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Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs
Notations ℕ et ℤ, multiples et diviseurs (a = kb), somme de multiples, nombres pairs et impairs, fraction irréductible, avec les deux démonstrations du programme.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Quelle écriture est correcte ?
- A. −3 ∈ ℕ
- B. −3 ∈ ℤ
- C. 0,5 ∈ ℤ
- D. ℤ ⊂ ℕ
Réponse
B. −3 ∈ ℤ — −3 est un entier relatif mais pas un entier naturel ; 0,5 n’est pas un entier ; c’est ℕ qui est inclus dans ℤ, et non l’inverse.
« 65 est un multiple de 13 » signifie :
- A. il existe un entier k tel que 13 = 65k
- B. 65 − 13 est un entier positif
- C. 13 est un multiple de 65
- D. il existe un entier k tel que 65 = 13k
Réponse
D. il existe un entier k tel que 65 = 13k — Par définition, a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que a = kb : ici 65 = 13 × 5.
Parmi ces nombres, lequel est impair ?
- A. −37
- B. 58
- C. 0
- D. −104
Réponse
A. −37 — −37 = 2 × (−19) + 1 est impair. 58, 0 et −104 sont des multiples de 2.
Un entier n est pair si et seulement si :
- A. n = k + 2 avec k ∈ ℤ
- B. n = 2 + k² avec k ∈ ℤ
- C. n = 2k avec k ∈ ℤ
- D. n = 2k + 1 avec k ∈ ℤ
Réponse
C. n = 2k avec k ∈ ℤ — Pair signifie multiple de 2 : n = 2k avec k entier. L’écriture 2k + 1 caractérise les impairs.
Combien de diviseurs positifs possède 49 ?
- A. 3
- B. 2
- C. 7
- D. 49
Réponse
A. 3 — 49 = 7 × 7 : ses diviseurs positifs sont 1, 7 et 49, soit trois diviseurs.
Quelle est la forme irréductible de 27/63 ?
- A. 9/21
- B. 1/3
- C. 27/63
- D. 3/7
Réponse
D. 3/7 — 27 = 3³ et 63 = 3² × 7 : on simplifie par 9, d’où 3/7. 9/21 est égale mais encore simplifiable par 3.
Le nombre 0 est :
- A. un diviseur de tout entier
- B. un multiple de tout entier
- C. un nombre impair
- D. un entier strictement positif
Réponse
B. un multiple de tout entier — 0 = 0 × b pour tout entier b : 0 est un multiple de tout entier (et il est pair). On ne divise jamais par 0.
Le reste de la division euclidienne de 100 par 7 est :
- A. 14
- B. 7
- C. 2
- D. 3
Réponse
C. 2 — 100 = 7 × 14 + 2 avec 0 ≤ 2 < 7 : le quotient est 14 et le reste 2.
En Python, le test a % b == 0 est vrai lorsque :
- A. b divise a
- B. a divise b
- C. a et b sont pairs
- D. a est plus grand que b
Réponse
A. b divise a — a % b est le reste de la division de a par b ; il vaut 0 exactement lorsque b divise a.
Si n est un entier impair, alors n + 1 est :
- A. impair
- B. premier
- C. un multiple de 4
- D. pair
Réponse
D. pair — n = 2k + 1 donne n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1) : c’est un nombre pair. Il n’est pas toujours multiple de 4 : pour n = 1, n + 1 = 2.
Quel nombre est un multiple de 9 ?
- A. 3 712
- B. 4 518
- C. 6 105
- D. 8 053
Réponse
B. 4 518 — 4 + 5 + 1 + 8 = 18, multiple de 9 : 4 518 = 9 × 502. Les sommes des chiffres des autres nombres valent 13, 12 et 16.
Le plus grand multiple de 6 inférieur ou égal à 50 est :
- A. 54
- B. 44
- C. 48
- D. 42
Réponse
C. 48 — 50 = 6 × 8 + 2 : le plus grand multiple de 6 inférieur ou égal à 50 est 6 × 8 = 48 ; 54 dépasse 50.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
La décomposition en facteurs premiers de 252 est :
- A. 2² × 3² × 7
- B. 2 × 3 × 42
- C. 2³ × 3 × 7
- D. 2 × 2 × 3 × 21
Réponse
A. 2² × 3² × 7 — 252 = 4 × 63 = 2² × 3² × 7. Les écritures avec 42 ou 21 contiennent des facteurs non premiers ; 2³ × 3 × 7 = 168.
