Logique : propositions, implication et raisonnements

Chaque proposition est fausse. Donne le contre-exemple demandé.

1. « Tout entier qui se termine par $6$ est un multiple de $6$. » Le plus petit entier naturel qui la contredit :
   $6=6\times 1$ convient. Le suivant qui se termine par $6$ est $16=6\times 2+4$ : il n’est pas multiple de $6$. C’est le plus petit contre-exemple.
2. « Pour tout réel $x$, $x+5>5$. » Le plus grand entier qui la contredit :
   $x+5>5$ équivaut à $x>0$. Les contre-exemples sont les réels $x⩽0$ ; le plus grand entier parmi eux est $0$ : $0+5=5$, qui n’est pas strictement supérieur à $5$.
3. « Pour tout entier naturel $n$, $3n+1$ est impair. » Le plus petit contre-exemple : $n=$
   Pour $n=0$, $3\times 0+1=1$ est impair. Pour $n=1$, $3\times 1+1=4$ est pair : $n=1$ est le plus petit contre-exemple.
4. « Pour tout réel $x$ non nul, ${\displaystyle \frac{1}{x}}⩽1$. » Pour $x=0,25$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ vaut , ce qui la contredit.
   ${\displaystyle \frac{1}{0,25}}=4$ et $4>1$ : $x=0,25$ est un contre-exemple.

Chaque proposition commence par « il existe ». Prouve qu’elle est vraie en donnant la valeur qui convient.

1. « Il existe un entier $n$ tel que $4n-3=33$. » $n=$
   $4n-3=33\iff 4n=36\iff n=9$. Vérification : $4\times 9-3=33$. Un exemple suffit.
2. « Il existe un réel $x$ non nul tel que $x^2=6x$. » $x=$
   Pour $x\ne 0$, on divise par $x$ : $x=6$. Vérification : $6^2=36=6\times 6$.
3. « Il existe un entier naturel $n$ tel que $n^2+n=56$. » $n=$
   $7^2+7=56$, car $7^2=49$. (Pour $n⩽6$, $n^2+n⩽42$ ; pour $n⩾8$, $n^2+n⩾72$ : c’est le seul.)
4. « Il existe un réel $x$ tel que $3x-2=x$. » $x=$
   $3x-2=x\iff 2x=2\iff x=1$. Vérification : $3\times 1-2=1$.

Quantificateurs cachés : réécris chaque phrase avec « pour tout », puis réponds.

1. « Le double d’un entier impair est un multiple de $4$. » C’est faux : le plus petit entier naturel impair qui la contredit est
   La phrase signifie : « pour tout entier impair $n$, $2n$ est un multiple de $4$ ». Pour $n=1$, $2n=2$, qui n’est pas multiple de $4$. En fait, $2(2k+1)=4k+2$ n’est jamais multiple de $4$.
2. « Le produit de deux nombres décimaux non entiers n’est jamais un entier. » C’est faux : $2,5\times$ $=1$, avec un décimal non entier.
   $2,5\times 0,4=1$ : $2,5$ et $0,4$ sont deux décimaux non entiers dont le produit est l’entier $1$. C’est un contre-exemple.
3. Démontrer que, pour tout entier $n$, $(n+1{)}^2-(n-1{)}^2$ est un multiple de $4$ : cette différence vaut $4\times$
   Rédaction attendue. La phrase contient un « pour tout » : on fait un calcul valable pour tous les entiers $n$. Avec les identités remarquables (rappel du collège) : $(n+1{)}^2-(n-1{)}^2=(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)$ $=4n$. Comme $n$ est un entier, $4n$ est un multiple de $4$. La proposition est démontrée pour tout entier $n$ (par exemple, pour $n=6$ : $49-25=24=4\times 6$).

Pour tout réel $x$, on pose $f(x)=(x-4{)}^2-1$. On étudie trois propositions.

