Arithmétique : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

B. $-3\in \mathbb{Z}$ — $-3$ est un entier relatif mais pas un entier naturel ; 0,5 n'est pas entier ; c'est $\mathbb{N}$ qui est inclus dans $\mathbb{Z}$, et non l'inverse.

D. il existe un entier k tel que 65 = 13k — Par définition, $a$ est un multiple de $b$ s'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=kb$ : ici $65=13\times 5$.

A. −37 — $-37=2\times (-19)+1$ est impair. 58, 0 et $-104$ sont des multiples de 2.

C. 53 — $51=3\times 17$, $111=3\times 37$, $87=3\times 29$ ; 53 n'est divisible ni par 2, 3, 5 ni 7 ($7^2=49$, ${11}^2>53$) : il est premier.

C. n = 2k avec k ∈ ℤ — Pair signifie multiple de 2 : $n=2k$ avec $k$ entier. L'écriture $2k+1$ caractérise les impairs.

A. 3 — $49=7^2$ : ses diviseurs positifs sont 1, 7 et 49, soit trois diviseurs.

D. 3/7 — $27=3^3$ et $63=3^2\times 7$ : on simplifie par 9, d'où $\frac{3}{7}$. $\frac{9}{21}$ est égale mais encore simplifiable par 3.

B. un multiple de tout entier — $0=0\times b$ pour tout entier $b$ : 0 est un multiple de tout entier (et il est pair). On ne divise pas par 0.

A. 2² × 3² × 7 — $252=4\times 63=2^2\times 3^2\times 7$. Les écritures avec 42 ou 21 contiennent des facteurs non premiers ; $2^3\times 3\times 7=168$.

C. multiple de 5 — $10n+25=5(2n+5)$ : c'est un multiple de 5. Il est impair ($2(5n+12)+1$), donc jamais multiple de 10.

B. 9 — Paires : $1\times 100$, $2\times 50$, $4\times 25$, $5\times 20$, $10\times 10$. Diviseurs : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, soit 9 (10 n'est compté qu'une fois).

D. impair — $n^2$ est impair (carré d'un impair), $n^2+n$ est pair (somme de deux impairs), donc $n^2+n+1$ est impair.

D. 7/5 — $546=2\times 3\times 7\times 13$ et $390=2\times 3\times 5\times 13$ : on simplifie par $78$, d'où $\frac{7}{5}$. Les autres fractions sont égales mais pas irréductibles.

B. 75 — $15=3\times 5$ et $25=5^2$ : il faut $3\times 5^2=75$. 375 et 150 sont des multiples communs, mais plus grands ; 25 n'est pas multiple de 15.

C. pair — $3(2n+1)+5=6n+8=2(3n+4)$ : il est pair. Il n'est ni multiple de 3 ni de 6 (reste 2 dans la division par 3).

A. 2, 3, 5, 7, 11 et 13 — $\sqrt{179}\approx 13,4$ : on teste les nombres premiers jusqu'à 13. Tester jusqu'à 178 est juste mais inutile ; 9 n'est pas premier et 13 manque.

D. 12 — $4=2^2$ et $6=2\times 3$ : un multiple commun contient $2^2\times 3=12$. Contre-exemple pour 24 et 8 : le nombre 12 lui-même.

A. il prend le même k pour a et b — Avec la même lettre, il suppose $a=b$. Il faut deux entiers distincts : $a=2k+1$, $b=2p+1$.

C. n est pair — Si $n$ était impair, $n^2$ serait impair : donc $n$ est pair. En revanche $n=2$ donne $n^2=4$, qui n'est pas multiple de 8.

B. 8 — Diviseurs positifs : 1, 3, 13, 39 ; dans $\mathbb{Z}$ il faut ajouter leurs opposés : $\pm 1,\pm 3,\pm 13,\pm 39$, soit 8 diviseurs.

A. n² − n est pair — $n^2-n=n(n-1)$ est le produit de deux entiers consécutifs, donc pair. $n^2+1$ est pair si $n$ est impair ; $n^2+n+1$ est toujours impair ; $3\times 2=6$ est pair.

D. de citer un contre-exemple, comme 9 — Une affirmation générale est réfutée par un seul contre-exemple : $9=3\times 3$ est impair et non premier.

B. si 3 divise a + b, 3 divise a et b — Contre-exemple : $a=1$, $b=2$ ; 3 divise $a+b=3$ mais ni 1 ni 2. Les trois autres sont vraies ($a=3k$ donne $a^2=9k^2$).

C. 12 — $200=2^3\times 5^2$ ; diviseurs : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200, soit 12. Ne pas multiplier les exposants ($3\times 2=6$) ni les ajouter.