Pour tout entier n, le nombre 10n + 25 est toujours :
- A. pair
- B. un multiple de 10
- C. un multiple de 5
- D. un multiple de 25
Réponse
C. un multiple de 5 — 10n + 25 = 5(2n + 5) : multiple de 5. Il est impair, car 10n + 25 = 2(5n + 12) + 1, donc jamais multiple de 10 ; pour n = 1, 35 n’est pas multiple de 25.
Combien de diviseurs positifs possède 100 ?
- A. 8
- B. 9
- C. 10
- D. 6
Réponse
B. 9 — Paires : 1 × 100, 2 × 50, 4 × 25, 5 × 20, 10 × 10. Diviseurs : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, soit 9 (10 n’est compté qu’une fois).
Si n est impair, alors n² + n + 1 est :
- A. pair
- B. un multiple de 3
- C. pair ou impair selon n
- D. impair
Réponse
D. impair — n² est impair (carré d’un impair), n² + n est pair (somme de deux impairs), donc n² + n + 1 est impair.
La forme irréductible de 546/390 est :
- A. 273/195
- B. 91/65
- C. 7/5
- D. 21/15
Réponse
C. 7/5 — 546 = 2 × 3 × 7 × 13 et 390 = 2 × 3 × 5 × 13 : on simplifie par 78, d’où 7/5. Les autres fractions sont égales mais pas irréductibles.
Le plus petit entier strictement positif multiple à la fois de 15 et de 25 est :
- A. 375
- B. 75
- C. 25
- D. 150
Réponse
B. 75 — 15 = 3 × 5 et 25 = 5² : il faut 3 × 5² = 75. 375 et 150 sont des multiples communs, mais plus grands ; 25 n’est pas un multiple de 15.
Pour tout entier n, le nombre 3(2n + 1) + 5 est :
- A. pair
- B. impair
- C. un multiple de 3
- D. un multiple de 6
Réponse
A. pair — 3(2n + 1) + 5 = 6n + 8 = 2(3n + 4) : il est pair. Et 6n + 8 = 3(2n + 2) + 2 : il n’est ni multiple de 3 ni de 6.
Si a = 7k et b = 7k′ avec k et k′ entiers, alors a + b est égal à :
- A. 14k
- B. 7kk′
- C. 7 + k + k′
- D. 7(k + k′)
Réponse
D. 7(k + k′) — a + b = 7k + 7k′ = 7(k + k′), et k + k′ est un entier : c’est la démonstration de « la somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7 ».
L’entier 3 × 5 × 7 est un multiple de :
- A. 15
- B. 10
- C. 9
- D. 25
Réponse
A. 15 — 3 × 5 × 7 = 15 × 7. Il vaut 105 : il est impair (pas multiple de 10), la somme de ses chiffres vaut 6 (pas multiple de 9), et 105 = 25 × 4 + 5.
La forme irréductible de 5/6 − 1/4 est :
- A. 4/2
- B. 14/24
- C. 7/12
- D. 1/3
Réponse
C. 7/12 — 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12, et 7 et 12 n’ont pas d’autre diviseur positif commun que 1. On ne soustrait pas numérateurs et dénominateurs ; 14/24 est égale mais simplifiable par 2.
Si n est pair, alors 3n + 1 est :
- A. pair
- B. impair
- C. un multiple de 3
- D. pair ou impair selon n
Réponse
B. impair — n = 2k donne 3n + 1 = 6k + 1 = 2(3k) + 1 avec 3k entier : c’est un nombre impair.
Les diviseurs positifs de 18 sont :
- A. 2, 3, 6, 9
- B. 1, 2, 3, 6, 9
- C. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18
- D. 1, 2, 3, 6, 9, 18
Réponse
D. 1, 2, 3, 6, 9, 18 — 18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6 ; 4 et 5 ne divisent pas 18. 1 et 18 sont toujours des diviseurs de 18.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Un entier multiple de 4 et de 6 est forcément multiple de :
- A. 24
- B. 12
- C. 10
- D. 8
Réponse
B. 12 — 4 = 2² et 6 = 2 × 3 : un multiple commun contient 2² × 3 = 12. Le nombre 12 lui-même n’est multiple ni de 24 ni de 8.
Un élève écrit : « soit a = 2k + 1 et b = 2k + 1 deux impairs ; alors a + b = 4k + 2 ». Quelle est son erreur ?