1. $A$ : « pour tout réel $x$, $f(x)⩾-1$ ». Démontrer $A$. L’égalité $f(x)=-1$ n’a lieu que pour $x=$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, un carré est positif : $(x-4{)}^2⩾0$. En retranchant $1$, $(x-4{)}^2-1⩾-1$, soit $f(x)⩾-1$. La proposition $A$ est vraie. L’égalité a lieu si et seulement si $(x-4{)}^2=0$, c’est-à-dire $x=4$.
2. $B$ : « il existe un réel $x$ tel que $f(x)=8$ ». $B$ est vraie : le plus grand réel qui convient est
   $f(x)=8\iff (x-4{)}^2=9\iff x-4=3$ ou $x-4=-3\iff x=7$ ou $x=1$. Le plus grand est $7$ : $f(7)=3^2-1=8$.
3. $C$ : « pour tout réel $x$, $f(x)>0$ ». $C$ est fausse. Nombre d’entiers $x$ qui la contredisent :
   Les contre-exemples vérifient $f(x)⩽0$, soit $(x-4{)}^2⩽1$, c’est-à-dire $-1⩽x-4⩽1$, donc $3⩽x⩽5$. Les entiers $3$, $4$, $5$ conviennent : $f(3)=0$, $f(4)=-1$, $f(5)=0$. Il y en a $3$.

Complète la négation de chaque proposition ($x$, $y$, $a$ et $b$ sont des réels). Écris un symbole (<, >, ≤, ≥, ≠) ou un mot (et, ou).

1. « $x<9$ » a pour négation « $x$ $9$ ».
   Le contraire de « strictement inférieur à $9$ » est « supérieur ou égal à $9$ » : $x⩾9$.
2. « $y=-2$ » a pour négation « $y$ $-2$ ».
   La négation d’une égalité est « différent de » : $y\ne -2$.
3. « $x>0$ et $y>0$ » a pour négation « $x⩽0$ $y⩽0$ ».
   non ($P$ et $Q$) = (non $P$) ou (non $Q$) : il suffit que l’un des deux ne soit pas strictement positif.
4. « $a=1$ ou $b=1$ » a pour négation « $a\ne 1$ $b\ne 1$ ».
   non ($P$ ou $Q$) = (non $P$) et (non $Q$) : aucun des deux ne vaut $1$.
5. « $x⩾-4$ » a pour négation « $x$ $-4$ ».
   Le contraire de « supérieur ou égal à $-4$ » est « strictement inférieur à $-4$ » : $x<-4$.

On choisit un entier $n$ de $E=\{1;2;\dots ;25\}$. $P$ : « $n$ est un multiple de $5$ » ; $Q$ : « $n⩽12$ ». Donne le nombre d’entiers de $E$ qui vérifient :

1. « $P$ et $Q$ » :
   Multiples de $5$ inférieurs ou égaux à $12$ : $5$ et $10$. Il y en a $2$.
2. « $P$ ou $Q$ » :
   $Q$ est vraie pour $1$, $2$, …, $12$ ($12$ entiers). On ajoute les multiples de $5$ qui ne sont pas déjà comptés : $15$, $20$, $25$. Total : $12+3=15$.
3. « non $P$ » :
   $E$ contient $5$ multiples de $5$ ($5$, $10$, $15$, $20$, $25$) ; les autres, $25-5=20$, vérifient « non $P$ ».
4. « $P$ et non $Q$ » :
   Multiples de $5$ strictement supérieurs à $12$ : $15$, $20$, $25$. Il y en a $3$.

Négations et intervalles ($x$ est un réel).

1. « $x⩽2$ ou $x⩾6$ » a pour négation « $x$ appartient à l’intervalle ouvert de borne inférieure et de borne supérieure ».
   Négation : « $x>2$ et $x<6$ », c’est-à-dire $x\in ]2;6[$.
2. « $-1<x⩽5$ » se lit « $x>-1$ $x⩽5$ ».
   Un encadrement contient deux conditions vraies en même temps : « $x>-1$ et $x⩽5$ », soit $x\in ]-1;5]$.
3. Justifier que les entiers qui ne vérifient pas « $x⩽-2$ ou $x⩾3$ » sont ceux de $]-2;3[$, puis donner leur nombre :
   Rédaction attendue. La négation de « $x⩽-2$ ou $x⩾3$ » est « $x>-2$ et $x<3$ » : on nie chaque comparaison et « ou » devient « et ». Les réels qui ne vérifient pas la proposition sont donc ceux de $]-2;3[$. Les entiers de cet intervalle sont $-1$, $0$, $1$, $2$ : il y en a $4$.

