-\sqrt{3}$ est irrationnel : $ℝ$.

Sur le modèle de la démonstration pour ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

1. Démontrer que ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ n’est pas décimal. Si ${\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$, on obtient $3a=k\times {10}^n$ avec $k=$
   Rédaction attendue. Raisonnons par l’absurde : supposons ${\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$. En multipliant par $3\times {10}^n$, on obtient $5\times {10}^n=3a$ : $5\times {10}^n$ serait un multiple de $3$. Or $5\times {10}^n$ s’écrit avec un $5$ suivi de $n$ zéros : la somme de ses chiffres vaut $5$, qui n’est pas un multiple de $3$. Contradiction : ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ n’est pas décimal.
2. Pour ${\displaystyle \frac{1}{6}}$, on obtiendrait ${10}^n=6a$, c’est-à-dire ${10}^n=3\times$
   Rédaction attendue. Si ${\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{a}{{10}^n}}$, alors ${10}^n=6a=3\times 2a$ : ${10}^n$ serait un multiple de $3$. Or la somme de ses chiffres vaut $1$ : contradiction. ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ n’est pas décimal.

Approfondissement : d’une écriture décimale périodique à une fraction. On pose $x=0,363636\dots$ et $y=2,5111\dots$ Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $100x-x=$
   $100x=36,3636\dots$ et $x=0,3636\dots$ ont la même partie décimale : $100x-x=36$.
2. $x=$ (fraction irréductible)
   $99x=36$, donc $x={\displaystyle \frac{36}{99}}={\displaystyle \frac{4}{11}}$ (on simplifie par $9$).
3. $100y-10y=$
   $100y=251,111\dots$ et $10y=25,111\dots$ : $100y-10y=251-25=226$.
4. $y=$ (fraction irréductible)
   $90y=226$, donc $y={\displaystyle \frac{226}{90}}={\displaystyle \frac{113}{45}}$ ; $45=3^2\times 5$ : rationnel non décimal.

L’irrationalité de $\sqrt{2}$ et ses conséquences.

1. On suppose $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a}{b}}$ irréductible, et on arrive à $a^2=2b^2$. Le carré d’un impair étant impair, $a$ est
   $a^2=2b^2$ est pair. Si $a$ était impair, $a^2$ serait impair : donc $a$ est pair.
2. Rédiger la démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{2}$. En écrivant $a=2k$, on obtient $b^2=c\times k^2$ avec $c=$
   Rédaction attendue. Raisonnons par l’absurde : supposons $\sqrt{2}={\displaystyle \frac{a}{b}}$, $a$ et $b$ entiers naturels, $b\ne 0$, fraction irréductible. Alors $a^2=2b^2$ : $a^2$ est pair, donc $a$ est pair. Avec $a=2k$ : $4k^2=2b^2$, soit $b^2=2k^2$, donc $b$ est pair. $a$ et $b$ sont pairs : la fraction n’est pas irréductible, contradiction. Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.
3. Démontrer que $3+\sqrt{2}$ est irrationnel : s’il valait un rationnel $q$, on aurait $\sqrt{2}=q-m$ avec $m=$
   Rédaction attendue. Supposons par l’absurde que $3+\sqrt{2}=q$ avec $q\in \mathbb{Q}$. Alors $\sqrt{2}=q-3$ ; si $q={\displaystyle \frac{a}{b}}$, $q-3={\displaystyle \frac{a-3b}{b}}$ est un quotient d’entiers : $\sqrt{2}$ serait rationnel, ce qui est faux. Donc $3+\sqrt{2}$ est irrationnel.
4. Démontrer que si $r$ est rationnel et $s$ irrationnel, alors $r+s$ est irrationnel. Si $q=r+s$ était rationnel, alors $s=q-r$ ; avec $q={\displaystyle \frac{a}{b}}$ et $r={\displaystyle \frac{c}{d}}$, on a $q-r={\displaystyle \frac{ad-bc}{D}}$ avec $D=$
   Rédaction attendue. Soit $r$ rationnel et $s$ irrationnel. Supposons par l’absurde que $q=r+s$ soit rationnel. Alors $s=q-r$. Avec $q={\displaystyle \frac{a}{b}}$ et $r={\displaystyle \frac{c}{d}}$ ($a$, $b$, $c$, $d$ entiers, $b\ne 0$, $d\ne 0$) : $q-r={\displaystyle \frac{ad-bc}{bd}}$. C’est un quotient d’entiers avec $bd\ne 0$ : $s$ serait rationnel, contradiction. Donc $r+s$ est irrationnel.

La calculatrice affiche $\sqrt{11}\approx 3,31662479$.