- A. il prend le même k pour a et b
- B. le calcul de a + b est faux
- C. un impair s’écrit 2k − 1, pas 2k + 1
- D. il aurait fallu prendre k positif
Réponse
A. il prend le même k pour a et b — Avec la même lettre, il suppose a = b. Il faut deux entiers différents : a = 2k + 1 et b = 2p + 1.
Si n² est pair, alors :
- A. n est impair
- B. n peut être pair ou impair
- C. n est pair
- D. n² est un multiple de 8
Réponse
C. n est pair — Si n était impair, n² serait impair : donc n est pair. En revanche n = 2 donne n² = 4, qui n’est pas multiple de 8.
Combien l’entier 39 possède-t-il de diviseurs dans ℤ ?
- A. 4
- B. 2
- C. 39
- D. 8
Réponse
D. 8 — Diviseurs positifs : 1, 3, 13, 39 ; dans ℤ, il faut ajouter leurs opposés −1, −3, −13, −39, soit 8 diviseurs.
Quelle affirmation est vraie pour tout entier n ?
- A. n² − n est pair
- B. n² + 1 est impair
- C. n² + n + 1 est pair
- D. 3n est impair
Réponse
A. n² − n est pair — n² − n = n(n − 1) est le produit de deux entiers consécutifs, donc pair. n² + 1 est pair si n est impair ; n² + n + 1 est toujours impair ; 3 × 2 = 6 est pair.
Pour prouver qu’une affirmation « pour tout entier n, … » est fausse, il suffit :
- A. de la tester pour n = 1, 2 et 3
- B. de trouver un exemple où elle est vraie
- C. de trouver un contre-exemple
- D. de tester les entiers jusqu’à 100
Réponse
C. de trouver un contre-exemple — Un seul cas où l’affirmation est fausse suffit : c’est un contre-exemple. Des essais où elle est vraie ne prouvent rien, ni dans un sens ni dans l’autre.
Parmi ces affirmations sur des entiers a et b, laquelle est fausse ?
- A. si 3 divise a et b, 3 divise a + b
- B. si 3 divise a + b, 3 divise a et b
- C. si 3 divise a, 3 divise 5a
- D. si 3 divise a, 9 divise a²
Réponse
B. si 3 divise a + b, 3 divise a et b — Contre-exemple : a = 1 et b = 2 ; 3 divise a + b = 3, mais ni 1 ni 2. Les trois autres sont vraies (a = 3k donne 5a = 3 × 5k et a² = 9k²).
Combien de diviseurs positifs possède 200 ?
- A. 6
- B. 10
- C. 12
- D. 5
Réponse
C. 12 — 200 = 2³ × 5² ; diviseurs : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200, soit 12. Il ne faut ni multiplier les exposants (3 × 2 = 6) ni les additionner.
Si un entier d divise n + 5 et n + 2, alors d divise forcément :
- A. 7
- B. 10
- C. 5
- D. 3
Réponse
D. 3 — d divise la différence (n + 5) − (n + 2) = 3. Pour n = 1, d = 3 divise 6 et 3, mais ne divise ni 7, ni 10, ni 5.
Pour tout entier naturel non nul n, la fraction n/(n + 1) est :
- A. irréductible seulement si n est impair
- B. toujours irréductible
- C. jamais irréductible
- D. irréductible seulement si n est premier
Réponse
B. toujours irréductible — Un diviseur positif commun à n et n + 1 divise leur différence 1 : c’est 1. La fraction est toujours irréductible.
Combien y a-t-il de multiples de 7 compris entre 1 et 200 ?
- A. 29
- B. 27
- C. 30
- D. 28
Réponse
D. 28 — 200 = 7 × 28 + 4 : les multiples de 7 compris entre 1 et 200 sont 7 × 1, 7 × 2, …, 7 × 28, soit 28 nombres.
La somme de trois entiers impairs consécutifs 2k + 1, 2k + 3 et 2k + 5 est toujours :
- A. impaire et multiple de 3
- B. paire et multiple de 3
- C. impaire et multiple de 9
- D. paire et multiple de 6
Réponse
A. impaire et multiple de 3 — La somme vaut 6k + 9 = 3(2k + 3) : multiple de 3 ; et 6k + 9 = 2(3k + 4) + 1 : impaire. Pour k = 1 : 3 + 5 + 7 = 15, qui n’est pas multiple de 9.
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