Un site accepte un mot de passe s’il a au moins $8$ caractères et s’il contient un chiffre ou un symbole (« ou » inclusif). Six mots de passe sont proposés : « soleil2024 », « azerty », « p@tate », « cerisier! », « montagne », « vague#77 ».

1. Nombre de mots de passe acceptés :
   « soleil2024 » ($10$ caractères, des chiffres), « cerisier! » ($9$ caractères, un symbole) et « vague#77 » ($8$ caractères, un symbole et des chiffres) sont acceptés. « azerty » et « p@tate » ont $6$ caractères ; « montagne » n’a ni chiffre ni symbole. Il y en a $3$.
2. Négation de la règle : « moins de $8$ caractères ni chiffre ni symbole ».
   La règle est « $P$ et $Q$ » ; sa négation est « non $P$ ou non $Q$ » : un mot est refusé dès qu’une des deux conditions manque.
3. Nombre de mots refusés pour les deux raisons à la fois :
   « azerty » a moins de $8$ caractères et ne contient ni chiffre ni symbole. « p@tate » contient un symbole ; « montagne » a $8$ caractères. Un seul mot.
4. Justifier que « vague#77 » est accepté avec le « ou » inclusif. Avec un « ou » exclusif (l’un ou l’autre, pas les deux), le nombre de mots acceptés serait
   Rédaction attendue. « vague#77 » a $8$ caractères : la première condition est vraie. Il contient le symbole # et les chiffres $7$ : « chiffre ou symbole » est vraie, puisque le « ou » inclusif accepte que les deux soient vrais. Les deux conditions sont vraies, le mot est accepté. Avec un « ou » exclusif, « vague#77 » serait refusé (il a les deux) : il ne resterait que « soleil2024 » et « cerisier! », soit $2$ mots.

Chaque implication est vraie, mais sa réciproque est fausse. Donne le contre-exemple demandé à la réciproque.

1. « Si $x>7$, alors $x>2$. » Le plus petit entier qui contredit la réciproque :
   Réciproque : « si $x>2$, alors $x>7$ ». Un contre-exemple vérifie $x>2$ et $x⩽7$. Le plus petit entier qui convient est $3$.
2. « Si $x=3$, alors $x^2-3x=0$. » Le réel qui contredit la réciproque :
   Réciproque : « si $x^2-3x=0$, alors $x=3$ ». Or $x^2-3x=x(x-3)=0\iff x=0$ ou $x=3$. Pour $x=0$ : $0^2-3\times 0=0$, mais $0\ne 3$.
3. « Si un entier $n⩾3$ est premier, alors il est impair. » Le plus petit entier impair $n⩾3$ qui contredit la réciproque :
   Réciproque : « si un entier $n⩾3$ est impair, alors il est premier ». $3$, $5$, $7$ sont premiers ; $9=3\times 3$ est impair mais pas premier.

Pour chaque couple de propositions ($x$ est un réel), écris 0 si aucune des deux implications n’est vraie, 1 si seule l’implication $A\Rightarrow B$ est vraie, 2 si seule $B\Rightarrow A$ est vraie, 3 si $A\iff B$.

1. A : « $x=5$ » ; B : « $x^2=25$ » (code 0, 1, 2 ou 3) :
   Si $x=5$, alors $x^2=25$. Mais $x^2=25$ n’entraîne pas $x=5$ ($x=-5$ convient aussi) : seule $A\Rightarrow B$ est vraie.
2. A : « $3x=12$ » ; B : « $x=4$ » (code 0, 1, 2 ou 3) :
   On divise par $3$ ou on multiplie par $3$ : les deux sens sont vrais, $3x=12\iff x=4$.
3. A : « $x>2$ » ; B : « $x<5$ » (code 0, 1, 2 ou 3) :
   $x=6$ vérifie A sans vérifier B : $A\Rightarrow B$ est fausse. $x=0$ vérifie B sans vérifier A : $B\Rightarrow A$ est fausse. Aucune des deux implications n’est vraie.
4. A : « $x>0$ » ; B : « $x>6$ » (code 0, 1, 2 ou 3) :
   Si $x>6$, alors $x>0$ : $B\Rightarrow A$ est vraie. Mais $x=1$ vérifie $x>0$ sans vérifier $x>6$ : $A\Rightarrow B$ est fausse.
5. A : « $x^2=0$ » ; B : « $x=0$ » (code 0, 1, 2 ou 3) :
   Un carré est nul si et seulement si le nombre est nul : $x^2=0\iff x=0$.