1. Troncature au dixième :
   On garde une décimale : $3,3$.
2. Arrondi au centième :
   Troncature $3,31$ ; la décimale suivante est $6$, on augmente : $3,32$.
3. Encadrement à ${10}^{-3}$ près : $<\sqrt{11}<$
   Troncature au millième $3,316$, puis $3,316+0,001=3,317$.
4. Arrondi au dix-millième :
   Troncature $3,3166$ ; décimale suivante $2$ : on garde, $3,3166$.

Donne l’amplitude de chaque encadrement.

1. $-2,46<y<-2,45$ :
   L’amplitude est $-2,45+2,46=0,01$.
2. $5,9⩽z⩽6,15$ :
   $6,15-5,9=0,25$.
3. $3,14159<\pi <3,1416$ :
   $3,1416-3,14159=0,00001={10}^{-5}$.
4. Un encadrement décimal à ${10}^{-3}$ près a pour amplitude
   Par définition, son amplitude est ${10}^{-3}=0,001$.

On admet l’encadrement $3,872<\sqrt{15}<3,873$.

1. Encadrement de $5\sqrt{15}$ : $<5\sqrt{15}<$
   On multiplie par $5$, positif : le sens est conservé. $5\times 3,872=19,36$ et $5\times 3,873=19,365$.
2. Amplitude de cet encadrement :
   $19,365-19,36=0,005$ : cinq fois l’amplitude de départ, $0,001$.
3. Encadrement de $\sqrt{15}+1$ : $<\sqrt{15}+1<$
   On ajoute $1$ aux trois membres : $4,872<\sqrt{15}+1<4,873$.
4. Encadrement de ${\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}$ : $<{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}<$
   On divise les trois membres par $2$, positif (c’est multiplier par ${\displaystyle \frac{1}{2}}$) : le sens est conservé. $3,872÷2=1,936$ et $3,873÷2=1,9365$. L’amplitude, $0,0005$, est la moitié de celle de départ.
5. Justifier l’arrondi au dixième de $5\sqrt{15}$ :
   Rédaction attendue. On a $19,36<5\sqrt{15}<19,365$. Tous ces nombres sont compris entre $19,35$ et $19,45$ : ils sont plus proches de $19,4$ que de $19,3$ ou de $19,5$. Donc l’arrondi au dixième de $5\sqrt{15}$ est $19,4$.

On encadre $\sqrt{3}$ par balayage avec ce programme :

def balayage(pas):
    x = 1
    while x**2 < 3:
        x = x + pas
    return x - pas, x

1. balayage(0.1) donne : $<\sqrt{3}<$
   $1,7^2=2,89<3$ : la boucle continue ; $1,8^2=3,24⩾3$ : elle s’arrête en $x=1,8$ et renvoie $1,7$ et $1,8$.
2. Nombre de passages dans la boucle pour balayage(0.1) :
   $x$ passe de $1$ à $1,8$ par pas de $0,1$ : $8$ passages.
3. balayage(0.01) donne : $<\sqrt{3}<$
   $1,{73}^2=2,9929<3$ et $1,{74}^2=3,0276⩾3$.
4. Justifier que la boucle ne s’arrête jamais sur un $x$ tel que $x^2=3$ exactement : c’est parce que $\sqrt{3}$ est
   Rédaction attendue. Les valeurs prises par $x$ sont des décimaux, donc des rationnels. Si l’une d’elles vérifiait $x^2=3$, avec $x>0$, on aurait $\sqrt{3}=x$ rationnel. Or $3$ n’est pas un carré parfait, donc $\sqrt{3}$ est irrationnel : aucune valeur de $x$ ne vérifie $x^2=3$, et l’encadrement obtenu est strict.

Complète par le symbole <, >, ≤ ou ≥ (clavier de symboles).

1. $x\in ]-\infty ;12]$ signifie : $x$ $12$
   Crochet fermé devant $12$ : $12$ est inclus, $x⩽12$.
2. $x\in ]\frac{9}{4};+\infty [$ signifie : $x$ ${\displaystyle \frac{9}{4}}$
   Crochet ouvert devant ${\displaystyle \frac{9}{4}}$ : borne exclue, $x>{\displaystyle \frac{9}{4}}$.
3. $x\in [-7;-2[$ signifie : $-7⩽x$ et $x$ $-2$
   Crochet ouvert en $-2$ : $x<-2$.
4. $x\in [0,5;+\infty [$ signifie : $x$ $0,5$
   Crochet fermé en $0,5$ : $x⩾0,5$.

Appartenance et entiers d’un intervalle.