Démontrer des implications ; utiliser des équivalences.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, si $x⩽-2$, alors $7-3x⩾$ (le nombre obtenu en partant de $x⩽-2$).
   Rédaction attendue. Soit $x$ un réel tel que $x⩽-2$. On multiplie par $-3$, qui est négatif : le sens de l’inégalité change, $-3x⩾6$. On ajoute $7$ : $7-3x⩾13$. Donc, pour tout réel $x$, si $x⩽-2$, alors $7-3x⩾13$.
2. Le triangle $RST$ vérifie $RS=20$, $ST=21$ et $RT=29$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle en
   Le plus grand côté est $[RT]$ : $R{T}^2=841$ et $R{S}^2+S{T}^2=400+441=841$. L’égalité est vérifiée : $RST$ est rectangle en $S$, le sommet opposé à $[RT]$.
3. Pour un réel $x$ : $4x-1>2x+9\iff x>$
   $4x-1>2x+9\iff 2x>10\iff x>5$ (on ajoute $-2x+1$, puis on divise par $2>0$ : chaque étape se lit dans les deux sens).

Équivalences dans une résolution ($x$ est un réel).

1. Un élève écrit : $(x-1{)}^2=9\iff x-1=3\iff x=4$. Son premier « $\iff$ » est faux : la solution qu’il a perdue est
   $x-1=3\Rightarrow (x-1{)}^2=9$, mais pas l’inverse : $(x-1{)}^2=9\iff x-1=3$ ou $x-1=-3\iff x=4$ ou $x=-2$. Vérification : $(-2-1{)}^2=9$.
2. Résoudre $(2x-6)(x+5)=0$ en n’écrivant que des équivalences. La plus petite solution est
   Rédaction attendue. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : $(2x-6)(x+5)=0\iff 2x-6=0$ ou $x+5=0\iff x=3$ ou $x=-5$. Chaque étape est une équivalence : l’ensemble des solutions est $\{-5;3\}$, et la plus petite est $-5$.
3. Pour un réel $x$ non nul : $x={\displaystyle \frac{1}{x}}\iff x^2=1$. Le produit des deux solutions vaut
   Pour $x\ne 0$, on multiplie par $x$ (ou on divise par $x$) : $x={\displaystyle \frac{1}{x}}\iff x^2=1\iff x=1$ ou $x=-1$. Produit : $1\times (-1)=-1$.

Complète la contraposée de chaque implication ($x$ est un réel). Écris un symbole.

1. « Si $x⩾5$, alors $2x-1⩾9$. » Contraposée : « si $2x-1<9$, alors $x$ $5$ ».
   On nie la conclusion ($2x-1<9$) et l’hypothèse ($x<5$), puis on les échange : « si $2x-1<9$, alors $x<5$ ».
2. « Si $x⩽-2$, alors $5-x⩾7$. » Contraposée : « si $5-x<7$, alors $x$ $-2$ ».
   On nie la conclusion ($5-x<7$) et l’hypothèse ($x>-2$), puis on les échange : « si $5-x<7$, alors $x>-2$ ».

Pour chaque phrase, écris 1 si c’est la réciproque de l’implication donnée, 2 si c’est sa contraposée, 3 si ce n’est ni l’une ni l’autre.