1. Nombre d’entiers dans $[-5;1]$ :
   $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$ : les deux bornes sont incluses, $7$ entiers.
2. Nombre d’entiers dans $]-3;4[$ :
   $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$ : $-3$ et $4$ sont exclus, $6$ entiers.
3. Le plus petit entier de $]2,5;8]$ :
   Les éléments sont strictement supérieurs à $2,5$ : le premier entier est $3$.
4. Le plus grand entier de $[-6;-1,5[$ :
   Les éléments sont strictement inférieurs à $-1,5$ : le plus grand entier est $-2$ ($-1>-1,5$).

Résous chaque inéquation et complète l’intervalle des solutions. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $2x+9>4$ : $S$ = ] ; +∞[
   $2x>-5$, puis $x>-2,5$ (division par $2$, positif) : $S=]-2,5;+\infty [$.
2. $-3x+1⩾10$ : $S$ = ]−∞ ; ]
   Rédaction attendue. $-3x+1⩾10⟺-3x⩾9$. On divise par $-3$, qui est négatif : le sens de l’inégalité change, $x⩽-3$. L’inégalité est large, $-3$ est inclus : $S=]-\infty ;-3]$.
3. $5-x<2x-7$ : $S$ = ] ; +∞[
   $5+7<2x+x$, soit $12<3x$, donc $x>4$ : $S=]4;+\infty [$.

On suppose $x\in ]-1;2]$.

1. Démontrer que $3x-4$ appartient à un intervalle ] ; ]
   Rédaction attendue. $x\in ]-1;2]$ signifie $-1<x⩽2$. On multiplie par $3$, positif : $-3<3x⩽6$. On ajoute $-4$ : $-7<3x-4⩽2$. Donc $3x-4\in ]-7;2]$.
2. $-2x$ appartient à l’intervalle [ ; [
   Rédaction attendue. De $-1<x⩽2$, on multiplie par $-2$, négatif : les inégalités changent de sens, $2>-2x⩾-4$, soit $-4⩽-2x<2$. Donc $-2x\in [-4;2[$ : la borne incluse est passée à gauche.

On pose $E=\{1;2;\dots ;12\}$ (les entiers de 1 à 12), $A=\{1;3;5;7;9\}$ et $B=\{3;6;9;12\}$.

1. $A\cap B=\{$ ; $\}$ (ordre croissant)
   Les éléments communs à $A$ et à $B$ sont $3$ et $9$.
2. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=$
   $A\cup B=\{1;3;5;6;7;9;12\}$ : $7$ éléments ($3$ et $9$ ne se comptent qu’une fois).
3. Le complémentaire de $B$ dans $E$ a pour cardinal
   $E$ a $12$ éléments, $B$ en a $4$ : $12-4=8$.

On pose $A=[-6;1[$, $B=]-2;5]$ et $C=]-\infty ;-2]$. Si une intersection est vide, écris « vide ».

1. $A\cap B$ = ] ; [
   Zone commune de $-2$ à $1$ ; $-2$ est exclu de $B$, $1$ est exclu de $A$ : $A\cap B=]-2;1[$.
2. $A\cup B$ = [ ; ]
   Les intervalles se chevauchent : la réunion va de $-6$ (inclus dans $A$) à $5$ (inclus dans $B$).
3. $A\cap C$ = [ ; ]
   Zone commune de $-6$ à $-2$, les deux bornes étant incluses dans $A$ et dans $C$ : $[-6;-2]$.
4. $B\cap C$ :
   $C$ contient les réels $⩽-2$, $B$ les réels $>-2$ : aucun réel n’est dans les deux, pas même $-2$. $B\cap C=\varnothing$.

On pose $D=]-3;4]$.

1. $\bar{D}$ = ]−∞ ; ] ∪ ] ; +∞[
   On inverse inégalités et crochets : $-3$, exclu de $D$, est inclus dans le complémentaire ; $4$, inclus dans $D$, en est exclu. $\bar{D}=]-\infty ;-3]\cup ]4;+\infty [$.
2. Nombre d’entiers de $D\cap [0;10]$ :
   $D\cap [0;10]=[0;4]$ : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, soit $5$ entiers.
3. Nombre d’entiers de $\bar{D}\cap [-6;6]$ :
   Rédaction attendue. $\bar{D}\cap [-6;6]=[-6;-3]\cup ]4;6]$. Le premier morceau contient $-6$, $-5$, $-4$, $-3$ ; le second $5$ et $6$ ($4$ est exclu). Les morceaux sont disjoints : $4+2=6$ entiers.

Un code d’accès est un couple (lettre ; chiffre) : la lettre est prise dans $L=\{A;B;C;D\}$, le chiffre dans $K=\{0;1;\dots ;9\}$. L’ensemble des codes est le produit cartésien $L\times K$.

1. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(L\times K)=$
   $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(L\times K)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(L)\times \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(K)=4\times 10=40$ codes.
2. Nombre de codes dont le chiffre est pair :
   C’est $L\times \{0;2;4;6;8\}$ : $4\times 5=20$ codes.
3. Justifier que $(7;B)$ n’est pas un élément de $L\times K$ : dans un couple de $L\times K$, le premier élément est
   Rédaction attendue. Un élément de $L\times K$ est un couple $(\ell ;c)$ avec $\ell \in L$ et $c\in K$ : le premier élément est une lettre. Or $7\notin L$, donc $(7;B)\notin L\times K$. L’ordre compte : $(B;7)\in L\times K$, mais $(7;B)\ne (B;7)$.

On pose $I=]-\infty ;1]$ et $J=]a;+\infty [$, où $a$ est un réel. Si une intersection est vide, écris « vide ».

1. Pour $a=1$, $I\cap J$ est
   $I$ : $x⩽1$ ; $J$ : $x>1$. Aucun réel ne vérifie les deux : $I\cap J=\varnothing$.
2. Pour $a=-3$, $I\cap J$ = ]−3 ; ]
   Zone commune de $-3$ (exclu de $J$) à $1$ (inclus dans $I$) : $]-3;1]$.
3. Démontrer que $I\cup J=ℝ$ si et seulement si $a$ est inférieur ou égal à
   Rédaction attendue. Si $a⩽1$ : un réel $x$ vérifie $x⩽1$ (il est dans $I$) ou $x>1$, et alors $x>a$ (il est dans $J$). Donc $I\cup J=ℝ$. Si $a>1$ : le réel $a$ vérifie $a>1$, donc $a\notin I$, et $a\notin J$ car le crochet est ouvert ; $I\cup J\ne ℝ$. Conclusion : $I\cup J=ℝ$ si et seulement si $a⩽1$.

Calcule. Pour π, écris π ou pi.

1. $|-15|=$
   $-15<0$, donc $|-15|=-(-15)=15$.
2. $|8-19|=$
   $8-19=-11$, donc $|8-19|=11$.
3. Distance entre les points d’abscisses $-4$ et $9$ :
   $|-4-9|=|-13|=13$ ; on retrouve $|9-(-4)|=13$.
4. $|3-\pi |=$
   $\pi >3$, donc $3-\pi <0$ et $|3-\pi |=-(3-\pi )=\pi -3$.

Résous chaque équation : donne la plus petite solution, puis la plus grande.

1. $|x-7|=3$ : et
   Les réels à la distance $3$ de $7$ : $7-3=4$ et $7+3=10$.
2. $|x+2|=5$ : et
   $|x+2|=|x-(-2)|$ : distance $5$ à $-2$, soit $-2-5=-7$ et $-2+5=3$.
3. $|x|=4,5$ : et
   Distance $4,5$ à l’origine : $-4,5$ et $4,5$.

Résous chaque inéquation, puis passe de l’intervalle à la valeur absolue.

1. $|x-8|⩽3$ : $S$ = [ ; ]
   Distance à $8$ au plus $3$ : de $8-3=5$ à $8+3=11$, bornes incluses.
2. $|x+4|<6$ : $S$ = ] ; [
   Distance à $-4$ strictement inférieure à $6$ : de $-10$ à $2$, bornes exclues.
3. Écrire $[13;27]$ sous la forme $|x-a|⩽r$ : $a=$ et $r=$
   Rédaction attendue. Le centre est la moyenne des bornes : $a={\displaystyle \frac{13+27}{2}}=20$ ; le rayon est la demi-longueur : $r={\displaystyle \frac{27-13}{2}}=7$. On vérifie que $[20-7;20+7]=[13;27]$. Donc $x\in [13;27]⟺|x-20|⩽7$.

Distances sur la droite graduée.

1. Résoudre $|x-6|=|x+2|$ : $x=$
   Rédaction attendue. $|x-6|$ est la distance de $x$ à $6$, et $|x+2|=|x-(-2)|$ la distance de $x$ à $-2$. On cherche le point à égale distance de $6$ et de $-2$ : c’est leur milieu, d’abscisse ${\displaystyle \frac{6+(-2)}{2}}=2$. Vérification : $|2-6|=4$ et $|2+2|=4$. L’unique solution est $x=2$.
2. $|x-1|⩾4$ : $S$ = ]−∞ ; ] ∪ [ ; +∞[
   Distance à $1$ au moins $4$ : à gauche de $1-4=-3$ ou à droite de $1+4=5$, bornes incluses.
3. Nombre d’entiers de $[-5;5]$ solutions de $|x-1|⩾4$ :
   $-5$, $-4$, $-3$ et $5$ : $4$ entiers.