1. « Si $n$ est multiple de $10$, alors $n$ se termine par $0$. » Phrase : « si $n$ ne se termine pas par $0$, alors $n$ n’est pas multiple de $10$ ». Code :
   On a nié les deux propositions et on les a échangées : c’est la contraposée (vraie, comme l’implication). Exemple : $37$ ne se termine pas par $0$, il n’est pas multiple de $10$.
2. « Si un triangle a deux angles de $45°$, alors il est rectangle. » Phrase : « si un triangle est rectangle, alors il a deux angles de $45°$ ». Code :
   On a échangé hypothèse et conclusion sans les nier : c’est la réciproque. Elle est fausse : un triangle d’angles $90°$, $60°$ et $30°$ est rectangle sans avoir d’angle de $45°$.
3. « Si un triangle est équilatéral, alors il est isocèle. » Phrase : « si un triangle n’est pas équilatéral, alors il n’est pas isocèle ». Code :
   On a nié sans échanger : c’est la contraposée de la réciproque, ni la réciproque ni la contraposée (et elle est fausse : un triangle isocèle non équilatéral).

Le triangle $LMN$ vérifie $LM=7$ cm, $MN=9$ cm et $LN=11$ cm.

1. $L{N}^2=$
   ${11}^2=121$.
2. $L{M}^2+M{N}^2=$
   $7^2+9^2=49+81=130$.
3. Justifier que $LMN$ n’est pas rectangle. Le seul sommet où l’angle droit aurait été possible est
   Rédaction attendue. Si $LMN$ était rectangle, son hypoténuse serait le plus grand côté $[LN]$ et l’angle droit serait en $M$. Or $L{N}^2=121$ et $L{M}^2+M{N}^2=130$, donc $L{N}^2\ne L{M}^2+M{N}^2$. D’après la contraposée du théorème de Pythagore, $LMN$ n’est pas rectangle en $M$ ; il n’est donc pas rectangle.

Une équipe de $4$ joueurs a marqué $50$ points au total ; chaque joueur marque un nombre entier de points. On veut démontrer : « au moins un joueur a marqué $13$ points ou plus ».

1. Démontrer cette affirmation par contraposée. Si chaque joueur a marqué au plus $12$ points, le total est au plus
   Rédaction attendue. Raisonnons par contraposée. L’implication est « si le total vaut $50$, alors un joueur au moins a marqué $13$ points ou plus ». Sa contraposée : « si chaque joueur a marqué au plus $12$ points, alors le total ne vaut pas $50$ ». Supposons que chaque joueur ait marqué au plus $12$ points : en ajoutant les quatre inégalités, le total est au plus $4\times 12=48$, donc il ne vaut pas $50$. La contraposée est vraie, donc l’affirmation l’est aussi.
2. Avec $4$ joueurs et un total de $61$ points, le plus grand nombre $k$ tel qu’on soit sûr qu’un joueur a marqué au moins $k$ points est
   Si chacun avait au plus $15$ points, le total serait au plus $60<61$ : un joueur a donc au moins $16$ points. On ne peut pas garantir $17$ : la répartition $16+15+15+15=61$ est possible.

Pour tout entier $n$, on veut démontrer : « si $n^2+7$ est pair, alors $n$ est impair ». Réponds en fonction de $k$ si besoin.

1. Démontrer l’implication par contraposée. Si $n$ est pair, $n=2k$ et $n^2+7=2m+1$ avec $m=2k^2+$
   Rédaction attendue. Raisonnons par contraposée : montrons que si $n$ est pair, alors $n^2+7$ est impair. Soit $n$ pair : $n=2k$ avec $k$ entier. Alors $n^2+7=4k^2+7=4k^2+6+1=2(2k^2+3)+1$, où $2k^2+3$ est un entier : $n^2+7$ est impair. La contraposée est vraie, donc : si $n^2+7$ est pair, alors $n$ est impair.
2. Si $n=2k+1$, alors $n^2+7=4(k^2+k+$ $)$.
   $(2k+1{)}^2+7=4k^2+4k+1+7=4k^2+4k+8=4(k^2+k+2)$ : pour $n$ impair, $n^2+7$ est même multiple de $4$.
3. Le plus petit entier naturel $n$ tel que $n^2+7$ soit pair est
   D’après l’implication démontrée, $n$ doit être impair ; $n=1$ convient : $1+7=8$, qui est pair. ($n=0$ donne $7$, impair.)

Nomme le raisonnement utilisé : contre-exemple, contraposée, disjonction des cas ou absurde.

1. Pour montrer que « tout multiple de $7$ est impair » est fausse, on cite $14$ : c’est un
   $14=7\times 2$ est un multiple de $7$ et il est pair : une seule valeur réfute le « pour tout ».
2. On traite le cas « $n$ pair », puis le cas « $n$ impair » : c’est une
   Les deux cas couvrent tous les entiers : c’est une disjonction des cas.
3. On suppose le contraire de ce qu’on veut prouver et on arrive à une impossibilité : raisonnement par
   Supposer la négation et aboutir à une contradiction, c’est raisonner par l’absurde.
4. Pour prouver « si $A$, alors $B$ », on prouve « si non $B$, alors non $A$ » : raisonnement par
   « Si non $B$, alors non $A$ » est la contraposée de « si $A$, alors $B$ » : elles ont la même vérité.

Pour tout réel $x$, on pose $g(x)=|x|+x$. On rappelle que $|x|=x$ si $x⩾0$ et $|x|=-x$ si $x<0$.

1. Si $x⩾0$, $g(x)=kx$ avec $k=$
   Pour $x⩾0$, $|x|=x$, donc $g(x)=x+x=2x$.
2. Si $x<0$, $g(x)=$
   Pour $x<0$, $|x|=-x$, donc $g(x)=-x+x=0$.
3. Démontrer par disjonction des cas que, pour tout réel $x$, $g(x)⩾0$. Par exemple, $g(3,5)=$
   Rédaction attendue. Distinguons deux cas, qui couvrent tous les réels. Si $x⩾0$ : $g(x)=2x$ et $2x⩾0$. Si $x<0$ : $g(x)=0$, donc $g(x)⩾0$. Dans les deux cas, $g(x)⩾0$. Par exemple, $g(3,5)=2\times 3,5=7$.

Raisonnements par l’absurde.

1. On veut démontrer qu’il n’existe pas d’entiers $a$ et $b$ tels que $6a+9b=50$. On remarque que $6a+9b=3\times (2a+kb)$ avec $k=$
   $3\times (2a+3b)=6a+9b$ : $6a+9b$ est un multiple de $3$ dès que $a$ et $b$ sont entiers.
2. Démontrer le résultat par l’absurde. Le reste de la division euclidienne de $50$ par $3$ est
   Rédaction attendue. Raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existe des entiers $a$ et $b$ tels que $6a+9b=50$. Alors $50=3(2a+3b)$, où $2a+3b$ est un entier : $50$ serait un multiple de $3$. Or $50=3\times 16+2$ : le reste de la division de $50$ par $3$ est $2$, et $50$ n’est pas multiple de $3$. C’est une contradiction : de tels entiers n’existent pas.
3. On suppose qu’il existe un réel $x$ tel que $x^2+10=6x$. On obtient alors $(x-3{)}^2=$ , ce qui est impossible.
   $x^2+10=6x\iff x^2-6x+9=-1\iff (x-3{)}^2=-1$. Un carré ne peut pas être strictement négatif : contradiction. Aucun réel ne vérifie $x^2+10=6x$.

Pour tout entier $n$, on veut démontrer que $n^2+1$ n’est jamais un multiple de $3$. On distingue trois cas : $n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k+2$ ($k$ entier).

1. Si $n=3k$, $n^2+1=3\times 3k^2+$
   $(3k{)}^2+1=9k^2+1=3\times 3k^2+1$ : le reste dans la division par $3$ est $1$.
2. Si $n=3k+1$, $n^2+1=3(3k^2+2k)+$
   $(3k+1{)}^2+1=9k^2+6k+1+1=3(3k^2+2k)+2$ : le reste est $2$.
3. Démontrer le résultat. Si $n=3k+2$, $n^2+1=3(3k^2+4k+$ $)+2$.
   Rédaction attendue. Tout entier s’écrit $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$ avec $k$ entier : ces trois cas couvrent tout. Si $n=3k$, $n^2+1=3\times 3k^2+1$. Si $n=3k+1$, $n^2+1=3(3k^2+2k)+2$. Si $n=3k+2$, $n^2+1=9k^2+12k+5=3(3k^2+4k+1)+2$. Dans chaque cas, le reste de la division de $n^2+1$ par $3$ vaut $1$ ou $2$, jamais $0$ : $n^2+1$ n’est jamais un multiple de $3$.